2.1-2.4 轴对称与等腰三角形【专项训练卷】2026-2027 学年浙教版数学八年级上册（温州地区）

2.1-2.4 轴对称与等腰三角形【专项训练卷】2026-2027 学年浙教版八年级上册数学（温州地区） 考试时间：90 分钟　　满分：100 分 题型分布：选择题 10 小题（30 分）　填空题 6 小题（24 分）　解答题 8 小题（46 分） 学校：＿＿＿＿＿＿　　班级：＿＿＿＿＿＿　　姓名：＿＿＿＿＿＿　　得分：＿＿＿＿＿＿ 考情分析 题目类型 考查的知识点 图形的轴对称 轴对称图形与两个图形成轴对称的识别；对称轴的条数；轴对称的性质（对称轴垂直平分连结两个对称点的线段）；成轴对称的两个图形全等；折叠就是作轴对称 等腰三角形 等腰三角形的定义（有两条边相等）；腰、底边、顶角、底角；等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线所在的直线；等边三角形的定义 等腰三角形的性质定理 等边对等角（等腰三角形的两个底角相等）；三线合一（顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合）；等边三角形的三个内角都等于 60° 等腰三角形的判定定理 有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形 轴对称与等腰三角形的联系 对称轴上的点到两个对称点的距离相等，于是「对称轴 ＋ 轴上一点」就能造出等腰三角形；折叠前后两个图形全等，对应线段、对应角分别相等 分类讨论与三边关系 等腰三角形给出两边（或给出周长与一边）时，要分「这条边是腰」与「这条边是底边」两种情况讨论，并逐一用「三角形两边之和大于第三边」检验取舍 一、选择题（本题有 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。每小题只有一个选项是正确的） 1．下列说法中，正确的是（　　） A．轴对称图形的对称轴只有一条　B．两个图形成轴对称，对称轴垂直平分连结对应点的线段 C．轴对称图形中，对称点一定在对称轴的两侧　D．全等的两个三角形一定关于某条直线成轴对称 2．等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是（　　） A．底边上的中线　B．底边上的高　C．顶角平分线　D．顶角平分线所在的直线 3．如图，在等腰三角形 ABC 中，AB＝AC，∠A＝40°，则 ∠B 的度数是（　　） A．40°　B．50°　C．70°　D．100° 4．△ABC 中，∠A＝40°，∠B＝70°，则 △ABC 一定是（　　） A．等边三角形　B．等腰三角形　C．直角三角形　D．钝角三角形 5．如图，点 P 与点 P′ 关于直线 l 成轴对称，线段 PP′ 与直线 l 交于点 O。若 PP′＝8，则 PO 的长是（　　） A．　B．　C．　D． 6．如图，已知 △ABC 中 AB＝AC，AD⊥BC 于点 D。若 BC＝8，则 BD 的长是（　　） A．　B．　C．　D． 7．一个等腰三角形的周长是 24，它的腰长比底边长 3，则它的腰长是（　　） A．　B．　C．　D． 8．下列条件中，不能判定 △ABC 是等腰三角形的是（　　） A．∠A＝∠B　B．∠B＝∠C　C．AB＝AC　D．∠A＋∠B＝90° 9．如图，点 A′ 是点 A 关于直线 BC 的对称点，线段 AA′ 与直线 BC 交于点 O。若 AB＝5，AC＝3，则 A′C 的长是（　　） A．　B．　C．　D．不能确定 10．等腰三角形中有一个内角为 100°，则它的另外两个内角的度数分别是（　　） A．40°，40°　B．80°，80° C．40°，40° 或 80°，80°　D．100°，40° 二、填空题（本题有 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 11．若等腰三角形的腰长为 7，底边长为 4，则它的周长是　　　　　。 12．已知 △ABC 与 △A′B′C′ 关于直线 l 成轴对称。若 △ABC 的周长是 15，则 △A′B′C′ 的周长是　　　　　。 13．在 △ABC 中，AB＝AC。若 ∠B＝65°，则 ∠A＝　　　　　°。 14．已知等腰三角形的周长是 20，其中一边长是 4，则它的腰长是　　　　　。 15．如图，等腰三角形 ABC 中 AB＝AC，∠A＝60°。若 AB＝5，则 BC＝　　　　　。 16．如图，△ABC 中 ∠A＝∠B，AC＝8。若 △ABC 的周长是 20，则 AB＝　　　　　。 三、解答题（本题有 8 小题，共 46 分） 17．（5 分）如图，在 △ABC 中，AB＝AC，AD 平分 ∠BAC 交 BC 于点 D。 (1) 求证：BD＝CD； (2) 若 AB＝13，BC＝10，且 △ABD 的周长是 30，求 AD 的长。 18．（5 分）已知一个等腰三角形的一边长是 6，另一边长是 13。 (1) 求这个等腰三角形的周长； (2) 说明另一种情况为什么不能成立。 19．（5 分）如图，△ABC 与 △A′B′C′ 关于直线 l 成轴对称，线段 AA′ 与直线 l 交于点 O。 (1) 求证：AO＝A′O，且 AO⊥l； (2) 若 AB＝5 cm，AC＝3 cm，∠A＝50°，求 A′B′、A′C′ 的长和 ∠A′ 的度数。 20．（5 分）△ABC 中，∠B＝∠C，AD 平分 ∠BAC 交 BC 于点 D。 (1) 求证：AB＝AC； (2) 若 BC＝8，求 CD 的长。 21．（6 分）如图，在等腰三角形 ABC 中，AB＝AC，点 D 在边 BC 的延长线上，且 CA＝CD。 (1) 若 ∠BAC＝100°，求 ∠ABC 的度数； (2) 求 ∠CAD 的度数。 22．（6 分）如图，把 △ABC 沿直线 DE 折叠，点 A 落在点 A′ 处。 (1) 写出图中相等的线段和相等的角（线段、角各写两组）； (2) 若 ∠A＝50°，∠ADE＝70°，求 ∠A′ED 的度数。 23．（6 分）若一个等腰三角形的两条边长分别是 5 和 11。 (1) 求这个等腰三角形的周长； (2) 若另一个等腰三角形的周长是 20，其中一边长是 8，求它另外两边的长。 24．（8 分）如图，在 △ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝100°，点 D、E 都在边 BC 上，且 BD＝BA，CE＝CA。 (1) 求 ∠BAD 与 ∠CAE 的度数； (2) 求证：△ADE 是等腰三角形； (3) 求 ∠DAE 的度数。 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.1-2.4 轴对称与等腰三角形【专项训练卷】2026-2027 学年浙教版八年级上册数学（温州地区） 考试时间：90 分钟　　满分：100 分 题型分布：选择题 10 小题（30 分）　填空题 6 小题（24 分）　解答题 8 小题（46 分） 学校：＿＿＿＿＿＿　　班级：＿＿＿＿＿＿　　姓名：＿＿＿＿＿＿　　得分：＿＿＿＿＿＿ 考情分析 题目类型 考查的知识点 图形的轴对称 轴对称图形与两个图形成轴对称的识别；对称轴的条数；轴对称的性质（对称轴垂直平分连结两个对称点的线段）；成轴对称的两个图形全等；折叠就是作轴对称 等腰三角形 等腰三角形的定义（有两条边相等）；腰、底边、顶角、底角；等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线所在的直线；等边三角形的定义 等腰三角形的性质定理 等边对等角（等腰三角形的两个底角相等）；三线合一（顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合）；等边三角形的三个内角都等于 60° 等腰三角形的判定定理 有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）；三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形 轴对称与等腰三角形的联系 对称轴上的点到两个对称点的距离相等，于是「对称轴 ＋ 轴上一点」就能造出等腰三角形；折叠前后两个图形全等，对应线段、对应角分别相等 分类讨论与三边关系 等腰三角形给出两边（或给出周长与一边）时，要分「这条边是腰」与「这条边是底边」两种情况讨论，并逐一用「三角形两边之和大于第三边」检验取舍 一、选择题（本题有 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。每小题只有一个选项是正确的） 1．下列说法中，正确的是（　　） A．轴对称图形的对称轴只有一条　B．两个图形成轴对称，对称轴垂直平分连结对应点的线段 C．轴对称图形中，对称点一定在对称轴的两侧　D．全等的两个三角形一定关于某条直线成轴对称 【答案】B 逐项判断： A —— 错。等腰三角形有 1 条对称轴，等边三角形有 3 条，圆有无数条，所以「只有一条」不对； B —— 对。这正是轴对称的性质：对称轴垂直平分连结两个对称点的线段； C —— 错。当这个点本身就在对称轴上时，它的对称点就是它自己，并不落在两侧； D —— 错。全等的两个三角形只是形状、大小相同，位置可以毫无关系，不一定成轴对称。 选 B。 易错提醒：「成轴对称 ⇒ 全等」成立，但反过来「全等 ⇒ 成轴对称」不成立，两个方向不能互相推出。 2．等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是（　　） A．底边上的中线　B．底边上的高　C．顶角平分线　D．顶角平分线所在的直线 【答案】D 对称轴必须是一条 直线，而底边上的中线、底边上的高、顶角平分线都是 线段，说法上就不能叫作对称轴。 等腰三角形的对称轴是顶角平分线所在的直线，它同时垂直平分底边。选 D。 易错提醒：A、B、C 三条线段确实都落在这一条直线上，所以「它们所在的直线」都是对称轴 —— 但直接说「中线」「高」「角平分线」，就是拿线段当成了直线，这是本节最常考的表述陷阱。 3．如图，在等腰三角形 ABC 中，AB＝AC，∠A＝40°，则 ∠B 的度数是（　　） A．40°　B．50°　C．70°　D．100° 【答案】C 因为 AB＝AC，所以 △ABC 是等腰三角形，两个底角相等，即 ∠B＝∠C。 由三角形内角和得 ∠B＋∠C＝180°−∠A＝180°−40°＝140°。 所以 ∠B＝140°÷2＝70°。选 C。 易错提醒：选项 D 的 100° 是把 ∠A＝40° 当成了底角算出来的。 本题 AB＝AC，两条腰在 A 处相交，所以 ∠A 是顶角，求底角要先算两底角之和再除以 2。 4．△ABC 中，∠A＝40°，∠B＝70°，则 △ABC 一定是（　　） A．等边三角形　B．等腰三角形　C．直角三角形　D．钝角三角形 【答案】B 由三角形内角和得 ∠C＝180°−∠A−∠B＝180°−40°−70°＝70°。 因为 ∠B＝∠C＝70°，由「等角对等边」得 AC＝AB，所以 △ABC 是等腰三角形。选 B。 易错提醒：有两个角相等只能判定等腰，不能判定等边。 要判定等边还需要三个角都相等，而本题的 ∠A＝40° 与另两个角并不相等，所以 A 项不能选。 5．如图，点 P 与点 P′ 关于直线 l 成轴对称，线段 PP′ 与直线 l 交于点 O。若 PP′＝8，则 PO 的长是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 轴对称的性质：对称轴垂直平分连结两个对称点的线段。 所以直线 l 垂直平分 PP′，点 O 是 PP′ 的中点，PO＝PP′÷2＝8÷2＝4。选 B。 易错提醒：「垂直」与「平分」是这个性质里并列的两件事，缺一不可。 如果只想到「PP′⊥l」而漏了「PO＝P′O」，说明对性质记得不完整，遇到只给长度的题就会无从下手。 6．如图，已知 △ABC 中 AB＝AC，AD⊥BC 于点 D。若 BC＝8，则 BD 的长是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 因为 AB＝AC，所以 △ABC 是等腰三角形，顶角顶点是 A。 又 AD⊥BC，说明 AD 是底边 BC 上的高。 由等腰三角形的「三线合一」可知：底边上的高同时也是底边上的中线，所以 D 是 BC 的中点。 所以 BD＝BC÷2＝8÷2＝4。选 B。 易错提醒：用三线合一有两个前提 ——「这个三角形是等腰的」与「这条线从顶角顶点出发」。 本题 AB＝AC、AD 正好从 A 出发，条件齐备，可以直接用。 7．一个等腰三角形的周长是 24，它的腰长比底边长 3，则它的腰长是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】C 设底边长为 x，则腰长为 x＋3。 由周长列出方程：，即 3x＋6＝24，解得 x＝6。 所以底边长是 6，腰长＝6＋3＝9。选 C。 检验：三边是 9、9、6，因为 9＋6＞9，能围成三角形。 易错提醒：题目问的是腰长，不是底边长。解出 x＝6 之后要再算一步 6＋3＝9，直接选 A 就把答案留在了底边上。另外，凡是求出的边长都建议回头验一下三边关系。 8．下列条件中，不能判定 △ABC 是等腰三角形的是（　　） A．∠A＝∠B　B．∠B＝∠C　C．AB＝AC　D．∠A＋∠B＝90° 【答案】D 逐项判断： A —— ∠A＝∠B，由「等角对等边」得 BC＝AC，能判定； B —— ∠B＝∠C，由「等角对等边」得 AC＝AB，能判定； C —— 直接有两条边相等，由等腰三角形的定义就能判定； D —— 由 ∠A＋∠B＝90° 只能得到 ∠C＝180°−90°＝90°，说明它是直角三角形，推不出任何两条边相等。 选 D。 易错提醒：判定等腰有两条路 —— 「两边相等」（定义）与「两角相等」（判定定理）。选项 D 给的是两个角相加等于 90°，不是两个角相等，不要看错。 9．如图，点 A′ 是点 A 关于直线 BC 的对称点，线段 AA′ 与直线 BC 交于点 O。若 AB＝5，AC＝3，则 A′C 的长是（　　） A．　B．　C．　D．不能确定 【答案】A 由轴对称的性质，直线 BC 是线段 AA′ 的垂直平分线，所以 AO＝A′O，且 AO⊥BC。 在 △AOC 与 △A′OC 中： AO＝A′O（已证），∠AOC＝∠A′OC＝90°（已证），OC＝OC（公共边）， 所以 △AOC≌△A′OC（SAS），所以 A′C＝AC＝3。 选 A。 易错提醒：要看清问的是到哪一个端点的距离。 本题 B 也在对称轴 BC 上，所以同样有 A′B＝AB＝5；但题目问的是 A′C，不是 A′B，不要看串行。 10．等腰三角形中有一个内角为 100°，则它的另外两个内角的度数分别是（　　） A．40°，40°　B．80°，80° C．40°，40° 或 80°，80°　D．100°，40° 【答案】A 分两种情况讨论： ① 当 100° 是顶角时，两个底角相等，各为 (180°−100°)÷2＝40°，另外两个内角是 40°、40°； ② 当 100° 是底角时，另一个底角也是 100°，两个底角之和已经是 200°，超过了三角形的内角和 180°，这种情况不可能。 所以另外两个内角只能是 40°、40°。选 A。 易错提醒：分类讨论之后必须回头检验「三个内角的和是 180°」。 本题第 ② 种情况一眼就能被内角和否掉 —— 所以选项里带「或」的那一半并不是「多一个答案更保险」，而是要真的判掉。 二、填空题（本题有 6 小题，每小题 4 分，共 24 分） 11．若等腰三角形的腰长为 7，底边长为 4，则它的周长是　　　　　。 【答案】18 等腰三角形的周长＝两条腰＋底边＝7＋7＋4＝18。 答：18。 注意：题里已经说明 7 是腰、4 是底边，直接代公式即可，不必再分类讨论。 12．已知 △ABC 与 △A′B′C′ 关于直线 l 成轴对称。若 △ABC 的周长是 15，则 △A′B′C′ 的周长是　　　　　。 【答案】15 成轴对称的两个图形全等，而全等三角形的周长相等。 所以 △A′B′C′ 的周长等于 △ABC 的周长，是 15。 答：15。 注意：轴对称是一种「全等变换」 —— 折叠、平移、旋转都不会改变图形的形状和大小。 13．在 △ABC 中，AB＝AC。若 ∠B＝65°，则 ∠A＝　　　　　°。 【答案】50 因为 AB＝AC，所以 △ABC 是等腰三角形，两个底角相等，即 ∠B＝∠C＝65°。 由三角形内角和得 ∠A＝180°−65°−65°＝50°。 答：50。 易错提醒：求顶角时别漏乘 2 —— 是「180° 减去两个底角」，写成 180°−65°＝115° 是最常见的错法。 14．已知等腰三角形的周长是 20，其中一边长是 4，则它的腰长是　　　　　。 【答案】8 分两种情况讨论： ① 若 4 是腰，则另一条腰也是 4，底边＝20−4−4＝12。 因为 4＋4＝8＜12，不满足三角形三边关系，这种情况舍去； ② 若 4 是底边，则两条腰相等，腰长＝(20−4)÷2＝8。 此时三边是 8、8、4，因为 8＋4＞8，能围成三角形。 所以腰长是 8。 答：8。 易错提醒：先讨论、再检验，是这类题唯一稳妥的做法。只算一种情况就交卷，很容易正好撞上那个不成立的解。 15．如图，等腰三角形 ABC 中 AB＝AC，∠A＝60°。若 AB＝5，则 BC＝　　　　　。 【答案】5 因为 AB＝AC，所以 △ABC 是等腰三角形，并且有一个角 ∠A＝60°。 由「有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形」，△ABC 是等边三角形。 所以 BC＝AB＝5。 答：5。 注意：判等边的两个条件缺一不可 —— 如果只有「有一个角是 60°」而没有等腰，是判不出等边三角形的（三个内角分别是 30°、60°、90° 的三角形就是反例）。 16．如图，△ABC 中 ∠A＝∠B，AC＝8。若 △ABC 的周长是 20，则 AB＝　　　　　。 【答案】4 因为 ∠A＝∠B，由「等角对等边」得 BC＝AC＝8。 再由周长得 AB＝20−AC−BC＝20−8−8＝4。 答：4。 易错提醒：先把「角相等」翻译成「边相等」，才能用周长。 顺序反了就会卡住 —— 周长的条件单独是解不出来的。 三、解答题（本题有 8 小题，共 46 分） 17．（5 分）如图，在 △ABC 中，AB＝AC，AD 平分 ∠BAC 交 BC 于点 D。 (1) 求证：BD＝CD； (2) 若 AB＝13，BC＝10，且 △ABD 的周长是 30，求 AD 的长。 【答案】(1) 证明见解析；(2) AD＝12。 (1) 因为 AB＝AC，所以 △ABC 是等腰三角形，顶角顶点是 A。 AD 平分 ∠BAC，即 AD 是顶角的平分线。 由等腰三角形的「三线合一」可知，顶角的平分线同时也是底边 BC 上的中线， 所以 BD＝CD。 (2) 由 (1) 知 D 是 BC 的中点，所以 BD＝BC÷2＝10÷2＝5。 因为 △ABD 的周长是 30，即 AB＋BD＋AD＝30， 所以 13＋5＋AD＝30，解得 AD＝30−13−5＝12。 答：AD 的长是 12。 易错提醒：(1) 用「三线合一」一句话就能证完，不必绕道去证两个三角形全等 ——本题给的是「AD 平分 ∠BAC」，不是「AD⊥BC」，想用全等会凑不齐三个条件；(2) 求 AD 只要拿周长作减法，不需要另外去求高。 18．（5 分）已知一个等腰三角形的一边长是 6，另一边长是 13。 (1) 求这个等腰三角形的周长； (2) 说明另一种情况为什么不能成立。 【答案】(1) 32；(2) 见解析。 (1) 分两种情况讨论： ① 若 6 是腰，则两条腰都是 6，三边是 6、6、13。 因为 6＋6＝12＜13，不满足三角形三边关系，舍去； ② 若 13 是腰，则两条腰都是 13，三边是 13、13、6。 因为 13＋6＞13，能围成三角形，周长＝13＋13＋6＝32。 所以这个等腰三角形的周长是 32。 (2) 舍去的那一种情况里，两条较短的边是 6 和 6，它们之和是 12，小于最长的边 13，三根线段连不成三角形，所以不能取。 易错提醒：这类题一定要「先分类、再检验」，不能把两种情况的周长都列出来就当成两个答案。 19．（5 分）如图，△ABC 与 △A′B′C′ 关于直线 l 成轴对称，线段 AA′ 与直线 l 交于点 O。 (1) 求证：AO＝A′O，且 AO⊥l； (2) 若 AB＝5 cm，AC＝3 cm，∠A＝50°，求 A′B′、A′C′ 的长和 ∠A′ 的度数。 【答案】(1) 证明见解析；(2) A′B′＝5 cm，A′C′＝3 cm，∠A′＝50°。 (1) 因为 △ABC 与 △A′B′C′ 关于直线 l 成轴对称，点 A 与点 A′ 是一对对称点， 由轴对称的性质，对称轴 l 垂直平分连结两个对称点的线段 AA′。 所以点 O 是 AA′ 的中点，AO＝A′O；并且 AA′⊥l，即 AO⊥l。 (2) 因为成轴对称的两个图形全等，所以 △ABC≌△A′B′C′， 其中 A 与 A′、B 与 B′、C 与 C′ 分别是对应点。 所以 A′B′＝AB＝5 cm，A′C′＝AC＝3 cm，∠A′＝∠A＝50°。 答：A′B′＝5 cm，A′C′＝3 cm，∠A′＝50°。 易错提醒：写对应关系要按对称点的对应顺序写 —— 是 A↔A′、B↔B′、C↔C′，不能只按字母表的顺序随便对应，否则会把 A′B′ 写成 A′C′ 那一类的错误。 20．（5 分）△ABC 中，∠B＝∠C，AD 平分 ∠BAC 交 BC 于点 D。 (1) 求证：AB＝AC； (2) 若 BC＝8，求 CD 的长。 【答案】(1) 证明见解析；(2) CD＝4。 (1) 在 △ABC 中，因为 ∠B＝∠C，由「等角对等边」得 AC＝AB， 即 AB＝AC，所以 △ABC 是等腰三角形。 (2) 由 (1) 知 AB＝AC，所以 △ABC 是等腰三角形，顶角顶点是 A。 AD 平分 ∠BAC，即 AD 是顶角的平分线，由「三线合一」它同时也是底边 BC 上的中线， 所以 CD＝BC÷2＝8÷2＝4。 答：CD 的长是 4。 易错提醒：第 (2) 问必须先由第 (1) 问得到「AB＝AC」，才能用三线合一。 如果三角形不是等腰的，一条角平分线是不会把对边平分的 —— 这一点正是本题第 (1) 问存在的意义。 21．（6 分）如图，在等腰三角形 ABC 中，AB＝AC，点 D 在边 BC 的延长线上，且 CA＝CD。 (1) 若 ∠BAC＝100°，求 ∠ABC 的度数； (2) 求 ∠CAD 的度数。 【答案】(1) ∠ABC＝40°；(2) ∠CAD＝20°。 (1) 因为 AB＝AC，所以 △ABC 是等腰三角形，∠ABC＝∠ACB。 由内角和得 ∠ABC＝(180°−∠BAC)÷2＝(180°−100°)÷2＝40°。 答：∠ABC 的度数是 40°。 (2) 因为 ∠ACB＝∠ABC＝40°，点 D 在 BC 的延长线上， 所以 ∠ACD 与 ∠ACB 互为邻补角，∠ACD＝180°−∠ACB＝180°−40°＝140°。 因为 CA＝CD，所以 △ACD 是等腰三角形，两个底角相等， ∠CAD＝∠CDA＝(180°−∠ACD)÷2＝(180°−140°)÷2＝20°。 答：∠CAD 的度数是 20°。 易错提醒：第 (2) 问的第一步是先求出 ∠ACD。 ∠ACD 与 ∠ACB 是邻补角，不是相等的关系 —— 很多同学直接把 40° 当成了 ∠ACD，整个第二问就全错了。 22．（6 分）如图，把 △ABC 沿直线 DE 折叠，点 A 落在点 A′ 处。 (1) 写出图中相等的线段和相等的角（线段、角各写两组）； (2) 若 ∠A＝50°，∠ADE＝70°，求 ∠A′ED 的度数。 【答案】(1) AD＝A′D，AE＝A′E；∠A＝∠A′，∠ADE＝∠A′DE（答案不唯一）。(2) 60°。 (1) 把图形折叠就是作轴对称：折痕 DE 所在的直线是对称轴，点 A 与点 A′ 是一对对称点。 由轴对称的性质，折叠前后的两个图形全等，所以 AD＝A′D，AE＝A′E（线段）；∠A＝∠A′，∠ADE＝∠A′DE（角）。 (2) 因为折叠前后全等，所以 ∠A′ED＝∠AED，只要在 △ADE 中求出 ∠AED 即可。 在 △ADE 中，∠AED＝180°−∠A−∠ADE＝180°−50°−70°＝60°。 所以 ∠A′ED＝60°。 答：∠A′ED 的度数是 60°。 注意：折叠问题里，「折痕就是对称轴」「折叠前后两个图形全等」这两句话是全部推理的起点 —— 先把它们写出来，再往下算。 23．（6 分）若一个等腰三角形的两条边长分别是 5 和 11。 (1) 求这个等腰三角形的周长； (2) 若另一个等腰三角形的周长是 20，其中一边长是 8，求它另外两边的长。 【答案】(1) 27；(2) 8 和 4，或者 6 和 6。 (1) 分两种情况讨论： ① 若 5 是腰，则两条腰都是 5，三边是 5、5、11。 因为 5＋5＝10＜11，不满足三角形三边关系，舍去； ② 若 11 是腰，则两条腰都是 11，三边是 11、11、5。 因为 11＋5＞11，能围成三角形，周长＝11＋11＋5＝27。 答：周长是 27。 (2) 分两种情况讨论： ① 若 8 是腰，则另一条腰也是 8，底边＝20−8−8＝4，三边是 8、8、4，8＋4＞8，能围成三角形； ② 若 8 是底边，则两条腰相等，腰长＝(20−8)÷2＝6，三边是 6、6、8，6＋6＞8，能围成三角形。 所以另外两边的长是 8 和 4，或者 6 和 6。 注意：两种情况的三角形都能围成时，两个答案都要写； 只有一种能围成时，必须把另一种被舍去的理由写清楚 —— 阅卷时「为什么舍」是给分点。 24．（8 分）如图，在 △ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝100°，点 D、E 都在边 BC 上，且 BD＝BA，CE＝CA。 (1) 求 ∠BAD 与 ∠CAE 的度数； (2) 求证：△ADE 是等腰三角形； (3) 求 ∠DAE 的度数。 【答案】(1) ∠BAD＝70°，∠CAE＝70°；(2) 证明见解析；(3) ∠DAE＝40°。 (1) 因为 AB＝AC，所以 ∠ABC＝∠ACB＝(180°−∠BAC)÷2＝(180°−100°)÷2＝40°。 ① 因为 BD＝BA，所以 △ABD 是等腰三角形，两条腰是 BA 与 BD，顶角是 ∠ABD＝∠ABC＝40°， 所以 ∠BAD＝∠BDA＝(180°−40°)÷2＝70°； ② 因为 CE＝CA，所以 △ACE 是等腰三角形，两条腰是 CA 与 CE，顶角是 ∠ACE＝∠ACB＝40°， 所以 ∠CAE＝∠CEA＝(180°−40°)÷2＝70°。 答：∠BAD＝70°，∠CAE＝70°。 (2) 因为点 B、E、D、C 都在同一条直线 BC 上， 所以 ∠ADE 与 ∠ADB 是同一个角，∠ADE＝∠ADB＝70°； 同理 ∠AED 与 ∠AEC 是同一个角，∠AED＝∠AEC＝70°。 所以 ∠ADE＝∠AED，由「等角对等边」得 AD＝AE，即 △ADE 是等腰三角形。 (3) 在 △ADE 中，由内角和得 ∠DAE＝180°−∠ADE−∠AED＝180°−70°−70°＝40°。 答：∠DAE 的度数是 40°。 易错提醒：第 (1) 问里，等腰三角形 △ABD 的顶角在 B 处，不在 A 处 —— BA 与 BD 这两条腰的夹角是 ∠ABD，所以要用 40° 去当顶角算底角，不能拿 ∠A 当顶角。 第 (2) 问的关键是「D、E 都在直线 BC 上」，∠ADE 与 ∠ADB 其实是同一个角，这一步想不到就无从下手。 学科网（北京）股份有限公司 $