06数列考点精练（新高考）-2027届高三数学一轮复习

2027年高中数学一轮复习热点考点精练 06数列 热点考点一：等差、等比数列基本量运算（知三求二） 一、单选题 1．已知等差数列满足：，，则（    ） A．2025 B．2026 C．4050 D．4052 【答案】A 【详解】由得； 由，得， 联立两式作差得，解得公差，代回，得首项， 故 . 2．已知等差数列的公差为2，若成等比数列，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】根据等比中项及等差数列基本量计算即可求解． 【详解】由已知得， 所以． 3．已知等比数列的公比为q，且，，则（     ） A．3 B．2 C．1 D． 【答案】A 【详解】由题意得：，又， 解得：. 4．已知公比大于1的等比数列，若，，则（    ） A． B．11 C．23 D．121 【答案】D 【分析】利用等比数列性质转化，结合韦达定理求出，再用通项公式求出 【详解】因为为等比数列，所以， 又因为，公比大于1，所以，则是方程的两个根， 且，即， 二、多选题 5．记为等差数列的前项和，若，，则（   ） A． B． C． D．当或5时，最大 【答案】AC 【分析】由题意列方程组求得，根据等差数列通项公式计算可判断AB；根据等差数列前项和公式计算可判断C；根据等差数列性质可判断D. 【详解】设等差数列的首项为，公差为， 由题意可得，解得， 对于A，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，因为， 所以数列单调递增， 当时，，当时，，且， 所以当或5时，最小，故D错误. 6．已知等差数列中，，，前项和为，则下列选项正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据等差数列通项公式求出首项和公差，从而逐项判断. 【详解】根据题意，等差数列中，，， 可得，解得， 由于，A正确； ，B错误； ， 所以，C正确； ，D正确. 故选：ACD 7．已知正项等比数列的前项和为，若，则（    ） A． B．数列有最小项 C．数列为递减数列 D． 【答案】ACD 【分析】由题意可求出等比数列的首项和公比，即可求出其通项公式以及前n项和公式，分别判断各选项，即可求得答案. 【详解】设正项等比数列公比为， 对于A，由题意得， 结合，解得或（舍去），故A正确； 对于B和C，，故数列为递减数列，无最小项，故B错误，C正确； 对于D，，则，故D正确， 故选：ACD． 8．在等比数列中，，，则（    ） A．的公比为 B．的公比为2 C． D．数列为递增数列 【答案】BC 【分析】根据题意，列出等式求出等比数列的首项和公比，然后逐一判断即可. 【详解】设等比数列的公比为， 依题意，，解得，则，，BC正确，A错误； 对于D，，则数列为递减数列，D错误. 故选：BC 三、填空题 9．记为等差数列的前n项和，若，，则______． 【答案】70 【分析】由等差数列通项公式基本量计算求得首项、公差，即可求解. 【详解】设等差数列的首项为​，公差为，通项公式为， 由，得： ① 由，得： ② 联立解得，， . 10．已知为等差数列，为其前项和．若，则______． 【答案】 【详解】设等差数列的公差为， 由， 由， 由， 所以. 11．在等比数列中，，，则________． 【答案】 【分析】根据等比数列的性质求解. 【详解】因为等比数列中，，， 所以，即， 所以， 所以. 12．已知数列为公比为3的等比数列，且，则______ 【答案】729 【详解】由题意得，故，， 所以. 四、解答题 13．等差数列的前项和为，已知，. (1)求的通项公式； (2)数列的各项依次是数列的第，，，项，这些下标构成等比数列，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知条件求出等差数列的首项和公差，进而得到通项公式； （2）根据数列的构成特点，确定其通项公式，再计算前项和. 【详解】（1）因为是等差数列，由已知，，得， 所以，所以，所以； （2）由题意可知：，所以. 14．已知等差数列的前项和为，其中，. (1)求数列的通项公式； (2)求使得不等式成立的的值. 【答案】(1) (2)1，2 【分析】（1）根据等差数列的通项公式及求和公式列出方程求公差和首项即可得解； （2）由等差数列的求和公式、通项公式化简不等式求解即可． 【详解】（1）依题意，，解得， 故数列的公差， 则； （2）， 故，即，即，解得， 因为，所以使得不等式成立的的值为1，2． 15．已知等比数列满足，. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等比数列的通项公式求解即可. （2）根据等差数列的前项和公式及等比数列的前项和公式求解即可. 【详解】（1）设等比数列的公比为，则， 又，，所以，即，解得. 因为，且，所以，即，解得. 故. （2）由（1）知，则. 所以 . 设等比数列的前项和为，则， 设等差数列的前项和为，则， 所以. 16．设等比数列的前 项和为，已知，. (1)求和； (2)设，证明：. 【答案】(1)， (2)，， ， 因为，所以，从而. 【分析】（1）利用等比数列的通项公式和前 项和公式列式求解； （2）利用裂项相消法求前 项和即可证明. 【详解】（1）由为等比数列，，可得， 即，，解得， 所以，，. （2）略 热点考点二：与的互化 一、单选题 1．若数列的前n项和满足，则（    ） A．数列为等差数列 B．数列为递增数列 C．为等差数列 D．为等差数列 【答案】D 【分析】降次作差即可得到，根据等差数列的定义即可判断A，根据数列单调性即可判B，求出相关值结合等差数列定义即可判断CD. 【详解】当时，， 当时，，∴， 对于A：不满足，故A不正确； 对于B：，故B不正确； 对于C，，,，不满足，故C不正确； 对于D：，，，三项可构成等差数列，且公差为8，故D正确； 故选：D． 2．已知数列的前项和，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用与的关系可求得的通项公式，进而可求得的值. 【详解】当时，； 当时，. 也满足，故对任意的，， 因此，. 故选：B. 3．已知为数列的前项和，且满足，则（    ） A．27 B．28 C．29 D．30 【答案】B 【分析】首先根据前n项和，求出，然后即可求出结果. 【详解】因为， 当时，， 当时， 经检验，当时不符合， 所以 . 故选：B. 二、多选题 4．是等比数列的前项和，若存在，使得，则（    ） A． B．是数列的公比 C． D．可能为常数列 【答案】ABC 【分析】设等比数列的公比为，当时，，结合题意可判断D选项；当时，结合等比数列的前项和公式可得，结合题意可得，进而判断A、B、C选项. 【详解】设等比数列的公比为. 当，显然是一次函数性质不是指数函数形式，故不满足，所以D错； 当， 所以， 即，，所以ABC对． 故选：ABC. 5．已知数列是等比数列，公比为，前项和为，下列判断错误的有（    ） A．为等比数列 B．为等差数列 C．为等比数列 D．若，则 【答案】BC 【分析】对于选项A，利用等比数列的定义判断即可；对于选项B，C，利用举反例的办法判断即可，对于选项D，先求出，，的值，再利用即可求出的值． 【详解】解：令，则，所以是等比数列，选项A正确； 若，则无意义，所以选项B错误； 当时，，此时不是等比数列，所以选项C错误； 若，则， ， ， 由是等比数列，得，即，解得，所以选项D正确． 故选：BC． 6．在数列中，若对，都有（为常数），则称数列为“等差比数列”，为公差比，设数列的前项和是，则下列说法一定正确的是（    ） A．等差数列是等差比数列 B．若等比数列是等差比数列，则该数列的公比与公差比相同 C．若数列是等差比数列，则数列是等比数列 D．若数列是等比数列，则数列等差比数列 【答案】BCD 【分析】考虑常数列可以判定A错误，代入等差比数列公式可判断BCD说法正确 【详解】等差数列若为常数列，则，无意义， 所以等差数列不一定是等差比数列，A选项错误； 若公比为的等比数列是等差比数列，则不是常数列，， ，即该数列的公比与公差比相同， B选项正确. 若数列是等差比数列，则，所以数列是等比数列，故C选项正确； 若数列是等比数列，公比为，则， 所以数列等差比数列，故D选项正确 故选：BCD. 三、填空题 7．已知数列的前 项和 满足 ，则 的通项公式为_____ 【答案】 【分析】利用数列的前 项和 与通项 的关系计算. 【详解】当 时，； 当 时，. , 代入通项公式：, 验证 时：若直接代入 ，得 ，与 矛盾，故需分段表示. 因此，通项公式为分段形式：. 故答案为：. 8．设为数列的前n项和，满足，，数列的前n项和为，满足，则______． 【答案】 【详解】因为为数列的前n项和，满足，， 所以当时， 当时， 因为当时也满足，所以 所以 所以 所以 故答案为： 9．设等比数列的前项和为，若，则实数________． 【答案】 【分析】由，分别求出，进而利用等比中项即可求解. 【详解】根据题意，等比数列中，有， 则，， ， 因为是等比数列，则有，即，解可得. 故答案为：. 热点考点三：数列求和（裂项相消、错位相减、分组求和、倒序相加） 一、解答题 1．在正项数列中，设的前项和为，已知． (1)求的通项公式； (2)令，求的前项和． 【答案】(1) (2)（或等价化简形式） 【分析】（1）利用前项和与通项的递推关系，通过累乘法求数列的通项公式，验证的情况即可； （2）将裂项为两项差的形式，用裂项相消法求和． 【详解】（1）由题意得，当时，，， 则， 所以， 故，，， 由累乘法得，， 当时，依然成立， 所以 （2）， 则 ． 2．已知数列的前项和. (1)求数列的通项公式，并求使的最大正整数； (2)设，为数列的前项和. （i）求； （ii）若对任意正整数，恒成立，求实数的最小值. 【答案】(1)， (2)（i）；（ii）27 【详解】【小题1】由得：当时，； 当时，.     验证也满足，故通项公式为，.     解不等式，即，得， 所以满足条件的正整数，2，3，4，其中最大的 【小题2】（i）由得：，，，，，则 .         （ii）由知递增， 当 时，，有. 求和：.     再加上前4项的和，可得当时，有， 因此对所有 ，有，且，     条件对任意正整数 恒成立，等价于， 故满足条件的最小值为27 3．在数列中，，． (1)证明：为等比数列； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1)在数列中，，，则， 所以，即，解得， ，即，解得，， 以此类推可知，对任意的，，所以，即， 所以，所以数列为等比数列，首项为，公比为. (2) 【分析】（1）将等式变形为，再结合等比数列的定义证明即可； （2）求出的表达式，利用错位相减法结合分组求和法可求得的表达式. 【详解】（1）略 （2）由（1）可知，所以， 所以， 设数列的前项和为， 则， ①， ②， ①②得 ，所以， 故. 4．设数列是首项为的等比数列，已知，，成等差数列. (1)求的通项公式； (2)若数列满足，记为数列的前项和，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设数列的公比为，根据等比数列的通项公式求解； （2）利用错位相减法求解. 【详解】（1）设数列的公比为， 因为是首项为1的等比数列且成等差数列， 所以，所以，即， 解得，所以 （2）由（1）． ，① 则，② ①－②得， 所以 5．已知是等差数列，是等比数列，且. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用等比数列的通项公式及等差数列的通项公式基本量运算求解即得； （2）由（1）得到，再利用分组求和法求解. 【详解】（1）因为， 所以等比数列的公比为， 所以. 所以， 所以等差数列的公差为， 所以. （2）由（1）知， 所以， ， . 6．已知数列的前n项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)已知，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，所以， 因为，所以， 即，所以，即， 又，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以． （2）因为，则．所以 当n为偶数时， 当n为奇数时， 综上所述， 7．已知公差不为0的等差数列前项和为，，且，，成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)若，数列的前项和为，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用等差数列性质得出，再结合等比中项求出公差即可写出通项； （2）先化简，推导出，26项可凑成13对即可求和. 【详解】（1）由题知，，得， 设等差数列的公差为， 则，解得（舍去）， 所以； （2）由题知，， 所以， 所以． 8．已知数列的前n项和，函数对任意的都有，数列满足 (1)求数列，的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和. 【答案】(1)，bn (2) 【分析】（1）需先根据数列前项和公式求的通项公式，再利用函数性质及倒序相加法求的通项公式； （2）先得出的表达式，再用错位相减法求前项和. 【详解】（1）由题意，当时，， 当时，， ∵当时，也满足上式， ∴，， 对于数列：由， 可得 两式相加， 可得 ，. （2）由（1），可得， 则 两式相减， 可得 ∴. 热点考点四：等差等比数列性质（下标和、片段和、中项） 一、单选题 1．记为等差数列的前项和，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为在等差数列中，，，， 所以，即，即， 即，即. 2．设等差数列满足，且为其前n项和，则数列的最大项为(　 　) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设等差数列的公差为，由，利用通项公式化为，由可得，，利用二次函数的单调性即可得出答案 【详解】设等差数列的公差为，， 即 ，则 等差数列单调递减 当时，数列取得最大值 故选 【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式及其前项和公式，二次函数的单调性，考查了推理能力与运算能力，属于中档题． 3．已知为正项等比数列，满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由，结合等比数列性质可求，再求，结合等比数列通项公式求公比，再由求和公式求结论. 【详解】因为， 所以，又为正项等比数列， 所以或（舍）. 因为， 所以. 设数列的公比为， 由可得， 所以. 二、多选题 4．设为数列的前n项的积，，则（   ） A．当时， B．若，则 C．若，则为常数列 D．若数列为等差数列，则或 【答案】ACD 【分析】对于选项A：写出再代入即可；对于选项B：将与代入验证即可；对于选项C：当时，，求出前几项，总结结论即可；对于选项D：利用等差数列的定义，得出为常数，再分情况讨论即可. 【详解】对于选项A：当时，由，选项A正确； 对于选项B:由时，，可得，可得时，，代入，有，可得，故B选项错误； 对于选项C:当时，，所以，因为，所以，所以为常数列，故选项C正确； 对于选项D：，若数列为等差数列，则为常数， ①若，则恒成立，即恒成立，所以； ②若，则，所以解得 所以或，故选项D正确； 故选：ACD． 【点睛】关键点点睛：利用等差数列的定义，得出为常数，分情况讨论时利用对应项的系数相等能列出即可求解. 5．已知等比数列的前项和为，且，，成等差数列，则数列的公比可能为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】AC 【分析】，，成等差数列，得，利用前项和与通项的关系，化简得，化简得，求解可得. 【详解】设数列的公比为， 因为，，成等差数列，所以， 则有，即， 所以，又， 两边同除以得，， 解得或. 故选：AC. 6．已知递增等比数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C．是公差为1等差数列 D．是等比数列 【答案】BD 【分析】根据等比数列的通项公式与求和公式，进行基本量的计算，可判断AB的真假；利用等差、等比数列的定义，判断数列是否为等差、等比数列，可判断CD的真假. 【详解】设的公比为，数列递增，，所以， 因为，所以，解得或（舍去）， 因为，所以，，A错误； ，，B正确； ，所以数列是等差数列，且公差为，C错误； ，又， 所以是首项为3，公比为的等比数列，D正确. 故选：BD 三、填空题 7．已知等差数列满足，，则当时，的最小值为_____． 【答案】27 【分析】根据等差数列的性质结合等差数列前项和公式求解即可. 【详解】由，因为， 若，则所有项为正，与已知条件矛盾，所以，数列递减. 因为，所以，， 不等式移项得，即，所以， 因此，， 因为等差数列是递减数列，且，所以当时，的最小值为27． 8．设为等比数列的前项和，若，，则数列的公比为________． 【答案】2 【分析】根据等比数列前项和的定义可得，，结合等比数列性质运算求解. 【详解】设等比数列的公比为， 因为，，则，， 可得，即， 所以数列的公比为2. 9．已知数列、均为正项等比数列，、分别为数列、的前项积，且，则的值为___________. 【答案】 【解析】推导出数列、为等差数列，由此可得出，即可得解. 【详解】设等比数列的公比为，则（常数）， 所以，数列为等差数列，同理可知，数列也为等差数列， 因为， 同理可得，因此，. 故答案为：. 【点睛】结论点睛：已知等差数列、的前项和分别为、，则. 热点考点五：奇偶项数列（分段通项、分奇偶求和） 一、解答题 1．已知递增的等差数列满足，数列的各项均为正数，，且． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）设等差数列公差为，根据题意求得，，进而求得数列的通项公式为，再根据又，得，即数列为等比数列，最后根据等比数列通项公式求解即可； （2）分类讨论当为奇数和偶数时的各项，分别求和再求解即可. 【详解】（1）设等差数列公差为，则，由得， 由得，所以，所以， 所以数列的通项公式为； 又， 由数列的各项均为正数得，即， 又，所以数列为首项为2且公比为2的等比数列， 所以. （2）当为奇数时，记，则有 当为偶数时，． 所以，记，则有 所以. 2．已知等比数列满足，，数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)设求数列的前40项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由数列已知两项的值即可求得公比及首项，从而写出通项公式，然后由对数计算出数列的通项公式； （2）由分组求和及裂项相消即可求得数列前40项的和. 【详解】（1）设等比数列的公比为， 由题意可知，∴公比， ∴， ∴数列的通项. ∴数列的通项公式. （2）由题意可知， ∴， ， ， . 3．已知数列中，其前项和记为，且. (1)数列满足对于恒成立，则称数列是等差数列.证明：数列是等差数列； (2)若，记，求的前20项的和. 【答案】(1)当时，，解得， 当时，，， 所以，化简得 ①， ，化简得   ②， ①-②得，化简得， 所以数列是以1为首项的等差数列. (2)600. 【分析】（1）由与，构造出条件所给出的模型，直接判断等差数列； （2）由数列所给出的形式判断数列的奇数项和偶数项分别成等差数列，通过分组求和直接求出的前20项的和. 【详解】（1）略 （2） 由（1）可知，数列是以1为首项的等差数列，，公差为2， 所以， 因为， 所以， 所以 . 4．已知等差数列的前n项和为，其中，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求的值； (3)若，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2)63 (3) 【分析】（1）根据题设结合等差数列基本量计算可求得，进而求解即可； （2）先求得，再利用分组求和法求解即可； （3）分n为偶数和n为奇数两种情况讨论求解即可. 【详解】（1）依题意，，解得， 故. （2）由 ， . （3）依题意，， 当n为偶数时，， 此时 ； 当n为奇数时，； 故. 5．已知数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)设数列满足，令，是否存在正整数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，为所有不小于的偶数 【分析】（1）先由时求首项，再用推导通项，最后验证是否满足该式，得到。 （2）先根据的分段定义，将分为为偶数、奇数两类，分别写出表达式；再通过相邻项比值判断单调性，计算关键项的数值，得出仅当为偶数且时，． 【详解】（1）当时，， 当时， ， 因为也满足，所以． （2）①当时，， 所以， 所以当时，为递增数列， 又当时，， 当时，， 当时，， 故存在正整数，使得． ②当时，， 所以， 因为，所以， 所以当时，为递减数列，所以， 故不存在正整数，使得． 综上，存在满足条件的正整数，其取值为所有不小于的偶数． 6．已知正项等比数列满足（）． (1)求数列的通项公式； (2)设满足，求的前n项和为． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知可得，，结合等比数列通项公式求，再求关系求，利用等比数列通项公式求结论； （2）结合（1）求出的通项公式，当为偶数时，利用分组求和法结合等差数列求和公式和等比数列求和公式求，再结合所得结果及与关系求为奇数的结果即可. 【详解】（1） 设正项等比数列的公比为，则， 由已知，故， 两式相除得，结合， 解得， 又，故 ，代入可得， 所以，又，得，所以； （2）由（1）得， 为偶数时，， 为奇数时，， 综上，． 7．已知数列满足：，，记的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）应用递推公式分奇数偶数计算求解通项公式； （2）分奇偶结合裂项相消法及分组求和计算求解. 【详解】（1）当为奇数，且，为偶数时，依题意得：，     因为也满足，     所以为奇数时，；     当为偶数时，为奇数时，；     所以 （2）为偶数时，      ，         为奇数时， ；     8．已知数列中，， (1)已知数列满足，求证：是等比数列； (2)若是数列的前项和，求满足的所有正整数． 【答案】(1)证明见解析 (2)1． 【分析】（1）通过构造新数列，证明为常数且首项非零，从而判定为等比数列； （2）先利用（1）的结论求出与的通项，再分组求和得到的表达式，结合数列单调性与特殊值分析，确定满足的正整数. 【详解】（1）证明：， ， 又 是以为首项，为公比的等比数列． （2）由（1）得是以为首项，为公比的等比数列 故， 即， 由，得， ， ， 显然当时，单调递减， 又当时，，当时，， ∴当时，； 综上，满足的所有正整数为1． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027年高中数学一轮复习热点考点精练 06数列 热点考点一：等差、等比数列基本量运算（知三求二） 一、单选题 1．已知等差数列满足：，，则（    ） A．2025 B．2026 C．4050 D．4052 2．已知等差数列的公差为2，若成等比数列，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 3．已知等比数列的公比为q，且，，则（     ） A．3 B．2 C．1 D． 4．已知公比大于1的等比数列，若，，则（    ） A． B．11 C．23 D．121 二、多选题 5．记为等差数列的前项和，若，，则（   ） A． B． C． D．当或5时，最大 6．已知等差数列中，，，前项和为，则下列选项正确的有（    ） A． B． C． D． 7．已知正项等比数列的前项和为，若，则（    ） A． B．数列有最小项 C．数列为递减数列 D． 8．在等比数列中，，，则（    ） A．的公比为 B．的公比为2 C． D．数列为递增数列 三、填空题 9．记为等差数列的前n项和，若，，则______． 10．已知为等差数列，为其前项和．若，则______． 11．在等比数列中，，，则________． 12．已知数列为公比为3的等比数列，且，则______ 四、解答题 13．等差数列的前项和为，已知，. (1)求的通项公式； (2)数列的各项依次是数列的第，，，项，这些下标构成等比数列，求数列的前项和. 14．已知等差数列的前项和为，其中，. (1)求数列的通项公式； (2)求使得不等式成立的的值. 15．已知等比数列满足，. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 16．设等比数列的前 项和为，已知，. (1)求和； (2)设，证明：. 热点考点二：与的互化 一、单选题 1．若数列的前n项和满足，则（    ） A．数列为等差数列 B．数列为递增数列 C．为等差数列 D．为等差数列 2．已知数列的前项和，若，则（    ） A． B． C． D． 3．已知为数列的前项和，且满足，则（    ） A．27 B．28 C．29 D．30 二、多选题 4．是等比数列的前项和，若存在，使得，则（    ） A． B．是数列的公比 C． D．可能为常数列 5．已知数列是等比数列，公比为，前项和为，下列判断错误的有（    ） A．为等比数列 B．为等差数列 C．为等比数列 D．若，则 6．在数列中，若对，都有（为常数），则称数列为“等差比数列”，为公差比，设数列的前项和是，则下列说法一定正确的是（    ） A．等差数列是等差比数列 B．若等比数列是等差比数列，则该数列的公比与公差比相同 C．若数列是等差比数列，则数列是等比数列 D．若数列是等比数列，则数列等差比数列 三、填空题 7．已知数列的前 项和 满足 ，则 的通项公式为_____ 8．设为数列的前n项和，满足，，数列的前n项和为，满足，则______． 9．设等比数列的前项和为，若，则实数________． 热点考点三：数列求和（裂项相消、错位相减、分组求和、倒序相加） 一、解答题 1．在正项数列中，设的前项和为，已知． (1)求的通项公式； (2)令，求的前项和． 2．已知数列的前项和. (1)求数列的通项公式，并求使的最大正整数； (2)设，为数列的前项和. （i）求； （ii）若对任意正整数，恒成立，求实数的最小值. 3．在数列中，，． (1)证明：为等比数列； (2)设，求数列的前项和． 4．设数列是首项为的等比数列，已知，，成等差数列. (1)求的通项公式； (2)若数列满足，记为数列的前项和，求. 5．已知是等差数列，是等比数列，且. (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和； 6．已知数列的前n项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)已知，求数列的前项和． 7．已知公差不为0的等差数列前项和为，，且，，成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)若，数列的前项和为，求. 8．已知数列的前n项和，函数对任意的都有，数列满足 (1)求数列，的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前项和. 热点考点四：等差等比数列性质（下标和、片段和、中项） 一、单选题 1．记为等差数列的前项和，若，，则（    ） A． B． C． D． 2．设等差数列满足，且为其前n项和，则数列的最大项为(　 　) A． B． C． D． 3．已知为正项等比数列，满足，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．设为数列的前n项的积，，则（   ） A．当时， B．若，则 C．若，则为常数列 D．若数列为等差数列，则或 5．已知等比数列的前项和为，且，，成等差数列，则数列的公比可能为（    ） A．1 B． C． D． 6．已知递增等比数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C．是公差为1等差数列 D．是等比数列 三、填空题 7．已知等差数列满足，，则当时，的最小值为_____． 8．设为等比数列的前项和，若，，则数列的公比为________． 9．已知数列、均为正项等比数列，、分别为数列、的前项积，且，则的值为___________. 热点考点五：奇偶项数列（分段通项、分奇偶求和） 一、解答题 1．已知递增的等差数列满足，数列的各项均为正数，，且． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 2．已知等比数列满足，，数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)设求数列的前40项和． 3．已知数列中，其前项和记为，且. (1)数列满足对于恒成立，则称数列是等差数列.证明：数列是等差数列； (2)若，记，求的前20项的和. 4．已知等差数列的前n项和为，其中，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求的值； (3)若，求数列的前n项和． 5．已知数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)设数列满足，令，是否存在正整数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 6．已知正项等比数列满足（）． (1)求数列的通项公式； (2)设满足，求的前n项和为． 7．已知数列满足：，，记的前项和为. (1)求数列的通项公式； (2)求. 8．已知数列中，， (1)已知数列满足，求证：是等比数列； (2)若是数列的前项和，求满足的所有正整数． 学科网（北京）股份有限公司 $