第2讲 二次函数图像与系数关系 讲义 2026−2027学年浙教版九年级数学上册

第2讲 二次函数图像与系数关系 优等生讲义 2026-2027 浙教版九年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解二次项系数a、一次项系数b、常数项c对抛物线图象的影响 · 掌握由二次函数图象判断a、b、c符号的方法 · 掌握图象上点的坐标特征，能比较函数值大小 · 掌握二次函数图象的平移、对称等几何变换规律 · 会求二次函数的最大值与最小值 📚 知识梳理 ☆ 1.1.1 二次函数图象与系数的关系 a的符号决定开口方向：a>0开口向上，a<0开口向下；|a|越大开口越小 a、b共同决定对称轴位置：对称轴x=-b/2a，b=0时对称轴为y轴；a、b同号对称轴在y轴左侧，异号在右侧 c决定抛物线与y轴交点：c>0交点在y轴正半轴，c=0过原点，c<0交点在y轴负半轴 b²-4ac决定与x轴交点个数：>0两个交点，=0一个交点，<0无交点 概念辨析例题：已知二次函数y=ax²+bx+c的图象开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴为直线x=1，判断a、b、c的符号． 解析：开口向下得a<0；与y轴交于正半轴得c>0；对称轴x=-b/2a=1>0，且a<0，则b=-2a>0，故a<0，b>0，c>0． ☆ 2.1.2 二次函数图象上点的坐标特征 点在函数图象上⇔点的坐标满足函数解析式，可代入求参数或函数值 比较函数值大小：确定开口方向与对称轴，离对称轴越远的点函数值越大（开口向上）或越小（开口向下） 图象与坐标轴的交点：令x=0求与y轴交点，令y=0解方程求与x轴交点 图象与直线的交点：联立解析式解方程组 概念辨析例题：已知A(-1,y₁)、B(2,y₂)、C(5,y₃)是抛物线y=x²-2x+1上的三点，比较y₁、y₂、y₃的大小． 解析：对称轴x=1，开口向上。离对称轴越远函数值越大：A距对称轴2，B距1，C距4，所以y₃>y₁>y₂． ☆ 3.1.3 二次函数图象与几何变换 平移规律：左加右减（x方向）、上加下减（y方向），顶点坐标相应平移 关于x轴对称：y=f(x)变为y=-f(x)；关于y轴对称：y=f(x)变为y=f(-x) 绕原点旋转180°：y=f(x)变为y=-f(-x)，a变号、顶点关于原点对称 平移不改变开口大小与方向，只改变顶点位置；对称变换会改变a的符号 概念辨析例题：将抛物线y=2x²先向左平移3个单位，再向上平移1个单位，求所得抛物线解析式． 解析：y=2x²顶点为(0,0)，平移后顶点为(-3,1)，所以所得抛物线为y=2(x+3)²+1． ☆ 4.1.4 二次函数的最值 二次函数y=ax²+bx+c在顶点处取得最值：a>0时最小值为(4ac-b²)/4a，a<0时最大值为(4ac-b²)/4a 顶点式y=a(x-h)²+k直接读出最值k（对应x=h） 给定区间[m,n]求最值：先看对称轴x=-b/2a是否在区间内，结合开口方向比较端点值与顶点值 配方是求最值的基本方法：y=a(x+b/2a)²+(4ac-b²)/4a 概念辨析例题：求二次函数y=x²-4x+3在-1≤x≤3范围内的最大值与最小值． 解析：配方得y=(x-2)²-1，对称轴x=2在区间内，开口向上，所以最小值在x=2处取-1；最大值在端点x=-1处取8． 📋 知识总结表 要素 内容 注意点 开口方向 a>0向上，a<0向下 由a的符号决定 对称轴 x=-b/2a a、b同号在y轴左侧 与y轴交点 (0,c) c决定交点位置 与x轴交点 由b²-4ac决定 判别式定个数 图象平移 左加右减、上加下减 只移顶点位置 最值 顶点处取得 a>0最小、a<0最大 ⚠️ 核心考点 【考点1：二次函数图象与系数的关系】 · 由a定开口方向与开口大小，由a、b定对称轴位置，由c定与y轴交点，由b²-4ac定与x轴交点个数。 · a、b同号对称轴在y轴左侧，异号在右侧，b=0对称轴为y轴 · 对称轴x=1时可推b=-2a，是代数变形常用突破口 · 看图象开口、对称轴、交点坐标综合判断系数符号 1．（2026秋•金山区校级月考）二次函数y＝ax2+h的图象的顶点在y轴正半轴上，开口向下，则a、h的符号为（　　） A．a＞0，h＞0 B．a＜0，h＞0 C．a＜0，h＜0 D．a＞0，h＜0 2．（2026•福州模拟）二次函数y＝ax2+bx+c，无论x为何值，函数值y＞0总是成立的条件是（　　） A．a＞0，b2﹣4ac＞0 B．a＜0，b2﹣4ac＞0 C．a＞0，b2﹣4ac＜0 D．a＜0，b2﹣4ac＜0 3．（2025秋•中山市校级月考）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的正半轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线x＝2，且OA＝OC．有下列结论：①abc＜0；②3b+4c＜0；③c＞﹣1；④关于x的方程ax2+bx+c＝0有一个根为，其中正确的结论个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（2026•成都）已知二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数y的几组对应值如表： x … ﹣2 ﹣1 0 1 3 … y … 3 4 3 0 ﹣12 … 下列说法错误的是（　　） A．函数图象的开口向下 B．函数图象的对称轴是直线x＝﹣1 C．2a+c＝0 D．b2﹣4ac＞0 5．（2026•阜阳三模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论错误的是（　　） A． B．b＜10 C．abc＜0 D．a+b+c＝2 6．（2026秋•金山区校级月考）如果抛物线y＝（a﹣2）x2+2x+3开口朝下，则a的取值范围是________ ． 7．（2026秋•同步）对于抛物线y＝ax2+bx+c，当b2﹣4ac＞0时，方程ax2+bx+c＝0的实数根的情况是______________ ，抛物线与x轴的交点有_____ 个；当b2﹣4ac＝0时，方程ax2+bx+c＝0的实数根的情况是_____________ ，抛物线与x轴的交点有_____ 个；当b2﹣4ac＜0时，方程ax2+bx+c＝0的实数根的情况是__________ ，抛物线与x轴的交点有_____ 个． 8．（2025秋•宝山区期末）已知抛物线y＝（m﹣1）x2+3x﹣1开口向下，那么m的取值范围是________ ． 9．（2026秋•西城区校级月考）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2bx的对称轴为直线x＝_____ （用含b的式子表示）；若抛物线上存在两点A（b﹣1，y1）和B（b+2，y2），当y1•y2＜0时，b的取值范围为__________________ ． 10．（2026秋•北京校级月考）二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，对称轴为x，且图象经过点（2，0）．下列说法： ①abc＜0； ②c﹣2b＝0； ③若，是抛物线上的两点，则y1＜y2； ④a﹣b+c＞0； ⑤b+c＞m（am+b）+c（其中m）． 其中正确的结论是________ ． 11．（2026秋•北京校级月考）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2bx的对称轴为直线x＝_____ （用含b的式子表示）；若抛物线上存在两点A（b﹣1，y1）和B（b+2，y2），当y1•y2＜0时，b的取值范围为__________________ ． 12．（2026•泰山区校级模拟）已知二次函数y＝x2+bx+c． （1）若点P（﹣2，c）在该函数图象上，求此函数图象的对称轴； （2）在（1）的基础上，若c＝﹣3，当﹣5≤x≤1时，求二次函数的最大值； （3）若该函数在x≤1时，y随x增大而减小；在x≥3时，y随增大而增大，请求出b的取值范围． 【考点2：二次函数图象上点的坐标特征】 · 点在图象上即坐标满足解析式，代入建立方程求参数或函数值。 · 比较函数值大小：先定开口方向与对称轴，按点到对称轴的距离判断 · 求与坐标轴交点：令x=0、y=0分别代入 · 两个函数图象的交点：联立方程组求解 13．（2026秋•红桥区月考）若A（﹣1，y1），B（2，y2），C（5，y3）在二次函数y＝﹣x2+6x+c（c为常数）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（　　） A．y2＜y3＜y1 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y3 14．（2025秋•盖州市期末）已知二次函数y＝a（x﹣1）2+1（a＞0）的图象上有三个点，其坐标分别为A（2，y1）、B（3，y2）、C（﹣4，y3），则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y3＞y1＞y2 D．y3＞y2＞y1 15．（2025秋•泗水县期末）点P1（﹣1，y1），，P3（6，y3）均在二次函数y＝mx2﹣2mx+1（m＞0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y3＞y2＞y1 C．y2＞y3＞y1 D．y3＞y1＞y2 16．（2026秋•西城区校级月考）已知A（4，y1），B（1，y2），C（﹣3，y3）在函数y＝﹣（x﹣2）2+2的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y3＜y1＜y2 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y2＜y1 D．y1＜y2＜y3 17．（2026秋•南岗区校级月考）二次函数y＝（x﹣1）2与y轴的交点坐标为__________ ． 18．（2026秋•海淀区校级月考）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在二次函数y＝﹣x2+4x﹣1的图象上，其中1＜x1＜2，3＜x2＜4，那么y1_____ y2（填“＞”，“＝”或“＜”）． 19．（2025秋•长安区校级期末）已知，B（2，y2），是二次函数y＝﹣（x﹣1）2+m的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是_____________ ． 20．（2026秋•同步）若二次函数y＝﹣x2+6x+c的图象经过点A（﹣1，y1），B（5，y2），则y1，y2的大小关系是__________ （用“＜”连接）． 21．（2026秋•西湖区校级单元）已知二次函数y＝a（x﹣1）2+1（a＞0）的图象上有两个点，分别为（2，y1），（3，y2），则y1，y2的大小关系是_____ ． 22．（2026•上海自主招生）若存在同一个实数x0，使得点P（x0，y1）在函数C1的图象上，点Q（x0，y2）在函数C2的图象上，且y1﹣y2＝λ，则称两个函数C1，C2是“λ相关的”．若函数y1＝x2﹣2x与y2＝ax﹣3是“2相关的”，则实数a的取值范围为_____________ ． 23．（2026秋•同步）点A（﹣4，16）在二次函数y＝x2的图象上吗？为什么？请分别写出点A关于x轴、y轴的对称点B，C的坐标．点B，C在二次函数y＝x2的图象上吗？ 【考点3：二次函数图象与几何变换】 · 平移：左加右减、上加下减，等价于顶点坐标平移，a不变。 · 关于x轴对称：y→-y；关于y轴对称：x→-x · 翻折、旋转时注意a的符号变化 · 变换后求解析式：先找新顶点，再按顶点式写出 24．（2026秋•红桥区月考）将二次函数y＝2x2的图象先向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，所得函数图象的表达式为（　　） A．y＝2（x+3）2+4 B．y＝2（x+3）2﹣4 C．y＝2（x﹣3）2+4 D．y＝2（x﹣3）2﹣4 25．（2025秋•夏县期末）在平面直角坐标系中，将二次函数y＝（x+1）2+3的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（　　） A．y＝（x+3）2+2 B．y＝（x﹣1）2+2 C．y＝（x﹣1）2+4 D．y＝（x+3）2+4 26．（2026•惠安县一模）将抛物线y＝x2向左平移2个单位，再向下平移3个单位，则得到的抛物线解析式是（　　） A．y＝（x﹣2）2﹣3 B．y＝（x﹣2）2+3 C．y＝（x+2）2﹣3 D．y＝（x+2）2+3 27．（2026秋•萨尔图区校级月考）抛物线y＝x2﹣2x+3向右平移2个单位长度后的顶点坐标是（　　） A．（2，3） B．（3，2） C．（﹣3，2） D．（4，2） 28．（2026秋•红桥区月考）若二次函数的二次项系数为1，则它可表示为y＝x2+px+q（p，q为常数），我们称[p，q]为该二次函数的特征数，如二次函数y＝x2+2x+3的特征数是[2，3]． （Ⅰ）若一个二次函数的特征数为[﹣6，1]，则它的顶点坐标为___________ ； （Ⅱ）若一个二次函数的特征数为[4，﹣1]，将该二次函数的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，则平移后的图象所对应的二次函数的特征数为___________ ． 29．（2025秋•白塔区校级期末）抛物线y＝﹣2x2向下平移1个单位，再向右平移3个单位后的解析式是 _________________ ． 30．（2026秋•金山区校级月考）二次项系数之和为1，且顶点关于x轴对称的两个二次函数称作互为“关联函数”，那么函数y＝﹣x2﹣2x+1的“关联函数”的解析式是 _____________ ． 31．（2026秋•金山区校级月考）将二次函数y＝x2﹣2x+1的图象向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到的二次函数图象的顶点坐标是____________ ． 32．（2026秋•同步）抛物线y（x﹣1）2+2可由抛物线y向_____ 平移_____ 个单位长度，再向_____ 平移_____ 个单位长度得到． 33．（2026秋•同步）已知函数，函数y1的图象和已知函数的图象关于y轴成轴对称，函数y2的图象和已知函数的图象关于原点成中心对称． （1）求y1，y2的表达式． （2）函数y1和y2的图象有怎样的位置关系？请证明你的结论． 34．（2026秋•同步）将抛物线向上平移1个单位长度，求平移后所得的抛物线表达式，并判断它的开口方向，写出对称轴和顶点． 【考点4：二次函数的最值】 · 求最值首选配方法：y=a(x-h)²+k，最值为k。 · 给定区间最值：对称轴在区间内看顶点，否则看两端点 · 开口向上有最小值，开口向下有最大值 · 实际应用题最值要注意自变量取值范围 35．（2025秋•东台市期末）若二次函数y＝﹣x2+4x+9在t≤x≤t+3的范围内的最大值为4，则实数t的值为（　　） A．﹣4或5 B．﹣1或5 C．﹣1或7 D．﹣4或7 36．（2026秋•南开区校级月考）四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8cm，AD＝10cm，BC＝16cm．动点M从点B出发，以2cm/s的速度沿边BA、边AD向终点D运动；动点N从点C同时出发，以1cm/s的速度沿边CB向终点B运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为ts．当t＝2s时，点M，N的位置如图所示，有下列结论：①当t＝6s时，CN＝DM；②当1≤t≤2时，△BMN的最大面积为28cm2；③t有两个不同的值满足△BMN的面积为39cm2．其中，正确结论是（　　） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 37．（2026秋•杭州月考）二次函数y＝x2﹣4x+m在﹣1≤x≤3范围内的最小值为﹣1，则m的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 38．（2026•云浮二模）已知二次函数y＝x2+mx+n的图象经过点（1，3），则代数式mn+1有（　　） A．最小值﹣2 B．最小值2 C．最大值﹣2 D．最大值2 39．（2026•滨海新区一模）四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝5cm，AD＝7cm，BC＝10cm．动点M从点B出发，以2cm/s的速度沿边BA，边AD向终点D运动；动点N从点C同时出发，以1cm/s的速度沿边CB向终点B运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为ts．当t＝2s时，点M，N的位置如图所示．有下列结论： ①当t＝4s时，BN＝DM； ②当1≤t≤2.5时，△BMN的最大面积为25cm2； ③当t为2s和3.6s时，满足△BMN的面积为16cm2． 其中，正确结论的个数是（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 40．（2026秋•红桥区月考）若二次函数y＝x2+4x+m（m为常数）的最小值为3m，则m的值为_______ ． 41．（2026秋•金山区校级月考）二次函数y＝2（x+3）2+4有最_____ 值．（填：“大”或“小”） 42．（2026秋•同步）若二次函数的图象有最高点，则m＝_______ ． 43．（2026•常州校级模拟）二次函数y＝（x﹣1）2﹣4的最小值是_______ ． 44．（2026•龙湾区校级开学）当﹣2≤x≤3时，函数y＝﹣x2﹣2x+3有最大值_____ ． 45．（2026秋•裕安区校级同步）已知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A（﹣1，﹣5），B（1，﹣9）． （1）求b，c的值． （2）求当﹣5≤x≤﹣3时，二次函数y＝x2+bx+c的最大值． 💯 课后巩固 复习建议 · 由a、b、c及判别式判断抛物线特征，抓开口、对称轴、交点 · 比较函数值大小：先看开口方向与对称轴，再看点到对称轴的距离 · 图象变换：左加右减、上加下减，对称变换注意a的符号 · 求最值优先配方，区间最值要结合对称轴与端点 · 点在图象上⇔坐标满足解析式，代入可求参数 【作业1】（2026秋•金山区校级月考）已知二次函数y＝kx2﹣2x+1（k为常数）的图象与x轴有两个交点． （1）求k的取值范围； （2）若此二次函数图象与x轴的两个交点之间的距离为1，求k的值． 【作业2】（2026秋•同步）（1）关于x的二次函数y＝ax2+a2﹣3有最小值1，求a的值； （2）抛物线y＝ax2+a﹣2的顶点在x轴的下方，求a的取值范围． 【作业3】（2026秋•同步）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）经过点（1，0），判断下列结论是否正确，并说明理由． （1）a+b+c＝0； （2）关于x的方程ax2+bx+（b+c）＝0有两个不相等的实根． 【作业4】（2026秋•萨尔图区校级月考）已知二次函数y＝x2﹣2mx+2m﹣1（m为常数）． （1）求证：不论m为何值该函数图象与x轴必有公共点； （2）已知点A（﹣3，y1），B（1，y2）在二次函数图象上，若y1＞y2，则m的取值范围是_________ ． 【作业5】（2026秋•同步）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）分别在抛物线y和y上． （1）当x1＝x2＝2时，y1比y2大（或小）多少？ （2）当y1＝y2＝2时，|x1|比|x2|大（或小）多少？ 【作业6】（2026秋•同步）已知关于x的二次函数y＝x2﹣ax+a+3的图象在直线y＝4上截得的线段长为1，求a的值． 【作业7】（2026秋•同步）求二次函数y＝x2﹣4x的图象与直线y＝﹣4的交点坐标． 【作业8】（2026秋•同步）已知点A（2，﹣1），B（﹣3，m）都在抛物线y＝ax2上，求a及m的值． 【作业9】（2026秋•同步）将抛物线y＝﹣3x2向左平移2个单位长度，求平移后所得的抛物线表达式．判断平移后的抛物线有最高点还是最低点，并求出其坐标． 【作业10】（2026秋•同步）二次函数y与y的图象有什么共同特征和不同特征？它们的图象有怎样的对称关系？如果画出了其中一个函数的图象，如何用简单的方法画出另外一个函数的图象？ 【作业11】（2026秋•同步）分别写出抛物线y＝﹣2x2经过下列两次平移后得到的抛物线表达式： （1）先向左平移5个单位长度，再向下平移个单位长度； （2）先向右平移个单位长度，再向上平移4个单位长度． 【作业12】（2026秋•同步）求下列二次函数的最大值或最小值： （1）y＝5x2+3x+2； （2）y＝﹣x2+6x﹣3； （3）； （4）． 【作业13】（2026秋•同步）说出下列二次函数的最大值或最小值： （1）； （2）． 【作业14】（2026秋•同步）通过配方，将下列函数的表达式化为y＝a（x+m）2+h的形式．判断这些二次函数有最大值还是最小值，并求出自变量x的相应取值． （1）y＝2x2+4x+5； （2）yx2﹣2x+5． 【作业15】（2026秋•同步）求下列函数的最大值或最小值： （1）y＝3x2+2x； （2）y＝﹣2x2+8x﹣8． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2讲 二次函数图像与系数关系 优等生讲义 2026-2027 浙教版九年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 理解二次项系数a、一次项系数b、常数项c对抛物线图象的影响 · 掌握由二次函数图象判断a、b、c符号的方法 · 掌握图象上点的坐标特征，能比较函数值大小 · 掌握二次函数图象的平移、对称等几何变换规律 · 会求二次函数的最大值与最小值 📚 知识梳理 ☆ 1.1.1 二次函数图象与系数的关系 a的符号决定开口方向：a>0开口向上，a<0开口向下；|a|越大开口越小 a、b共同决定对称轴位置：对称轴x=-b/2a，b=0时对称轴为y轴；a、b同号对称轴在y轴左侧，异号在右侧 c决定抛物线与y轴交点：c>0交点在y轴正半轴，c=0过原点，c<0交点在y轴负半轴 b²-4ac决定与x轴交点个数：>0两个交点，=0一个交点，<0无交点 概念辨析例题：已知二次函数y=ax²+bx+c的图象开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴为直线x=1，判断a、b、c的符号． 解析：开口向下得a<0；与y轴交于正半轴得c>0；对称轴x=-b/2a=1>0，且a<0，则b=-2a>0，故a<0，b>0，c>0． ☆ 2.1.2 二次函数图象上点的坐标特征 点在函数图象上⇔点的坐标满足函数解析式，可代入求参数或函数值 比较函数值大小：确定开口方向与对称轴，离对称轴越远的点函数值越大（开口向上）或越小（开口向下） 图象与坐标轴的交点：令x=0求与y轴交点，令y=0解方程求与x轴交点 图象与直线的交点：联立解析式解方程组 概念辨析例题：已知A(-1,y₁)、B(2,y₂)、C(5,y₃)是抛物线y=x²-2x+1上的三点，比较y₁、y₂、y₃的大小． 解析：对称轴x=1，开口向上。离对称轴越远函数值越大：A距对称轴2，B距1，C距4，所以y₃>y₁>y₂． ☆ 3.1.3 二次函数图象与几何变换 平移规律：左加右减（x方向）、上加下减（y方向），顶点坐标相应平移 关于x轴对称：y=f(x)变为y=-f(x)；关于y轴对称：y=f(x)变为y=f(-x) 绕原点旋转180°：y=f(x)变为y=-f(-x)，a变号、顶点关于原点对称 平移不改变开口大小与方向，只改变顶点位置；对称变换会改变a的符号 概念辨析例题：将抛物线y=2x²先向左平移3个单位，再向上平移1个单位，求所得抛物线解析式． 解析：y=2x²顶点为(0,0)，平移后顶点为(-3,1)，所以所得抛物线为y=2(x+3)²+1． ☆ 4.1.4 二次函数的最值 二次函数y=ax²+bx+c在顶点处取得最值：a>0时最小值为(4ac-b²)/4a，a<0时最大值为(4ac-b²)/4a 顶点式y=a(x-h)²+k直接读出最值k（对应x=h） 给定区间[m,n]求最值：先看对称轴x=-b/2a是否在区间内，结合开口方向比较端点值与顶点值 配方是求最值的基本方法：y=a(x+b/2a)²+(4ac-b²)/4a 概念辨析例题：求二次函数y=x²-4x+3在-1≤x≤3范围内的最大值与最小值． 解析：配方得y=(x-2)²-1，对称轴x=2在区间内，开口向上，所以最小值在x=2处取-1；最大值在端点x=-1处取8． 📋 知识总结表 要素 内容 注意点 开口方向 a>0向上，a<0向下 由a的符号决定 对称轴 x=-b/2a a、b同号在y轴左侧 与y轴交点 (0,c) c决定交点位置 与x轴交点 由b²-4ac决定 判别式定个数 图象平移 左加右减、上加下减 只移顶点位置 最值 顶点处取得 a>0最小、a<0最大 ⚠️ 核心考点 【考点1：二次函数图象与系数的关系】 · 由a定开口方向与开口大小，由a、b定对称轴位置，由c定与y轴交点，由b²-4ac定与x轴交点个数。 · a、b同号对称轴在y轴左侧，异号在右侧，b=0对称轴为y轴 · 对称轴x=1时可推b=-2a，是代数变形常用突破口 · 看图象开口、对称轴、交点坐标综合判断系数符号 1．（2026秋•金山区校级月考）二次函数y＝ax2+h的图象的顶点在y轴正半轴上，开口向下，则a、h的符号为（　　） A．a＞0，h＞0 B．a＜0，h＞0 C．a＜0，h＜0 D．a＞0，h＜0 【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征． 【分析】先根据二次函数的性质得到顶点坐标为（0，h），则h＞0，然后根据图象的开口方向得到a＜0，从而可对各选项进行判断． 【解答】解：二次函数y＝ax2+h的图象的顶点坐标为（0，h）， ∵顶点在y轴正半轴上， ∴h＞0， ∵二次函数图象的开口向下， ∴a＜0． 故选：B． 【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数的性质是解决的关键． 2．（2026•福州模拟）二次函数y＝ax2+bx+c，无论x为何值，函数值y＞0总是成立的条件是（　　） A．a＞0，b2﹣4ac＞0 B．a＜0，b2﹣4ac＞0 C．a＞0，b2﹣4ac＜0 D．a＜0，b2﹣4ac＜0 【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x轴的交点． 【分析】依据题意，由无论x为何值，函数值y＞0，从而二次函数的图象总在x轴的上方，可得抛物线开口向上，与x轴无交点，故b2﹣4ac＜0，进而可以判断得解． 【解答】解：由题意，∵无论x为何值，函数值y＞0， ∴二次函数的图象总在x轴的上方． ∴抛物线开口向上，与x轴无交点． ∴b2﹣4ac＜0． 故选：C． 【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数图象与系数的关系，解题的关键是掌握二次函数的图象与性质． 3．（2025秋•中山市校级月考）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的正半轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线x＝2，且OA＝OC．有下列结论：①abc＜0；②3b+4c＜0；③c＞﹣1；④关于x的方程ax2+bx+c＝0有一个根为，其中正确的结论个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x轴的交点． 【分析】由二次函数图象的开口方向、对称轴及与y轴的交点可分别判断出a、b、c的符号，从而可判断①；由对称轴2可知a，由图象可知当x＝1时，y＞0，可判断②；由OA＝OC，且OA＜1，可判断③；把代入方程整理可得ac2﹣bc+c＝0，结合③可判断④；从而可得出答案． 【解答】解：∵图象开口向下， ∴a＜0， ∵对称轴为直线x＝2， ∴0， ∴b＞0， ∵与y轴的交点在x轴的下方， ∴c＜0， ∴abc＞0，故①错误，不符合题意． ∵对称轴为直线x＝2， ∴2， ∴a， ∵由图象可知当x＝1时，y＞0， ∴a+b+c＞0， ∴4a+4b+4c＞0， ∴4×（）+4b+4c＞0， ∴3b+4c＞0，故②错误，不符合题意． ∵由图象可知OA＜1，且OA＝OC， ∴OC＜1，即﹣c＜1， ∴c＞﹣1，故③正确，符合题意． ∵假设方程的一个根为x，把x代入方程可得c＝0， ∴ac﹣b+1＝0， ∴ac2﹣bc+c＝0， ∴方程有一个根为x＝﹣c， 由③可知﹣c＝OA，而当x＝OA是方程的根， ∴x＝﹣c是方程的根，即假设成立，故④正确，符合题意． 故选：B． 【点评】本题主要考查二次函数的图象和性质．熟练掌握图象与系数的关系以及二次函数与方程、不等式的关系是解题的关键．特别是利用好题目中的OA＝OC是解题的关键． 4．（2026•成都）已知二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数y的几组对应值如表： x … ﹣2 ﹣1 0 1 3 … y … 3 4 3 0 ﹣12 … 下列说法错误的是（　　） A．函数图象的开口向下 B．函数图象的对称轴是直线x＝﹣1 C．2a+c＝0 D．b2﹣4ac＞0 【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x轴的交点． 【分析】先利用待定系数法求出二次函数的解析式，再逐项判断即可． 【解答】解：将点 （﹣1，4），（1，0），（0，3）代入y＝ax2+bx+c得：， 解得， ∴二次函数的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3， ∵a＝﹣1＜0， ∴函数图象的开口向下，则选项A正确； 将二次函数y＝﹣x2﹣2x+3化成顶点式为y＝﹣（x+1）2+4， ∴函数图象的对称轴是直线x＝﹣1，则选项B正确； 又∵a＝﹣1，b＝﹣2，c＝3， ∴2a+c＝2×（﹣1）+3＝1，则选项C错误； b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×（﹣1）×3＝16＞0，则选项D正确， 故选：C． 【点评】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，抛物线与x轴的交点，掌握其相关知识点是解题的关键． 5．（2026•阜阳三模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论错误的是（　　） A． B．b＜10 C．abc＜0 D．a+b+c＝2 【考点】二次函数图象与系数的关系． 【分析】把（1，2）代入解析式可判断D正确；根据对称轴、开口方向、与y轴的交点可判断C正确；由a+b+c＝2得a+b＝2﹣c＞2，结合b＜2a可判断A正确；举反例可判断B错误． 【解答】解：把（1，2）代入y＝ax2+bx+c（a≠0），得a+b+c＝2，故D正确，不符合题意； ∵抛物线开口向上， ∴a＞0． ∵， ∴b＞0． ∵抛物线与y轴交于负半轴， ∴c＜0， ∴abc＜0，故C正确，不符合题意； ∵， ∴b＜2a， ∵a+b+c＝2， ∴a+b＝2﹣c， ∵c＜0， ∴a+b＝2﹣c＞2， ∴a+2a＞2， ∴，故A正确，不符合题意； 取a＝6，b＝11，满足b＜2a＝12，c＝2﹣a﹣b＝﹣15＜0， 此时b＝11＞10， ∴b＜10不一定成立，故B错误，符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 6．（2026秋•金山区校级月考）如果抛物线y＝（a﹣2）x2+2x+3开口朝下，则a的取值范围是a＜2　 ． 【考点】二次函数图象与系数的关系． 【分析】根据二次函数的性质可知，当抛物线开口向下时，二次项系数a﹣2＜0． 【解答】解：因为抛物线y＝（a﹣2）x2+2x+3的开口向下， 所以a﹣2＜0， 解得a＜2． 故答案为：a＜2． 【点评】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系．用到的知识点：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）来说，当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）开口向上；当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）开口向下． 7．（2026秋•同步）对于抛物线y＝ax2+bx+c，当b2﹣4ac＞0时，方程ax2+bx+c＝0的实数根的情况是　两个不相等的实数根　 ，抛物线与x轴的交点有　2　 个；当b2﹣4ac＝0时，方程ax2+bx+c＝0的实数根的情况是　两个相等的实数根　 ，抛物线与x轴的交点有　1　 个；当b2﹣4ac＜0时，方程ax2+bx+c＝0的实数根的情况是　没有实数根　 ，抛物线与x轴的交点有　0　 个． 【考点】二次函数图象与系数的关系；抛物线与x轴的交点；根的判别式． 【分析】一元二次方程根的情况由判别式Δ＝b2﹣4ac决定，方程的实数根就是抛物线与x轴交点的横坐标，根据判别式的三种取值，直接对应方程根的个数与抛物线和x轴交点个数． 【解答】解：对于抛物线y＝ax2+bx+c， 当b2﹣4ac＞0时，方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，抛物线与x轴的交点有2个， 当b2﹣4ac＝0时，方程ax2+bx+c＝0有两个相等的实数根，抛物线与x轴的交点有1个， 当b2﹣4ac＜0时，方程ax2+bx+c＝0没有实数根，抛物线与x轴的交点有0个， 故答案为：两个不相等的实数根，2，两个相等的实数根，1，没有实数根，0， 【点评】本题考查二次函数图象与一元二次方程根的关系．熟练掌握判别式Δ＝b2﹣4ac的三种情况对应的结论是解题的关键． 8．（2025秋•宝山区期末）已知抛物线y＝（m﹣1）x2+3x﹣1开口向下，那么m的取值范围是m＜1　 ． 【考点】二次函数图象与系数的关系． 【分析】根据二次函数的性质可知，当抛物线开口向下时，二次项系数m﹣1＜0，然后解一元一次不等式即可求出m的取值范围． 【解答】解：∵抛物线y＝（m﹣1）x2+3x﹣1的图象开口向下， ∴m﹣1＜0， 解得：m＜1． 故答案为：m＜1． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，明确二次函数图象的开口方法有二次项系数决定是解题的基础． 9．（2026秋•西城区校级月考）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2bx的对称轴为直线x＝b （用含b的式子表示）；若抛物线上存在两点A（b﹣1，y1）和B（b+2，y2），当y1•y2＜0时，b的取值范围为　﹣2＜b＜﹣1或1＜b＜2　 ． 【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征． 【分析】第一空利用二次函数对称轴公式计算即可；第二空将两点坐标代入抛物线解析式得到y1，y2，再根据y1•y2＜0解不等式得到b的取值范围． 【解答】解：∵二次函数的二次项系数a＝1，一次项系数为﹣2b， ∴对称轴为直线xb； 将A（b﹣1，y1）和B（b+2，y2）代入y＝x2﹣2bx， 得，y1＝（b﹣1）2﹣2b（b﹣1）＝1﹣b2，y2＝（b+2）2﹣2b（b+2）＝4﹣b2， ∵y1•y2＜0， ∴（1﹣b2）（4﹣b2）＜0， 变形得（b2﹣1）（b2﹣4）＜0， 即（b﹣1）（b+1）（b﹣2）（b+2）＜0． 将四个因式按大小排列为：（b﹣2）＜（b﹣1）＜（b+1）＜（b+2）， 分情况讨论： 当四个因式中只有一个负数时， ，解得1＜b＜2； 当四个因式中三个负数一个正数时， ，解得﹣2＜b＜﹣1； 因此b的取值范围是﹣2＜b＜﹣1或1＜b＜2． 故答案为：b；﹣2＜b＜﹣1或1＜b＜2． 【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，正确进行计算是解题关键． 10．（2026秋•北京校级月考）二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，对称轴为x，且图象经过点（2，0）．下列说法： ①abc＜0； ②c﹣2b＝0； ③若，是抛物线上的两点，则y1＜y2； ④a﹣b+c＞0； ⑤b+c＞m（am+b）+c（其中m）． 其中正确的结论是　①②⑤　 ． 【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征． 【分析】根据抛物线开口方向、对称轴位置、与y轴交点位置判断a，b，c的符号以及关系，利用对称性求出抛物线与x轴另一交点坐标，进而判断代数式符号；利用二次函数性质比较函数值大小及最值问题． 【解答】解：∵抛物线开口向下， ∴a＜0， ∵抛物线对称轴为直线，， ∴b＝﹣a＞0， ∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方， ∴c＞0， ∴abc＜0，故①正确，符合题意； ∵抛物线对称轴为直线，抛物线经过（2，0）， ∴抛物线与x轴的另外一个交点为（﹣1，0）， ∴a﹣b+c＝0，故④错误，不符合题意； 把a＝﹣b代入a﹣b+c＝0得：﹣2b+c＝0， ∴c﹣2b＝0，故②正确，符合题意， ∵，抛物线开口向下， ∴到对称轴的距离小于到对称轴的距离， ∴y1＞y2，故③错误，不符合题意； ∵抛物线开口向下，对称轴是直线， ∴当时，抛物线y取得最大值， 当x＝m时，y＝am2+bm+c＝m（am+b）+c，且， ∴，故⑤正确，符合题意； 故答案为：①②⑤． 【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 11．（2026秋•北京校级月考）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2bx的对称轴为直线x＝b （用含b的式子表示）；若抛物线上存在两点A（b﹣1，y1）和B（b+2，y2），当y1•y2＜0时，b的取值范围为　﹣2＜b＜﹣1或1＜b＜2　 ． 【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征． 【分析】第一空利用二次函数对称轴公式计算即可；第二空将两点坐标代入抛物线解析式得到y1，y2，再根据y1•y2＜0解不等式得到b的取值范围． 【解答】解：∵二次函数的二次项系数a＝1，一次项系数为﹣2b， ∴对称轴为直线； 将A（b﹣1，y1）和B（b+2，y2）代入y＝x2﹣2bx， 得，， 整理得： ，， ∵y1•y2＜0， ∴（1﹣b2）（4﹣b2）＜0， 变形得（b2﹣1）（b2﹣4）＜0， 即（b﹣1）（b+1）（b﹣2）（b+2）＜0． 将四个因式按大小排列为：（b﹣2）＜（b﹣1）＜（b+1）＜（b+2）， 分情况讨论： 当四个因式中只有一个负数时， ，解得1＜b＜2； 当四个因式中三个负数一个正数时， ，解得﹣2＜b＜﹣1； 因此b的取值范围是﹣2＜b＜﹣1或1＜b＜2． 故答案为：b；﹣2＜b＜﹣1或1＜b＜2． 【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，正确进行计算是解题关键． 12．（2026•泰山区校级模拟）已知二次函数y＝x2+bx+c． （1）若点P（﹣2，c）在该函数图象上，求此函数图象的对称轴； （2）在（1）的基础上，若c＝﹣3，当﹣5≤x≤1时，求二次函数的最大值； （3）若该函数在x≤1时，y随x增大而减小；在x≥3时，y随增大而增大，请求出b的取值范围． 【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值． 【分析】（1）利用二次函数过的两点，结合对称轴公式求对称轴； （2）代入参数得到函数解析式，根据开口方向和区间距离对称轴的远近求最值； （3）根据增减性确定对称轴的范围，进而求解b的取值范围． 【解答】解：（1）∵二次函数y＝x2+bx+c与y轴的交点为（0，c）， 又∵点P（﹣2，c）在该函数图象上， ∴此函数图象的对称轴为直线； （2）∵抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣1， ∴1， ∴b＝2， 又c＝﹣3， ∴y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4， ∵1＞0， ∴该二次函数开口向上， 又|﹣5﹣（﹣1）|＞|1﹣（﹣1）|， ∴当﹣5≤x≤1时，x＝﹣5，二次函数有最大值为（﹣5）2+2×（﹣5）﹣3＝12， ∴当﹣5≤x≤1时，二次函数有最大值为12； （3）∵二次函数y＝x2+bx+c， ∴此函数图象的对称轴为直线， ∵1＞0， ∴抛物线开口向上， ∵在x≤1时，y随x的增大而减小， ∴， 解得b≤﹣2， ∵在x≥3时，y随x的增大而增大， ∴， 解得b≥﹣6， ∴﹣6≤b≤﹣2． 【点评】本题考查二次函数的性质（对称轴、最值、增减性），解题的关键是掌握二次函数对称轴公式及开口方向对增减性的影响． 【考点2：二次函数图象上点的坐标特征】 · 点在图象上即坐标满足解析式，代入建立方程求参数或函数值。 · 比较函数值大小：先定开口方向与对称轴，按点到对称轴的距离判断 · 求与坐标轴交点：令x=0、y=0分别代入 · 两个函数图象的交点：联立方程组求解 13．（2026秋•红桥区月考）若A（﹣1，y1），B（2，y2），C（5，y3）在二次函数y＝﹣x2+6x+c（c为常数）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为（　　） A．y2＜y3＜y1 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y3 【考点】二次函数图象上点的坐标特征． 【分析】当a＜0，二次函数图象开口向下，在对称轴右侧，y随x的增大而减小，利用图象的对称性求出对称点进行判断即可． 【解答】解：由条件可知抛物线开口向下，对称轴为直线，在对称轴右侧，y随x的增大而减小， ∵点A（﹣1，y1）关于对称轴x＝3的对称点为A′（7，y1），点B（2，y2）关于对称轴x＝3的对称点为B′（4，y2），4＜5＜7， ∴y1＜y3＜y2． 故选：B． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键． 14．（2025秋•盖州市期末）已知二次函数y＝a（x﹣1）2+1（a＞0）的图象上有三个点，其坐标分别为A（2，y1）、B（3，y2）、C（﹣4，y3），则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y2＞y1＞y3 C．y3＞y1＞y2 D．y3＞y2＞y1 【考点】二次函数图象上点的坐标特征． 【分析】根据函数顶点式的特点，确定其对称轴为直线x＝1，图象开口向上，利用二次函数的对称性和增减性即可判断． 【解答】解：由抛物线解析式可得抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1， ∴距离对称轴越近，函数值越小， ∵A（2，y1），B（3，y2），C（﹣4，y3）， ∴A点距离对称轴1个单位长度，B点距离对称轴2个单位长度，C点距离对称轴5个单位长度， y3＞y2＞y1． 故选：D． 【点评】本题考查了函数的对称性及增减性．熟练掌握以上知识点是关键． 15．（2025秋•泗水县期末）点P1（﹣1，y1），，P3（6，y3）均在二次函数y＝mx2﹣2mx+1（m＞0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y1＞y2＞y3 B．y3＞y2＞y1 C．y2＞y3＞y1 D．y3＞y1＞y2 【考点】二次函数图象上点的坐标特征． 【分析】根据二次函数解析式得出抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1，再求出P1、P2、P3到对称轴的距离，进行比较即可得出答案． 【解答】解：由条件可知：抛物线开口向上，对称轴为直线， ∵1﹣（﹣1）＝2，，6﹣1＝5，， ∴y3＞y1＞y2， 故选：D． 【点评】本题考查了二次函数的性质、比较二次函数的函数值的大小，熟练掌握以上知识点是关键． 16．（2026秋•西城区校级月考）已知A（4，y1），B（1，y2），C（﹣3，y3）在函数y＝﹣（x﹣2）2+2的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A．y3＜y1＜y2 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y2＜y1 D．y1＜y2＜y3 【考点】二次函数图象上点的坐标特征． 【分析】确定二次函数的开口方向与对称轴，比较各点到对称轴的距离判断函数值大小． 【解答】解：抛物线图象开口向下，对称轴为直线x＝2， 点A到对称轴的距离为|4﹣2|＝2， 点B到对称轴的距离为|1﹣2|＝1， 点C到对称轴的距离为|﹣3﹣2|＝5， 根据距离对称轴越远函数值越小可知： y3＜y1＜y2． 故选：A． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键． 17．（2026秋•南岗区校级月考）二次函数y＝（x﹣1）2与y轴的交点坐标为　（0，1）　 ． 【考点】二次函数图象上点的坐标特征． 【分析】y轴上点的横坐标为0，将x＝0代入二次函数解析式，计算即可得到交点的纵坐标，从而得到交点坐标． 【解答】解：由条件可得y＝（0﹣1）2＝1， 因此二次函数与y轴的交点坐标为（0，1）． 故答案为：（0，1）． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，正确计算是关键． 18．（2026秋•海淀区校级月考）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在二次函数y＝﹣x2+4x﹣1的图象上，其中1＜x1＜2，3＜x2＜4，那么y1　＞　 y2（填“＞”，“＝”或“＜”）． 【考点】二次函数图象上点的坐标特征． 【分析】先根据二次函数的解析式判断出抛物线的开口方向及对称轴，根据图象上的点的横坐标距离对称轴的远近来判断纵坐标的大小． 【解答】解：∵y＝﹣x2+4x﹣1＝﹣（x﹣2）2+3， ∴抛物线开口向下，且对称轴为x＝2， ∵1＜x1＜2，3＜x2＜4， ∴A点横坐标离对称轴的距离小于B点横坐标离对称轴的距离， ∴y1＞y2． 故答案为：＞． 【点评】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能求出对称轴和根据二次函数的性质求出正确答案是解此题的关键． 19．（2025秋•长安区校级期末）已知，B（2，y2），是二次函数y＝﹣（x﹣1）2+m的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是y3＜y1＜y2 ． 【考点】二次函数图象上点的坐标特征． 【分析】根据所给二次函数解析式，结合二次函数的图象与性质进行计算即可． 【解答】解：由题知， 因为二次函数的解析式为y＝﹣（x﹣1）2+m， 所以抛物线的开口向下，对称轴为直线x＝1， 则抛物线上的点离对称轴越远，其纵坐标越小． 因为点，B（2，y2），都在该二次函数的图象上， 则且， 所以y3＜y1＜y2． 故答案为：y3＜y1＜y2． 【点评】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键． 20．（2026秋•同步）若二次函数y＝﹣x2+6x+c的图象经过点A（﹣1，y1），B（5，y2），则y1，y2的大小关系是y1＜y2 （用“＜”连接）． 【考点】二次函数图象上点的坐标特征． 【分析】先确定二次函数的开口方向与对称轴，利用开口向下的二次函数点离对称轴越远函数值越小的性质，通过比较两点到对称轴的距离比较大小． 【解答】解：由条件可得对称轴为直线， ∵a＝﹣1＜0， ∴抛物线开口向下，抛物线上的点到对称轴的距离越远，对应的函数值越小， ∵点A（﹣1，y1）到对称轴x＝3的距离为|﹣1﹣3|＝4， 点B（5，y2）到对称轴x＝3的距离为|5﹣3|＝2，4＞2， ∴y1＜y2． 故答案为：y1＜y2． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键． 21．（2026秋•西湖区校级单元）已知二次函数y＝a（x﹣1）2+1（a＞0）的图象上有两个点，分别为（2，y1），（3，y2），则y1，y2的大小关系是　＜　 ． 【考点】二次函数图象上点的坐标特征． 【分析】根据函数顶点式的特点，确定其对称轴为直线x＝1，图象开口向上，利用二次函数的增减性即可判断． 【解答】解：由抛物线解析式可得抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1， ∴当x＞1时，y随x的增大而增大， ∵1＜2＜3， ∴y1＜y2． 故答案为：＜． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 22．（2026•上海自主招生）若存在同一个实数x0，使得点P（x0，y1）在函数C1的图象上，点Q（x0，y2）在函数C2的图象上，且y1﹣y2＝λ，则称两个函数C1，C2是“λ相关的”．若函数y1＝x2﹣2x与y2＝ax﹣3是“2相关的”，则实数a的取值范围为a≤﹣4或a≥0　 ． 【考点】二次函数图象上点的坐标特征；一次函数图象上点的坐标特征． 【分析】根据题意得到关于x的一元二次方程，利用根的判别式即可得到（a+2）2≥4，解得即可． 【解答】解：由题意得：x2﹣2x﹣（ax﹣3）＝2， ∴x2﹣（2+a）x+1＝0， ∴Δ＝[﹣（2+a）]2﹣4×1×1≥0， 即（a+2）2≥4， 解得a≤﹣4或a≥0， 故答案为：a≤﹣4或a≥0． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，能够理解题意列出关于x的一元二次方程是解题的关键． 23．（2026秋•同步）点A（﹣4，16）在二次函数y＝x2的图象上吗？为什么？请分别写出点A关于x轴、y轴的对称点B，C的坐标．点B，C在二次函数y＝x2的图象上吗？ 【考点】二次函数图象上点的坐标特征；关于x轴、y轴对称的点的坐标． 【分析】根据题意，将点A坐标代入函数解析式进行计算即可，再分别求出点B和点C坐标，并代入函数解析式进行计算即可． 【解答】解：点A在二次函数y＝x2的图象上，理由如下： 将x＝﹣4代入y＝x2得，y＝（﹣4）2＝16， 所以点A在二次函数y＝x2的图象上． 因为点A关于x轴、y轴的对称点分别为B，C， 所以点B坐标为（﹣4，﹣16），点C坐标为（4，16）． 因为x＝﹣4时，y＝16≠﹣16， 所以点B不在二次函数y＝x2的图象上； 因为x＝4时，y＝42＝16， 所以点C在二次函数y＝x2的图象上． 【点评】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征及关于x轴、y轴对称的点的坐标特征，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键． 【考点3：二次函数图象与几何变换】 · 平移：左加右减、上加下减，等价于顶点坐标平移，a不变。 · 关于x轴对称：y→-y；关于y轴对称：x→-x · 翻折、旋转时注意a的符号变化 · 变换后求解析式：先找新顶点，再按顶点式写出 24．（2026秋•红桥区月考）将二次函数y＝2x2的图象先向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，所得函数图象的表达式为（　　） A．y＝2（x+3）2+4 B．y＝2（x+3）2﹣4 C．y＝2（x﹣3）2+4 D．y＝2（x﹣3）2﹣4 【考点】二次函数图象与几何变换． 【分析】根据二次函数图象的平移法则解答即可． 【解答】解：根据二次函数图象的平移法则可知： 将y＝2x2的图象向左平移3个单位长度，得y＝2（x+3）2，再向上平移4个单位长度，得y＝2（x+3）2+4． 故选：A． 【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，熟练掌握平移法则是关键． 25．（2025秋•夏县期末）在平面直角坐标系中，将二次函数y＝（x+1）2+3的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（　　） A．y＝（x+3）2+2 B．y＝（x﹣1）2+2 C．y＝（x﹣1）2+4 D．y＝（x+3）2+4 【考点】二次函数图象与几何变换． 【分析】根据二次函数图象的平移“左加右减，上加下减”可进行求解． 【解答】解：根据二次函数图象的平移“左加右减，上加下减”可知： 由二次函数y＝（x+1）2+3的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为y＝（x﹣1）2+2； 故选：B． 【点评】本题主要考查二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移是解题的关键． 26．（2026•惠安县一模）将抛物线y＝x2向左平移2个单位，再向下平移3个单位，则得到的抛物线解析式是（　　） A．y＝（x﹣2）2﹣3 B．y＝（x﹣2）2+3 C．y＝（x+2）2﹣3 D．y＝（x+2）2+3 【考点】二次函数图象与几何变换． 【分析】抛物线y＝x2的顶点坐标为（0，0），向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得的抛物线的顶点坐标为（﹣2，﹣3），根据顶点式可确定所得抛物线解析式． 【解答】解：依题意可知，原抛物线顶点坐标为（0，0）， 平移后抛物线顶点坐标为（﹣2，﹣3）， 又因为平移不改变二次项系数， 所以所得抛物线解析式为：y＝（x+2）2﹣3． 故选：C． 【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，属于基础题，解决本题的关键是得到新抛物线的顶点坐标． 27．（2026秋•萨尔图区校级月考）抛物线y＝x2﹣2x+3向右平移2个单位长度后的顶点坐标是（　　） A．（2，3） B．（3，2） C．（﹣3，2） D．（4，2） 【考点】二次函数图象与几何变换；二次函数的性质． 【分析】根据二次函数的平移规律“左加右减，上加下减”求得平移后的函数解析式，再根据二次函数顶点式的性质确定顶点坐标即可． 【解答】解：y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2， ∴平移后抛物线的表达式为y＝（x﹣1﹣2）2+2＝（x﹣3）2+2， ∴平移后所得抛物线的顶点坐标为（3，2）， 故选：B． 【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，二次函数的性质，熟知函数图象平移的法则是解题的关键． 28．（2026秋•红桥区月考）若二次函数的二次项系数为1，则它可表示为y＝x2+px+q（p，q为常数），我们称[p，q]为该二次函数的特征数，如二次函数y＝x2+2x+3的特征数是[2，3]． （Ⅰ）若一个二次函数的特征数为[﹣6，1]，则它的顶点坐标为　（3，﹣8）　 ； （Ⅱ）若一个二次函数的特征数为[4，﹣1]，将该二次函数的图象先向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，则平移后的图象所对应的二次函数的特征数为　[0，﹣2]　 ． 【考点】二次函数图象与几何变换；二次函数的定义；二次函数的性质． 【分析】（I）配方求顶点坐标即可； （II）利用函数平移规律得到平移后解析式，整理后得到对应特征数． 【解答】解：（I）已知特征数为[﹣6，1]，根据定义得函数解析式为y＝x2﹣6x+1， 配方得y＝（x﹣3）2﹣8，因此顶点坐标为（3，﹣8）． 故答案为：（3，﹣8）． （II）已知原函数特征数为[4，﹣1]，根据定义得原函数解析式为y＝x2+4x﹣1， 配方得y＝（x+2）2﹣5．将图象先向右平移2个单位，再向上平移3个单位， 根据平移规律得平移后解析式为y＝（x+2﹣2）2﹣5+3， 整理得y＝x2﹣2＝x2+0•x﹣2，因此平移后函数的特征数为[0，﹣2]． 故答案为：[0，﹣2]． 【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，熟练掌握该知识点是关键． 29．（2025秋•白塔区校级期末）抛物线y＝﹣2x2向下平移1个单位，再向右平移3个单位后的解析式是 y＝﹣2（x﹣3）2﹣1　 ． 【考点】二次函数图象与几何变换． 【分析】原抛物线的顶点坐标为（0，0），根据平移规律得平移后抛物线顶点坐标为（3，﹣1），根据抛物线的顶点式求解析式． 【解答】解：抛物线形平移不改变解析式的二次项系数，平移后顶点坐标为（3，﹣1）， ∴平移后抛物线解析式为y＝﹣2（x﹣3）2﹣1． 故答案为：y＝﹣2（x﹣3）2﹣1． 【点评】本题考查了抛物线的平移与抛物线解析式的联系．关键是把抛物线的平移转化为顶点的平移，利用顶点式求解析式． 30．（2026秋•金山区校级月考）二次项系数之和为1，且顶点关于x轴对称的两个二次函数称作互为“关联函数”，那么函数y＝﹣x2﹣2x+1的“关联函数”的解析式是 y＝2x2+4x ． 【考点】二次函数图象与几何变换；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征． 【分析】根据两个函数顶点坐标的关系确定函数y＝﹣x2﹣2x+1的“关联函数”的解析式即可． 【解答】解：∵二次项系数之和为1，且顶点关于x轴对称的两个二次函数称作互为“关联函数”， ∵二次函数y＝﹣x2﹣2x+1的二次项系数是﹣1， ∴其“关联函数”的二次项系数为2， ∵y＝﹣x2﹣2x+1＝﹣（x+1）2+2， ∴顶点坐标为（﹣1，2）， ∴二次函数y＝﹣x2﹣2x+1的“关联函数”的顶点坐标为（﹣1，﹣2）， ∴函数y＝﹣x2﹣2x+1的“关联函数”的解析式是y＝2（x+1）2﹣2，即y＝2x2+4x， 故答案为：y＝2x2+4x． 【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数的图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是准确理解互为“关联函数”的定义． 31．（2026秋•金山区校级月考）将二次函数y＝x2﹣2x+1的图象向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到的二次函数图象的顶点坐标是　（﹣1，﹣3）　 ． 【考点】二次函数图象与几何变换；二次函数的性质． 【分析】直接根据平移规律作答即可． 【解答】解：∵y＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2， ∴二次函数y＝（x﹣1）2的图象向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的图象的函数解析式为y＝（x﹣1+2）2﹣3，即y＝（x+1）2﹣3． ∴该函数图象的顶点坐标为（﹣1，﹣3）． 故答案为：（﹣1，﹣3）． 【点评】本题考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式． 32．（2026秋•同步）抛物线y（x﹣1）2+2可由抛物线y向　右　 平移　1　 个单位长度，再向　上　 平移　2　 个单位长度得到． 【考点】二次函数图象与几何变换． 【分析】依据题意，根据图象的平移规律，可得答案． 【解答】解：由题意，抛物线y（x﹣1）2+2可由抛物线y向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到．故答案为：右，1，上，2． 【点评】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，图象的平移规律是左加右减，上加下减． 33．（2026秋•同步）已知函数，函数y1的图象和已知函数的图象关于y轴成轴对称，函数y2的图象和已知函数的图象关于原点成中心对称． （1）求y1，y2的表达式． （2）函数y1和y2的图象有怎样的位置关系？请证明你的结论． 【考点】二次函数图象与几何变换；二次函数的性质． 【分析】（1）设M（m，n）是函数y1图象上的一点，则点M（m，n）关于y轴对称的点的坐标为（﹣m，n），求出n关于m的函数关系式即可得到答案；设N（s，t）是函数y2图象上的一点，则点N（s，t）关于原点成中心对称的点的坐标为（﹣s，﹣t），求出t关于s的函数关系式即可得到答案； （2）设函数y4和函数y1关于x轴对称，设T（c，d）是函数y4图象上的一点，则点T（c，d）关于x轴对称的点的坐标为（c，﹣d），求出d关于c的函数关系式，进而得到函数y4的关系式，再与函数y4的关系式进行比较即可得到答案． 【解答】解：（1）设M（m，n）是函数y1图象上的一点， ∴点M（m，n）关于y轴对称的点的坐标为（﹣m，n）， ∵函数y1的图象和已知函数的图象关于y轴成轴对称， ∴点（﹣m，n）在函数y（x﹣4）2+3的图象上， ∴n（﹣m﹣4）2+3（m+4）2+3， ∴函数y1的表达式为y1（x+4）2+3； 设N（s，t）是函数y2图象上的一点， ∴点N（s，t）关于原点成中心对称的点的坐标为（﹣s，﹣t）， ∵函数y2的图象和已知函数的图象关于原点成中心对称， ∴点（﹣s，﹣t）在函数y（x﹣4）2+3的图象上， ∴﹣t（﹣s﹣4）2+3（s+4）2+3， ∴t（s+4）2﹣3， ∴函数y2的表达式为y2（x+4）2﹣3； （2）函数y1和y2的图象关于x轴对称，证明如下： 设函数y4和函数y1关于x轴对称， 设T（c，d）是函数y4图象上的一点， ∴点T（c，d）关于x轴对称的点的坐标为（c，﹣d）， ∵函数y4和函数y1关于x轴对称， ∴点（c，﹣d）在函数y1（x+4）2+3的函数图象上， ∴﹣d（c+4）2+3， ∴d（c+4）2﹣3， ∴y4（x+4）2﹣3， ∴函数y4与函数y2是同一个函数， ∴函数y1和y2的图象关于x轴对称． 【点评】本题主要考查了二次函数图象与几何变换以及二次函数的性质，正确利用轴对称和中心对称的性质进行求解是解题的关键． 34．（2026秋•同步）将抛物线向上平移1个单位长度，求平移后所得的抛物线表达式，并判断它的开口方向，写出对称轴和顶点． 【考点】二次函数图象与几何变换；二次函数的性质． 【分析】根据函数图象平移的性质可得平移后的函数解析式为1，再求解即可． 【解答】解：抛物线向上平移1个单位长度， ∴1， ∵a， ∴开口向上，对称轴为y轴，顶点为（0，1）． 【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． 【考点4：二次函数的最值】 · 求最值首选配方法：y=a(x-h)²+k，最值为k。 · 给定区间最值：对称轴在区间内看顶点，否则看两端点 · 开口向上有最小值，开口向下有最大值 · 实际应用题最值要注意自变量取值范围 35．（2025秋•东台市期末）若二次函数y＝﹣x2+4x+9在t≤x≤t+3的范围内的最大值为4，则实数t的值为（　　） A．﹣4或5 B．﹣1或5 C．﹣1或7 D．﹣4或7 【考点】二次函数的最值． 【分析】二次函数开口向下，顶点为（2，13），最大值为13．由于要求区间内最大值为4（小于13），故对称轴为直线x＝2不在区间内，即区间完全在对称轴左侧或右侧．分两种情况讨论：①区间在左侧时，最大值在右端点取得；②区间在右侧时，最大值在左端点取得．分别解方程求t，并验证区间条件． 【解答】解：若二次函数y＝﹣x2+4x+9在t≤x≤t+3的范围内的最大值为4， ∵y＝﹣x2+4x+9＝﹣（x﹣2）2+13， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，13），为最高点， ①当x≤2时，抛物线随x的增大而增大， ∴当t+3＜2，即t＜﹣1，函数有最大值4， ∴﹣（t+3）2+4（t+3）+9＝4， 解得t＝﹣4或t＝2（舍去，t＜﹣1）， ∴t＝﹣4； ②当x≥2时，抛物线随x的增大而减小， ∴当t＞2时，即函数有最大值4， ∴﹣t2+4t+9＝4， 解得t＝5或t＝﹣1（舍去）， ∴t＝5， 综上，t的值为﹣4或5， 故选A． 【点评】本题考查二次函数的最值问题，熟练将二次函数解析式化为顶点式，再根二次函数的性质分两种情况解答是解题关键． 36．（2026秋•南开区校级月考）四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8cm，AD＝10cm，BC＝16cm．动点M从点B出发，以2cm/s的速度沿边BA、边AD向终点D运动；动点N从点C同时出发，以1cm/s的速度沿边CB向终点B运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为ts．当t＝2s时，点M，N的位置如图所示，有下列结论：①当t＝6s时，CN＝DM；②当1≤t≤2时，△BMN的最大面积为28cm2；③t有两个不同的值满足△BMN的面积为39cm2．其中，正确结论是（　　） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【考点】二次函数的最值；平行线之间的距离；一元二次方程的应用． 【分析】当t＝6s时，点M在AD上，求出DM，CN，可判断①；当1≤t≤2时，点M在AB上，利用三角形面积公式求出△BMN的面积，利用二次函数的性质，可判断②；分两种情况：当点M在AB上时，点M在AD上时，结合△BMN的面积为39cm2，列出方程，可判断③． 【解答】解：四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8cm，AD＝10cm，BC＝16cm．动点M从点B出发，以2cm/s的速度沿边BA、边AD向终点D运动；动点N从点C同时出发，以1cm/s的速度沿边CB向终点B运动．则： 根据题意得：点M在AB上的运动时间为，点M在AD上的运动时间为，点N在CB上的运动时间为16s， ①当t＝6s时，点M在AD上， 此时AM＝2×6﹣8＝4cm，CN＝6cm， ∴DM＝AD﹣AM＝6cm， ∴CN＝DM，故①正确； ②当1≤t≤2时，点M在AB上， 此时BM＝2tcm，CN＝tcm， ∴BN＝（16﹣t）cm， ∴， ∵﹣1＜0， ∴当t＜8时，S△BMN随t的增大而增大， ∴当t＝2时，S△BMN取得最大值，最大值为﹣（2﹣8）2+64＝28， 即当1≤t≤2时，△BMN的最大面积为28cm2，故②正确； ③当点M在AB上时，0≤t≤4，此时BM＝2tcm，BN＝（16﹣t）cm， ∵△BMN的面积为39cm2， ∴， 解得：t1＝3，t2＝13（舍去）， ∴当t＝3时，△BMN的面积为39cm2； 当点M在AD上时，4＜t≤8， ∵AD∥BC，∠B＝90°， ∴∠A＝180°﹣∠B＝90°，即AB⊥AD， 此时， 解得：， ∴当时，△BMN的面积为39cm2； ∴t有两个不同的值满足△BMN的面积为39cm2，故③正确． 故选：D． 【点评】本题主要考查了二次函数的性质，一元二次方程的应用，正确进行计算是解题关键． 37．（2026秋•杭州月考）二次函数y＝x2﹣4x+m在﹣1≤x≤3范围内的最小值为﹣1，则m的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【考点】二次函数的最值． 【分析】找出二次函数的对称轴，根据在﹣1≤x≤3的范围内有最小值得出答案． 【解答】解：将函数解析式配方可得：y＝（x﹣2）2+m﹣4， ∵函数图象开口向上，对称轴为直线x＝2，且﹣1＜2＜3， ∴当x＝2时，y取得最小值m﹣4， ∴m﹣4＝﹣1， 解得m＝3． 故选：B． 【点评】本题考查了二次函数的最值，熟练掌握该知识点是关键． 38．（2026•云浮二模）已知二次函数y＝x2+mx+n的图象经过点（1，3），则代数式mn+1有（　　） A．最小值﹣2 B．最小值2 C．最大值﹣2 D．最大值2 【考点】二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征． 【分析】把（1，3）代入y＝x2+mx+n确定m，n之间的数量关系，即可得到mn+1＝﹣（m﹣1）2+2，根据二次函数的性质即可得到代数式mn+1有最大值2． 【解答】解：把（1，3）代入y＝x2+mx+n得3＝1+m+n， ∴n＝﹣m+2， ∴mn+1 ＝m（﹣m+2）+1 ＝﹣m2+2m+1 ＝﹣（m﹣1）2+2； 所以mn+1有最大值2， 故选：D． 【点评】本题考查二次函数图象上点的特征．根据二次函数性质确定m，n的数量关系是解答关键． 39．（2026•滨海新区一模）四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝5cm，AD＝7cm，BC＝10cm．动点M从点B出发，以2cm/s的速度沿边BA，边AD向终点D运动；动点N从点C同时出发，以1cm/s的速度沿边CB向终点B运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为ts．当t＝2s时，点M，N的位置如图所示．有下列结论： ①当t＝4s时，BN＝DM； ②当1≤t≤2.5时，△BMN的最大面积为25cm2； ③当t为2s和3.6s时，满足△BMN的面积为16cm2． 其中，正确结论的个数是（　　） A．3 B．2 C．1 D．0 【考点】二次函数的最值；平行线之间的距离；一元二次方程的应用． 【分析】当t＝4s时，点M在AD上，求出DM，BN，可判断①；当1≤t≤2.5时，点M在AB上，利用三角形面积公式求出△BMN的面积，利用二次函数的性质，可判断②；先将t＝2s代入△BMN的面积表达式求出结果，再由t＝3.6s可推断点M在AD上，利用三角形面积公式即可求解． 【解答】解：当t＝4s时，BN＝BC﹣CN＝10﹣4＝6（cm）， ∵点M的运动轨迹是BA﹣AD，以2cm/s的速度运动，AB＝5cm， ∴点M在BA上的运动时间为， 当t＝4s时，点M在AD上， ∴DM＝AD﹣AM＝7﹣2×（4﹣2.5）＝4（cm）， ∴BN≠DM，故①错误； 当1≤t≤2.5时，CN＝tcm，BN＝BC﹣CN＝（10﹣t）cm，BM＝2tcm， ∴， 当t＝2.5时，△BMN的面积取得最大值18.75cm2，故②错误； 当t＝2s时，， 当t＝3.6s时，BN＝BC﹣CN＝10﹣3.6＝6.4（cm）， 而点M此时在AD上， ∴，故③正确， 综上所述，正确的结论有③，共1个， 故选：C． 【点评】本题主要考查了二次函数的最值，一元二次方程的应用，平行线之间的距离，掌握其相关知识点是解题的关键． 40．（2026秋•红桥区月考）若二次函数y＝x2+4x+m（m为常数）的最小值为3m，则m的值为　﹣2　 ． 【考点】二次函数的最值． 【分析】二次函数开口向上，最小值为顶点纵坐标，根据题意列方程求解参数m． 【解答】解：由条件可知二次函数图象开口向上，最小值为顶点的纵坐标， 函数配方得：y＝x2+4x+m＝（x+2）2+m﹣4， ∴函数的最小值为m﹣4， 根据题意得：m﹣4＝3m， 解得m＝﹣2． 故答案为：﹣2． 【点评】本题考查了二次函数的最值，熟练掌握该知识点是关键． 41．（2026秋•金山区校级月考）二次函数y＝2（x+3）2+4有最　小　 值．（填：“大”或“小”） 【考点】二次函数的最值． 【分析】由二次函数的性质解答即可． 【解答】解：∵a＝2＞0， ∴抛物线开口向上，抛物线有最小值， 故答案为：小． 【点评】本题主要考查了二次函数的最值，掌握当a＞0函数开口方向向上有最小值是解答本题的关键． 42．（2026秋•同步）若二次函数的图象有最高点，则m＝　﹣3　 ． 【考点】二次函数的最值；二次函数的定义． 【分析】根据二次函数的性质求解． 【解答】解：∵二次函数的图象有最高点， ∴m2﹣7＝2， 解得m＝﹣3或m＝3， 又∵二次函数的图象有最高点， ∴开口向下， 故m＜0， 故m＝﹣3， 故答案为：﹣3． 【点评】本题考查二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握相关知识点． 43．（2026•常州校级模拟）二次函数y＝（x﹣1）2﹣4的最小值是　﹣4　 ． 【考点】二次函数的最值． 【分析】根据二次函数的性质即可求出答案． 【解答】解：由题意可知：二次函数y＝（x﹣1）2﹣4的开口向上， 则当x＝1时，最小值为﹣4， 故答案为：﹣4． 【点评】本题考查了二次函数的最值，二次函数的性质，解题的关键是熟练运用二次函数的性质，本题属于基础题型． 44．（2026•龙湾区校级开学）当﹣2≤x≤3时，函数y＝﹣x2﹣2x+3有最大值　4　 ． 【考点】二次函数的最值． 【分析】利用配方法把二次函数的一般式化为顶点式，根据二次函数的性质求出二次函数的最值． 【解答】解：y＝﹣x2﹣2x+3 ＝﹣（x2+2x+1﹣1）+3 ＝﹣（x+1）2+4， ∵a＝﹣1＜0， ∴当x＝﹣1时，函数y＝﹣x2﹣2x+3有最大值，最大值是4， ∵﹣2≤﹣1≤3， ∴当﹣2≤x≤3时，函数y＝﹣x2﹣2x+3有最大值4， 故答案为：4． 【点评】本题考查的是二次函数的最值，正确运用配方法把二次函数的一般式化为顶点式是解题的关键． 45．（2026秋•裕安区校级同步）已知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A（﹣1，﹣5），B（1，﹣9）． （1）求b，c的值． （2）求当﹣5≤x≤﹣3时，二次函数y＝x2+bx+c的最大值． 【考点】二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征． 【分析】（1）将A和B坐标代入求解即可； （2）根据增减性即可判断当x＝﹣5时，二次函数y＝x2+bx+c有最大值，再代入求解即可． 【解答】解：（1）将点A（﹣1，﹣5），B（1，﹣9）代入， 得， 解得， ∴b，c的值分别是﹣2，﹣8； （2）∵二次函数的表达式为y＝x2﹣2x﹣8＝（x﹣1）2﹣9， ∴二次函数图象的对称轴为直线x＝1， ∵1＞0， ∴二次函数图象的开口向上，当x＜1时，y随x的增大而减小， ∵﹣5≤x≤﹣3， ∴当x＝﹣5时，二次函数y＝x2+bx+c有最大值，最大值为y＝（﹣5﹣1）2﹣9＝36﹣9＝27． 【点评】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的最值、二次函数的增减性等内容，掌握二次函数的性质是解题的关键． 💯 课后巩固 复习建议 · 由a、b、c及判别式判断抛物线特征，抓开口、对称轴、交点 · 比较函数值大小：先看开口方向与对称轴，再看点到对称轴的距离 · 图象变换：左加右减、上加下减，对称变换注意a的符号 · 求最值优先配方，区间最值要结合对称轴与端点 · 点在图象上⇔坐标满足解析式，代入可求参数 【作业1】（2026秋•金山区校级月考）已知二次函数y＝kx2﹣2x+1（k为常数）的图象与x轴有两个交点． （1）求k的取值范围； （2）若此二次函数图象与x轴的两个交点之间的距离为1，求k的值． 【考点】二次函数图象与系数的关系；抛物线与x轴的交点． 【分析】（1）由y＝kx2﹣2x+1是二次函数解析式可得k≠0，再由二次函数的图象与x轴有两个交点可得Δ＞0，即可求出k的取值范围； （2）设二次函数图象与x轴的两个交点的横坐标为x1，x2（x1＜x2），由x2﹣x1＝1和根与系数的关系即可求解． 【解答】解：（1）∵二次函数y＝kx2﹣2x+1（k为常数）的图象与x轴有两个交点， ∴Δ＞0，且k≠0， ∴（﹣2）2﹣4k＞0，且k≠0， 解得：k＜1且k≠0． （2）设二次函数图象与x轴的两个交点的横坐标为x1，x2（x1＜x2）， ∴x1，x2为kx2﹣2x+1＝0（k≠0）的两个根， ∴，， ∵二次函数图象与x轴的两个交点之间的距离为1， ∴x2﹣x1＝1， ∴， ∴， ∴， ∴，即或， ∴或． 【点评】本题主要考查二次函数与系数的关系，抛物线与x轴的交点，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【作业2】（2026秋•同步）（1）关于x的二次函数y＝ax2+a2﹣3有最小值1，求a的值； （2）抛物线y＝ax2+a﹣2的顶点在x轴的下方，求a的取值范围． 【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；抛物线与x轴的交点． 【分析】（1）根据已知条件可得a＞0，且当x＝0时，最小值为1，进而得出答案； （2）由解析式可得抛物线的顶点坐标为（0，a﹣2），根据题意可得a≠0且a﹣2＜0，解得即可． 【解答】解：（1）由解析式可得抛物线的对称轴为直线x＝0，且当x＝0时，最小值为1， ∴a2﹣3＝1， ∴a＝±2， ∵函数有最小值， ∴a＞0， ∴a＝2． （2）由解析式可得抛物线的顶点坐标为（0，a﹣2）， ∵抛物线y＝ax2+a﹣2的顶点在x轴的下方， ∴a≠0且a﹣2＜0， ∴a＜2且a≠0． 【点评】本题主要考查二次函数图象与系数的关系，二次函数的最值，抛物线与x轴的交点，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 【作业3】（2026秋•同步）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）经过点（1，0），判断下列结论是否正确，并说明理由． （1）a+b+c＝0； （2）关于x的方程ax2+bx+（b+c）＝0有两个不相等的实根． 【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x轴的交点；根的判别式． 【分析】（1）将点（1，0）代入即可； （2）判断Δ的符号即可． 【解答】解：（1）证：将点（1，0）代入y＝ax2+bx+c中，得： a+b+c＝0，即证． （2）证：由（1）可知，a+b+c＝0， ∴b+c＝﹣a， 在方程ax2+bx+（b+c）＝0中， Δ＝b2﹣4a（b+c） ＝b2+4a2＞0， ∴关于x的方程ax2+bx+（b+c）＝0有两个不相等的实根． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，以及一元二次方程的根的情况，熟练掌握二次函数的性质以及一元二次方程的根的情况是解题的关键． 【作业4】（2026秋•萨尔图区校级月考）已知二次函数y＝x2﹣2mx+2m﹣1（m为常数）． （1）求证：不论m为何值该函数图象与x轴必有公共点； （2）已知点A（﹣3，y1），B（1，y2）在二次函数图象上，若y1＞y2，则m的取值范围是m＞﹣1　 ． 【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x轴的交点． 【分析】（1）先计算根的判别式的值得到Δ＝4（m+1）2，则利用非负数的性质得到Δ≥0，然后根据根的判别式的意义得到结论； （2）先把A、B点的坐标代入解析式得到y1＝8m+8，y2＝0，则利用y1＞y2得到8m+8＞0，然后解不等式即可． 【解答】（1）证明：∵Δ＝（﹣2m）2﹣4（2m﹣1） ＝4m2+8m+4 ＝4（m+1）2≥0， ∴不论m为何值该函数图象与x轴必有公共点； （2）解：把A（﹣3，y1），B（1，y2）分别代入y＝x2﹣2mx+2m﹣1得y1＝9+6m+2m﹣1＝8m+8， y2＝1﹣2m+2m﹣1＝0， ∵y1＞y2， ∴8m+8＞0， 解得m＞﹣1， 即m的取值范围为m＞﹣1． 故答案为：m＞﹣1． 【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数的性质是解决的关键．也考查了二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与x轴的交点问题． 【作业5】（2026秋•同步）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）分别在抛物线y和y上． （1）当x1＝x2＝2时，y1比y2大（或小）多少？ （2）当y1＝y2＝2时，|x1|比|x2|大（或小）多少？ 【考点】二次函数图象上点的坐标特征． 【分析】（1）当x1＝x2＝2时，分别求出y1＝6，y2＝10，再比较即可； （2）当y1＝y2＝2时，分别求出x1＝±，x2＝±，再比较即可． 【解答】解：（1）当x1＝x2＝2时，y1＝6，y2＝10， ∴y1﹣y2＝﹣4， ∴y1比y2小4； （2）当y1＝y2＝2时，2，解得x1＝±， 2，解得x2＝±， ∴|x1|﹣|x2|， ∵， ∴|x1|＞|x2|， ∴|x1|比|x2|大． 【点评】本题考查二次函数图象上的点的坐标特征，熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 【作业6】（2026秋•同步）已知关于x的二次函数y＝x2﹣ax+a+3的图象在直线y＝4上截得的线段长为1，求a的值． 【考点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的图象． 【分析】依据题意，令y＝4，所得一元二次方程的两根为二次函数与直线y＝4交点的横坐标，根据根与系数的关系可表示出两点间的线段长度，可求得a． 【解答】解：由题意，令y＝4， ∴x2﹣ax+a+3＝4，即x2﹣ax+a﹣1＝0， 设该方程的两根分别为m，n， ∴m+n＝a，mn＝a﹣1， ∴（m﹣n）2＝（m+n）2﹣4mn＝a2﹣4a+4， ∵二次函数y＝x2﹣ax+a+3的图象在直线y＝4上截得的线段长为1， ∴（m﹣n）2＝12＝1， ∴a2﹣4a+4＝1， ∴a＝1或3． 【点评】本题主要考查了二次函数的图象，二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 【作业7】（2026秋•同步）求二次函数y＝x2﹣4x的图象与直线y＝﹣4的交点坐标． 【考点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的图象． 【分析】根据所给函数解析式，求出交点坐标即可． 【解答】解：由x2﹣4x＝﹣4得， x1＝x2＝2， 所以二次函数y＝x2﹣4x的图象与直线y＝﹣4的交点坐标为（2，﹣4）． 【点评】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征及二次函数的图象，能根据所给函数解析式进行准确的计算是解题的关键． 【作业8】（2026秋•同步）已知点A（2，﹣1），B（﹣3，m）都在抛物线y＝ax2上，求a及m的值． 【考点】二次函数图象上点的坐标特征． 【分析】先将点A坐标代入函数解析式，求出a的值，再将点B坐标代入所得函数解析式进行计算即可． 【解答】解：由题知， 将点A（2，﹣1）代入y＝ax2得， 4a＝﹣1， 解得a， 所以抛物线的解析式为y． 将点B（﹣3，m）代入y得， m． 【点评】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，准确的计算是解题的关键． 【作业9】（2026秋•同步）将抛物线y＝﹣3x2向左平移2个单位长度，求平移后所得的抛物线表达式．判断平移后的抛物线有最高点还是最低点，并求出其坐标． 【考点】二次函数图象与几何变换；二次函数的最值． 【分析】根据平移的规律：左加右减，上加下减，求出得到的抛物线的解析式，然后求出最高点坐标． 【解答】解：抛物线y＝﹣3x2向左平移2个单位长度，所得的抛物线表达式为y＝﹣3（x+2）2， ∵﹣3＜0， ∴新抛物线开口向下，有最高点，最高点坐标为（﹣2，0）． 【点评】此题主要考查了函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式． 【作业10】（2026秋•同步）二次函数y与y的图象有什么共同特征和不同特征？它们的图象有怎样的对称关系？如果画出了其中一个函数的图象，如何用简单的方法画出另外一个函数的图象？ 【考点】二次函数图象与几何变换；二次函数的性质． 【分析】根据所给二次函数解析式，结合二次函数的图象与性质即可解决问题． 【解答】解：由题知， 二次函数y与y的图象的共同特征是：都关于y轴对称，顶点坐标都是（0，0），开口大小相同； 不同特征是：二次函数y图象的开口向上，二次函数y图象的开口向下， 它们的图象关于x轴对称， 如果画出了其中一个函数的图象，可以根据两个函数图象关于x轴对称画出另外一个函数的图象． 【点评】本题主要考查了二次函数图象与几何变换及二次函数的性质，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键． 【作业11】（2026秋•同步）分别写出抛物线y＝﹣2x2经过下列两次平移后得到的抛物线表达式： （1）先向左平移5个单位长度，再向下平移个单位长度； （2）先向右平移个单位长度，再向上平移4个单位长度． 【考点】二次函数图象与几何变换． 【分析】（1）根据“上加下减，左加右减”的平移法则即可解决问题； （2）根据“上加下减，左加右减”的平移法则即可解决问题． 【解答】解：（1）由题知， 将抛物线y＝﹣2x2先向左平移5个单位长度，再向下平移个单位长度， 所得抛物线的解析式为y＝﹣2（x+5）2； （2）由题知， 将抛物线y＝﹣2x2先向右平移个单位长度，再向上平移4个单位长度， 所得抛物线的解析式为y＝﹣2（）2+4． 【点评】本题主要考查了二次函数图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的平移法则是解题的关键． 【作业12】（2026秋•同步）求下列二次函数的最大值或最小值： （1）y＝5x2+3x+2； （2）y＝﹣x2+6x﹣3； （3）； （4）． 【考点】二次函数的最值． 【分析】（1）先根据二次函数y＝ax2+bx+c中a的符号判断函数值有最大值还是最小值，再根据最大值或最小值为求解即可； （2）先根据二次函数y＝ax2+bx+c中a的符号判断函数值有最大值还是最小值，再根据最大值或最小值为求解即可； （3）先根据二次函数y＝ax2+bx+c中a的符号判断函数值有最大值还是最小值，再根据最大值或最小值为求解即可； （4）先根据二次函数y＝ax2+bx+c中a的符号判断函数值有最大值还是最小值，再根据最大值或最小值为求解即可． 【解答】解：（1）y＝5x2+3x+2， ∵5＞0， ∴抛物线开口向上，二次函数有最小值，最小值为． （2）y＝﹣x2+6x﹣3， ∵﹣1＜0， ∴抛物线开口向下，二次函数有最大值，最大值为：． （3）， ∵， ∴抛物线开口向下，二次函数有最大值，最大值为：． （4）， ∵， ∴抛物线开口向上，二次函数有最小值，最小值为：． 【点评】本题考查了二次函数的最值，熟练掌握顶点坐标公式是关键． 【作业13】（2026秋•同步）说出下列二次函数的最大值或最小值： （1）； （2）． 【考点】二次函数的最值． 【分析】（1）根据二次函数y＝a（x﹣h）2+k性质解答即可； （2）根据二次函数y＝a（x﹣h）2+k性质解答即可． 【解答】解：（1）； ∵，对称轴为x＝﹣2， ∴抛物线开口向上，函数有最小值， 当x＝﹣2时，函数取得最小值﹣2； （2）． ∵，对称轴为x＝1， ∴抛物线开口向下，函数有最大值， 当x＝1时，函数取得最大值2． 【点评】本题考查了二次函数的最值，熟练掌握二次函数y＝a（x﹣h）2+k性质是关键． 【作业14】（2026秋•同步）通过配方，将下列函数的表达式化为y＝a（x+m）2+h的形式．判断这些二次函数有最大值还是最小值，并求出自变量x的相应取值． （1）y＝2x2+4x+5； （2）yx2﹣2x+5． 【考点】二次函数的最值；二次函数的三种形式． 【分析】（1）利用配方法把二次函数y＝2x2+4x+5的解析式化为y＝a（x+h）2+k的形式，利用二次函数的性质指出函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴，即可得到答案； （2）利用配方法把二次函数yx2﹣2x+5的解析式化为y＝a（x+h）2+k的形式，利用二次函数的性质指出函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴，即可得到答案． 【解答】解：（1）y＝2（x2+2x）+5， y＝2（x2+2x+1）﹣2+5， y＝2（x+1）2+3， a＝2＞0，则二次函数图象的开口方向向上． 对称轴是直线x＝﹣1、顶点坐标是（﹣1，3）， 这个二次函数有最小值，当x＝﹣1时，取得最小值； （2）yx2﹣2x+5 （x2+6x）+5 （x2+6x+9﹣9）+5 （x+3）2+8， a0，则二次函数图象的开口方向向下． 对称轴是直线x＝﹣3、顶点坐标是（﹣3，8）， 这个二次函数有最大值，当x＝﹣3时，取得最大值． 【点评】本题考查二次函数的最值、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质求最值． 【作业15】（2026秋•同步）求下列函数的最大值或最小值： （1）y＝3x2+2x； （2）y＝﹣2x2+8x﹣8． 【考点】二次函数的最值． 【分析】对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），先根据a的正负判断开口方向，确定存在最大值还是最小值，再利用顶点公式求出顶点纵坐标，得到函数最值． 【解答】解：（1）y＝3x2+2x， ∵a＝3＞0， ∴抛物线开口向上，函数有最小值，无最大值． ∵顶点横坐标：， 把代入解析式：， ∴当时，函数最小值为； （2）y＝﹣2x2+8x﹣8， ∵a＝﹣2＜0， ∴抛物线开口向下，函数有最大值，无最小值． ∵顶点横坐标：， 把x＝2代入解析式：y＝﹣2×22+8×2﹣8＝﹣8+16﹣8＝0， ∴当x＝2时，函数最大值为0． 【点评】题目考查了二次函数的最值，解题的关键在于相关知识的灵活运用． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $