甘肃省靖远县部分校2027届高三第一次联考数学试题

1 高三数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的， 1.复数3一√11i的虚部为 A.-√1Ii B.√Ii C.-√11 D.√1I 2.样本数据1,3,4,5,6,8的中位数为 A.4 B.4.5 C.5 D.5.5 欧 3.曲线y=x4一4x在点(0,0)处的切线方程为 A.y=-4x B.y=-3x C.y=-2x D.y =一1 4.若tana=-3,则tan(-2a)= A-是 c D 5.已知a,b是不共线的向量，且AB=a十b,BC=2a十6b,C币=a-3b,则 A.A,B,C三点共线 B.B,C,D三点共线 C.A,C,D三点共线 D.A,B,D三点共线 封 6.把4名同学均分成A,B两个辩论小组，并分别安排各组的第一、二辩手，则不同的方案数为 A.12 B.24 C.16 D.32 7.若函数f(x)=xe2一ax十11无极值，则a的取值范围为 A(-∞，-J B.[-1,+o∞) c(-∞，-] D.[-3,+) 8.已知圆M的圆心在直线y=一2x上，圆M被x轴截得的弦长为8，且与圆O:x2十y2=5内 切，则圆M的半径为 A.2√6 B.25 C.6 D.8 线 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.已知集合A={1,3,5},B满足A∩B={1,3},AUB={1,2,3,5},则 A.5∈B B.3∈B C.2∈B D.1∈B 10.已知抛物线C1:x2=y的焦点为F1,抛物线C2:y2=8x的焦点为F2,C2上的动点P位于 第一象限，A(3,4),则 A.r(0.) B.C2的准线方程为x=一2 C.|PA|+IPF2|的最小值为5 D.当P在C1上时，|PF2|+|PFI<8 【高三数学第1页（共4页）】 风汉王扫描王 扫描识别王中王 11.在△ABC中，AB=2AC,∠BAC的角平分线交BC于点D,O为△ABC的重心，点P在线 段AD上，且OP/BC,OP-号AC,则 AOP-合BD B.△ABC是等腰三角形 C.△ABC是钝角三角形 D△ABC的面积为至AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 12.若f(x)=cos(2十9一)(-5<9<)是奇函数，则p=L 18者椭圆C+芳=1a>6>0)的左右熊点分别为F,,上，下现点分别为AB,且四 边形AF1BF2的面积为16，则四边形AF1BF2周长的最小值为 14.如图，将边长为1dm的正六边形纸片的六个角各切去一个全等的四边 形（阴影部分），再沿虚线折起，做成一个无盖正六棱柱形容器，且该容器 的12个顶点均在球M的球面上，当球M的表面积取得最小值时，该正 六棱柱形容器的高为▲dm. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 某车间对3组零部件进行可靠性测试，每组零部件中有2个同款元件，每个元件正常工作的 概率为分·若一组零部件内至少有一-个元件正常工作，则该组通过测试，否则该组零部件没 有通过测试，则需要对该组零部件重新调试，且每组零部件调试的费用为40元， (1)求一组零部件通过测试的概率； (2)记这3组零部件重新调试的费用为X元，求E(X). 汉王扫描王 扫描识别王中王热 16.(15分) 如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AD⊥AB,AD⊥CD,AD=AA1=CD=2AB,E, F,G分别是BC,CD,A1D1的中点. (1)证明：B1D1平面EFG (2)求平面EFG与平面ABCD夹角的余弦值 D C G B D E B 17.(15分) 它知双曲线M:2b3=1(a>0,b>0)的离心率为√2，焦距为4 (1)求M的方程； (2)已知O为坐标原点，过点C(2,0)且斜率不为0的直线l与M的右支交于A,B两点，且 |AC引=2|BC引，求l的斜率 【高三数学第3页（共4页）】 风汉王扫描王 扫描识别王中王 18.(17分) 已知等差数列{an}的前n项和为Sm,a1十a5=6,Sg=36,且bn=ane". (1)求{an}的通项公式. (2)已知数列{bn}的前n项和为Tm: ①求Tm; ②证明：Tm一Sm>ln(n!)+n. 19.(17分) 已知函数f(x)的定义域为D,若对任意x∈D,都有∈D,且f(x)十f()=A(a为常 数)，则称f(x)是互倒函数，λ为f(x)的互倒系数， 封 1)判断函数f(x)=x-上是否是互倒函数，并说明理由. (2)已知互倒函数g(x)=log2x十log2a的互倒系数为a,求a的值 (3)已知定义在[2,2]上的互倒函数A(x)的互倒系数为1.对任意n∈[号，)，m∈(1,2]， 都有Am)+hm）-1](m-1D>0,当x∈(1,2]时，h(x)=k.()广-（合）广，h(z) 在(1,2]的值域为(s,t幻，求t一s的最小值. 线 【高三数学第4页（共4页）】 风汉王扫描王 扫描识别王中王高三数学参考答案 1.C复数3一√11i的虚部为一√11. 2.B样本数据1.3,4568的中位数为1生5-1.5 3.A由题意得y'=4x3一4，当x=0时，y’=一4，所以曲线y=x4一4x在点(0,0)处的切线方 程为y=一4x. 2tan a3 4.A tan(-2a)=-tan 2a-1tang 4· 5.D由题意得BD=BC+CD=2a+6b十a-3b=3a十3b,因为BD=3AB,所以A,B,D三 点共线.AC-AB+BC-3a十7b,因为不存在实数x,y,之，使得AB=xBC,AC=yCD,BC =C币，所以A,B,C三点不共线，A,C,D三点不共线，B,C,D三点不共线. 6.B不同的方案数为CAA=24. 7.C由题意得f(x)的导数f'(x)=(x十1)e2一a,f'(x)的导数f"(x)=(x+2)e.当x< -一2时，f"(x)<0,f'(x)单调递减，当x>-2时，f"(x)>0,f'(x)单调递增，所以f'(x)m =f(-2)=是-a.因为fx)无极值，所以f(x)m=是-a≥0，得a≤-： 8.B 设圆M的标准方程为z-a)2+(y-b)=R(R>0),因为8>5，所以R5. b=-2a, 由题意得b2+42=R2, 得R2+8√5R-100=(R+105)(R-2W5)=0,得R=2√5. a2+b2=R-√5， 9.BCD因为A={1,3,5},A∩B={1,3},所以1∈B,3∈B,5B.又AUB={1,2,3,5},所 以2∈B. 10.BC由题意得F1(0,),C,的准线方程为x=一2，A错误，B正确. 设P到直线x=-2的距离为d,则|PA|十PF2|=|PA十d≥3-(-2)=5，C正确. 肾P在C上时，由，得之”或8P2,所PE中PE=2+2 4+片-识>8，D错误 11.ABD如图，连接AO,延长AO交BC于点G.因为O为 △ABC的重心，所以G为BC的中点，所以A0=号AG. 因为OPDC,所以△AOPO△AGD,所8S-2号， 【高三数学·参考答案第1页（共6页）】 得GD=昌OP.因为sn∠BAD=sm∠CAD,n∠ADB=n∠ADC,所以由正弦定理 sn2 BAD NnADB'sinAsin29Dc特80-A是 BD AB CD AC =2.因为BD=4GD=6OP, 所以OP=名BD,A正确，因为BC=6GD=9OP=2AC=AB,所以△ABC是等腰三角形， B正确，因为/BAC=/BCA>/ABC,且coS∠BAC-AB大ACBC->0,所以 2AB·AC △ABC是锐角三角形，C错误因为in∠BAC=√-coZBAC-年，所以△ABC的 面积为立ABAC/BAC=V年AC,D正确 12.一骨由受<9<受，得一<9看←受因为fx)是奇函数，所以g一晋=-受得9 二一3 T 13.16设C的焦距为2.由椭圆的对称性可知该四边形为菱形，所以该四边形的面积为2× 2b×2c=16,得2bc=16.因为2bc≤b2+c2=a2(当且仅当b=c=2√2时，等号成立)，所以a ≥4.因为四边形AF1BF2的周长为4a,所以四边形AF1BF2周长的最小值为16. 8W3 14.19 无盖正六棱柱形容器如图1所示，设球M的半径为R,正六棱柱上底面、下底面的中 心分别为O',0,AB=a,AA1=h,0<a<1.易得△OCD为正三角形，且OC=a,O0'=h, 则R2=a2+(安)》°=a2+3. 六边形A'B'CD'E'F如图2所示，取D'E的中点G',连接OG',交DE于G.易得OG= ，G=A,0G-号则a=1-e所以R=a+-是-骨+是当a=品 √3 时，R2取得最小值，即球M的表面积取得最小值，此时h= 8v√3 19 dm. G D F A B B 图1 图2 15.解：1)设事件A=“一组零部件需要重新调试”，则P(A)=(1-》=, …3分 【高三数学·参考答案第2页（共6页）】 所以一组零部件通过测试的概率为1一P(A)= 4 …6分 (2)记这3组零部件重新调试的组数为Y,则Y一B(3,), …8分 得E0m=3x日-， 10分 因为X=40Y,所以E(X)=E(40Y)=40E(Y)=30元.· …13分 [注]第(2)问还可以这样解答： X的可能取值为0,40,80,120. 7分 因为PX=0)-(》'-器 8分 9分 10分 P(X=120)-(绿)°- …11分 所以E(X)=0×+40×品+80X品+120X品-30元 …13分 16.(1)证明：连接BD.ABCD-A1B1C1D1是四棱柱，.BB1DD1,BB1=DD1,·1分 ∴.四边形BB1DD是平行四边形，.BDB1D1.…2分 .E,F分别是BC,CD的中点，∴.EFBD, …3分 .B1D1//EF.… 4分 ,B1D1中平面EFG,… …5分 .BD1/平面EFG.… 6分 (2)解：易得DA,DC,DD1两两垂直.设AB=2,以D为原点，DA,DC,DD1所在直线分别 为x轴、y轴、之轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则E(2,3,0),F(0,2,0),G(2,0,4), …7分 E7=(-2,-1,0),EG=(0,-3,4).…84分 设平面EFG的法向量为n=(x,y,x), D fn·EF=-2x-y=0, C G 则n·G=-3y十=0：】 …10分 A 取x=-2,则y=4,之=3，∴.n=(-2,4,3)是平面EFG的一个法 D F 向量。…12分 E 易得平面ABCD的一个法向量为m=(0,0,1),…13分 A ∴.平面EFG与平面ABCD夹角的余弦值为|cos(m,n)|= m·n 3√29 m n 29.…15分 【高三数学·参考答案第3页（共6页）】 a2+b2=c2, 17.解：(1)设M的焦距为2c,由题意得C-2, ……2分 a 2c=4, 得a=b-2, 4分 c=2, 所以M的方程为2一2=1.“…， 5分 (2)设l:x=my十2，A(x1,y1),B(x2,y2).… 6分 (x=my+2, 由x2y21得(m2-1)y2+4my+2=0, 8分 (2-2=1, m2-1≠0， △=8m2+8>0, 得y1+y2= Am m2-1' 10分 2 py1y2-m2-1<0, 由AC|=2BC1,得y1=-2y2,则y1+y=一y,=-4m w招得= 8m m2-1' ……12分 由y1y2=一 m之得m7得m二土 32m2 2 17 …14分 当m=时，9：n元21<0,1与M的右支交于同点，所以1的斜率为士V厘。“ 2 m 0…0……15分 a1+a5=2a1+4d=6, 18.(1)解：设{am}的公差为d.由 2分 Sg=8a1+28d=36, a1=1, 得 d=1, …3分 所以an=a1十(n-1)d=n.…4分 (2)①解：由(1)得bn=ne”,Tm=e+2e2十3e3+…+ne", 5分 eTn=e2+2e3+3e+…十ne"+1,…6分 两式相减得(1-e)T,=e+e2+e3+e+十e一ne+1=e(e-1) e-1 一ne”t1,…8分 得T,=e(ne-n-1)+e (e-1)2 …9分 ②证明：设函数f(x)=x一lnx一1，x>1,…10分 得f(x)=1-->0,则f(z)是增函数，…11分 【高三数学·参考答案第4页（共6页）】 所以f(x)>1一ln1-1=0,即x>lnx十1，x>1.…13分 因为ne">l,所以ne">ln(ne")+1=lnn+n+1. 14分 由e>ln1+1+1,2e2>ln2+2+1,…,ne">lnn+n+1, …15分 得e+2e2+…+ne>l1nl+ln2+…+lnm+n,+1)+, 2 16分 得Tm>ln(1X2X…Xn)十Sm十n,所以Tn-Sn>ln(n!)十n.…17分 19.解：(1)f(x)是互倒函数. …1分 理由如下：易得f(x)的定义域为(-∞，0)U(0,十∞)，对任意x∈(-∞，0)U(0,十∞)，都 有元∈(-0∞，0)U(0,十0∞)，产 …2分 且f)+f()-x-是+上-x=0,所以fx)是五倒函数 …3分 (2)由题意得g(x)的定义域为(0，十∞)，a>0.对任意x∈(0，十∞)，都有∈(0，十o∞)， …4分 且g(x)+g()=-l08:z+--loga+-loge是+loga=2loga=a,得1ogea=7a.…5分 函数y-logx,y=2x在(0，+∞)上的大致图象如图所示. 由图可知，函数y=logx与y=2x在(0，十∞)上的图象有 两个交点，…6分 且loe2=号×2.l6g:4=合×4，所以a=2或4…7分 (3)油a(m)+h(m)-1]mm-1D>0,得0m)thm）-1>0·或h6m)+hm）-10, mn-1>0 mn-1<0. …8分 由互倒函数h(x)的互倒系数为1，得n()十h()=1,即h()=1-h(): hm)>h(分)，hm)<(), 代入以上不等式组，得 或 …9分 m>1 -1 h(m)>h(),hm)<() 由n∈[21)，得∈1,21.结合 或 得h(x)在(1,2]上 m<分 是增函数. 10分 当k=0时，h(x)= (2) 在(1,2]上是增函数.… 11分 当>0时，函数u=(合)是减函数，且<（分）广<分，函数y=·-u在(-©，元] 【高三数学·参考答案第5页（共6页）】 上单调递减. ..eca..e。ee.ee■e 12分 根据复合函数的单调性，若要A()在(1,2]上是增函数，则≥7，得k≤1，所以0<k<1, 13分 当<0时，函数u=(2) 是诚函数，且≤（分）<函数y=·-u在元十) 上单调递减， ……14分 因为2<0<，所以根据复合函数的单调性知k(:)在(1,2]上是增函数。 …15分 综上，k≤1.…16分 因为h(x)在1,2]上是增函数，所以1=h(2)k-子=h1)=宁-号 21 所以1-=A2)-A1=子品k≥是×1=0放：-5的最小值为名 …17分 【高三数学·参考答案第6页（共6页）】