精品解析：甘肃省白银市第一中学2026-2027学年高三第一学期第一次诊断考试数学试题

白银市第一中学2026-2027学年度第一学期第一次诊断考试试卷 高三数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 在△ABC中，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件 3. 实数在上的极大值点为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知一个半径为的球内含于一个封闭的圆锥，该圆锥的侧面展开图是一个面积为的扇形，则的所有可能取值中最大的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数满足若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知正实数满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 4 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，满分18分．每小题给出的备选答案中，有多个选项是符合题意的．全部选对得6分，部分选对按比例得分，选错或不选得0分． 9. 下列说法错误的有（ ） A. 命题，的否定是， B. 若，则，的夹角为锐角 C. 若方程有两个不等的正实数根，则 D. 在中，若角，，，则有两解 10. 下列命题是真命题的有（ ） A. B. 命题“”的否定为“” C. “”是“”成立的充分不必要条件 D. 若幂函数经过点，则 11. 下列结论正确的是（ ）. A. 当时， B. 当时，的最大值是 C. 当时，的最小值是 D. 当时，的最大值是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，满分15分． 12. 已知函数f(x)＝a2ln x－x2－ax(a＞0)在区间[1，e]上为减函数，则实数a的取值范围为___________. 13. 若命题p：“，”是假命题，命题q：，是真命题，则实数a的取值范围是__________． 14. 不等式的解集为___________． 四、解答题：本题共4小题，满分77分．解答应写出必要的文字说明、计算过程、证明过程． 15. 已知集合，. （1）求； （2）若，求的取值范围. 16. 已知函数. （1）若时，求的值； （2）若时，且，求的值； （3）若在R上是增函数，求的取值范围. 17. 已知函数 （1）若的解集为，求实数a，c的值； （2）若，求不等式的解集； （3）若且，求的最小值． 18. 已知函数满足． （1）若函数的定义域为，求a，b的值； （2）若，且函数在上单调递增，求a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 白银市第一中学2026-2027学年度第一学期第一次诊断考试试卷 高三数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先求出集合、，再利用集合的交运算即可求解. 【详解】， ， 所以. 故选：B 【点睛】本题考查了集合的基本运算、一元二次不等式的解法、绝对值不等式的解法，考查了基本运算能力，属于基础题. 2. 在△ABC中，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件 【答案】D 【解析】 【分析】结合余弦函数在上的单调性和三角形大边对大角的性质，分别验证充分性和必要性即可. 【详解】在中，内角，函数在区间上单调递减. 充分性验证：若，根据在的单调递减性质，可得. 根据三角形大边对大角的性质，角的对边为，角的对边为. 因此可推出，充分性成立. 必要性验证：若，根据大边对大角的性质可得， 再结合在的单调递减性质，可得，必要性成立. 综上，“”是“”的充要条件. 3. 实数在上的极大值点为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对函数求导后，令，求出，然后由导数的正负求出函数的单调区间，从而可求出函数的极大值点. 【详解】由，得， 由，得， 当时，，当时，， 所以在上递增，在上递减， 所以为在上的极大值点. 故选：B 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用作差法得到，结合基本不等式得到，即可得到，同理作差可比较和，即可求解. 【详解】， 又， 则，且， 所以，则， ， 又， 则，且， 所以，则， 综上：， 故选：A. 5. 已知一个半径为的球内含于一个封闭的圆锥，该圆锥的侧面展开图是一个面积为的扇形，则的所有可能取值中最大的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】使用圆锥的侧面积公式得到，通过分析圆锥的轴截面面积，使用三角形的面积公式将的函数关系式写出来，利用基本不等式求解. 【详解】设圆锥母线长为，底面半径为，高为， 因为圆锥的侧面展开图是一个面积为的扇形， 所以，得，，， 最大时，球为圆锥的内切球，此时圆锥的轴截面如图： ，即， 将代入化简得：， 因为，所以，，令，， 则，设，则， ， 因为，当且仅当时等号成立， 所以， 6. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由对数的性质可知，由三角函数的性质可知，由指数的运算可知，即可得答案. 【详解】因为，且 ， ， 综上，. 7. 已知函数满足若，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】判断出函数为奇函数，变形为，画出函数图象，求出不等式的解集. 【详解】当时，， ，因为函数定义域为， 所以函数为奇函数， 作出函数的图像，如图所示， 且在，上都为增函数， 由，得到，即， 由图像可得. 故选：B. 8. 已知正实数满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】首先构造函数，利用其单调性得，再进行“1”的代换和基本不等式即可得到最小值. 【详解】令，则， 因为函数均为单调递增函数，且当时， 所以等价于，即， 所以， 当且仅当，结合，即时等号成立. 则的最小值为. 故选：B 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，满分18分．每小题给出的备选答案中，有多个选项是符合题意的．全部选对得6分，部分选对按比例得分，选错或不选得0分． 9. 下列说法错误的有（ ） A. 命题，的否定是， B. 若，则，的夹角为锐角 C. 若方程有两个不等的正实数根，则 D. 在中，若角，，，则有两解 【答案】BCD 【解析】 【分析】对A，根据特称命题的否定是全称命题求解判断；对B，由数量积和向量夹角的范围求解；对C，由一元二次方程根的分布列式求解；对D，由正弦定理求解判断. 【详解】对于A，命题的否定是，故A正确； 对于B，若，可得是锐角或零角，故B错误； 对于C，若方程有两个不等的正实数根， 则，解得，故C错误； 对于D，由正弦定理，，不符合题意，此时无解，故D错误. 故选：BCD. 10. 下列命题是真命题的有（ ） A. B. 命题“”的否定为“” C. “”是“”成立的充分不必要条件 D. 若幂函数经过点，则 【答案】AC 【解析】 【分析】A选项利用对数的四则运算即可求出；B项根据全称命题的否定直接判断；C项根据充分不必要条件的概念进行判断；根据幂函数求参数. 【详解】对A： ，故A正确； 对B：命题“”的否定为“”，故B错误； 对C：，但是，例如：，但，所以“”是“”成立的充分不必要条件，故C正确； 对D：因为幂函数经过点，所以，即，所以 ，故D错误. 故选：AC. 11. 下列结论正确的是（ ）. A. 当时， B. 当时，的最大值是 C. 当时，的最小值是 D. 当时，的最大值是 【答案】ABD 【解析】 【详解】当时，，当且仅当时取到等号，由于,故等号取不到，所以故 A正确； 当时，，当，即时，等号成立，故B正确；  当时，， 当，即时，等号成立，故C错误； 当时，， 当，即时，等号成立，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，满分15分． 12. 已知函数f(x)＝a2ln x－x2－ax(a＞0)在区间[1，e]上为减函数，则实数a的取值范围为___________. 【答案】(0,2] 【解析】 【分析】对于函数在区间[1，e]上为减函数，等价于在区间恒成立，进而利用导数讨论函数的最值即可解决． 【详解】因为函数在区间[1，e]上为减函数， 所以在区间上恒成立， 所以 设，则在区间上恒成立． 即， 而是一个开口向下，且对称轴为的二次函数， 因此在区间上单调递减， 所以 即，解得 又，所以，即． 【点睛】本题考查利用导数研究恒成立问题，此类问题是高考的热点问题，主要考查学生的转化能力，数学抽象与概括能力，化归思想，分析问题与解决问题的能力，属于中档题． 已知函数单调性，求参数范围的两个方法(1)利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集．(2)转化为不等式的恒成立问题：即“若函数单调递增，则f′(x)≥0；若函数单调递减，则f′(x)≤0”来求解 13. 若命题p：“，”是假命题，命题q：，是真命题，则实数a的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据命题真假判断方程解求的范围，再结合不等式求的范围，最终取交集即可. 【详解】因为命题p：“，”是假命题， 所以命题p的否定“，”是真命题， 则方程无解，即，解得； 又因为命题q：，是真命题，所以， 对任意恒成立，故 应小于等于在的最小值， 当时最小值为，即 综上所述，实数a的取值范围是. 故答案为：. 14. 不等式的解集为___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用穿针引线法即可求解. 【详解】. 根据穿针引线法，如图所示： 所以原不等式的解集为， 故答案为： 四、解答题：本题共4小题，满分77分．解答应写出必要的文字说明、计算过程、证明过程． 15. 已知集合，. （1）求； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 或，所以， 所以. 【小问2详解】 ①若为空集，则，解得， ②若不是空集，则，解得. 综上所述，. 16. 已知函数. （1）若时，求的值； （2）若时，且，求的值； （3）若在R上是增函数，求的取值范围. 【答案】（1）； （2）或2； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据解析式，将自变量代入求函数值； （2）讨论、，结合求对应自变量； （3）由分段函数单调性，结合二次函数、指数函数性质列不等式求参数范围. 【小问1详解】 由，则； 【小问2详解】 当时，，则； 当时，，则. 综上x的值是或2； 【小问3详解】 由解析式知：在、上都是增函数， 要使在R上是增函数，则，可得. 17. 已知函数 （1）若的解集为，求实数a，c的值； （2）若，求不等式的解集； （3）若且，求的最小值． 【答案】（1）， （2）当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为 （3） 【解析】 【分析】（1）借助韦达定理计算即可得； （2）借助根的判别式，分、、与进行讨论即可得； （3）借助基本不等式计算即可得. 【小问1详解】 由已知的解集为， 所以，3是方程的解，且， 所以，， 所以，； 【小问2详解】 若，不等式可化为， 方程的判别式， 当，即且时， 方程的两根为，， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，，不等式的解集为， 当时，，不等式的解集为， 综上所述，当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为； 【小问3详解】 因为，所以， 因为，所以， 由基本不等式可得， 当且仅当，时等号成立， 即当且仅当，或，，时等号成立； 所以的最小值为. 18. 已知函数满足． （1）若函数的定义域为，求a，b的值； （2）若，且函数在上单调递增，求a的取值范围． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用韦达定理求解即可； （2）根据复合函数单调性和真数大于0不等式组求解可得. 【小问1详解】 由题知，的解集为， 所以和是方程的两根， 由韦达定理得. 【小问2详解】 因为为增函数，且函数在上单调递增， 所以函数在单调递增，且恒成立， 所以，解得， 即的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $