同角三角函数关系与诱导公式讲义-2027届高三数学一轮复习

同角三角函数关系与诱导公式 一、知识点梳理 （一）同角三角函数的基本关系 平方关系：，对任意角 都成立。 商数关系：，要求 。 由平方关系可推出 ，在已知正切求余弦平方时很省事。 应用时注意"知一求二"要有象限信息：只给一个三角函数值，另一值一般有两解，必须由象限舍取。 （二）诱导公式的记忆 六组诱导公式覆盖 、、、、、 六种角。 口诀"奇变偶不变，符号看象限"： 中 为奇数则函数名变（正弦换余弦），为偶数则不变。 "符号看象限"是把 看成锐角，判断原角所在象限，再定结果前是否加负号。 前四组（ 为偶数）函数名不变，后两组（ 为奇数）函数名互变，这是分组的本质区别。 （三）常用角之间的变换 互余关系：，故 。 互补关系：，正弦相等、余弦相反。 凑角的关键是"看已知角与所求角的和差是不是 或 的整数倍"。 含 的题，常把所求角写成" 减（或加）已知角"再套互余。 （四）化简与证明的常用技巧 弦切互化：齐次式中分子分母同除以 或 ，把 代入求值。 、 三者的关系：。 型的分式化简要先"除以 换成 "再约分。 证明恒等式优先从复杂的一边化简，或两边同时化到同一中间式。 二、方法导语 同角关系解决"同一个角的不同三角函数值"，诱导公式解决"不同角、但终边有对称关系"。遇到角比较绕的题，先判断用哪一类。 求值题先定角所在的象限，再定符号；化简题先统一函数名或统一角，两种"统一"选一个走到底。 做完一题自查三件事：已知一个三角函数值、求另一个时，有没有漏掉另一支解；用诱导公式时函数名要不要变、符号有没有判反；齐次式化为正切时，分母是否为零（ 的角要单独讨论）。 三、典型例题 例1　同角关系：知一求二 已知 ，且 是第二象限角，求 与 的值。 变式1　同角关系：由正切求弦 已知 ，求 的值。 例2　 与 已知 ，且 ，求 的值。 变式2　由 求其余 已知 ，求 与 的值。 例3　诱导公式：求值 已知 ，求 的值。 变式3　诱导公式：化简求值 已知 ，求 的值。 例4　齐次式化正切 已知 ，求 的值。 变式4　齐次式（含常数项） 已知 ，求 的值。 例5　角的变换（凑角） 已知 ，求 的值。 变式5　凑角（互补型） 已知 ，求 的值。 四、巩固练习 1．已知 ，且 是第三象限角，求 的值。 2．已知 ，求 的值。 3．已知 ，求 与 的值。 4．已知 ，且 ，求 的值。 5．已知 ，求 与 的值。 学科网（北京）股份有限公司 $ 同角三角函数关系与诱导公式 一、知识点梳理 （一）同角三角函数的基本关系 平方关系：，对任意角 都成立。 商数关系：，要求 。 由平方关系可推出 ，在已知正切求余弦平方时很省事。 应用时注意"知一求二"要有象限信息：只给一个三角函数值，另一值一般有两解，必须由象限舍取。 （二）诱导公式的记忆 六组诱导公式覆盖 、、、、、 六种角。 口诀"奇变偶不变，符号看象限"： 中 为奇数则函数名变（正弦换余弦），为偶数则不变。 "符号看象限"是把 看成锐角，判断原角所在象限，再定结果前是否加负号。 前四组（ 为偶数）函数名不变，后两组（ 为奇数）函数名互变，这是分组的本质区别。 （三）常用角之间的变换 互余关系：，故 。 互补关系：，正弦相等、余弦相反。 凑角的关键是"看已知角与所求角的和差是不是 或 的整数倍"。 含 的题，常把所求角写成" 减（或加）已知角"再套互余。 （四）化简与证明的常用技巧 弦切互化：齐次式中分子分母同除以 或 ，把 代入求值。 、 三者的关系：。 型的分式化简要先"除以 换成 "再约分。 证明恒等式优先从复杂的一边化简，或两边同时化到同一中间式。 二、方法导语 同角关系解决"同一个角的不同三角函数值"，诱导公式解决"不同角、但终边有对称关系"。遇到角比较绕的题，先判断用哪一类。 求值题先定角所在的象限，再定符号；化简题先统一函数名或统一角，两种"统一"选一个走到底。 做完一题自查三件事：已知一个三角函数值、求另一个时，有没有漏掉另一支解；用诱导公式时函数名要不要变、符号有没有判反；齐次式化为正切时，分母是否为零（ 的角要单独讨论）。 三、典型例题 例1　同角关系：知一求二 已知 ，且 是第二象限角，求 与 的值。 ①用平方关系求余弦　由 先求出 ，再开方。 ②用象限定符号　 是第二象限角，故 ，取负根。 ③用商数关系求正切　 直接代入。 注：开方后必须由象限定符号，这一步不能省；若题目只说""，则 ，要分第一、二象限两种情况。 【答案】，。 由 得 ， 所以 。 因为 是第二象限角，，故 。 于是 。 变式1　同角关系：由正切求弦 已知 ，求 的值。 ①化为正切齐次式　分子分母同时除以 ，把式子化成只含 的形式。 ②代入求值　把 代入计算。 ③说明适用条件　该化简要求 ，由 知 ，条件满足。 【答案】原式的值为 。 因为 存在，所以 。 分子分母同除以 ，得 。 把 代入，得 。 例2　 与 已知 ，且 ，求 的值。 ①平方得乘积　把 两边平方，用 求出 。 ②求差的平方　，算出后再开方。 ③由范围定符号　由 与 判断 的符号。 注：先平方、再用"平方和"消去二次项，是处理 的标准套路；开方后由 的符号配合角的范围定正负。 【答案】。 由 两边平方，得 ，所以 。 因为 且 ，所以 、， 故 。 又 ， 所以 。 变式2　由 求其余 已知 ，求 与 的值。 ①平方求乘积　两边平方，用平方和公式解出 。 ②立方差分解　用 把所求式拆成已知量的组合。 ③代入计算　把 与 一并代入。 【答案】，。 由 两边平方，得 ，所以 。 由立方差公式， 。 因为 ，所以 。 例3　诱导公式：求值 已知 ，求 的值。 ①逐项化到 　用诱导公式把每个角都化到 ，。 ②第二项函数名要变　 里 是奇数，函数名变为正弦，符号由 在第二象限定为负。 ③合并同类项　把两项化成 的表达式后合并。 注： 是易错点："奇变"使余弦变正弦，"符号看象限"在第二象限余弦为负，两处都要顾到。 【答案】原式的值为 。 由诱导公式，。 因为 的终边在第二象限，余弦为负，且 为奇数函数名要变， 所以 。 于是 。 把 代入，得 。 变式3　诱导公式：化简求值 已知 ，求 的值。 ①第一项化到 　 中 为偶数，函数名不变，符号由第二象限定为负。 ②第二项用互余　 中 为奇数，变余弦，符号由第一象限定为正。 ③合并　两项合并成含 的式子后代入。 【答案】原式的值为 。 因为 的终边在第二象限、余弦为负，且 为偶数， 所以 。 因为 的终边在第一象限、正弦为正，且 为奇数函数名变， 所以 。 于是 。 例4　齐次式化正切 已知 ，求 的值。 ①分母换成平方和　把分母 写成 ，使分子分母都是二次齐次式。 ②同除 　分子分母同除以 ，化成只含 的式子。 ③代入求值　把 代入计算。 注：二次齐次式化正切时分子分母同除 ，要求 ；由 存在即知 。 【答案】原式的值为 。 把分母用平方关系换成 ，原式即为二次齐次式。 分子分母同除以 ，得 原式 。 把 代入，得 。 变式4　齐次式（含常数项） 已知 ，求 的值。 ①补分母　把单项式写成"除以 "、而 ，化为齐次分式。 ②同除 　分子分母同除以 ，化为含 的式子。 ③代入　把 代入计算。 【答案】原式的值为 。 因为 存在，所以 。 把原式写成 。 分子分母同除以 ，得 原式 。 把 代入，得 。 例5　角的变换（凑角） 已知 ，求 的值。 ①找两角的关系　，两角互余。 ②用诱导公式搭桥　互余时 。 ③直接得值　把已知值代入即可。 注："凑角"的核心是看清已知角与所求角的和差；两角之和为 时用互余，为 时用互补（正弦相等、余弦相反）。 【答案】。 因为 ，所以两角互余。 由互余关系， 。 把 代入，得 。 变式5　凑角（互补型） 已知 ，求 的值。 ①找两角的关系　，两角互补。 ②用互补关系　互补时余弦互为相反数：。 ③代入　把已知值代入并添负号。 【答案】。 因为 ，所以两角互补。 设 ，则 ， 由互补关系 ，得 。 把 代入，得 。 四、巩固练习 1．已知 ，且 是第三象限角，求 的值。 【答案】。 由 ，设 、（）。 代入平方关系：，即 ，得 。 因为 是第三象限角，、，所以 ，取 。 于是 、， 。 2．已知 ，求 的值。 【答案】原式的值为 。 由 ，得 。 由 ，得 。 由 （ 为奇数函数名变，第二象限余弦为负），得 。 于是原式 。 （核对：本题给定 未限定象限，但所求两项均只含 ，故结果唯一。） 3．已知 ，求 与 的值。 【答案】第一式的值为 ，第二式的值为 。 因为 存在，所以 。 （1）分子分母同除以 ，得 。 把 代入，得 。 （2）分子分母同除以 ，得 原式 。 把 代入，得 。 4．已知 ，且 ，求 的值。 【答案】原式的值为 。 因为 ，两角互补。 设 ，则 ， 由 得 。 又 。 所以原式 。 （注：余弦平方消去了符号，故无需再判断象限。） 5．已知 ，求 与 的值。 【答案】，。 把 两边平方，得 ，所以 。 由立方和公式， 。 因为 ，所以 。 学科网（北京）股份有限公司 $