专题01 有理数及其运算（期中知识清单）（必备知识+9题型清单+7易错清单+1技巧清单）七年级数学上学期新教材人教版

专题01 有理数（知识&8题型&3易错&4方法清单） 【清单01】正数和负数的定义 正数：_______0的数叫做正数. 负数：在正数前面加上“_____”号叫做负数 0既不是_____也不是______. 【清单02】有理数 可以写成_______形式的数称为有理数 有理数的分类（1）按定义（分母是否为1）分类：有理数 （2）按性质分有理数 【清单03】数轴 规定了_____、_______和单_______的直线叫作数轴 【清单04】相反数 只有_______不同的两个数是相反数 正数的相反数是一个______；负数的相反数是______；0的相反数是______ 的相反数是______ 相反数等于本身的数是_____ 【清单05】绝对值 一般地，数轴上表示数的点与_______的距离叫作数的绝对值，记作 一个正数的绝对值是______；一个负数的绝对值是它的______；0的绝对值是____ ★ 绝对值等于本身的数是_______ 【题型一】正数和负数 【例1】（24-25七年级上·广西贺州·期中）在这些数中，是负数的是（    ） A． B．0 C． D．4 【变式1-1】（24-25七年级上·河南新乡·期中）在有理数，8，2.5，，0，中，负数的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-2】（24-25七年级上·西藏林芝·期中）有下列各数：，，，，，．其中，正数有 个，负数有 个， 既不是正数，也不是负数． 【变式1-3】（25-26七年级上·全国·随堂练习）指出下面各数中的正数、负数： ，，，，，，，． 【题型二】相反意义的量 【例2】（24-25七年级上·广东广州·期中）我国古代《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”．意思是今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数，如果向北走5步记作步，那么向南走8步记作（   ） A．步 B．步 C．步 D．步 【变式2-1】（24-25九年级下·湖南永州·期中）乙醇，俗称酒精，化学式为（或）或，是一种带有一个羟基的有机化合物，在标准大气压下，它的沸点是零上，熔点是零下．若零上记作，则零下记作___________ A． B． C． D． 【变式2-2】（23-24七年级上·山东济宁·期中）如果把向东走记作，那么表示的实际意义是（    ）． A．向东走 B．向西走 C．向南走 D．向北走 【变式2-3】（23-24七年级上·全国·期中）下列表示相反意义的量的是（　　） A．向前50米与向左40米 B．盈利50元与亏损60元 C．后退5米与后退6米 D．身高增加与体重减少 【题型三】有理数的认识 【例3】（23-24七年级上·湖北荆门·期中）在、、、、0、、中，有理数的个数是（    ） A．8个 B．9个 C．10个 D．7个 【变式3-1】（23-24七年级上·重庆永川·期中）下列说法正确的是（    ） A．一定是负数 B．整数和分数统称为有理数 C．有理数分为正数，负数和零 D．正整数和负整数统称为整数 【变式3-2】（24-25七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）在，，，0，，（每两个1之间的0个数逐次增加1）中，有理数个数共有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式3-3】（23-24七年级上·新疆·期中）下列说法中，错误的有（   ） ① 是负分数；② 不是整数；③ 非负有理数不包括；④ 不是有理数；⑤是最小的有理数；⑥正整数、负整数统称为有理数 ． A．个 B．个 C．个 D．个 【题型四】有理数的实际应用 【例4】（24-25七年级上·吉林·期中）某一天，长春、吉林、哈尔滨、沈阳四个城市的最低，气温分别是，，其中最低气温是（　　） A． B． C． D． 【变式4-1】（24-25七年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）亚洲、欧洲、非洲和南美洲的最低海拔如表：这些数据中，最低的海拔是（ ） 大洲 亚洲 欧洲 非洲 南美洲 最低海拔m A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）下表是我国4个城市某年1月份的平均气温，其中平均气温最低的城市是（    ） 北京 武汉 哈尔滨 南京 A．北京 B．武汉 C．哈尔滨 D．南京 【变式4-3】（2025·广东深圳·一模）几种气体的液化温度（标准大气压）如下表： 气体 氦气（He） 氢气（H） 氮气（N） 氧气（O） 液化温度（℃） 其中液化温度最低的气体是（   ） A．氦气 B．氢气 C．氮气 D．氧气 【题型五】数轴的认识 【例5】（24-25七年级上·全国·期中）点A在数轴上表示的数是，将点A沿数轴移动5个单位长度后得到点B，则点B所表示的数是（    ） A．3 B． C．3或 D．5或 【变式5-1】（24-25七年级上·湖南衡阳·期中）有理数在数轴上对应的点如图所示，则，，的大小关系是（ 　） A． B． C． D． 【变式5-2】（24-25九年级下·河北邢台·期中）在数轴上，点A对应的数为，点B对应的数为3，若点M是的中点，则点M所对应的数为 ． 【变式5-3】（24-25八年级下·山东潍坊·阶段练习）数轴上表示到原点距离为的数是 【题型六】将有理数表示在数轴上 【例6】（24-25七年级上·辽宁沈阳·期中）画出数轴，并在数轴上表示下列各数：，，，并按从小到大的顺序用“”排列． 【变式6-1】（24-25七年级上·湖南郴州·期中）（1）在数轴上表示下列各数：，，0，． （2）将原数按从小到大的顺序用“”连接起来． 【变式6-2】（24-25七年级上·云南曲靖·阶段练习）在数轴上表示出下列各数，并用“＜”连接起来 3，，，0，， 【变式6-3】（24-25七年级上·上海嘉定·期中）（1）填空：写出数轴上的点、点所表示的数． 点表示的数是__________，点表示的数是__________． （2）已知点表示的数是，点表示的数是的相反数，请在（1）中的数轴上分别画出点和点，并标明相应字母； （3）将、、、四个点所表示的数按从大到小的顺序排列，用“”连接． 【题型七】相反数 【例7】（24-25九年级下·四川广安·期中）（1）如图，数轴上点表示的数是，则点表示的数是（    ） A．2025 B． C． D． （2）（24-25七年级下·贵州贵阳·期中）的相反数是 ，的相反数是___________ 【变式7-1】（2024·江西吉安·一模）2024的相反数是（ ） A． B．2024 C． D． 【变式7-2】（24-25七年级下·河北保定·期中）实数的相反数是________ 【变式7-3】（25-26七年级上·广东广州·期中）的相反数是________ 【题型八】绝对值 【例8】（1）（2025·黑龙江大庆·中考真题）的绝对值是（   ） A．2025 B． C． D． （2）（24-25七年级下·广东广州·期中）计算： ． （3）（23-24七年级下·天津南开·期末）是的绝对值,则 ． 【变式8-1】（23-24七年级上·河北保定·期末）如图，数轴上有A，B，C，D四个点，其中绝对值最小的数对应的点是（　　）   A．点A B．点B C．点C D．点D 【变式8-2】（23-24七年级上·湖南长沙·期中），则的值为（ ） A．8 B． C．8或 D．以上答案都不对 【变式8-3】（24-25六年级下·黑龙江大庆·期中）式子取最小值时，x等于_______ 【题型九】比较有理数的大小 【例9】（23-24七年级上·福建福州·期末）a，b是有理数，它们在数轴上的对应点位置如图所示，把按照从小到大的顺序排列，正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式9-1】（24-25七上年级上·全国·期中）比较大小∶ ， ．(在横线上填“<”“>”或“=”) 【变式9-2】（25-26七年级上·全国·期中）比较大小： （填“”“”或“”）． 【变式9-3】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）在，，，，，中，最大的数是 ． 【题型一】0的意义 【例1】（22-23七年级上·武汉·期中）下列说法中正确的（   ） A．带有“”号的数是负数 B．表示没有温度 C．0是最小的正数 D．0既不是正数，也不是负数 【变式1-1】（22-23七年级上·全国·期中）关于“零”的说法正确的是____________ （1）是整数，也是有理数； （2）不是正数，也不是负数； （3）不是整数，是有理数； （4）是整数，不是自然数． A．（1）（4） B．（2）（3） C． D．（1）（3） 【变式1-2】（24-25七年级上·江苏连云港·期中）下列关于有理数的描述： ①有限小数和循环小数都是有理数；②0是非负有理数；③0既不是正数，也不是负数，由此可知0不是有理数；④一个有理数如果不是整数，那么它一定是分数．其中正确的个数是__________ 【变式1-2】（24-25七年级上·湖南湘西·期中）下列对“0”的说法正确的个数是________ ①0是正数与负数的分界；②0只表示“什么也没有”；③0可以表示特定的意义，如；④0是正数． 【题型二】带“非”字的有理数 【例2】．（23-24七年级上·广东梅州·期中）下列各数，2，，0，，0.0123中，非负数的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2-1】（23-24七年级上·陕西咸阳·阶段练习）下列这些数5，，0，，，，，，，是非负整数的是 ． 【变式2-2】（23-24七年级上·浙江宁波·期中）已知下列各数：，，6，，，，0，其中非负有理数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型三】有理数的分类 【例3】（23-24七年级上·青海西宁·期中）把下列的数填在相应的大括号里（将各数用逗号分开） 负数{          …}； 整数{         …}； 正分数{              …}； 有理数{           …}． 【变式3-1】（24-25七年级上·河南商丘·期中）把下列各数填在相应的集合中：15，，，，，，，171，0，，， 正数集合 负分数集合 非负整数集合 有理数集合 【变式3-2】（24-25七年级上·山东济宁·期中）把下列各数填在相应的括号里． ，，，，，，，，， 整数集合：{                   …} 负分数集合：{                   …} 非负有理数集合：{                   …} 【变式3-3】（24-25七年级上·贵州黔东南·期中）把下列各数分别填入相应的集合里．（填序号即可） 1 ，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧ 正有理数集合：{                         …}； 负有理数集合：{                        …}； 整数集合：{                        …}； 负整数集合：{                        …}； 有理数集合：{                        …}． 【题型四】多重符号化简 【例4】（24-25七年级上·全国·期中）下列化简，正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）下列化简，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25七年级上·全国·期中）下列各组数中，互为相反数的一组是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【变式4-3】（24-25七年级上·安徽合肥·期中）下列各数中，互为相反数的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．0.6和 【题型五】绝对值的几何意义 【例5】（2025七年级上·全国·期中）我们知道，的几何意义是：数轴上表示数的点到原点的距离，可以理解为，进一步地，数轴上，表示数的点到表示数的点的距离可以用表示，例如：表示和的两点之间的距离是．根据绝对值的几何意义，当取最小值时，求出所有满足条件的整数有（    ）个 A． B． C． D． 【变式5-1】（24-25七年级上·内蒙古通辽·期中）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法． 【阅读】表示4与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示4与两数在数轴上所对应的两点间的距离． (1)__________； (2)结合数轴找出所有符合条件的整数x，使得，则__________； (3)利用数轴分析，若x是整数，且满足，请求出满足条件的所有x的值的和． 【变式5-2】（24-25七年级上·四川成都·期中）材料阅读：在学习绝对值时，我们知道了绝对值的几何含义，如表示在数轴上对应的两点之间的距离；所以表示、在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示在数轴上对应的点到原点的距离．综上，数轴上两点对应的数分别为，且两点之间的距离可以表示为，则（或）． (1)求________；若，则________； (2)的最小值是________；当________时的最小值是________； (3)若，求的最大值和的最大值． 【变式5-3】（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）【知识回顾】数轴是非常重要的数学工具，它可以使代数中的推理更加直观．同时我们知道，数轴上表示的数对应的两点之间的距离为．借助数轴解决下列问题：求代数式最小值 . 【题型六】有理数概念辨析 【例6】（24-25七年级下·四川乐山·期中）下列表述中，正确的个数是（　　） ①任何数都有相反数；②0是最小的有理数；③存在绝对值最小的数；④绝对值是同一个正数的数有两个，它们互为相反数；⑤绝对值等于它相反数的数只有负数． A．2 B．3 C．4 D．5 【变式6-1】（23-24七年级上·内蒙古鄂尔多斯·阶段练习）下列说法错误的有（　　） ①绝对值是它本身的数是正数；②任何有理数都有倒数；③有理数分为正有理数和负有理数；④在数轴上7与9之间的有理数是8；⑤数轴上表示的点一定在原点的左边． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式6-2】（24-25七年级上·湖南湘西·期中）下列说法中，其中错误的说法的个数为（       ） 0是最小的整数；有理数不是正数就是负数；正整数、负整数、正分数、负分数统称为有理数；非负数就是正数；带“”号的数一定是负数；正数中没有最小的数，负数中没有最大的数； A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【变式6-3】（24-25七年级上·湖南常德·期中）下列说法中正确的有（    ） ①一个数前面加上“”号就是负数；②非负数就是正数；③0既不是正数，也不是负数；④正数和负数统称为有理数；⑤正整数与负整数统称为整数；⑥正分数与负分数统称为分数；⑦0是最小的整数；⑧最大的负数是． A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【题型七】数轴上动点问题 【例7】（24-25七年级上·福建福州·期中）已知是数轴上的一个点，把向左移动4个单位后，这时它到原点的距离是5个单位，则点表示的数是 ． 【变式7-1】（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）在数轴上，点A表示的数为，点表示的数为，点从A出发，以每秒个单位长度的速度向运动，到达后立即返回，当 秒时，点到点A的距离是个单位长度． 【变式7-2】（24-25九年级下·福建泉州·期中）如图，A，B，C是数轴上的三个点，点C在点B的右侧，点A，B表示的数分别是1，3，若，则点C表示的数是 ． 【变式7-3】（23-24七年级上·广东深圳·期末）已知：，c比b大2． (1)______，______，______． (2)在数轴上，点A，B，C分别对应实数a，b，c． ①数轴上点P到点A的距离是点P到点B的距离的2倍，求点P对应的数． ②动点M从点A出发以4个单位速度向右运动，动点N从点B出发以1个单位速度向右运动，点D在数轴上对应的数是10，动点M与动点N同时出发，当M运动到D后立即以原来的速度向左运动，当点M到达出发点A时，两个动点同时停止运动，设运动时间是t，当______时，M、N两点到点C的距离相等（直接写出t的值）． 【题型一】非负+非负=0 ·适用方程形式：. ·求解方法：A=0,B=0 【例1】（23-24七年级上·湖南衡阳·期末）已知，那么代数式的值为（    ） A．1 B． C． D．2024 【变式1-1】（23-24七年级上·广东东莞·期中）如果，那么的值是（    ） A． B．1 C． D．2022 【变式1-2】（23-24七年级上·湖南株洲·期中）若，则的值为（     ） A． B． C． D． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 有理数（知识&8题型&3易错&4方法清单） 【清单01】正数和负数的定义 正数：大于0的数叫做正数. 负数：在正数前面加上“－”号叫做负数 0既不是正数也不是负数. 【清单02】有理数 可以写成分数形式的数称为有理数 有理数的分类（1）按定义（分母是否为1）分类：有理数 （2）按性质分有理数 【清单03】数轴 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴 【清单04】相反数 只有符号不同的两个数是相反数 正数的相反数是一个负数；负数的相反数是正数；0的相反数是0 的相反数是 相反数等于本身的数是0 【清单05】绝对值 一般地，数轴上表示数的点与原点的距离叫作数的绝对值，记作 一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0 ★ 绝对值等于本身的数是非负数 【题型一】正数和负数 【例1】（24-25七年级上·广西贺州·期中）在这些数中，是负数的是（    ） A． B．0 C． D．4 【答案】A 【知识点】正负数的定义 【详解】本题考查负数的概念，负数是指小于0的数． 根据负数的概念判断即可． 【分析】解：在这些数中，是负数的是， 故选：A． 【变式1-1】（24-25七年级上·河南新乡·期中）在有理数，8，2.5，，0，中，负数的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】正负数的定义 【分析】此题主要考查了正数和负数，根据小于0的数是负数即可求解． 【详解】解：在，8，，，0，，这8个有理数中，负数有，，，一共3个． 故选：C． 【变式1-2】（24-25七年级上·西藏林芝·期中）有下列各数：，，，，，．其中，正数有 个，负数有 个， 既不是正数，也不是负数． 【答案】 2 3 0 【知识点】正负数的定义 【分析】本题主要就是考查了对正、负数的相关知识的理解掌握与运用的情况，对正数、负数、零的概念的理解是解本题的关键； 根据大于零的数是正数，小于零的数是负数，即不是正数也不是负数求解即可． 【详解】解：下列各数中，，，，，， 其中，正数有、，共2个，负数有、、，共3个，0既不是正数，也不是负数． 故答案为：2；3；0． 【变式1-3】（25-26七年级上·全国·随堂练习）指出下面各数中的正数、负数： ，，，，，，，． 【答案】正数：，，， ；负数：，， 【知识点】正负数的定义 【分析】本题考查对正负数的认识，掌握正负数的定义是解决问题的关键．数字前面带“+”号或不带符号的为正数，数字前面带“”号为负数，0既不是正数也不是负数，由此进行分类即可． 【详解】解：正数：，，， ； 负数：，，． 【题型二】相反意义的量 【例2】（24-25七年级上·广东广州·期中）我国古代《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”．意思是今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数，如果向北走5步记作步，那么向南走8步记作（   ） A．步 B．步 C．步 D．步 【答案】B 【知识点】相反意义的量、正负数的定义 【分析】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示，即可求解． 【详解】解：“正”和“负”相对，所以，那么向南走8步记作步． 故选：B． 【变式2-1】（24-25九年级下·湖南永州·期中）乙醇，俗称酒精，化学式为（或）或，是一种带有一个羟基的有机化合物，在标准大气压下，它的沸点是零上，熔点是零下．若零上记作，则零下记作___________ A． B． C． D． 【答案】 【知识点】相反意义的量、正负数的实际应用 【分析】本题考查正负数的实际应用，解题关键是明确正负数表示具有相反意义的量． 根据零上记作，可确定零上温度用正数表示，零下温度用负数表示，由此可表示出零下． 【详解】解：∵零上记作， ∴零上温度用正数表示，零下温度用负数表示， ∴零下应记作， 【变式2-2】（23-24七年级上·山东济宁·期中）如果把向东走记作，那么表示的实际意义是（    ）． A．向东走 B．向西走 C．向南走 D．向北走 【答案】B 【知识点】相反意义的量 【分析】本题考查根据正负数表示相反意义的量来求解．先明确正负数表示相反意义的量，再根据向东为正确定向西为负，进而判断的实际意义． 【详解】解：向东走记作， 那么表示向西走， 故选：B． 【变式2-3】（23-24七年级上·全国·期中）下列表示相反意义的量的是（　　） A．向前50米与向左40米 B．盈利50元与亏损60元 C．后退5米与后退6米 D．身高增加与体重减少 【答案】B 【知识点】相反意义的量 【分析】本题主要考查了具有相反意义的量，确定一对具有相反意义的量，注意不是同一类别的量，不能看成是具有相反意义的量． 首先审清题意，明确各组量所表示的意义，再根据题意作答． 【详解】解：A、向前50米与向左40米，不是相反意义的量，故本选项不符合题意； B、盈利50元与亏损60元是表示相反意义的量，故本选项符合题意； C、后退5米与后退6米是同方向，不是相反意义的量，故本选项不符合题意； D、身高增加与体重减少，不具有相反的量，故本选项不符合题意． 故选：B． 【题型三】有理数的认识 【例3】（23-24七年级上·湖北荆门·期中）在、、、、0、、中，有理数的个数是（    ） A．8个 B．9个 C．10个 D．7个 【答案】A 【知识点】有理数的定义、有理数的分类 【分析】本题考查了有理数的定义，根据整数和分数统称为有理数进行求解即可． 【详解】解：有理数有、、、0、，共8个， 故选：A． 【变式3-1】（23-24七年级上·重庆永川·期中）下列说法正确的是（    ） A．一定是负数 B．整数和分数统称为有理数 C．有理数分为正数，负数和零 D．正整数和负整数统称为整数 【答案】B 【知识点】有理数的定义、有理数的分类 【分析】本题考查了有理数的基本概念． 根据有理数的基本概念逐一分析即可． 【详解】解：A：当为负数时，为正数，故原说法错误； B：根据有理数的定义，整数和分数统称为有理数，故原说法正确； C：有理数分为正有理数、负有理数和零，而非笼统的“正数、负数和零”，故原说法错误； D：整数包括正整数、负整数和零，选项中遗漏了零，故原说法错误； 故选：B． 【变式3-2】（24-25七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）在，，，0，，（每两个1之间的0个数逐次增加1）中，有理数个数共有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【知识点】有理数的定义 【分析】本题考查有理数的定义，熟练掌握有理数的定义是解题的关键．根据有理数的定义进行判定即可． 【详解】解：有理数为，， 0，， 故选A． 【变式3-3】（23-24七年级上·新疆·期中）下列说法中，错误的有（   ） ① 是负分数；② 不是整数；③ 非负有理数不包括；④ 不是有理数；⑤是最小的有理数；⑥正整数、负整数统称为有理数 ． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【知识点】有理数的定义、带“非”字的有理数、有理数的分类 【分析】本题主要考查了有理数的分类，根据有理数的两种分类方法判断即可． 【详解】解：① 是负分数，故①正确； ②是分数，不是整数，故②正确； ③非负有理数是大于或等于零的有理数，故③错误； ④是有理数，故④错误； ⑤没有最小的有理数，故⑤错误； ⑥有理数包括整数和分数，故⑥错误； 故选：D． 【题型四】有理数的实际应用 【例4】（24-25七年级上·吉林·期中）某一天，长春、吉林、哈尔滨、沈阳四个城市的最低，气温分别是，，其中最低气温是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】有理数大小比较的实际应用 【分析】本题考查比较四个负数的大小，比较负数大小时，绝对值越大的数实际值越小，数值最小的即为最低气温，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴最低气温是， 故选C． 【变式4-1】（24-25七年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）亚洲、欧洲、非洲和南美洲的最低海拔如表：这些数据中，最低的海拔是（ ） 大洲 亚洲 欧洲 非洲 南美洲 最低海拔m A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】有理数大小比较的实际应用 【分析】本题考查比较有理数大小的实际应用，比较负数的大小，绝对值越大，数越小，据此进行判读即可． 【详解】解：∵，，，． 绝对值最大的是，对应的负数最小． 因此，最低的海拔是， 故选A． 【变式4-2】（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）下表是我国4个城市某年1月份的平均气温，其中平均气温最低的城市是（    ） 北京 武汉 哈尔滨 南京 A．北京 B．武汉 C．哈尔滨 D．南京 【答案】C 【知识点】有理数大小比较的实际应用 【分析】本题考查了有理数的大小比较，熟练掌握有理数大小比较的法则是解本题的关键．有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的反而小． 【详解】解：∵， ∴平均气温最低的是哈尔滨， 故选：C． 【变式4-3】（2025·广东深圳·一模）几种气体的液化温度（标准大气压）如下表： 气体 氦气（He） 氢气（H） 氮气（N） 氧气（O） 液化温度（℃） 其中液化温度最低的气体是（   ） A．氦气 B．氢气 C．氮气 D．氧气 【答案】A 【知识点】有理数大小比较的实际应用 【分析】本题主要考查有理数比较大小，掌握比较有理数大小的方法是解决本题的关键． 先将液化温度从低到高排序，然后找出最低温度即可． 【详解】解：， 液化温度最低的气体是氦气． 故选A． 【题型五】数轴的认识 【例5】（24-25七年级上·全国·期中）点A在数轴上表示的数是，将点A沿数轴移动5个单位长度后得到点B，则点B所表示的数是（    ） A．3 B． C．3或 D．5或 【答案】C 【知识点】数轴上点的平移（动点问题） 【分析】此题是考查数轴的认识． 点A为数轴上表示的点，即点A在原点左边表示2个单位长的点，当点A沿数轴移动5个单位长度到点B时，有两种情况：一是向右移动；二是向左移动．若向右移动，移动5个单位长度时，到原点右边表示3个长度单位的点，即3，若向左移动5个单位，B点在原点左边7个单位长度的点，即． 【详解】解：点A为数轴上表示的点，当点A沿数轴移动5个单位长度到点B时，点B所表示的数为3或． 故选：C． 【变式5-1】（24-25七年级上·湖南衡阳·期中）有理数在数轴上对应的点如图所示，则，，的大小关系是（ 　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】相反数的定义、利用数轴比较有理数的大小 【分析】本题考查利用数轴比较大小，相反数，掌握相关知识是解决问题的关键．根据相反数的意义在数轴上确定，，的位置，然后比较大小即可． 【详解】解析：与互为相反数，1与互为相反数，则，，的位置如图所示， ∴， 故选：C． 【变式5-2】（24-25九年级下·河北邢台·期中）在数轴上，点A对应的数为，点B对应的数为3，若点M是的中点，则点M所对应的数为 ． 【答案】 【知识点】数轴上两点之间的距离 【分析】本题考查了数轴，根据线段的中点M所表示的数为A、B对应数值和的一半解答即可． 【详解】解：点M所对应的数为， 故答案为：． 【变式5-3】（24-25八年级下·山东潍坊·阶段练习）数轴上表示到原点距离为的数是 【答案】和 【知识点】绝对值的几何意义 【分析】本题考查了数轴与有理数，根据绝对值的意义即可求解，理解绝对值的意义是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴数轴上表示到原点距离为的数是和， 故答案为：和． 【题型六】将有理数表示在数轴上 【例6】（24-25七年级上·辽宁沈阳·期中）画出数轴，并在数轴上表示下列各数：，，，并按从小到大的顺序用“”排列． 【答案】数轴如图， 【知识点】利用数轴比较有理数的大小、用数轴上的点表示有理数 【分析】本题考查了数轴上表示有理数，根据数轴比较有理数的大小，将有理数准确表示在数轴上是解本题的关键． 将有理数表示在数轴上，然后根据数轴上左边的小于右边的数即可排列大小． 【详解】解：在数轴上表示各数，如图∶ 按从小到大的顺序用“”排列为． 【变式6-1】（24-25七年级上·湖南郴州·期中）（1）在数轴上表示下列各数：，，0，． （2）将原数按从小到大的顺序用“”连接起来． 【答案】（1）见解析（2） 【知识点】利用数轴比较有理数的大小、用数轴上的点表示有理数 【分析】本题考查有理数与数轴，准确表示各数是解题的关键； （1）将各数在数轴上进行表示即可； （2）根据数轴上的数右边的数比左边的数大即可得答案． 【详解】解：（1）在数轴上表示各数，如图： （2）由图可知：． 【变式6-2】（24-25七年级上·云南曲靖·阶段练习）在数轴上表示出下列各数，并用“＜”连接起来 3，，，0，， 【答案】见解析， 【知识点】利用数轴比较有理数的大小、用数轴上的点表示有理数 【分析】本题考查了用数轴上的点表示有理数、利用数轴比较有理数大小，在数轴上正确表示出有理数是解题的关键．先在数轴上正确表示出各数，再结合数轴比较有理数的大小即可解答． 【详解】解：在数轴上表示出各数如下： 由数轴可得，． 【变式6-3】（24-25七年级上·上海嘉定·期中）（1）填空：写出数轴上的点、点所表示的数． 点表示的数是__________，点表示的数是__________． （2）已知点表示的数是，点表示的数是的相反数，请在（1）中的数轴上分别画出点和点，并标明相应字母； （3）将、、、四个点所表示的数按从大到小的顺序排列，用“”连接． 【答案】（1），； （2）见解析； （3） 【知识点】相反数的定义、利用数轴比较有理数的大小、用数轴上的点表示有理数 【分析】本题考查了利用数轴表示有理数，相反数，根据数轴比较大小，数形结合是解题的关键． （1）首先把0到1之间的长度平均分成3份，每份表示，所以点A表示的数是；然后把2到3之间的长度平均分成3份，每份表示，所以点B表示的数是； （2）先根据相反数的定义得到点表示的数是，然后根据在数轴上表示数的方法，在（1）中的数轴上分别画出点C、点D，并标明相应字母即可． （3）一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大，据此将A、B、C、D四个点所表示的数从大到小排列即可． 【详解】解：（1）点A表示的数是，点B表示的数是； 故答案为：，； （2）由于点表示的数是的相反数，故点表示的数是， 如图所示： （3）根据题意得． 【题型七】相反数 【例7】（24-25九年级下·四川广安·期中）（1）如图，数轴上点表示的数是，则点表示的数是（    ） A．2025 B． C． D． 【答案】A 【知识点】数轴上两点之间的距离、用数轴上的点表示有理数 【分析】本题考查的是数轴，解题的关键是根据题中提取的数量关系来求解．根据，求出，继而可以求出点A表示的数． 【详解】解：∵，点B表示的数是， ∴， ∵点A在O点右侧， ∴点A表示的数为：， 故选:A． （2）（24-25七年级下·贵州贵阳·期中）的相反数是 ，的相反数是___________ 【答案】 , 【知识点】求一个数的绝对值、相反数的定义 【分析】本题考查绝对值，相反数，解题的关键是熟练掌握绝对值和相反数的定义． 根据绝对值和相反数的概念即可求解． 【详解】解：的相反数是，的相反数是 故答案为：, 【变式7-1】（2024·江西吉安·一模）2024的相反数是（ ） A． B．2024 C． D． 【答案】C 【知识点】相反数的定义 【分析】本题考查了相反数的概念．根据符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数即可求得答案． 【详解】解：2024的相反数是． 故选：C． 【变式7-2】（24-25七年级下·河北保定·期中）实数的相反数是________ 【答案】 【知识点】相反数的定义 【分析】本题主要考查了相反数的定义，熟练掌握“互为相反数的两个数和为，数的相反数是”是解题的关键．解题思路为根据相反数的定义，求实数的相反数． 【详解】解：∵ 相反数是指绝对值相等，正负号相反的两个数，对于数，其相反数为，那么对于，它的相反数是 又∵ ∴ 实数的相反数是， 【变式7-3】（25-26七年级上·广东广州·期中）的相反数是（   ） 【答案】 【知识点】求一个数的绝对值、相反数的定义 【分析】本题主要考查了相反数的定义以及绝对值的性质，根据相反数的定义和绝对值的性质进行求解判断即可．熟练掌握相反数定义：“只有符号不同的两个数互为相反数”，是解题的关键． 【详解】解： ∴的相反数是． 【题型八】绝对值 【例8】（1）（2025·黑龙江大庆·中考真题）的绝对值是（   ） A．2025 B． C． D． 【答案】A 【知识点】求一个数的绝对值 【分析】本题考查绝对值．负数的绝对值等于它的相反数，据此即可求得答案． 【详解】解：的绝对值是2025， 故选：A． （2）（24-25七年级下·广东广州·期中）计算： ． 【答案】 【知识点】求一个数的绝对值 【分析】本题考查绝对值化简，掌握“正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．”是解题的关键，按照绝对值的定义化简即可． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． (3)．（23-24七年级下·天津南开·期末）是的绝对值,则 ． 【答案】0 【分析】本题主要考查了绝对值的定义，理解绝对值的定义成为解题的关键． 【详解】解：由题意可得：， 故答案为：． 【变式8-1】（23-24七年级上·河北保定·期末）如图，数轴上有A，B，C，D四个点，其中绝对值最小的数对应的点是（　　）   A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】B 【知识点】用数轴上的点表示有理数、绝对值的几何意义 【分析】本题考查绝对值的意义，根据绝对值的意义可知哪个点离原点越近，则哪个点所对应的数的绝对值就越小，据此判断出绝对值最小的数对应的点是哪个即可． 【详解】解：∵A，B，C，D四个点中，点B离原点最近， ∴绝对值最小的数对应的点是B． 故选：B． 【变式8-2】（23-24七年级上·湖南长沙·期中），则的值为（ ） A．8 B． C．8或 D．以上答案都不对 【答案】C 【知识点】绝对值的几何意义 【分析】本题考查了绝对值，根据正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 【变式8-3】（24-25六年级下·黑龙江大庆·期中）式子取最小值时，x等于_______ 【答案】1 【知识点】绝对值非负性 【分析】本题考查了绝对值的性质：绝对值非负，即绝对值的最小值为0；根据绝对值的最小值性质，当绝对值的表达式为零时，绝对值取得最小值；将原式拆解为绝对值部分和常数部分，确定最小值对应的x值即可． 【详解】解：式子中，的最小值为0， 当且仅当，即时取得； 此时整个式子的值为，为最小值． 【题型九】比较有理数的大小 【例9】（23-24七年级上·福建福州·期末）a，b是有理数，它们在数轴上的对应点位置如图所示，把按照从小到大的顺序排列，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用数轴比较有理数的大小 【分析】本题考查了数轴，有理数大小的比较方法：正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小．由数轴可知，且，那么，即可求解． 【详解】解：由数轴可知，且， 那么， 所以． 故选：C． 【变式9-1】（24-25七上年级上·全国·期中）比较大小∶ ， ．(在横线上填“<”“>”或“=”) 【答案】 > > 【知识点】求一个数的绝对值、有理数大小比较 【分析】本题主要考查绝对值及有理数的大小比较，熟练掌握绝对值的意义及有理数的大小比较是解题的关键；因此此题可根据“正数大于0和负数，0大于负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小”进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴； 故答案为＞，＞． 【变式9-2】（25-26七年级上·全国·期中）比较大小： （填“”“”或“”）． 【答案】 【知识点】求一个数的绝对值、化简多重符号、有理数大小比较 【分析】本题考查了有理数的大小比较、化简多重符号和绝对值，熟练掌握有理数的大小比较法则是解题关键．先化简多重符号和绝对值，再根据有理数的大小比较法则即可得． 【详解】解：，， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式9-3】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）在，，，，，中，最大的数是 ． 【答案】 【知识点】有理数大小比较 【分析】本题考查了有理数的大小比较，根据有理数的大小比较法则即可得解，熟练掌握有理数的大小比较法则是解此题的关键． 【详解】解：， 故， 故最大的数是， 故答案为：． 【题型一】0的意义 【例1】（22-23七年级上·武汉·期中）下列说法中正确的（   ） A．带有“”号的数是负数 B．表示没有温度 C．0是最小的正数 D．0既不是正数，也不是负数 【答案】D 【知识点】正负数的定义、0的意义 【分析】根据所学的相关知识解答即可． 本题考查了有理数的相关知识，熟练掌握知识是解题的关键． 【详解】解：A. 带有“”号的数不一定是负数，错误，不符合题意；     B. 表示温度为0，错误，不符合题意； C. 没有最小的正数，错误，不符合题意；     D. 0既不是正数，也不是负数，正确，符合题意； 故选：D． 【变式1-1】（22-23七年级上·全国·期中）关于“零”的说法正确的是____________ （1）是整数，也是有理数； （2）不是正数，也不是负数； （3）不是整数，是有理数； （4）是整数，不是自然数． A．（1）（4） B．（2）（3） C． D．（1）（3） 【答案】（1）（2） 【知识点】0的意义 【分析】本题主要考查有理数的初步认识，0的意义；根据有理数的初步认识逐一判断即可． 【详解】解：0是整数，也是有理数， 0不是正数，也不是负数， 0也是自然数． ∴（1）（2）正确 【变式1-2】（24-25七年级上·江苏连云港·期中）下列关于有理数的描述： ①有限小数和循环小数都是有理数；②0是非负有理数；③0既不是正数，也不是负数，由此可知0不是有理数；④一个有理数如果不是整数，那么它一定是分数．其中正确的个数是__________ 【答案】3个 【知识点】0的意义、有理数的定义、带“非”字的有理数、有理数的分类 【分析】本题考查有理数的相关概念和分类．根据有理数分为：整数和分数或者分为：正有理数，0，负有理数解答即可，熟记这些内容是解题关键． 【详解】解：有限小数和循环小数都是有理数，故①正确； 0是非负有理数，故②正确； 0既不是正数，也不是负数，是有理数，故③错误； 一个有理数如果不是整数，那么它一定是分数，故④正确． 综上可知正确的个数是3个． 【变式1-2】（24-25七年级上·湖南湘西·期中）下列对“0”的说法正确的个数是________ ①0是正数与负数的分界；②0只表示“什么也没有”；③0可以表示特定的意义，如；④0是正数． 【答案】2 【知识点】0的意义 【分析】本题考查了正数和负数，根据0的意义，逐一判断即可解答． 【详解】①因为正数大于0，负数小于0，所以0是正数与负数的分界，故①正确； ②0除了表示 “什么也没有”，还可以表示其他意义，如等，故②错误； ③0可以表示特定的意义，如，故③正确； ④0既不是正数，也不是负数，故④错误， 综上所述：正确的有①③，共2个. 【题型二】带“非”字的有理数 【例2】．（23-24七年级上·广东梅州·期中）下列各数，2，，0，，0.0123中，非负数的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】此题主要考查了正数和负数．根据正负数的定义便可直接解答，即大于0的数为正数，小于0的数为负数，0既不是正数也不是负数． 【详解】解：根据正数的定义可知，在这一组数中是非负数的有2，0，，0.0123，共有4个． 故选：D． 【变式2-1】（23-24七年级上·陕西咸阳·阶段练习）下列这些数5，，0，，，，，，，是非负整数的是 ． 【答案】5， 0，+8 【分析】本题考查了有理数的分类．根据非负整数包含0和正整数，作答即可． 【详解】解：由题意知，5， 0，+8，是非负整数， 故答案为：5， 0，+8． 【变式2-2】（23-24七年级上·浙江宁波·期中）已知下列各数：，，6，，，，0，其中非负有理数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】此题主要考查了有理数的分类，正确掌握相关定义是解题关键．直接利用非负有理数的定义得出答案即可． 【详解】解：，，，，，，中非负有理数有：，，，共4个． 故选：D． 【题型三】有理数的分类 【例3】（23-24七年级上·青海西宁·期中）把下列的数填在相应的大括号里（将各数用逗号分开） 负数{         …}； 整数{        …}； 正分数{             …}； 有理数{          …}． 【答案】；；； 【知识点】有理数的定义、有理数的分类 【分析】本题考查了有理数的分类，有理数的定义，解题的关键是正确掌握分类的标准以及注意0既不是正数也不是负数．根据有理数的分类填空即可． 【详解】解：负数{…}； 整数{…}； 正分数{…}； 有理数{…}． 【变式3-1】（24-25七年级上·河南商丘·期中）把下列各数填在相应的集合中：15，，，，，，，171，0，，， 正数集合 负分数集合 非负整数集合 有理数集合 【答案】见解析 【知识点】有理数的定义、带“非”字的有理数、有理数的分类 【分析】此题考查有理数的分类，注意解题技巧，正整数、负整数在对应的正数、负数里面找，注意不是有理数．根据正数、负分数、有理数的意义直接把数据分类即可． 【详解】解：正数集合…； 负分数集合…； 非负整数集合…； 有理数集合… 【变式3-2】（24-25七年级上·山东济宁·期中）把下列各数填在相应的括号里． ，，，，，，，，， 整数集合：{                  …} 负分数集合：{                  …} 非负有理数集合：{                  …} 【答案】见解析 【知识点】有理数的定义、带“非”字的有理数、有理数的分类 【分析】本题主要考查了有理数分类，熟练掌握有理数的相关概念和分类，是解答本题的关键．根据整数、分数、正数、负数以及非负有理数的定义解答即可． 【详解】解：，，0，，，，6，，3.14，． 整数集合：{ ，0，}； 负分数集合：{ ，，}； 非负有理数集合：{ ，0，，6，}． 【变式3-3】（24-25七年级上·贵州黔东南·期中）把下列各数分别填入相应的集合里．（填序号即可） ①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧ 正有理数集合：{                        …}； 负有理数集合：{                       …}； 整数集合：{                       …}； 负整数集合：{                       …}； 有理数集合：{                       …}． 【答案】①③④⑧；②⑤⑦；①④⑤⑥；⑤；①②③④⑤⑥⑦⑧ 【知识点】有理数的分类 【分析】本题考查了有理数的定义，熟练掌握有理数的定义是解答本题的关键．有理数可分为整数和分数，整数分正整数，零和负整数；分数分正分数和负分数． 根据有理数的定义作答即可． 【详解】正有理数集合：{①③④⑧…}； 负有理数集合：{ ②⑤⑦…}； 整数集合：{ ①④⑤⑥…}； 负整数集合：{⑤…}； 有理数集合：{①②③④⑤⑥⑦⑧…} 【题型四】多重符号化简 【例4】（24-25七年级上·全国·期中）下列化简，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】化简多重符号 【分析】本题主要考查了化简多重符号，若括号前面“”，化简多重符号时，括号里面的式子不变号，若括号前面是“” ，化简多重符号时，括号里面的式子要变号，据此求解即可． 【详解】解：A、，原式化简错误，不符合题意； B、，原式化简错误，不符合题意； C、，原式化简错误，不符合题意； D、，原式化简正确，符合题意； 故选：D． 【变式4-1】（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）下列化简，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】化简多重符号 【分析】此题考查了化简多重符号，根据化简多重符号法则求解即可． 【详解】解：A．，选项A错误，不符合题意； B．，选项B正确，符合题意； C．，选项C错误，不符合题意； D．，选项D错误，不符合题意． 故选：B． 【变式4-2】（24-25七年级上·全国·期中）下列各组数中，互为相反数的一组是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【知识点】相反数的定义、绝对值的几何意义 【分析】本题考查了相反数的定义，绝对值的定义，根据相反数的定义，绝对值的定义逐项分析即可，掌握相反数的定义和绝对值的定义是解题的关键． 【详解】解：、 ，，原选项不互为相反数，不符合题意； 、 ， ，原选项不互为相反数，不符合题意； 、 与 ，原选项互为相反数，符合题意； 、 与 ，原选项不互为相反数，不符合题意； 故选：． 【变式4-3】（24-25七年级上·安徽合肥·期中）下列各数中，互为相反数的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．0.6和 【答案】B 【知识点】求一个数的绝对值、相反数的定义、化简多重符号 【分析】本题考查了化简多重符号，化简绝对值，相反数的定义．先化简各数，然后根据相反数的定义，即可求解．相反数的定义是：如果两个数只有符号不同，我们称其中一个数为另一个数的相反数，特别地，0的相反数还是0． 【详解】解：A、和，则和不是互为相反数，故该选项不符合题意；     B、和，则和互为相反数，故该选项符合题意；     C、和，则和不是互为相反数，故该选项不符合题意；        D、和，则0.6和不是互为相反数，故该选项不符合题意；         故选：B． 【题型五】绝对值的几何意义 【例5】（2025七年级上·全国·期中）我们知道，的几何意义是：数轴上表示数的点到原点的距离，可以理解为，进一步地，数轴上，表示数的点到表示数的点的距离可以用表示，例如：表示和的两点之间的距离是．根据绝对值的几何意义，当取最小值时，求出所有满足条件的整数有（    ）个 A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】数轴上两点之间的距离、绝对值的几何意义 【分析】本题考查了数轴、绝对值的意义，熟练掌握绝对值的意义是解题关键．先根据绝对值的意义可得当取最小值时，由观察数轴可知表示的点在和之间（包括和），从而可得整数的值，再计算有理数的加法即可得． 【详解】解：指的是在数轴上，表示数的点到表示数和的点的距离之和， 由数轴可知，当取最小值时，表示的点在和之间（包括和）， 所以表示整数的点有，，，，，，， 则所有满足条件的整数有个， 故选：C． 【变式5-1】（24-25七年级上·内蒙古通辽·期中）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法． 【阅读】表示4与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示4与两数在数轴上所对应的两点间的距离． (1)__________； (2)结合数轴找出所有符合条件的整数x，使得，则__________； (3)利用数轴分析，若x是整数，且满足，请求出满足条件的所有x的值的和． 【答案】(1)5 (2)或3 (3) 【知识点】数轴上两点之间的距离、绝对值的几何意义、带有字母的绝对值化简问题 【分析】本题考查了数轴：数轴和绝对值的综合应用，熟练掌握两点间的距离公式是解题的关键． （1）根据绝对值的意义，直接计算即可； （2）根据绝对值的意义，得到数轴上数和之间的距离为4，进而得到数即可； （3）根据绝对值的意义，得到当在和2之间时，，进而确定整数的值，求和即可． 【详解】（1）解：； 故答案为：5． （2）解：表示数轴上数和之间的距离为4， ∴或； 故答案为：或3． （3）解：表示数轴上数到2和之间的距离之和等于7， ∵2和之间的距离为7， ∴当在和2之间时，， ∵为整数， ∴， ∴． 【变式5-2】（24-25七年级上·四川成都·期中）材料阅读：在学习绝对值时，我们知道了绝对值的几何含义，如表示在数轴上对应的两点之间的距离；所以表示、在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示在数轴上对应的点到原点的距离．综上，数轴上两点对应的数分别为，且两点之间的距离可以表示为，则（或）． (1)求________；若，则________； (2)的最小值是________；当________时的最小值是________； (3)若，求的最大值和的最大值． 【答案】(1)，或； (2)，，； (3)的最大值为，的最大值为． 【知识点】绝对值方程、数轴上两点之间的距离、绝对值的几何意义、带有字母的绝对值化简问题 【分析】（）根据有理数的减法法则，把减法化成加法进行计算，然后求出绝对值，最后根据绝对值的性质，列出关于的方程，解方程即可； （）利用绝对值的几何意义和两点间的距离公式，第一、第二问各分三种情况讨论，求出最小值即可； （）先分，，，四种情况讨论，求出的最小值，再分，，，，五种情况讨论，求出的最小值, 从而求出，的取值范围，然后求出答案即可； 本题主要考查了数轴，绝对值的意义，化简绝对值，解题关键是熟练掌握知识点的应用，分类讨论思想． 【详解】（1）解：， ∵， ∴， 解得:或， 故答案为：，或； （2）解：可以看作表示的点到和的距离之和， ∴当点在与之间的线段上，即时，， ∴有最小值，最小值为：， 可以看作表示的点到的距离与到的距离以及到的距离之和， 当时，； 当时，； 当时，； ∴当时，的最小值为， 故答案为：，，； （3）解：当时， ； 当时， ， ∴， 当时， ， ∴， 当时， ， ∴， ∴当时，有最小值，为； 当时， ∴， 当时， ∴， 当时， ； 当时， ， ∴， 当时， ， ∴， ∴当时，有最小值为， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴的最大值为，的最大值为． 【变式5-3】（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）【知识回顾】数轴是非常重要的数学工具，它可以使代数中的推理更加直观．同时我们知道，数轴上表示的数对应的两点之间的距离为．借助数轴解决下列问题：求代数式的最小值. 【答案】225 【知识点】数轴上两点之间的距离、绝对值的几何意义 【分析】本题考查了数轴的应用，数轴上两点之间的距离公式，再根据数轴的定义得代数式表示的意义，确定或16时，有最小值，再代值计算即可． 【详解】解：根据数轴的定义可知，代数式表示，表示点的点到1、2、3、30的距离之和， ∴当时，有最小值， 当时， ． 故答案为：225． 【题型六】有理数概念辨析 【例6】（24-25七年级下·四川乐山·期中）下列表述中，正确的个数是（　　） ①任何数都有相反数；②0是最小的有理数；③存在绝对值最小的数；④绝对值是同一个正数的数有两个，它们互为相反数；⑤绝对值等于它相反数的数只有负数． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【知识点】相反数的定义、绝对值的几何意义 【分析】本此题考查有理数，由相反数的定义、绝对值的定义和性质逐一分析，即可得出正确答案．相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数；正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数． 【详解】解：①相反数：数值相同，符号相反的两个数，从而可知任何数都有相反数，故①正确； ②没有最小的有理数，故②错误； ③绝对值最小的数是0，故存在绝对值最小的数，故③正确； ④负数的绝对值是正数，正数的绝对值是它本身，所以绝对值是同一个正数的数有两个，它们互为相反数，故④正确； ⑤绝对值等于它相反数的数是0或负数，故⑤错误； 所以正确说法有①③④，共3个． 故选：B． 【变式6-1】（23-24七年级上·内蒙古鄂尔多斯·阶段练习）下列说法错误的有（　　） ①绝对值是它本身的数是正数；②任何有理数都有倒数；③有理数分为正有理数和负有理数；④在数轴上7与9之间的有理数是8；⑤数轴上表示的点一定在原点的左边． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【知识点】有理数的分类、用数轴上的点表示有理数、绝对值的几何意义、倒数 【分析】本题主要考查了绝对值和倒数的定义，有理数的分类，有理数与数轴等等，熟知相关知识是解题的关键． 【详解】解：①绝对值是它本身的数是正数和0，原说法错误； ②任何有理数（0除外）都有倒数，原说法错误； ③有理数分为正有理数，负有理数和0，原说法错误； ④在数轴上7与9之间的有理数有无数个，原说法错误； ⑤数轴上表示的点不一定在原点的左边，例如时，在原点右边，原说法错误． ∴说法错误的有5个， 故选：D． 【变式6-2】（24-25七年级上·湖南湘西·期中）下列说法中，其中错误的说法的个数为（       ） 0是最小的整数；有理数不是正数就是负数；正整数、负整数、正分数、负分数统称为有理数；非负数就是正数；带“”号的数一定是负数；正数中没有最小的数，负数中没有最大的数； A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的分类、有理数的定义，根据有理数的分类以及有理数的定义逐项分析即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：0是绝对值最小的整数，故①错误，符合题意； 有理数不是正数就是负数或0，故②错误，符合题意； 整数和分数统称为有理数，故③错误，符合题意； 非负数就是正数或0，故④错误，符合题意； 带“”号的数不一定是负数，故⑤错误，符合题意； 正数中没有最小的数，负数中没有最大的数，故⑥正确，不符合题意； 综上所述，错误的有①②③④⑤，共5个， 故选：C． 【变式6-3】（24-25七年级上·湖南常德·期中）下列说法中正确的有（    ） ①一个数前面加上“”号就是负数；②非负数就是正数；③0既不是正数，也不是负数；④正数和负数统称为有理数；⑤正整数与负整数统称为整数；⑥正分数与负分数统称为分数；⑦0是最小的整数；⑧最大的负数是． A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的分类的知识，解题的关键是熟练掌握有理数的分类， 根据负数的定义可判断；根据有理数的分类可判断②③④；根据整数和分数的分类可判断⑤⑥；根据既没有最小的整数也没有最大的负数可判断⑦⑧． 【详解】解：①一个数前面加上“”号不一定是负数，如，故①不正确；； ②非负数不仅有正数还有0，故②不正确； ③0既不是正数，也不是负数，故③正确； ④正数，0和负数统称为有理数；故④不正确； ⑤正整数，0与负整数统称为整数，故⑤不正确； ⑥正分数与负分数统称为分数，故⑥正确； ⑦没有最小的整数，故不正确； ⑧没有最大的负数．故不正确． 所以，上列说法中正确的是③⑥：正确的个数是2个， 故选：． 【题型七】数轴上动点问题 【例7】（24-25七年级上·福建福州·期中）已知是数轴上的一个点，把向左移动4个单位后，这时它到原点的距离是5个单位，则点表示的数是 ． 【答案】或 【知识点】数轴上点的平移（动点问题） 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，理解题意是解题的关键． 根据题意，平移之后到原点的距离是5个单位，即表示的是5或者，即可求得平移之前点表示的数． 【详解】解：依题意平移之后到原点的距离是5个单位，即表示的是5或者， 则． 故答案为：或． 【变式7-1】（25-26七年级上·湖南衡阳·期中）在数轴上，点A表示的数为，点表示的数为，点从A出发，以每秒个单位长度的速度向运动，到达后立即返回，当 秒时，点到点A的距离是个单位长度． 【答案】或 【知识点】数轴上两点之间的距离 【分析】本题考查数轴上动点问题，数轴上两点间的距离，掌握相关知识是解决问题的关键．先求出距离，分从A到B点和从B点返回两种情况解答，利用距离除以速度等于时间求解即可． 【详解】解：∵点A表示的数为，点表示的数为， ∴， 点从A出发到达恰好距离A点个单位长度运动，用时秒， ∴， 到达后立即返回，再走个单位长度距离A点个单位长度，用时秒， 此时． 故答案为：或． 【变式7-2】（24-25九年级下·福建泉州·期中）如图，A，B，C是数轴上的三个点，点C在点B的右侧，点A，B表示的数分别是1，3，若，则点C表示的数是 ． 【答案】4 【知识点】数轴上两点之间的距离 【分析】本题考查了数轴，关键是要能求出和的长度． 先利用点A、B表示的数计算出，再计算出，然后计算点C到原点的距离即可得到C点表示的数． 【详解】解：∵点A，B表示的数分别是1，3， ， ， ∵点C在点B的右侧， ∴点C表示的数是 故答案为：4． 【变式7-3】（23-24七年级上·广东深圳·期末）已知：，c比b大2． (1)______，______，______． (2)在数轴上，点A，B，C分别对应实数a，b，c． ①数轴上点P到点A的距离是点P到点B的距离的2倍，求点P对应的数． ②动点M从点A出发以4个单位速度向右运动，动点N从点B出发以1个单位速度向右运动，点D在数轴上对应的数是10，动点M与动点N同时出发，当M运动到D后立即以原来的速度向左运动，当点M到达出发点A时，两个动点同时停止运动，设运动时间是t，当______时，M、N两点到点C的距离相等（直接写出t的值）． 【答案】(1)；4；6 (2)①点P表示的数为2或10；②或或 【知识点】绝对值方程、绝对值非负性、动点问题（一元一次方程的应用）、数轴上两点之间的距离 【分析】（1）根据非负数的性质求出a、b的值，再求出c的值即可； （2）①设点P表示的数为x，根据点P到点A的距离是点P到点B的距离的2倍得出，分三种情况进行讨论即可； ②分两种情况：当动点M向右运动时，当动点M向左运动时，分别求出t的值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 解得：，， ∵c比b大2， ∴； 故答案为：；4；6． （2）解：①设点P为x，则点P到点A的距离是：，点P到点B的距离是：， 由点P到点A的距离是点P到点B的距离的2倍可得： ， 当时，， 解得：，不符合题意舍去； 当时，， 解得：； 当时，， 解得：； 综上分析可知，点P表示的数为2或10． ②当动点M向右运动时，即， 动点M从点A出发以4个单位速度向右运动， 点M对应实数为， 动点N从点B出发以1个单位速度向右运动， 点N对应实数为， 对应实数为6， ，， M、N两点到点C的距离相等， ， ∴， ∴， ∴， ∴； 当动点M向左运动时，即， 动点M从D出发以4个单位速度向左运动， 点M对应实数为， ，， M、N两点到点C的距离相等， ， 解得：或； 综上分析可知，或或时，M、N两点到点C的距离相等． 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了非负数的性质，数轴上两点间距离，绝对值意义，解绝对值方程，数轴上点表示有理数，解题关键是“ 【题型一】非负+非负=0 ·适用方程形式：. ·求解方法：A=0,B=0 【例1】（23-24七年级上·湖南衡阳·期末）已知，那么代数式的值为（    ） A．1 B． C． D．2024 【答案】A 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、绝对值非负性、有理数的乘方运算 【分析】本题主要考查了代数式求值、绝对值和偶次方的非负性．根据绝对值和偶次方的非负性求得x、y的值，然后代入求解即可． 【详解】解：， ， 解得：， ∴， 故选：A． 【变式1-1】（23-24七年级上·广东东莞·期中）如果，那么的值是（    ） A． B．1 C． D．2022 【答案】A 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、绝对值非负性、有理数的乘方运算 【分析】本题考查了绝对值的非负性，有理数的乘方，代数式求值，根据，计算的值，然后代入求解即可，熟练掌握绝对值的非负性是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， ∴， ∴， 故选：A． 【变式1-2】（23-24七年级上·湖南株洲·期中）若，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】绝对值非负性、有理数的乘方运算 【分析】本题考查的是非负数的性质．利用非负数的性质先求解，，再代入代数式进行求值即可． 【详解】解：∵， ∴且， 解得：，， ∴， 故选：A． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $