第一章 有理数（期中知识清单）七年级数学上学期新教材人教版

第一章 有理数　知识清单 一、核心知识总结（必背・单元重点） 1. 正数和负数 1.1 正数和负数 在数学中，像 3，50，7.8% 这样大于 0 的数叫作正数，像 -3，-10，-0.7% 这样在正数前加上符号”-“的数叫作负数，其中符号”-“是负号，读作”负”。有时，为了明确表达与负数的相反意义，在正数的前面也加上符号”+“（读作”正”）。一个数前面的”+““-”号叫作这个数的符号。 示例：3，50，7.8% 是正数；-3，-10，-0.7% 是负数；，， 就是 ，，。 1.2 0 的特殊性 既不是正数，也不是负数。 0 是正数与负数的分界。 是一个确定的温度，海拔 是一个确定的海拔。0 已不只是表示”没有”。 1.3 具有相反意义的量 如果一个问题中出现具有相反意义的量，就可以用正数和负数分别表示它们。 示例：某公司 7 月份盈利 50 万元，8 月份亏损 10 万元，可分别记作 50 万元和 -10 万元。 2. 有理数及其大小比较 2.1 有理数的概念 正整数、0、负整数统称为整数。 事实上，有限小数和无限循环小数都可以化为分数，因此它们也可以看成分数。 进一步地，正整数可以写成正分数的形式，例如 ；负整数可以写成负分数的形式，例如 ；0 也可以写成分数的形式 。这样，整数可以写成分数的形式。 可以写成分数形式的数称为有理数。其中，可以写成正分数形式的数为正有理数，可以写成负分数形式的数为负有理数。 示例：，，， 是正有理数；，， 是负有理数；其中 ， 是整数。 2.2 数轴 在数学中，可以用一条直线上的点表示数，它满足以下三个条件： （1）在直线上任取一个点表示数 0，这个点叫作原点； （2）通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向； （3）选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示 1，2，3，…；从原点向左，用类似方法依次表示 -1，-2，-3，…。 像这样，规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴。 原点将数轴（原点除外）分成两部分，其中正方向一侧的部分叫作数轴的正半轴；另一侧的部分叫作数轴的负半轴。 一般地，设 是一个正数，则数轴上表示数 的点在数轴的正半轴上，与原点的距离是 个单位长度；表示数 的点在数轴的负半轴上，与原点的距离是 个单位长度。数轴上与原点的距离是 个单位长度的点，简称为数轴上与原点的距离是 的点。 示例：画出数轴后，在正半轴上距离原点 6.5 个单位长度的点表示数 ，在负半轴上距离原点 个单位长度的点表示数 。 2.3 相反数 像 3 和 -3， 和 这样只有符号不同的两个数，互为相反数。这就是说，3 的相反数是 -3，-3 的相反数是 3，3 与 -3 互为相反数；同样地， 和 互为相反数。 的相反数是 0。 一般地， 和 互为相反数。这里， 表示任意一个数，可以是正数、负数，也可以是 0。例如，当 时，，1 的相反数是 -1；同时，-1 的相反数是 1。 容易看出，在正数前面添上”-“号，就得到这个正数的相反数。在任意一个数前面添上”-“号，新的数就表示原数的相反数。例如，，，。 一般地，设 是一个正数，数轴上与原点的距离是 的点有两个，它们分别在正、负半轴上，表示 和 ，这两个数只有符号不同。 示例： 的相反数是 ； 的相反数是 ，则 。 2.4 绝对值 一般地，数轴上表示数 的点与原点的距离叫作数 的绝对值，记作 。例如，表示 10 和 -10 的点与原点的距离都是 10，所以 10 和 -10 的绝对值都是 10，即 ，。 显然 。 一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是 0。即 的取值 的结果 示例：，，。 2.5 有理数的大小比较 在水平的数轴上表示有理数，数学中规定：它们从左到右的顺序，就是从小到大的顺序，即左边的数小于右边的数。 一般地： （1）正数大于 0，0 大于负数，正数大于负数； （2）两个负数，绝对值大的反而小。 示例：因为正数大于负数，所以 ；因为 ，所以 。 二、二级结论与方法技巧 1. 常用二级推论 1.1 相反数的等价结论 若 ，则 ，即相反数是它本身的数只有 0。互为相反数的两数之和为 0，即 。 1.2 绝对值与本身的符号关系 若 ，则 （绝对值是它本身的数是非负数）；若 ，则 。 【使用提醒】 同时满足 与 ；由 判断 的范围时勿漏 。 1.3 由绝对值逆向求数 若 ，则 或 ，即绝对值为正数的数有两个，它们互为相反数。 【使用提醒】 当 时 只有 一个解；当 时 无解，别把”绝对值等于负数”误当成有解。 1.4 数轴上两点间的距离 数轴上表示数 、 的两点间的距离为 。特别地，表示数 的点与原点的距离为 。 1.5 多重符号化简法则 一个数的符号由它前面”-“号的个数决定：负号个数为奇数时结果为负，为偶数时结果为正（正号可忽略），即”奇负偶正”。 【使用提醒】 从最外层符号逐层向里去括号，先处理绝对值或括号内的符号，避免一步跳算。 1.6 相反数的几何特征 互为相反数的两个数（0 除外）在数轴上对应的点关于原点对称，到原点的距离相等。 1.7 相邻整数的最值 最小的正整数是 1，最大的负整数是 -1；没有最小的负整数，也没有最大的正整数。 2. 解题方法与操作步骤 2.1 判断一个数是不是有理数 看这个数能否写成分数形式：有限小数、无限循环小数、整数都能写成分数形式，都是有理数； 等无限不循环小数不能写成分数形式，不是有理数。如 ，，都是有理数。 2.2 画数轴表示有理数 先定原点并标 0，再规定向右为正方向画箭头，然后选取统一的单位长度，最后按”到原点的距离”在相应半轴上描点。如表示 ，在负半轴上距原点 2 个单位长度的点处描点。 2.3 求一个数的相反数 只需改变原数的符号：正数前添”-“，负数去掉”-“（添”-“后化简），0 的相反数仍是 0。如 的相反数是 ，。 2.4 求一个数的绝对值 先判断这个数的正负，再按性质取：正数取本身，负数取相反数，0 取 0。如 ，，。 2.5 比较有理数的大小 先化简（去多重符号、算绝对值），再看正负：异号两数正大负小；同号两数看绝对值，两个负数绝对值大的反而小；多个数可借助数轴从左到右排列。如比较 与 ：，故 。 3. 大小比较 / 化简小技巧 技巧 要点 示例 以 0 为界分类 比较正、负、0 混杂的数，先分”正数 / 0 / 负数”三类，正数最大、负数最小 借助数轴排序 把各数标在数轴上，从左到右即从小到大 同号看绝对值 两负数比较，先各取绝对值，绝对值大的反而小 ，故 化简后再比较 含多重符号或绝对值的数，先化简再按正负、绝对值比较 ，，故 允许偏差 ± 的读法 标准值 与偏差 表示合格范围为 至 直径 表示 合格 相反意义的量定基准 先定基准（记为 0），一方记正、另一方记负，全题统一 水位升高记 ，则下降记 ，不升不降记 三、章节高频易错点 + 错解 / 正解对比 易错点 1：误认为 0 是正数或负数 典例：指出 ，，， 中的正数和负数，并判断”不是正数的数一定是负数”是否正确。 错解：正数有 ；负数有 ，，；“不是正数的数一定是负数”正确。 正解：正数有 ；负数有 ，； 既不是正数，也不是负数。“不是正数的数一定是负数”是错误的，因为 0 不是正数，但也不是负数。 原因：概念理解错误。学生把”大于 0 的数”与”小于 0 的数”两个集合想当然地认为已经”分尽了所有数”，忽略了 0 恰好是它们的共同分界，既不属于正数也不属于负数。根源是没有把”0 既不是正数也不是负数”当作必须独立记住的结论。凡按”正、负”分类的数，都要先把 0 单独拎出来判断。 易错点 2：认为带负号的数一定是负数 典例：判断 一定是负数吗？ 错解：一定是负数，因为 前面带有负号。 正解：不一定。当 时 是负数；当 时 ；当 时 是正数。 原因：概念理解错误。学生把”-“号当成了判定正负的固定标签，没有理解 表示的是 的相反数，其正负由 的正负决定。根源是没有真正接受” 可以表示任意一个数（正数、负数、0）“这一抽象规定，仍停留在用具体数字判断符号的思维层面。判断含字母的数的符号，先要分 的正负讨论。 易错点 3：比较两个负数大小时弄反 典例：比较 与 的大小。 错解：因为 ，所以 。 正解：，，因为 ，所以 。 原因：法则应用错误。学生直接套用正数比较大小的习惯——绝对值大的数大，忽略了”两个负数，绝对值大的反而小”这条针对负数的特殊法则。根源是把正数的比较经验迁移到负数时不加区分。比较同号两负数，必须先取绝对值，再让”绝对值大的一方反而小”。 易错点 4：画数轴漏要素 典例：画数轴并表示 ，，。 错解：画一条直线，标上 ，， 三个点，各点间距随意且无正方向箭头。 正解：先画直线并取一点为原点标 0，再规定向右为正方向并画箭头，然后统一单位长度，最后按”到原点的距离”在负半轴描出 、在正半轴描出 。 原因：条件遗漏。数轴由”原点、正方向、单位长度”三要素共同确定，缺一不可。学生往往只画出”一条直线 + 几个点”，漏掉方向箭头，或让单位长度忽大忽小。根源是把数轴当成了普通直线。画数轴时三要素须逐一落实，单位长度必须全程一致。 易错点 5：绝对值符号与相反数符号混淆 典例：化简 ，并求 。 错解：；。 正解：；。 原因：符号处理错误，且两处根源不同：一是外层”-“号被漏掉—— 应先算 ，再添外层负号得 ，学生算完绝对值就以为结束了；二是负数取绝对值时误保留负号—— 应取相反数 ，学生把”-“号原样带了下来。化简含绝对值与负号的式子，要分清运算顺序：先算内层绝对值，再处理外层符号。 易错点 6：由绝对值求数时漏掉负数解 典例：若 ，求 的值。 错解：。 正解： 表示 到原点的距离是 3，这样的点有两个，所以 或 。 原因：漏分类讨论。绝对值为正数的数有两个且互为相反数，学生只想到” 就是那个正数”，遗漏了关于原点对称的负数解。根源是把绝对值运算当成”单向”的——由数求绝对值会，由绝对值反求数就只取正的一个。逆向由 （）求 ，务必成对写出 。 学科网（北京）股份有限公司 $