专题07 不规则图形面积与隐圆问题9大题型60题（期中专项训练）九年级数学上学期新教材人教版

专题07不规则图形面积与隐圆问题 基础·固本强基 题型1 割补法基础（扇形—三角形组合，弓形） 题型2 等边扇形面积（直接公式） 提升·进阶突破 题型3 整体减空白 题型4 等积变换 拔高·压轴破难 题型5 定点定长（圆的定义）→ 求最值 题型6 定直角（直径所对圆周角 90°） 题型7 定弦定角 → 面积最值 题型8 四点共圆（对角互补 90°） 题型9 圆外一点到圆上距离最值（中点轨迹） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1 割补法基础（扇形—三角形组合，弓形）（共6小题） 【模型】割补法求弓形面积 特征：阴影部分是一个弓形（圆弧与弦围成）。 方法：弓形面积 = 扇形面积 − 三角形面积。 【易错】割补时注意半径别代入成直径；扇形面积公式中圆心角 n 用角度制；弓形只减一个三角形，不要多减。 1．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，已知点C、D在上，直径，弦、相交于点E．若，则阴影部分面积为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图是一个的正方形网格，的顶点均在格点上，请按要求画图：①仅用无刻度的直尺，且不能用直尺的直角；②保留必要的画图痕迹；③标注相关字母． (1)在图1中画出的外接圆圆心O位置． (2)若每个小正方形网格的边长为1，则图2中阴影部分（弓形）的面积是___________． 3．（23-24九年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，，以为直径作半圆，交于点，交于点求； (1)求弧的长； (2)求阴影部分的面积． 4．（23-24九年级上·浙江绍兴·期中）如图．在中．弦垂直于半径．垂足为E．D是优弧上一点．连接、、，．    (1)求的度教； (2)若弦．求图中阴影部分的面积． 5．（25-26九年级上·浙江绍兴·期中）已知往一个圆柱形管道内注入一些水以后，发现其横截面如图所示，半径，水的最大深度为． (1)求水面宽的长； (2)求阴影部分面积． 6．（25-26九年级上·山东日照·期中）如图，内接于，，点在线段的延长线上，且，连接． (1)求证：是的切线； (2)当，时，求图中阴影部分的面积． 题型2 等边扇形面积（直接公式）（共4小题） 【模型】直接套用扇形面积公式 特征：阴影是一个扇形，已知圆心角与半径。 方法：S＝，n 为圆心角度数。 【易错】等边三角形每个内角是 60°，不是 30°；圆心角必须是半径所夹的角，别误用边所对的外角。 7．（25-26九年级上·山东滨州·期中）如图，是边长为的等边三角形的外接圆，是的中点，连接、，以点为圆心，以长为半径在内画弧，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26九年级上·江苏盐城·期中）如图，在中，，，，是的内切圆，连接，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 9．（25-26九年级上·浙江温州·期中）中国美食讲究色香味美，优雅的摆盘造型也会让美食锦上添花．图1中的外圈由6个相同盘子摆成，单个摆盘可看成扇形的一部分，图2是其示意图（其中阴影部分为摆盘），通过测量得到，，圆心角为，则图2中摆盘的面积是______． 10．（25-26九年级上·河北石家庄·期中）如图，点A、B、C均在上，直径，，则图中阴影部分的面积为______ ． 提升·进阶突破 题型3 整体减空白（共10小题） 【模型】整体减空白 特征：阴影是半圆的一部分，被弦、直径分割。 方法：阴影 = 半圆面积 − 空白三角形面积。 11．（25-26九年级上·山东潍坊·期中）如图，已知扇形的圆心角，为弧的中点，以为直径作半圆，得到甲、乙两个新图形（阴影部分），则阴影部分甲的面积与乙的面积的大小关系是（  ） A．甲乙 B．甲乙 C．甲乙 D．无法确定 12．（25-26九年级上·广东江门·期中）如图，在中，，，，分别以点，为圆心，的长为半径作圆，将截去两个扇形，则剩余（阴影）部分的面积为________． 13．（25-26九年级上·重庆沙坪坝·期中）如图，在菱形中，点是对角线的中点，分别以点、为圆心，长为半径画弧，分别交、于点、，交、于点、．若，，则图中阴影部分的面积为_____． 14．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，是的直径，是上一点，是的中点，于点，与相交于点． (1)求证：． (2)若，求阴影部分的面积（结果保留和根号）． 15．（25-26九年级上·江苏南通·期中）如图，在中，，以为直径的交于点，，垂足为． (1)求证：是的切线． (2)若，，求的长和图中阴影部分的面积． 16．（25-26九年级上·吉林松原·期中）如图， 是的外接圆，是直径，过点作直线，过点作直线，两直线交于点，如果， 的半径是． (1)求证：是的切线． (2)求图中阴影部分的面积（结果用表示）． 17．（25-26九年级上·浙江衢州·期中）如图，是的直径，是的弦，延长到点，使，连接交于点． (1)求证：； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 18．（25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，以边为直径的经过点，是上一点，连接交于点，且，． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，求阴影部分面积． 19．（25-26九年级上·贵州遵义·期中）如图，在中，，，，与直角边，相切于点，． (1)连接，，则四边形的形状为______； (2)若与相切于点，求的半径； (3)在（2）的条件下，求阴影部分的面积． 20．（25-26九年级上·江西南昌·期中）如图，在中，，，是边上一点，以点为圆心的半圆与边相切于点，与边，分别交于点，，，连接，．已知，，． (1)的半径为________． (2)求证：是的切线． (3)求图中两阴影部分面积的和． 题型4 等积变换（共5小题） 【模型】等积变换 特征：以直角三角形三边为直径作三个半圆，求两边半圆与斜边半圆围成的月牙形面积和。 方法：由勾股定理，两个小半圆面积之和 = 大半圆面积，从而月牙形面积和 = 直角三角形面积。 【易错】结论“月牙面积和 = 直角三角形面积”仅在直角三角形且三边为直径时成立，别套用到一般三角形；三角形面积用两直角边乘积的一半。 21．（24-25九年级下·河南商丘·期中）如图，半径为的扇形中，为的中点，连接，．已知的长度为，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 22．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图，已知扇形，在其内部作一个菱形，其中点D，E分别在，上，点C在上．若，，则图中阴影部分面积的和为（　　） A． B． C． D． 23．（24-25九年级下·河南南阳·期中）如图，是的直径，弦于点，，，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 24．（24-25九年级下·重庆·期中）如图，在等边中，，分别以为直径作半圆，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B．9 C．6 D． 25．（25-26九年级上·河南洛阳·期中）如图，在扇形AOB中，，半径，点是AO的中点过点作交于点，过点作，垂足为点．图中阴影部分的面积是________． 拔高·压轴破难 题型5 定点定长（圆的定义）→ 求最值（共4小题） 【模型】定点定长（圆的定义） 特征：动点 P 到某定点距离等于定长。 方法：P 在以该定点为圆心、定长为半径的圆上；结合“圆外一点到圆上点距离最值”求最值。 【易错】定点定长要找准“定点”与“定长”；最值在三点共线或垂直方向取得，别把面积公式的底高弄错。 26.如图，正方形的边长为4，点E是正方形内的动点，点P是边上的动点，且．连结，，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 27．（23-24九年级上·江苏无锡·期中）如图，正方形ABCD中，，E是的中点．以点C为圆心，长为半径画圆，点P是上一动点，点F是边上一动点，连接，若点Q是的中点，连接，，则的最小值为________． 28．（24-25九年级上·江苏常州·期中）如图，在矩形中，，，点E、F分别是上的动点，且，连接，将矩形沿折叠，点C落在点G处，点D落在H处．在点E从A移动到中点P的过程中，线段的最大值为___．    29．（25-26九年级上·贵州安顺·期末）如图，在矩形中，，E，F分别是边，上的动点，且，为的中点，为上的一动点，则的最小值为__________． 题型6 定直角（直径所对圆周角 90°）（共4小题） 【模型】定直角（直径） 特征：动点 P 使 ∠APB＝90°（或 ∠APB 恒为直角）。 方法：P 在以 AB 为直径的圆上，半径 r＝。 【易错】∠APB＝90°时 P 在“以 AB 为直径”的圆上，圆心是 AB 中点，半径是 AB 的一半，不是整条 AB。 30．（24-25九年级上·山东临沂·期中）如图，在矩形中，为矩形内一点，连接，，，，，，则的最小值为_____． 31．（25-26九年级上·北京·期中）如图，点是边长为2的正方形内一点，且，将线段以点为中心逆时针旋转得到线段，点是的中点，连接，则的最大值为______． 32．（26-27九年级上·天津·期中）如图，在四边形中，，，，，点在线段上运动，点在直线上，，则线段的最小值为____________． 33．（25-26九年级上·广西南宁·期中）如图，在矩形中，，点在矩形的内部，连接，若，则的最小值是________． 题型7 定弦定角 → 面积最值（共4小题） 【模型】定弦定角 特征：弦 AB 固定，∠APB 为定值（非 90°）。 34．（24-25九年级上·天津·期中）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，点A，点B，点E是边的中点，把绕点A顺时针旋转得，点O，B旋转后的对应点分别为D，C． 连接，，，在旋转的过程中，面积的最大值为 ___． 35.如图，在矩形中，，，点分别是边上的动点，且，点是的中点，连接，则四边形面积的最小值为______ 36．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）如图，在中， ，点E是外一动点(点B，点E位于异侧)，当时，点F为线段上一点，，连接，求面积的最大值_______． 37．（25-26九年级上·浙江金华·期中）如图，在半径为1的中，弦，为弦所对优弧上的动点．连接，，过点作的垂线与所在的直线交于点． （1）的度数为_______． （2）在点运动的过程中，的面积的最大值为_______． 题型8 四点共圆（对角互补 90°）（共8小题） 【模型】四点共圆 特征：四边形中有两个对角都是 90°（∠ABC＝∠ADC＝90°）。 方法：∠ABC 与 ∠ADC 都对着 AC，且均为 90°，故 B、D 在以 AC 为直径的圆上，四点共圆。 【易错】两角同为 90° 且对同一条线段，才说四点共圆；BD 是圆内弦，最大等于直径 AC，不是等于某条边长。 38．（25-26九年级上·福建莆田·期中）如图，在四边形中，，，，求的最大值为______． 39．（25-26九年级上·江苏扬州·期中）如图，为等腰直角三角形，，，点D为所在平面内一点，，以为边作平行四边形，则的最大值为________． 40．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）【推理证明】（1）如图①，在四边形中，，求证：、、、四点共圆．小明认为：连接，取的中点，连接、即可证明，请你按照小明的思路完成证明过程； 【尝试应用】（2）如图②，在正方形中，点是边上任意一点，连接，交于点，请利用无刻度的直尺与圆规在线段上确定点，使是直角三角形．（不写作法，保留作图痕迹） 【拓展延伸】（3）在（2）的基础上，若，，求线段的长． 41．（23-24九年级上·云南昆明·期中）综合与实践： “善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究． 提出问题： 如图1所示，在线段同侧有两点，，连接，，，，如果，那么，，，四点在同一个圆上．    探究展示： 如图2所示，作经过点，，的，在劣弧上取一点（不与，重合），连接，，    则，（依据 ， ， 点，，，四点在同一个圆上，（对角互补的四边形四个顶点共圆） 点，在点，，所确定的上，（依据 点，，，四点在同一个圆上； 反思归纳： （1）上述探究过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？ 依据1：______；（从右边框内选一个选项，直接填序号） 依据2：______．（从右边框内选一个选项，直接填序号） ①圆内接四边形对角互补； ②对角互补的四边形四个顶点共圆； ③过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆； ④经过两点的圆的圆心在这两点所连线段的垂直平分线上； （2）如图3所示，在四边形中，，，则的度数为______．    42．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）【材料阅读】如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，简称“四点共圆”．在教材中学习了定理“圆内接四边形的对角互补”后，学习小组继续探究，提出猜想“对角互补的四边形四个顶点共圆”并尝试用反证法进行验证． 【验证猜想】 已知：四边形中， 求证：A、B、C、D四点共圆 证明：过点A、B、D作，假设点C不在上，则点C在外或内 若点C在外，如图1，设交于，连接，则． 四边形是的内接四边形， ． ， 与矛盾，故点C不可能在圆外； 若点C在圆内， …… （1）在图2中，用直尺和圆规作出过点A，B，D的圆，参考以上思路补全图形并完成后续证明； 【深入探究】 得出“对角互补的四边形四个顶点共圆”是真命题后，继续思考，四点共圆还可以有其他的条件吗？请你在此基础上展开探究： （2）如图3，在线段同侧有两点C，D，连接，，，．如果，那么A、B、C、D四点共圆，请完成证明（如需辅助圆，画出示意图即可）； 【结论应用】 应用以上结论，解决下列问题： （3）如图4，在四边形中，，，则________； （4）如图5，中，点E在上，连接，作点B关于的对称点，连接，，求的度数； 【拓展延伸】 （5）如图6，，，点D为平面内一动点，连接、，若始终有，当四边形周长最大时，与的数量关系是多少？（直接写出答案）． 43．（25-26九年级上·江苏连云港·期中）以下是“四点共圆”的几个结论，你能证明并运用它们吗？ ．若两个直角三角形有公共斜边，则这两个三角形的4个顶点共圆（图①、②）； ．若线段同侧两点与线段两端点连线的夹角相等，则这两点和线段两端点共圆（图③）； ．若四边形的一组对角互补，则这个四边形的4个顶点共圆（图④）． (1)在图①、②中，取的中点O，根据 得，即A，B，C，D共圆， (2)在图③中，画经过点A，B，C（图⑤）．假设点D落在外，交于点 E，连接，可得，得出矛盾；同理点D也不会落在内（图⑥），即A，B，C，D共圆．结论同理可证．请你利用“反证法”证明结论，在图⑦和图⑧中选择一个证明点C在圆上； (3)利用四点共圆证明锐角三角形的三条高交于一点； 已知：如图⑨，锐角三角形的高相交于点H，射线交于点F． 求证：是的高．（连接，补全以下证明框图） (4)如图⑩，点P是外部一点，过P作直线的垂线，垂足分别为E，F，D，且点D，E，F在同一条直线上，求证：点P在的外接圆上． 44．（23-24九年级上·江苏徐州·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与x轴交于点A，与y轴交于点B，二次函数的图像经过点A、B．    (1)　　，　　； (2)若点M是第三象限内抛物线上的一动点，过点M作垂直于x轴，垂足为点C，交直线于点D，连接，当时： ①求点M的坐标； ②直线上是否存在点E，使为直角三角形？若存在，直接写出符合条件的所有点E的坐标；若不存在，请说明理由． (3)抛物线上是否存在点N（不与点A、B重合），使得O、A、B、N四点共圆，如果存在求出点N的坐标，如果不存在，请说明理由． 45．（24-25九年级上·江苏泰州·期中）综合与实践 数学活动课上，小聪在老师的指导下开展“探究四点共圆的条件”活动． 【提出问题】如图，在线段同侧有两点，连接，，如果，那么四点在同一个圆上． 探究展示： 设是的外接圆 如图，假设点在内，延长交于点，连接 点在上，（    ） 在中， 这与已知条件矛盾 ∴点不在内如图，假设点在外，……； 综上所述，作的外接圆，点在上，即，，，四点共圆． 【归纳结论】 （1）上述探究过程中的括号内填的依据是______； （2）如图，请你帮助小聪按照上面的思路，写出该证明的省略部分； 【结论运用】 （3）已知四边形中， ①如图，点和点在同侧，交于点的延长线交于点，若，请判断与的数量关系，并说明理由； ②如图，若平分，记的值是否会发生改变，如果不发生改变，请求出其值，如果发生改变，请求出的取值范围． 题型9 圆外一点到圆上距离最值（中点轨迹）（共15小题） 【模型】圆外一点与圆上动点的中点轨迹 特征：P 在圆外，M 为圆上动点，Q 为 PM 的中点。 方法：Q 的轨迹是一个以 OP 中点为圆心、半径 r/2 的圆；OQ 的最小值＝|O 到新圆心距离 − 新半径|。 【易错】中点的轨迹圆半径是原圆半径的一半、圆心是 OP 中点，二者都易写错；外离情形最小值取“两心距减半径”。 46．（25-26九年级上·河南商丘·期中）如图，在正方形中，，，分别是边和上的动点，且，与交于点，连接，则的最小值是_________． 47．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，在正方形中，，点E，F分别在上，相交于点G，连结．当点E从点C运动到点D的过程中，的最小值为_____． 48．（24-25九年级下·河南商丘·期中）如图，在等腰三角形中，，，D为平面内一点，连接，，且，连接，则的最小值为______，最大值为______． 49．（25-26九年级上·福建福州·期中）如图，，点C是平面内一动点，且，连接，将绕点A逆时针旋转，得到，连接，则的最小值为________． 50．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，在中，，，，点是内部一点，且，连接，则长的最小值为________ 51．（25-26九年级上·浙江金华·期中）如图，中，，，则的最大面积是______，若的中点是，那么中线的最大值是______． 52．（25-26九年级上·贵州黔南·期中）如图，P为矩形外一点，且点P到的中点O的距离为1，，当线段绕点O旋转时，的最大值为______． 53．（24-25九年级下·陕西咸阳·期中）如图，在矩形中，为矩形内一点，连接，，，，，，则的最小值为______． 54．（24-25九年级上·浙江杭州·期中）如图，在矩形中，，点E在上，，在矩形内找一点P．使得，则_____，线段的最小值为____． 55．（24-25九年级上·广东汕尾·期中）如图，已知正方形中，两动点和分别从顶点、同时出发，以相同的速度沿、向终点、运动，连接、，交于点，再连接，若，则长的最小值为_____． 56．（25-26九年级上·福建福州·期中）如图中，，是射线上的动点，连接，以为斜边向上作直角，使得，则的最小值是______． 57．（25-26九年级上·四川成都·期中）已知，等腰三角形中，底角，边，取底边上的一个动点D，连接．将线段绕着点A逆时针旋转得到线段，连接、和．当线段取得最小值时，在直线上取一点M，连接，将沿直线翻折，得到，点A的对应点为H，则线段的最小值为_______． 58．（25-26九年级上·广东广州·期中）如图，在中，，，，线段绕点B旋转到，连接，E为的中点，连接，则的最大值是______ ． 59．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图，正方形，以为腰向正方形内部作等腰，且，过点E作于点F，点P是的内心，连接，，，若，则的最小值为______． 60．（25-26九年级上·江苏淮安·期中）如图，已知正方形，以为腰向正方形内部作等腰，其中，过点E作于点F，若点P是的内心，，连接，则的最小值是______． $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题07不规则图形面积与隐圆问题 题型图谱导航总览 题型1割补法基础（扇形一三角形组合，弓形） 基础固本强基 题型2等边扇形面积（直接公式） 题型3整体减空白 提升进阶突破 题型4等积变换 题型5定点定长（圆的定义）一求最值 题型6定直角（直径所对圆周角90） 拔高压轴破难 题型7定弦定角→面积最值 题型8四点共圆（对角互补90°） 题型9圆外一点到圆上距离最值（中点轨迹） 题型精练·靶向突破 基础固本强基 题型1割补法基础（扇形一三角形组合，弓形）（共6小题） 【模型】割补法求弓形面积 特征：阴影部分是一个弓形（圆弧与弦围成）。 方法：弓形面积=扇形面积一三角形面积。 【易错】割补时注意半径别代入成直径：扇形面积公式中圆心角n用角度制：形只减一个三角形， 1/86 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 不要多减。 1. (23-24九年级上浙江杭州期中)如图，已知点C、D在⊙O上，直径AB=6,弦AC、BD相交于点 E.若CE=BC,则阴影部分面积为() D 的 O A.π-43 8. 9 9 C. 43 3 9 π- 9 2 D. 2 【答案】B 【详解】解：连接OD,OC, E B 0 ,AB是直径， ·∠ACB=90°， .CE=BC, .∠DBC=∠CEB=45°， ∴.∠D0C=90°， SS-SACOD=x3x3==9 360 2 21 故选：B 2.(25-26九年级上浙江温州期中)如图是一个6×6的正方形网格，△ABC的顶点A、B、C均在格 点上，请按要求画图：①仅用无刻度的直尺，且不能用直尺的直角；②保留必要的画图痕迹；③标注相关 字母 2/86 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)在图1中画出△ABC的外接圆圆心O位置. (2)若每个小正方形网格的边长为1，则图2中阴影部分（弓形）的面积是 【详解】(1)点O即为所求作. (2) 连接OA、OC, 0A=V22+42=2V5'0C=V22+4=2V5'AC=22+6=2V10 25+2V5}=210 即0A2+0C2=AC2, ∴.△AOC为直角三角形，∠AOC=90°， ∴S刚=S扇形A0C-S△A0c=360 =0×πx25-号×2R5=5n-10 3/86 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 故答案为：5π-10 3.(23-24九年级上浙江杭州，期中)如图，在△ABC中，AB=BC=6,∠ABC=45°，以BC为直径作 半圆，交AC于点D,交AB于点E求： E D B (1)求弧DE的长 (2)求阴影部分的面积. 省12 2)9n9 42 【详解】(1)解：连接OD E D .OB=OE B .∴.∠ABC=∠BEO=45°， ∴.∠BOE=90°， .AB=BC=6, .∴.∠ACB=∠BAC, .OC=OD, ∴.∠ACB=∠CDO, ∴.∠CDO=∠BAC, .'AB OD, ∴.∠DOE=∠BE0=45°， 4/86 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 DE的长= 45 180 ×nx3=3m 4 弧DE的长是3 4 (2)解：S阴影=S扇形BOE-SRt△BOE 90 612 1 612 ×π× 360 2 9π9 42 ·阴影部分的面积是9卫-9 42 4.(23-24九年级上·浙江绍兴期中)如图.在⊙O中.弦BC垂直于半径OA.垂足为E.D是优弧BDC 上一点.连接BD、AD、OC,∠ADB=30°. D A (1)求∠AOC的度教： (2)若弦BC=23.求图中阴影部分的面积. 【答案】(1)∠AOC=60° 24π-3 3 【详解】(1)如图所示，连接OB, D 5/86 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .BC⊥OA, ∴.BE=CE,AB=AC, 又：∠ADB=30, .∠AOC=∠AOB=2∠ADB=60°： (2)BC⊥OA,BC=2V3, cE=5Bc=83, .∠AOC=60°， .∠C=90°-60°=30°， 设OE=x,则OC=OA=2x, 在Rt△0CE中，0E2+CE2=0C2,即X+3=2x: 解得x=1(负值舍去)， ∴.0E=1,0C=2, ∴.S刷形=S扇形OBc-SA0BC 120π×2-1×23×1=47-3. 360 3 5.(25-26九年级上浙江绍兴期中)已知往一个圆柱形管道内注入一些水以后，发现其横截面如图所示， 半径OA=12,水的最大深度CD为6cm. ○ D (1)求水面宽AB的长： (2)求阴影部分面积. 【答案】(1)AB=12V3cm 2)48π-363cm2 【详解】(1)解：如图所示： 6/86 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 0 D B 由题意，结合圆的对称性可知，OC⊥AB,DA=DB, 在Rt△AOD中，OA=12,OD=OC-CD=12-6=6, 由勾股定理可得AD=0A2-0D2=V122-6=63 .AB=2AD=12/3cm: (2)解：由(1)可知，AB=12/3cm,OD=6cm, 在Rt△OAD中，OD=OA,则∠OAD=30°， .∴.∠AOD=60°， 则∠AOB=120°， .S阴影=S扇形0ABS△OAB =120×π0A2-AB-0D 360 =20×m×12-×123×6 360 =48π-36V3cm2· 6.(25-26九年级上山东日照期中)如图，△ABC内接于⊙O,∠ABC=2∠C,点D在线段CB的延 长线上，且BD=AB,连接AD. A B (1)求证：AD是⊙O的切线： (2)当BD=5,∠C=30时，求图中阴影部分的面积. 【详解】(1)证明：连接AO并延长交⊙O于点E,连接BE, 7/86 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A BD=AB B E .∠D=∠BAD, .∴.∠ABC=∠D+∠BAD=2∠BAD, .∠ABC=2∠C, ∴.∠BAD=∠C, .AB=AB, ∴∠C=∠E, ∴.∠BAD=∠E, .AE是⊙O直径， .∠ABE=90°， ∴.∠BAE+∠E=90°， ∴.∠BAD+∠BAE=90°， ∴.AD⊥AE, .AD是⊙O的切线： (2)解：连接OB A E 在⊙O中，∠C=30°，AB=AB, ∴.∠AOB=2∠C=60°，∠E=∠C=30°， OA=OB, ∴.△AOB是等边三角形， .∴.OA=OB=AB, 8/86 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .BD=AB,BD=5, ∴.AB=BD=5, .AE是⊙O直径， ∴.∠ABE=90°， ∴.AE=2AB=10,BE=7102-52=53 5eA0:BE=×5×5丽-259 2 ..OA=OE, 5如号5。号255253 1 2 4 60π×5225V3_25m25V3 .S阴=S扇形AOB-SAAOB三 360 4 6 4 题型2等边扇形面积（直接公式）（共4小题） 【模型】直接套用扇形面积公式 特征：阴影是一个扇形，已知圆心角与半径。 方法： S= hitr2 360,n为圆心角度数。 【易错】等边三角形每个内角是60°，不是30°；圆心角必须是半径所夹的角，别误用边所对的外 角。 7. (25-26九年级上山东滨州期中)如图，⊙O是边长为6V3的等边三角形ABC的外接圆，D是BC的 中点，连接BD、CD,以点D为圆心，以BD长为半径在⊙O内画弧，则图中阴影部分的面积为() 0 A.4π B.6π C.12π D.18π ”· 9/86 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】C 【详解】解：如图所示，连接AD, D ,△ABC是等边三角形， ∴.AB=AC,∠BAC=∠ABC=60°， .·∠BDC+∠BAC=180°， ∴.∠BDC=180°-∠BAC=180°-60°=120°， :点D为弧BC的中点， ∴BD=CD, ∴AD垂直平分线段BC, ∴.AD经过点O,∠CAD=30°， .∠DBC=∠CAD=30°， ∴.∠ABD=60°+30°=90°， DB=5AB=3x65=6, 3 ∴5网e-120x6-36I=12. 360 3 故选：C 8.(25-26九年级上江苏盐城期中)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6,BC=8,⊙O是 △ABC的内切圆，连接OA,OB,则图中阴影部分的面积是() 10/86 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B. 3 C.2π 0 【答案】D 【详解】解：设⊙O与AC、BC、AB分别相切于E、RH,连接OE、OF, .:AC⊥OEBC⊥OF ∴.∠OEC=∠OFC=90°， :∠ACB=90°， ∴.四边形OECF是矩形， ∴CE=CF, ∴四边形OECF是正方形， .∠ACB=90°，AC=6,BC=8, .∠CAB+∠CBA=90°'AB=AC2+BC2=V6+8=10 .AE=AH,BF=BH, .AE+BF=AH +BH=AB=10, .CE+CF=2CE=AC-AE+BC-BF=AC+BC-AE+BF=6+8-10=4. ∴.OE=CE=2, ,⊙O是△ABC的内切圆， ∴.AO平分∠CAB,BO平分∠CBA, .∠OAB=∠CAB,∠OBA=∠CBA, 11/86 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠OAB+∠OBA= 2 ∠CAB+∠CBA=45°， ∴.∠AOB=180°-∠OAB+∠OBA=135°， .阴影部分扇形的圆心角为360°-135°=225°， .S阴感= 225π×22_5π 360 2 故选：D 9.(25-26九年级上·浙江温州期中)中国美食讲究色香味美，优雅的摆盘造型也会让美食锦上添花.图1 中的外圈由6个相同盘子摆成，单个摆盘可看成扇形的一部分，图2是其示意图（其中阴影部分为摆盘）， 通过测量得到AC=BD=18cm,OC=10cm,圆心角为60°，则图2中摆盘的面积是cm2. B 图1 图2 【答案】114π 【详解】解：S摆盘=S大扇形~S小扇形 60元×118+102_60元×102=114lcm2, 360 360 故答案为：114π. 10.(25-26九年级上河北石家庄期中)如图，点A、B、C均在⊙O上，直径AB=4,∠ABC=15°， 则图中阴影部分的面积为 B 【路案1号 12/86 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】解：CA为公共弧，直径AB=4,∠ABC=15°， .∠COA=2∠ABC=30°，半径AO=2, ∴Sm=30×2×m=西 360° 3 故答案为 31 提升进阶突破 题型3整体减空白（共10小题) 【模型】整体减空白 特征：阴影是半圆的一部分，被弦、直径分割。 访法：阴影=半圆面积-空白三角形面积。 11.(25-26九年级上山东潍坊期中)如图，已知扇形AOB的圆心角∠AOB=90°，C为弧AB的中点， 以OB为直径作半圆，得到甲、乙两个新图形（阴影部分），则阴影部分甲的面积与乙的面积的大小关系 是() A ○ A.甲=乙 B.甲<乙 C.甲>乙 D.无法确定 【答案】A 【详解】解：设OB=2. :扇形AOB的圆心角为90°，C是弧AB中点， ∴扇形0BC的圆心角为45°，半径为2： 以OB为直径的半圆半径为1. :Sz=S扇形0Bc-S空白宽分，S印=S半烟-S空白哪分， ∴比较S扇形oc与S半圆即可. 13/86 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 S扇形OBC 360。×n×22=1n 45° ≥5×π×1=1 ∴S扇形0Bc=S半图， ∴.Sz=S甲. 故选：A 12.（25-26九年级上广东江门期中)如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=4cm,BC=3cm, 分别以点A,C为圆心， 长为半径作圆，将Rt△ABC截去两个扇形，则剩余（阴影）部分 【路16-瓷 【详解】解：.在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=4cm,BC=3cm .AC=V42+32=5cm'∠A+∠C=90 .剩余（阴影）部分的面积为1 25 ×3×4- -=6- π(cm2) 360 16 故答案为：(6- 25 π 16 13.(25-26九年级上·重庆沙坪坝，期中)如图，在菱形ABCD中，点E是对角线BD的中点，分别以点B、 D为圆心，BE长为半径画弧，分别交AB、BC于点F、H,交AD、DC于点P、Q.若AB=6, ∠ABC=60°，则图中阴影部分的面积为一 14/86 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B HC 【答案】18V5-9π 【详解】解：：在菱形ABCD中，点E是对角线BD的中点，AB=6,∠ABC=60°， ∴AC与BD交于点E,AC⊥BD,∠ABC=∠ADC=60°，AB=BC=6, ∠ABD=∠CBD=号∠ABC=30, .AE-CE-TAB-3.BE-VAR-AE-3V3. :.AC=2CE=6,BD=2BE=63, :菱形ABCD的面积为号AC-BD=号×6×65=185， :图中阴影部分的面积为183-2×60°×元×33=183-9π， 360° 故答案为：183-9π 14. (25-26九年级上-渐江杭州：期中)如图，BC是⊙0的直径，p是⊙0上一点，A是BP的中点， AD⊥BC于点D,BP与AD相交于点E. B D O (1)求证：AE=BE (2)若BD=OD=2,求阴影部分的面积（结果保留π和根号）· 【详解】(1)证明：如图，延长AD交⊙O于点F, 15/86 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A E B :AD⊥BC AB=BF “A是Bp的中点： AB=AP BF=AP ∴.∠BAF=∠ABP ..AE=BE: (2)解：如图，连接AO A E B D ,AD⊥BC,BD=OD=2, ∴.AB=AO 又，AO=BO ∴.AB=BO=AO=4 ∴，△AOB是等边三角形， .∠AOB=60°， 在RE△ABD中，AD=AB2-BD2=23 16/86 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.S阴影=S扇形OAB-SAABO 01×4-号×4×293 60 3π-43 8 15.(25-26九年级上·江苏南通期中)如图，在△ABC中，AB=AC,以AB为直径的⊙O交BC于点D, DE⊥AC,垂足为E (1)求证：DE是⊙O的切线， (2)若∠C=30°，CD=23,求BD的长和图中阴影部分的面积. 【详解】(1)证明：如图，连接OD,则OD=OB .∠ODB=∠B, .∵AB=AC, ∴∠C=∠B, ∴.∠ODB=∠C, .OD‖AC, .DE⊥AC, ∴.∠ODE=∠CED=90°， .OD是⊙O的半径， ∴.DE是⊙O的切线. (2)解：如图，连接AD, .AB是⊙O的直径， ∴.∠ADB=90, .AD⊥BC, AB=AC,CD=23, .∴.BD=CD=2V3, 17/86 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠B=∠C=30°， .∴.AB=2AD, 在Rt△ABD中，BD+AD=AB2, ∴BD2+AD2=(2AD:解得AD=2舍负 .OD=OA,∠AOD=2∠B=60°， ∴.△AOD是等边三角形，∠BOD=120°， .'OD=AD=2, BD的长=120n×24π 1803 :图中阴影部分的面积=120×n×2-号×25×2×号4L-5. 360 2 23 16.(25-26九年级上.吉林松原期中)如图，⊙O是△ACD的外接圆，AB是直径，过点D作直线 DE‖AB,过点B作直线BE‖AD,两直线交于点E,如果∠ACD=45°，⊙O的半径是3cm. D E (1)求证：DE是⊙O的切线. (2)求图中阴影部分的面积（结果用π表示）· 【详解】(1)证明：如图，连接OD, 18/86 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C B .·∠ACD=45° D E ∴.∠AOD=2∠ACD=90°， DE AB, ∴.∠ODE=∠AOD=90°， ∴.OD⊥DE,OD是⊙O的半径 .DE是⊙O的切线： (2)解：，⊙O的半径是3Cm, .'OB=OD=3cm,AB=6cm, .DE‖AB,BE‖AD .四边形ADEB为平行四边形， .∴.DE=AB=6cm, ∴.Sw形o0m=号0B+DEOD=号x3+6×3=2 m,seam-0n9B-子xm×g-em 2 360 4 ∴.S阴=S梯形口ODEB-S扇形OBD= 279 πcm2 24 17.(25-26九年级上浙江衢州期中)如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到点C,使 DC=BD,连接AC交⊙O于点F, B D (1)求证：AB=AC: (2)若AB=8,∠BAC=60°，求图中阴影部分的面积. 【详解】(1)证明：如图，连接OD 19/86 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .OA=OB,BD=CD. :.OD是△ABC的中位线， ∴.OD‖AC ∴.∠ACB=∠ODB 又.OB=OD ∴.∠ODB=∠OBD. ∴∠OBD=∠ACB, ..AB=AC: H及 B (2)解：如图，过D作DH⊥AB, :AB为直径， ∴.∠ADB=90°， .AB=AC, <BD-<BMC=309, ∴，∠BOD=60°， .OB=OD. ∴，△OBD为等边三角形， .AB=8. ..OB=OD=4. ,DH⊥AB, .OH=2, 六HD=OD2-0H=23 20/86 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .△OBD的面积= ×4×23=43, 2 又：扇形OBD的面积=60×π×4=8 3603 3刀-43. 8 ∴.阴影部分面积= 18.(25-26九年级上，黑龙江齐齐哈尔期中)如图，以AB边为直径的⊙O经过点P,C是⊙O上一点， 连接PC交AB于点E,且∠ACP=60°，PA=PD. B D (1)试判断PD与⊙O的位置关系，并说明理由； (2)若AB=4,求阴影部分面积 【详解】(1)PD与⊙O相切，理由如下： 如图所示，连接OP, ,∠ACP=60°， ∴∠AOP=2∠ACP=120°， .OA=OP. :∠0AP=∠0PA=180°-∠A0P=30°， 2 .PA=PD. ∴.∠D=∠PAD=30°， ∴.∠APD=180°-∠D-∠PAD=120°. ∴.∠OPD=∠APD-∠OPA=90°， OP是⊙O的半径， PD与⊙O相切： 21/86 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D (2)解：如图所示，过点O作OH⊥AP于H, AB=4, :.0A=2AB=2 OH⊥AP, ∴.AP=2AH,∠AHO=90°， 由(1)得∠OAH=30°， 0H=0A=1, 六AH=V0A2-0F=3 ·AP=2P3, ·.S阴影=S扇形AOP-S△AOP =120mx2-1×25×1 360 、2 =4虹-3. 3 H E B D 19.(25-26九年级上.贵州遵义.期中)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3,BC=4,⊙O与直 角边AC,BC相切于点M,N. 22/86 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)连接OM,ON,则四边形OMCN的形状为 (2)若AB与⊙O相切于点P,求⊙O的半径r; (3)在(2)的条件下，求阴影部分的面积. 【答案】(1)正方形 (2)1 6-2n 【详解】(1)解：：⊙O与直角边AC,BC相切于点M,N,∠C=90°， ∴∠OMC=∠ONC=∠C=90°，OM=ON, :.四边形OMCN的形状为正方形， 故答案为：正方形： (2)解：如图，连接OP、OA、OB, 6 ,⊙O与直角边AC,BC相切于点M,N,AB与⊙O相切于点P, ∴.OP=OM=ON=r,OP⊥AB,OM⊥AB,ON⊥AB, ∴AM=AP,BN=BP, ,在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3,BC=4, AB=VAC2+BC2=32+42=5 由(1)知四边形OMCN的形状为正方形， ∴.CM=CN=OM=ON=r, 23/86 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AM=AP=3-r,BN=BP=4-r, .AP+BP=AB=5, ∴.3-r+4-r=5, 解得r=1: (3)解：阴影部分的面积为： _35o0-S.oM S阴=SAACB4S 3 =1×3×4-3π×12-12 2 4 3 =6- π-1 4 3 =5- 4 20.(25-26九年级上·江西南昌期中)如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠C=30°，O是边BC上一 点，以点O为圆心的半圆与边AC相切于点E,与边AB,BC分别交于点D,F,G,连接OD,OE.已知 AE=2,EC=23,AD=OE (1)⊙0的半径为 (2)求证：AB是⊙O的切线. (3)求图中两阴影部分面积的和. 【详解】(1)解：：以点O为圆心的半圆与边AC相切于点E, .OE⊥AC, ∠C=30°， ∴.0C=2OE ÷EC=oC2-0E2=R30E EC=23, 24/86 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴OE=2,即⊙O的半径为2： 故答案为：2. (2)证明：，∠A=90°，即AD⊥AC, OE⊥AC, .AD‖OE, .AD=OE. :四边形ADOE是平行四边形， ,AE=2,OE=2, ∴AE=OE, ∴四边形ADOE是菱形， 又.∠A=90°， ∴.四边形ADOE是正方形， .OD=OE=2,OD⊥AB, .OD是⊙O的半径， ∴AB是⊙O的切线， (3)解：AE=2,EC=2V3 ∴.AC=AE+EC=2+23, ∠C=30°， ..AC=V3AB. AB=5AC=233+2, 3 ,四边形ADOE是正方形， ∴.∠D0E=90°， ∴.∠DOF+∠EOC=90°， “S阴形分=S△ABC-SE方形-S扇形FOD+S扇形E0G》 ×2*2ax252-2-×2 3 25/86 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 8/3 一兀 题型4等积变换（共5小题） 【模型】等积变换 特征：以直角三角形三边为直径作三个半圆，求两边半圆与斜边半圆围成的月牙形面积和。 方法：由勾股定理，两个小半圆面积之和=大半圆面积，从而月牙形面积和=直角三角形面积。 【易错】结论“月牙面积和=直角三角形面积”仅在直角三角形且三边为直径时成立，别套用到一般 三角形；三角形面积用两直角边乘积的一半。 21.(24-25九年级下·河南商丘期中)如图，半径为3的扇形AOB中，C为AB的中点，连接AB,OC. 已知AB的长度为2π，则图中阴影部分的面积为() 3 A. 含-20 c.3 D. 3π-3 【答案】A 【详解】解：如图，设OC,AB交于点D, C .C为AB的中点， :OC⊥AB,∠AOC=号∠AOB ∴.∠ADO=∠BDO,AD=BD 又OD=OD ∴.△AOD≌△BOD .S△AOD=S△BOD 26/86 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,半径为3的扇形AOB中，AB的长度为2π，设∠AOB=n n 1800πx3=2m, 解得：n=120 .∠AOC= 1 ∠AOB=60° “图中阴影部分的面积为S6后A0C= 60 360 ×32=3 π 2 故选：A 22.(25-26九年级上江苏无锡期中)如图，已知扇形OAB,在其内部作一个菱形ODCE,其中点D,E 分别在OA,OB上，点C在AB上.若OA=4,∠AOB=80°，则图中阴影部分面积的和为() A. 4π 16π B. C. 32π 4π+23 9 9 9 D. 【答案】B 【详解】解：如图，连接OC, :四边形ODCE是菱形， :CD II OE,∠BOC=号∠AOB=40, ∴.SA DOE=SACOE, 40π×4216 ∴.S阴影部分=S扇形OBC= 3609 π， ”· 27/86 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 故选：B 23.(24-25九年级下·河南南阳期中)如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E,∠DAB=30°， OE=2,则阴影部分的面积为() B A. 2π 8.4n C.2n D. 8T 3 3 3 【答案】D 【详解】解：：∠DAB和∠DOB都对者BD'∠DAB=30 ∴.∠DOB=2∠DAB=60°， .CD⊥AB, ∴.∠ODE=30°， .OE=2, ∴.OD=OA=4, ,·AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E, ∠BOC=∠DOB=60°，CE=DE, .'△OAD与△OBC等底等高，即OA=OB,CE=DE, .SA0AD=S△OBC .S阴影=S扇形0Bc=16π× 60_8π 3603 故选：D 24.(24-25九年级下.重庆期中)如图，在等边△ABC中，AB=AC=BC=6,分别以AB,AC,BC为 直径作半圆，则图中阴影部分的面积是() 28/86 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A. 99V3 n、 B.9π-9V3 D. 10π-63 2 c.6m-6/3 3 【答案】A 【详解】解：如图，设D、E、F分别是△ABC各边中点， D ·.'AB=AC=BC=6 DE-DF-EF-BC-AC-AB-3. 2 2 ∴.∠EDF=∠DFE=∠=60°， .S扇形DEF=S扇形EDF=S扇形FED, ,S扇形DEP 60π33π 3602 S 兰=5DE3x395: 4 44 ∴.S阴B=3S扇形DEr-3S△兰i+5ad =3×3m 9V3 -2×1 4 99V3 n、 2 故选：A. 25.(25-26九年级上河南洛阳期中)如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，半径OA=3,点C是A0的 中点过点C作CE⊥AO交AB于点E,过点E作ED⊥OB,垂足为点D图中阴影部分的面积是 29/86 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E 入 D B 【答案】知 【详解】.'点C是AO的中点，且CE⊥AO, .0C=0E,即∠0EC=30° .∠AOB=90°， ∴.OB⊥AO, .OB‖CE, .∴.∠EOB=∠OEC=30°， 又ED⊥OB, 所以四边形OCED为矩形， 则△OCE与△ODE的面积相等， 故阴影部分面积为扇形OBE的面积， S扇形OBE 2×32=3 30 360 4 3 故答案为： 4 拔高压轴破难 题型5定点定长（圆的定义）→求最值（共4小题） 【模型】定点定长（圆的定义） 特征：动点P到某定点距离等于定长。 方法：P在以该定点为圆心、定长为半径的圆上；结合“圆外一点到圆上点距离最值”求最值。 【易错】定点定长要找准“定点”与“定长”：最值在三点共线或垂真方向取得：别把面积公式的底！ 30/86 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 高弄错。 26.如图，正方形ABCD的边长为4，点E是正方形ABCD内的动点，点P是BC边上的动点，且 ∠EAB=∠EBC.连结AE,BE,PD,PE,则PD+PE的最小值为() A.2V13-2 B.45-2 c.4V3-2 D.2V15-2 【答案】A 【详解】解：，四边形ABCD是正方形， ∴.∠ABC=90°， .∠ABE+∠EBC=90°， ,∠EAB=∠EBC, ∴.∠EAB+∠EBA=90°， ∴∠AEB=90°， ∴.点E在以AB为直径的半圆上移动， 如图，设AB的中点为O, 作正方形ABCD关于直线BC对称的正方形CFGB, 则点D的对应点是F, 连接FO交BC于P,交半圆O于E, 根据对称性有：PD=PF, 则有：PE+PD=PE+PF, 则线段EF的长即为PE+PD的长度最小值，E 31/86 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :∠G=90°，FG=BG=AB=4, ∴.OG=6,OA=OB=OE=2, OF-FG2+0G2=213 ∴.EF=OF-OE=2PV13-2, 故PE+PD的长度最小值为213-2， 故选：A. 27.(23-24九年级上江苏无锡期中)如图，正方形ABCD中，AB=6,E是BC的中点.以点C为圆心， CE长为半径画圆，点P是⊙C上一动点，点F是边AD上一动点，连接AP,若点Q是AP的中点，连接 BF,FQ,则BF+FQ的最小值为· D R 【答案】3/10-3 【详解】解：取点B关于直线AD的对称点M,连接BD、AC两线交于点O,连接OQ,CP,MO,过O 作ON⊥AB于点N, D .正方形ABCD中，AB=6,E是BC的中点， ∴CE=BC=3, ,点Q是AP的中点，点O是AC的中点， 32/86 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.0Q ic-c CE-3 点Q在以O为圆心， 为半径的⊙0上运动 四边形ABCD是正方形， ∴.AC⊥BD,OA=OB, .'.ON=AN=BN=-AB=3. AM=AB=6, .MN=6+3=9, ∴.OM=/MN2+0N2=92+32=3101 BF+FQ+OQ=MF+FQ+OQzOM, ∴.当M、F、Q、O四点共线时，BF+FQ+OQ=MF+FQ+OQ=OM=3V10的值最小， :BF+FQ的最小值为BF+FQ-0M-0Q=39i而-号 故答案为：3/10-3 28. (24-25九年级上江苏常州期中)如图，在矩形ABCD中，AB=3,BC=33,点B、F分别是 AB、BC上的动点，且AE=CF,连接EF,将矩形ABCD沿EF折叠，点C落在点G处，点D落在H处. 在点E从A移动到AD中点P的过程中，线段PG的最大值为一· P D 【答案】 9 【详解】解：连接AC与EF交于点O,连接OG, 33/86 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B .四边形ABCD是矩形 .AD‖BC ∴.∠EAC=∠FCA,∠AEF=∠CFE, 又.∵AE=CF ∴.△AEO≌△CFO ASA, .EO=FO,AO=CO 点O为AC的中点， 连接BD,则与AC交于点O, 由折叠得，∠OFC=∠OFG,CF=GF, 又.OF=OF, .△OFC≌△OFG SAS, :.0C=0G=1AC, 又AC=RAB+BC2=6 ∴OG=3, .G在以O为圆心，OG为半径的圆弧上运动，E在A处时，G与C重合，E在P处时，G与B重合， ∴.G的运动轨迹为BC, 连接PO并延长，交BC于G'时，PG'最大， 当O,P,G共线时，即G与G'重合时，PG最大， .PG=PG'=PO+OG', .P为AD的中点，O为BD的中点， 34/86 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3 PG=3+3= 9 9 即PG的最大值为 故答案为：2 29.(25-26九年级上.贵州安顺期末)如图，在矩形ABCD中，AB=2V5,AD=3V5,E,F分别是边 BC,AB上的动点，且EF=4,G为EF的中点，P为AD上的一动点，则PC+PG的最小值为 【答案】5V5-2 【详解】解：如图，作点C关于AD的对称点C,连接CP,CB,则PC=PC, C D G ∴.PC+PG=PC+PG :△BEF为直角三角形，G为EF中点，EF=4, :BG=号EF=2,即G点在以B为圆心、2为牛径的图上， ∴.当P,G,C三点共线时，PC+PG取得最小值，且最小值为CG的最小值. ,在矩形ABCD中，AB=2V5,AD=3V5, ..CD=CD=25,BC=35 ∴.CC=45 35/86 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由勾股定理得CB=45+357=55 ∴.CG的最小值为CB-BG=5V5-2, 即PC+PG的最小值为5V5-2: 故答案为：55-2. 题型6定直角（直径所对圆周角90°)（共4小题） 【模型】定直角（直径） 特征：动点P使∠APB=90°（或∠APB恒为直角）。 访法：P在以AB为直径的圆上，半径r= AB 2。 【易错】∠APB=90时P在“以AB为直径”的圆上，圆心是AB中点，半径是AB的一半，不 是整条AB。 30. (24-25九年级上山东临沂·期中)如图，在矩形ABCD中，P为矩形内一点，连接AP,BP,CP, ∠BPC=90°，AB=8,BC=12,则AP的最小值为. B 【答案】4 【详解】解：以BC的中点O为圆心，OB长为半径作圆，连接OA交⊙O于点P,如图， ,∠BPC=90°， 36/86 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴点P在圆上， ∴.当点P在P的位置时，AP取得最小值， ∠ABC=90°，AB=8,BC=12, ∴.OB=OP=6, 0A=VAB2+0B=8+6=10 ∴AP=0A-0P=10-6=4, 故答案为：4. 31.(25-26九年级上北京期中)如图，点E是边长为2的正方形ABCD内一点，且∠E=90°，将线段 DE以点D为中心逆时针旋转90°得到线段DF,点G是BC的中点，连接FG,则FG的最大值为 【答案】1+V2 【详解】解：连接CF,取CD的中点H, D H 由旋转的性质知，∠CDF=∠ADE, AD=CD,DE=DF, ∴△ADE≌△CDF SAS, ∴.∠CFD=∠E=90°， 则点F在以CD为直径的圆H上，连接GH、FH, 当G、H、F共线时，GF最大， HF-CD-1.GH-V2CG-V2, 37/86 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 则GF的到最大值为1+V2, 故答案为：1+2. 32.(26-27九年级上·天津期中)如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，AB=6,AD=4, AD<BC,点E在线段BC上运动，点F在直线AE上，∠ADF=∠BAE,则线段BF的最小值为 D E 【答案】2V10-2 【详解】解：如图：设AD的中点为O,以AD为直径画圆，连接OB交⊙O于点F, ,∠ABC=∠BAD=90°， .∠ABC+∠BAD=180, AD‖BC, ∴.∠DAE=∠AEB, ,∠ADF=∠BAE,∠ADF+∠DAF+∠AFD=180,∠BAE+∠AEB+∠ABE=180, ∴.∠AFD=∠ABE=90, ∴，点F在以AD为直径的半圆上运动， 则当点F运动到OB与⊙O的交点F处时，线段BF有最小值， 38/86 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AD=4, A0=0F=号AD=2, B0=VAB+A02=62+2=2/101 .线段BF的最小值为2V10-2 33.(25-26九年级上广西南宁期中)如图，在矩形ABCD中，AB=8,BC=6,点P在矩形的内部，连 接PA,PB,PC,若∠PBC=∠PAB,则PC的最小值是 D B 【答案】2V13-4 【详解】解：，四边形ABCD是矩形， .∠ABC=90°，∴.∠ABP+∠PBC=90 .∠PBC=∠PAB,∴.∠ABP+∠PAB=90°， ∠APB=90°， .点P在以AB为直径的半圆上运动， 如图，设圆心为O,连接OC交⊙O于点P,此时PC最短. OP-OB-AB=4 .0C=V0B+BC2=213 ∴.PC的最小值为OC-OP=2V13-4. 故答案为：2只13-4. 39/86 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型7定弦定角→面积最值（共4小题） 【模型】定弦定角 特征：弦AB固定，∠APB为定值（非90）。 34. 2425九年级上天津期中)如图，在平面直角坐标系中，0为原点，点43,0？ 点B0,1 点E 是边AB的中点，把△AOB绕点A顺时针旋转得△ADC,点O,B旋转后的对应点分别为D,C.连接 OC,EC,OE,在旋转的过程中，△OEC面积的最大值为一 y 【答案】4+3 【详解】以A为圆心，AB为半径画⊙A,过点C作CK⊥OE交OE的延长线于点K, 点43,0点B0,1 ∴.OA=V3,OB=1 ∴.AB=VOB+AO=2 在Rt△ABO,.'AB=2OB=2, ∴.∠BAO=30, .:E为AB中点，△ABO是直角三角形， 40/86 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 0E22 B=AE=1, ∴.∠E0A=30° 圆中最长的弦是直径， .当点C旋转到如图所示的位置时，即C、A、K三点共线时，此时高CK最大，面积最大， CK⊥OE, .在Rt△AKO中， :∠E0A=30°， A-01: 2 8CK=2+y3=4+V3 2 此时，S= ×1×4+34+5 2 4 35.如图，在矩形ABCD中，AB=12,BC=16,点E、F分别是边AB、BC上的动点，且EF=10,点 G是EF的中点，连接AG、CG,则四边形AGCD面积的最小值为 D B 【答案】142 【详解】如图，连接AC,过B作BH⊥AC于H,以B为圆心，BG为半径作圆，交BH于G,如图， D :四边形ABCD是矩形， ∴.∠EBF=90°， 41/86 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,EF=10,点G是EF的中点， :G=EF=2×10=5. 1 .G在以B为圆心，5为半径的弧上，当G运动到G时，SA4cG最小，此时四边形AGCD面积的最小值， 最小值即为四边形AGCD的面积， .AB=12=CD,BC=16=AD. AC=20,SAACD=)义 ×12×16=96, ∴BH=AB·BC-48 AC GH=BH-5=4 -5=23 Sa6=号AC-GH=5×20×23=46. 2 S5xCD=SAAn+S6c=46+96=142:,即四边形AGCD面积的最小值是142' 故答案为：142 36.(25-26九年级上江苏无锡期中)如图，在△ABC中，∠BCA=90°，BC=AC,点E是△ABC外 -动点（点B,点E位于AC异侧），当∠AEC=135时，点F为线段AB上一点，AF=1,BF=5,连接 CF,EF,求△CEF面积的最大值一， B 【答案】33-3 【详解】取AB的中点O,连接OC,如图所示： 42/86 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B ,∠BCA=90°，AC=BC, ∴，△ABC为等腰直角三角形， ∴∠ABC=45°， O为AB的中点， ∴.OC⊥AB 0C-0AAB-号AF+B×1+5-3. ∴.OF=OA-AF=2, 根据勾股定理得：CF=VOC2+0F=13 :CF为定值， ∴点E到CF的距离最大时，△CEF的面积最大， :∠AEC=135°， ∴.∠ABC+∠AEC=180°， A、B、C、E四点共圆， ∠BCA=90°， ∴AB是圆的直径，AB的中点O为圆心， 过点O作ON⊥CF于点N,延长ON交圆O于点E, 此时点E到CF的距离最大，△CEF的面积最大， Sxoc-OCOF-CF.ON. :0N=0C.0F=3x2=6/13 CF-V13-13 43/86 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 OE=OC=3. ÷EN=OE-ON=3-6V3 13 △CEF的面积最大值为：CF:EN=x/13×3-63 313 13 -3 2 2 故答案为： 313-3. 37.(25-26九年级上浙江金华.期中)如图，在半径为1的⊙0中，弦AB=V2,C为弦AB所对优弧上的 动点.连接CA,CB,过点A作AC的垂线与CB所在的直线交于点D. O D B C (1)AB的度数为 (2)在点C运动的过程中，△ABD的面积的最大值为 【答案】 90°/90度 V2+1 2 【详解】解：(1)连接OA、OB, D .OA=OB=1, ,AB=V2,满足OA2+OB=AB2, ∴，△OAB为等腰直角三角形， ∴.∠AOB=90°， ∴.AB的度数为90°， 44/86 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 故答案为：90°， (2),∠AOB=90°， ∴∠ACB=45°， ∠CAD=90°， .∠ADC=45°， 作△ABD的外接圆⊙P,可知点D在⊙P上，则∠APB=2∠ADB=90°， AB=2, ∴，当点P到AB的距离最大时，△ABD的面积最大， 设Q为AB中点，连接QP并反向延长，与圆P交于点D,此时点D到AB的距离最大， 连接PA、PB, ∠AOB=∠APB=90°，OA=OB,PA=PB, ∴∠OAB=∠PAB=∠OBA=∠PBA=45°， 即∠OAP=∠OBP=90°， 又：OA=OB, ∴，四边形OAPB为正方形， ..AP=OA=1, ,点Q为AB中点，∠APB=90°， 2 ÷.QD1AB,AQ=BQ=2 2 :PQ=2 DQ-PQ+PD-+1 2 “△ABD面积的最大值为号×AB×DQ=号×吃×2+1 2+1. 2 故答案为： 2+1 题型8四点共圆（对角互补90°)（共8小题） 45/86 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【模型】四点共圆 特征： 四边形中有两个对角都是90°（∠ABC=∠ADC=90°）。 方法： ∠ABC与∠ADC都对着AC,且均为90°，故B、D在以AC为直径的圆上，四点共圆。 【易错】两角同为90°且对同一条线段，才说四点共圆：BD是圆内弦，最大等于直径AC,不是等 于某条边长。 38. (25-26九年级上福建莆田期中)如图，在四边形ABCD中，AC=3,∠ABC=120°， ∠ADC=60°，求CD的最大值为· 【答案】2V3 【详解】解：在四边形ABCD中，∠ABC=120°，∠ADC=60°， .∠ABC+∠ADC=120°+60°=180°， ∴A,B,C,D四点共圆，设圆心为O,过点O作OE⊥AC交AC于点E,连接OA、OC如图： D ,圆周角∠ADC=60°， :圆心角∠A0C=120°， ∴.△AOC为顶角120°的等腰三角形， ∴，△EOC为锐角30°的直角三角形， AC=3, .EC=1.5, ∠OCE=30°， 46/86 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴OC=2OE,由勾股定理可得方程0C=OE2+EC2,解得0C=V3, CD为圆内的弦，而圆内长度最大的弦为直径，故CD大=20C=23 故答案为：23 39.(25-26九年级上江苏扬州期中)如图，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，AB=AC=4, 点D为△ABC所在平面内一点，∠BDC=90°，以AB,BD为边作平行四边形ABDE,则BE的最大值 为 【答案】2V10+2V2 【详解】解：如图，当点E位于△ABC内部时，延长AE交CD于点F,连接CE, B D 四边形ABDE为平行四边形， ∴.AB=DE,AE‖BD,∠BAE=∠BDE, .DE=AB=AC=4,∠AFC=∠BDC=90°=∠DFE, ,∠BAE+∠CAF=∠BDE+∠EDF=9O°，且∠BAE=∠BDE, ∴∠CAF=∠EDF, ∴.△AFC≌△DFE AAS, ..EF=CF, △CEF为等腰直角三角形， ∴∠FEC=∠FCE=45°， 47/86 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠AEC=180°-∠FEC=135°， ,△ABC为等腰直角三角形，AB=AC=4, ∴由勾股定理得BC=AB2+AC=42 ,∠BAC=90°，∠BDC=90°， .点A、B、C、D共圆，且直径为线段BC, 如图所示，假设该四点所在圆为⊙0，点0为线段BC的中点，连接0A,则OA=BC=2迈。 ∠OAC=∠OCA=45°， 作线段AC的垂直平分线，在垂直平分线上找一点M,以点M为圆心，OA长为半径画圆，连接MA,MC, 连接BM并延长交⊙M于点E, .MA=MC=ME, 点E的运动轨迹为圆， B 则根据圆外的点到圆上的点的距离最值可得：BE即为BE的最大值， ,当点E位于△ABC内部时，∠AEC=135°， ∴.当点E位于△ABC外部时，即为点E时，根据圆内接四边形的性质得， ∠AEC=180°-∠AEC=45°， ∴.∠AMC=2∠AEC=90°， 又.MA=MC, ∴.∠MAC=∠MCA=45°， ∴.∠MAC+∠OAC=∠MCA+∠OCA=90°， ∴.四边形OAMC为正方形， ∴.MC=ME=OA=2V2, 48/86 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由勾股定理得 BM=BC2+MC2=210 ∴.BE=BM+ME=2V10+22. 故答案为：210+2V2, 40.(24-25九年级上江苏徐州期中)【推理证明】(1)如图①，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°， 求证：A、B、C、D四点共圆.小明认为：连接AC,取AC的中点O,连接OB、OD即可证明，请你按 照小明的思路完成证明过程： B 图① 【尝试应用】(2)如图②，在正方形ABCD中，点E是边AB上任意一点，连接DE,交AC于点F,请利 用无刻度的直尺与圆规在线段CF上确定点P,使△DEP是直角三角形.（不写作法，保留作图痕迹） 图② 【拓展延伸】(3)在(2)的基础上，若AB=3,BE=2AE,求线段DP的长 【详解】(1)证明：连接AC,取AC的中点O,连接OB、OD, ∠B=∠D=90°， ..OA=OB=OC=OD=-AC, 2 ∴，A、B、C、D四点在以点O为圆心，以OA为半径的圆上. (2)如图，△DEP为所求直角三角形： 49/86 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)在正方形ABCD中，AB=3,BE=2AE, .BE=2,AE=1,AB=AD=CD=BC=3, ∠DAB=∠ADC=90°，∠EAP=45° DE=VAE2+AD=12+32=V10 .EP=EP, .∠EAP=∠EDP=45°， 又：△DEP是直角三角形，∠DPE=90°， ∴.∠DEP=∠EDP=45°， ∴.EP=DP 又：EP2+DP2=DE2, 即2Dp2=(102 .DP=5」 41.（23-24九年级上云南昆明期中)综合与实践： “善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆.该小组继 续利用上述结论进行探究. 提出问题： 如图1所示，在线段AC同侧有两点B,D,连接AD,AB,BC,CD,如果∠B=∠D,那么A,B,C, D四点在同一个圆上 D 图1 50/86 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 探究展示： 如图2所示，作经过点A,C,D的⊙O,在劣弧AC上取一点E(不与A,C重合)，连接AE,CE, B E 图2 则∠AEC+∠D=180°，（依据1） .∠B=∠D, ∴.∠AEC+∠B=180°， ∴.点A,B,C,E四点在同一个圆上，（对角互补的四边形四个顶点共圆） ∴点B,D在点A,C,E所确定的⊙O上，（依据2） .点A,B,C,D四点在同一个圆上： 反思归纳： (1)上述探究过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？ 依据1：一一； (从右边框内选一个选项，直接填序号) 依据2： (从右边框内选一个选项，直接填序号) ①圆内接四边形对角互补： ②对角互补的四边形四个顶点共圆： ③过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆： ④经过两点的圆的圆心在这两点所连线段的垂直平分线上： (2)如图3所示，在四边形ABCD中，∠1=∠2=80°，∠3=42°，则∠4的度数为 51/86 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图3 【答案】(1)①，③(2)42 【详解】解：(1)由探究展示过程可知，∠AEC+∠D=180°的依据是：①圆内接四边形对角互补： 点B,D在点A,C,E所确定的⊙O上的依据是：③过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆： 故答案为：①，③ (2)作过A,C,D的⊙O,在劣弧CD上取点K,连接DK,CK,如图： D ●O .∠1=80° 4 B ∴.∠K=180°-∠1=100°， .∠2=80°， ∴.∠K+∠2=180°， ∴.B,C,D,K共圆，即B在过C,D,K的⊙O上， A在过C,D,K的⊙O上， .A,B,C,K,D共圆， AD=AD. .∴.∠4=∠3=42°， 故答案为：42° 42.(24-25九年级上江苏徐州期中)【材料阅读】如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个 ” 52/86 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 点共圆，简称“四点共圆”.在教材中学习了定理“圆内接四边形的对角互补”后，学习小组继续探究， 提出猜想“对角互补的四边形四个顶点共圆”并尝试用反证法进行验证 ●0 图1 图2 图3 【验证猜想】 已知：四边形ABCD中，∠A+∠C=180° 求证：A、B、C、D四点共圆 证明：过点A、B、D作⊙O,假设点C不在⊙O上，则点C在⊙O外或⊙O内 若点C在⊙O外，如图1，设BC交⊙O于C,连接DC,则∠DCB>∠C. .四边形ABCD是⊙O的内接四边形， .∴.∠A+∠DCB=180 .∠A+∠C=180°， ∴.∠DCB=∠C 与∠DCB>∠C矛盾，故点C不可能在圆外： 若点C在圆内， … (1)在图2中，用直尺和圆规作出过点A,B,D的圆，参考以上思路补全图形并完成后续证明： 【深入探究】 得出“对角互补的四边形四个顶点共圆”是真命题后，继续思考，四点共圆还可以有其他的条件吗？请你 在此基础上展开探究： (2)如图3，在线段AB同侧有两点C,D连接AC,BC,AD,BD.如果∠C=∠D,那么A、B、 C、D四点共圆，请完成证明（如需辅助圆，画出示意图即可）： 【结论应用】 应用以上结论，解决下列问题： (3)如图4，在四边形ABCD中，∠1=∠4，∠2=30°，则∠3=°； (4)如图5，△ABC中∠CAB=∠CBA=50°，点E在AB上，连接CE,作点B关于CE的对称点B, 53/86 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 连接BC,BE,∠BCE=18°求∠BEA的度数； 【拓展延伸】 (5)如图6，AB=BC=5,∠ABC=60°，点D为平面内一动点，连接DA、DB,若始终有 ∠ADB=60°，当四边形ABCD周长最大时，DC与BD的数量关系是多少？（直接写出答案）， B 图4 图5 图6 【答案】 (1)如图， D .点A、B、C、E四点在同一个圆上： (2)如图，作经过点A、B、D的⊙O, 在劣弧AB上取一点E(不与A、B重合)，连接AE,BE, 则∠E+∠D=180°， :∠C=∠D, ∴.∠E+∠C=180° ∴.点A、B、C、E四点在同一个圆上，（对角互补的四边形四个顶点共圆） ∴·点C在点A、B、E所确定的⊙O上，也就是在点A、B、D所确定的⊙O上， .点A、B、C、D四点共圆； 54/86 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)30: 44:5)DC7D 【详解】解：(1)若点C在⊙O内，如图，延长BC设BC交⊙O于C, D 连接DC,则∠DCB>∠C. ,四边形ABCD是⊙O的内接四边形， .∠A+∠C=180°， .∠A+∠DCB=180°， ∴.∠C=∠DCB 与∠DCB>∠C矛盾，故点C不可能在圆内， 点C在圆上， .点A、B、C、E四点在同一个圆上： (2)如图，作经过点A、B、D的⊙O, D 在劣弧AB上取一点E(不与A、B重合)，连接AE,BE, 则∠E+∠D=180°， .∠C=∠D, ∴.∠E+∠C=180° ∴.点A、B、C、E四点在同一个圆上，（对角互补的四边形四个顶点共圆） ∴.点C在点A、B、E所确定的⊙O上，也就是在点A、B、D所确定的⊙O上， .点A、B、C、D四点共圆； (3):∠1=∠4， 55/86 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴点A,点B,点C,点D四点共圆， ∴∠2=∠3=30°， 故答案为：30： (4)由对称可知，∠ABC=∠CBE,∠BCB=2∠BCE=36° .∠CAB=∠CBA=50°， ∴.∠CAB=∠CBE=50°， .由(2)可知，点A、B、E、C四点共圆 ∴.∠BCA=∠BEA, .'△ABC中，∠ACB=180°-∠CAB-∠CBA=80°， ∴.∠BEA=∠ACB=∠ACB-∠BCB=80°-36°=44°： (5)如图，连接AC, 图6 :AB=BC=5,∠ABC=60°. .△ABC是等边三角形， ∴∠ACB=60°， ,∠ADB=60°， .∠ACB=∠ADB, ∴点A,点B,点C,点D四点共圆， ∴.∠BDC=∠BAC=60°，弦BD最大值是直径长， 以BD为边在BD上方作等边三角形△BDE,连接AE, .BD=BE=DE,∠DBE=∠DED=60°， ∴.∠ABE=∠DBC=60°-∠ABD ∴，△ABE≌△CBD|SAS, .CD=AE,∠BDC=∠BEA=60°， 56/86 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠BED=∠BEA=60°， ∴A,E,D三点共线， .CD+AD=AE+AD=DE=BD. ,四边形ABCD周长=AB+BC+CD+AD=10+CD+AD=10+BD, ∴，当BD是直径时，四边形ABCD的周长有最大值， ∴.∠BCD=90°， ∴∠DBC=30°， ..DC=-BD 43.(25-26九年级上江苏连云港期中)以下是“四点共圆”的几个结论，你能证明并运用它们吗？ I.若两个直角三角形有公共斜边，则这两个三角形的4个顶点共圆（图①、②）； Ⅱ.若线段同侧两点与线段两端点连线的夹角相等，则这两点和线段两端点共圆（图③）； Ⅲ.若四边形的一组对角互补，则这个四边形的4个顶点共圆（图④）· ∠B=∠D=90° ∠B=∠D=90° ∠A=∠D ∠A+∠C1809 ① ② ③ ④ 0 D D ⑤ ⑥ ⑦ ⑨ 57/86 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)在图①、②中，取AC的中点O,根据_得OA=OB=OC=OD,即A,B,C,D共圆， (2)在图③中，画⊙O经过点A,B,C(图⑤)·假设点D落在⊙O外，DC交⊙O于点E,连接BE,可 得∠A>∠D,得出矛盾；同理点D也不会落在⊙O内（图⑥），即A,B,C,D共圆.结论II同理可证. 请你利用“反证法”证明结论I,在图⑦和图⑧中选择一个证明点C在圆上； (3)利用四点共圆证明锐角三角形的三条高交于一点； 已知：如图⑨，锐角三角形ABC的高BD,CE相交于点H,射线AH交BC于点F 求证：AF是△ABC的高.（连接ED, 补全以下证明框图) A,E,D,H共圆 ∠BAF-①△ ∠AFB=90°， ②▲一共圆 ③▲ ∠BAF+∠ABC-901 即AF是高线 CE是高线 ∠ABC+∠BCE=90° (4)如图⑩，点P是△ABC外部一点，过P作直线AB,BC,CA的垂线，垂足分别为E,F,D,且点D, E,F在同一条直线上，求证：点P在△ABC的外接圆上. 【详解】(1)解：由题意可得：根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得OA=OB=OC=OD,即 A,B,C,D共圆， 故答案为：直角三角形斜边中线等于斜边的一半： (2)证明：假设点C落在⊙O外，BC交⊙O于点E,连接DE, D .∠A+∠BED=180°， ,∠A+∠C=180°， ∠BED=∠C, :∠BED是△DEC的一个外角. ∴∠BED>∠C,相互矛盾，故点C在圆上： 58/86 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)证明：以A、E、H、D四点作圆，以B、E、D、C四点作圆，连接ED,如图： A、E、H、D四点共圆， ∴.∠BAF=∠EDH, B、E、D、C四点共圆， ∴.∠EDH=∠BCE, ,CE⊥AB ∴.∠EBC+∠BCE=90°， ∴.∠EBC+∠BAF=90°， ∴.∠AFB=90°， 即AF是△ABC的高， 故答案为：∠EDH,B、E、D、C,∠EDH=∠BCE; (4)证明：如图，连接BP,CP由结论I可得：点P、D、F、C四点共圆，点P、E、B、F四点共圆， 又，点D,E,F在同一条直线上， ∠PCD=∠PFD,∠PFD=∠PBE, ∴.∠PCD=∠PBE, 由结论I可得点A、B、C、P四点共圆即点P在△ABC的外接圆上. 44.（23-24九年级上江苏徐州期中)如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=-X-2的图像与x轴交 59/86 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 于点A,与y轴交于点B,二次函数的图像y=x+bx+C经过点A、B. 图1 备用图 (1)b=,C=-: (2)若点M是第三象限内抛物线上的一动点，过点M作MC垂直于x轴，垂足为点C,交直线AB于点D, 连接AM,当S△ADM=S△ADc时： ①求点M的坐标； ②直线MC上是否存在点E,使△ABE为直角三角形？若存在，直接写出符合条件的所有点E的坐标；若 不存在，请说明理由. (3)抛物线上是否存在点N(不与点A、B重合)，使得O、A、B、N四点共圆，如果存在求出点N的坐标， 如果不存在，请说明理由， 【详解】(1)解：：一次函数y=x-2的图像与x轴交于点A,与y轴交于点B, A-2,0,B0,-2 二次函数的图像y=x+bx+c经过点A、B, 0=4-2b+c b=1 -2=c 解得： c=-2 故答案为：1，-2. (2)解：由(1)可知，二次函数表达式为y=x2+x-2, ①设Mx,X+x-2则D(x,-x-2,C(x,0) 由题意可知，x2+X-2<-X-2<0 则MD=(-X-2)-x2+x-2=-x2-2x,DC=-(-X-2=x+2 'S△ADM=S△ADC. 60/86 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴MD=CD, .-xX2-2X=X+2,解得X1=-1,x2=-2(不符合题意，舍去)， 当x=-1时，x2+X-2=-2 ÷M-1,-2: ②设E-1,m则AE2=-2--1?+m-0=1+m2BE2=-1-0+-2-m=m2+4m+5 AB2=0--2+-2-02=8 当∠AEB=90时，AB2=AE2+BE2 ∴8=1+m2+m2+4m+5,即2m2+4m-2=0,解得：m=-1+2或-1-/2， ∴点的坐标为(-1，-1+V2)或(-1，-1-V2): 当∠ABE=90°时，AE2=AB2+BE2 ∴1+m2=m2+4m+5+8,即4m-12=0,解得：m=3, ∴点E的坐标为-1,3)： 当∠BAE=90时，BE2=AB+AE2, ∴m2+4m+5=m2+1+8,即4m-4=0,解得：m=1, ∴点E的坐标为-1,1)： 综上，点的坐标为-1，-1+V2)或(-1，-1-V2)成(-1,3)或(-1,1). (3)解：不存在，理由： 设抛物线上存在点Nn,n2+n-2使得0、A、B、N四点共圆，AB中点为Q 过点N作WNK⊥x轴，过点Q作QG⊥y轴，NK、QG交于点H. ·A(-2,0),B(0,-2） ·G 点 .AB=22,Q(-1,-1) 61/86 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.QG=-1-nl=1+nl,NG=n2+n-2-(-1)=n2+n-1 .∠AOB=90°， ∴.AB是直径，点Q是圆心. N0号AB=吃 由于RtANQG中，QG2+NG2=NQ2 1+n2+n2+n-1=(2,化简得n+2n2=0,n(n+2)=0:解得n值为0或-2 ∴.N的坐标为(0，-2)或N(-2,0),此时点N与点A,B重合，不符合题意， 故假设不成立，抛物线上不存在点N使得O、A、B、N四点共圆 45.(24-25九年级上·江苏泰州期中)综合与实践 数学活动课上，小聪在老师的指导下开展“探究四点共圆的条件”活动. 【提出问题】如图1，在线段AC同侧有两点B,D,连接AD,AB,BC,CD,如果∠B=∠D,那么 A,B,C,D四点在同一个圆上 D B 图1 探究展示： 设⊙O是△ABC的外接圆 如图2，假设点D在⊙O内，延长AD交⊙O于点E,连接CE .点E在⊙O上，.∠B=∠E() .'在△CDE中，∠ADC=∠DCE+∠E ∴.∠ADC=∠DCE+∠B .这与已知条件∠ADC=∠B矛盾 ∴点D不在⊙O内如图3，假设点D在⊙O外，…； 综上所述，作△ABC的外接圆⊙O,点D在⊙O上，即A,B,C,D四点共圆. 62/86 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E B 0 图2 【归纳结论】 (1)上述探究过程中的括号内填的依据是 (2)如图3，请你帮助小聪按照上面的思路，写出该证明的省略部分： 【结论运用】 (3)已知四边形ABCD中，∠BAC=∠BDC ①如图4，点B和点C在AD同侧，AC,BD交于点F,AD,BC的延长线交于点E,若 AB=BE,∠ACB=60°，请判断AF与BE的数量关系，并说明理由： ②如图5，若∠ABC=60°，BD平分∠ABC,记t=AB+BC 的值是否会发生改变，如果不发生改变， BD 请求出其值，如果发生改变，请求出t的取值范围. E B 0 D 图3 图4 图5 【详解】解：归纳结论(1)如图2，假设点D在⊙O内，延长AD交⊙O于点E,连接CE .点E在⊙O上， .∠B=∠E(同弧所对的圆周角相等)， .'在△CDE中，∠ADC=∠DCE+∠E, ∴.∠ADC=∠DCE+∠B, 这与已知条件∠ADC=∠B矛盾： 63/86 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴点D不在⊙O内： 故答案为：同弧所对的圆周角相等： (2)如图3，假设点D在⊙O外，设AD交⊙O于点E,连接CE, ,点E在⊙0上， .∠AEC=∠B, ,在△CDE中，∠AEC=∠DCE+∠D, ∴∠B=∠DCE+∠D, ∴这与已知条件∠D=∠B矛盾： ∴点D不在⊙O外： (3)①AF=BE,理由见解析： ,∠BAC=∠DBC ∴A,B,C,D四点在同一个圆上，记为⊙O, B 设∠BAC=∠BDC=Q,∠CAD=∠CBD=B, ,四边形ABCD内接于⊙O, 、∠DCE=∠BAD=a+B, ..AB=BE, ∴.∠E=∠BAE=a+B, .∠ACB=60°， ∴.∠ACB=∠CAD+∠E=a+2B=60°，∠ADB=∠ACB=60°， ·∠CFD=∠CAD+∠ADB=B+60°， ∴.∠ACD=180°-∠ACB-∠DCE =120°-a-β 64/86 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =(B+60°)-(a+2B-60) =B+60° =∠CFD; ,∠CFD=∠AFB,∠ACD=∠ABD, ∴.∠AFB=∠ABD, ..AF=AB=BE: ②t的大小不会发生变化 理由：延长BC至点E,使得CE=AB,过点D作DM⊥BE于M, B 刀 E ,∠BAC=∠BDC, ∴.A,B,C,D四点在同一个圆上， BD平分∠ABC, ∴.∠ABD=∠CBD, ..AD=CD: :A,B,C,D四点在同一个圆上， ∴.∠DAB+∠DCB=180, ,∠DCE+∠DCB=180°， ∴.∠DAB=∠DCE; 在△BAD和△ECD中， CE=AB ∠DAB=∠DCE AD=CD .△BAD≌△ECD(SAS), .BD=ED 65/86 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠DBE=∠E, DM⊥BE,BD=ED ∴.BE=2BM, ,BD平分∠ABC,∠ABC=60°， ∴.∠DBE=∠ABD=∠E=30°， ∴BD=2DM, BM=BD-DM2-3DM' ∴.BE=2V3DM, ..AB+BC=CE+BC=BE=2BM=23 DM, t=AB+BC-2V3DM-3 BD 2DM 题型9圆外一点到圆上距离最值（中点轨迹) (共15小题) 【模型】圆外一点与圆上动点的中点轨迹 特征：P在圆外，M为圆上动点，Q为PM的中点。 方法： Q的轨迹是一个以OP中点为圆心、半径/2的圆；OQ的最小值=O到新圆心距离-新半径 【易错】中点的轨迹圆半径是原圆半径的一半、圆心是OP中点，二者都易写错：外离情形最小值取 “两心距减半径” 。 46. (25-26九年级上河南商丘期中)如图，在正方形ABCD中，AB=4,E,F分别是边CD和AD上的 动点，且AF=DE,BE与CF交于点G,连接AG,则AG的最小值是 R 【答案】2V2 【详解】解：.在正方形ABCD中，AD=CD=BC=AB=4,且AF=DE, .DF=CE, 66/86 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 又，CD=BC,∠D=∠BCE=90°， ∴.△CDF≌△BCE SAS, ∴.∠DCF=∠CBE, .∠DCF+∠BCG=90°， .∴.∠CBE+∠BCG=90°， ∴.∠BGC=90°， 点G在以BC为直径的圆弧上运动， ,E,F分别是边CD和AD上的动点， ∴.当点E与点D重合、点F与点A重合时，AG取得最小值， A(F) D(E) C 由勾股定理得AC=VAD2+CD2=4+4=4V2 .AG=AC=2/2. 即AG的最小值是2只V2 故答案为：2/2. 47.(24-25九年级上浙江杭州期中)如图，在正方形ABCD中，AB=4,点E,F分别在CD,AD上， CE=DF,BE,CF相交于点G,连结DG.当点E从点C运动到点D的过程中，DG的最小值为 67/86 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】2V5-2 【详解】解：如图，以BC为直径作⊙O,连接OG, D 0 ,四边形ABCD是正方形， .BC=CD,∠BCE=∠CDF=90°， ,CE=DF」 .△BCE≌△CDF SAS, ∴∠EBC=∠FCD, ∠FCD+∠BCG=90°， .∠CBE+∠BCG=90°， .∠CGB=90°， ∴，点G的运动轨迹是以BC为直径的⊙O,当O,G,D共线时，DG的值最小， 在正方形ABCD中，AB=4, ..OC=2,CD=AB=4. 0D=VCD2+0C2=V42+2=25 ,DG=0D-OG=2V5-2, 即DG的最小值为2V5-2, 故答案为：2V5-2 68/86 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 48.(24-25九年级下·河南商丘期中)如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC=5,BC=6,D为平面内 一点，连接BD,CD,且∠BDC=90°，连接AD,则AD的最小值为一，最大值为一 D 【答案】 1 7 【详解】解：，∠BDC=90°，BC=6, ∴点D的运动轨迹是以BC为直径的⊙O,且⊙O的半径为3， 如图所示，连接AO,并延长交⊙O于点E,F, ..OB=OC=OE=OF=3.AO LOB. .AB=AC=5, 0A=AB2-0B=4 .AE=OA-OE=4-3=1,AF=OA+OF=4+3=7, ∴.当点D与点E重合时，AD有最小值1，当点D与点F重合时，AD有最大值7， 故答案为：1,7 49.(25-26九年级上福建福州，期中)如图，AB=5V2,点C是平面内一动点，且BC=5,连接AC,将 AC绕点A逆时针旋转90°，得到AD,连接BD,则BD的最小值为 69/86 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】5 【详解】解：将线段AB绕点A逆时针旋转90°后得到线段AE,连接BE,DE,则： ∠BAE=90°，AE=AB=5V2, ..BE=2AB=10 :将线段AC绕点A逆时针旋转90°后得到线段AD, ,∠CAD=90°=∠BAE,AC=AD, ∴∠CAB=∠DAE, ∴.△ACB≌△ADE SAS, ..DE=BC=5, ∴点D在以点E为圆心，5为半径的圆上运动， ∴.当点D在线段BE上时，BD的值最小为BE-DE的长，即BD的最小值为10-5=5 故答案为：5. 50.(25-26九年级上江苏无锡阶段检测)如图，在口ABCD中，AB=2,AD=2,∠ABC=45°， 点E是口ABCD内部一点，且∠BAE+∠CDE=90°，连接BE,则BE长的最小值为 70/86 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A B 【答案】5-1 【详解】解：，口ABCD, ∴.∠BAD+∠ADC=180°， ,'∠BAE+∠CDE=90°， ∴.∠EAD+∠ADE=90°， ∴.∠AED=90°， ∴.点E的轨迹是以AD为直径的圆的一部分. 设AD的中点为O,连接BO,易知当点E在BO上时，BE的值最小，过点B作BF⊥AD,交DA的延长线 于点F, 则∠ABF=45°， AF-BF-AB-1. OA-TAD=1 .∴.OF=2, .OB=V0F2+BF2=V2+1=V5 ∴.BE=OB-OE=V5-1. E C 故答案为：V5-1. 51.(25-26九年级上浙江金华.期中)如图，△ABC中，BC=2,∠BAC=30°，则△ABC的最大面积 是， 若AC的中点是M,那么中线BM的最大值是 71/86 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】 2+V3/RV3+21+9V3/R3+1 【详解】解：作△ABC的外接圆⊙O,分别连接OA,OB,OC,过A作AH⊥BC,交BC所在直线于 点H,如图， H B ∴.SAABC= BC×AH=AH, ∴当AH最大时，SAABC有最大值， 根据圆的性质可得当A、O、H三点共线时，AH最大，如图， A H B ,∠BAC=30°， ∴.∠BOC=60°， “△OBC是等边三角形， ..OB=BC=2, OH⊥BC, a8c=1, 72/86 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 六0H=0B-BH=V2-1=3' ..AH=OA+OH=2+3 .S△ABc的最大值为2+V3, 如图，取OC中点D,连接OA,DM,BD,BM, B AC的中点是M, MD是△OAC中位线， :.DM-0A=1. 点M在以D为圆心，半径为1的圆上运动， 当点B、D、M三点共线时，BM有最大值，如图， B 同上理：BD=V3, ∴.中线BM的最大值是1+3 故答案为：2+3,1+3】 52.(25-26九年级上.贵州黔南期中)如图，P为矩形ABCD外一点，且点P到AB的中点O的距离为1， AB=2,BC=3,当线段PO绕点O旋转时，PD的最大值为· 73/86 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 【答案】10+1 【详解】解：点P到AB的中点O的距离为1，AB=2, ..AO=OB=OP. :∠AP0=80-∠A0P,∠BP0=I80-∠PoB. ∠AOP+∠POB=180°， ∠APB=∠APO+∠BPO= l80-∠A0P+l80-∠P08=180-A0p+∠P0B=90 ∴如图：点P的轨迹是以AB的中点O为圆心，以半径为1的圆，连接DO并延长交⊙O于点P1,DP1即 为PD的最大值， B ,矩形ABCD,AB=2,BC=3, .∠BAD=90°，AD=BC=3, D0=AD2+0A=V101 六DP,=D0+PP1=/10+1 故答案为10+1. 53.(24-25九年级下.陕西咸阳·期中)如图，在矩形ABCD中，E为矩形内一点，连接AE,BE,CE, ∠AEB=90°，AB=12,BC=5,则EC的最小值为 74/86 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B D 【答案】√61-6 【详解】解：如图所示， ∠AEB=90°，E为矩形内一点， ∴，点E相等于是以AB为直径，点O为圆心的圆上运动（下半圆）， ∴CE的最小值就是连接CO,交半圆与点E,即此时CE为最小值， 在矩形ABCD中， ∴.∠ABE=90°， 又：0B=2AB= 1 ×12=6,BC=5, 0C=VBC2+0B=V52+62=V61 .CE=C0-OE=61-6 B 54.(24-25九年级上浙江杭州期中)如图，在矩形ABCD中，AD=5,AB=3V3,点E在AB上， AE 1 EB 2' 在矩形内找一点P.使得∠BPE=60°，则BE=一，线段PD的最小值为一， E 75/86 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】 2V3 2V7-2 【详解】解：如图，在BE的上方，作△OEB,使得OE=OB,∠EOB=120°，连接OD,过点O作 OQ⊥BE于Q,OJ⊥AD于J. D C :∠BPE=2∠EOB, ∴，点P的运动轨迹是以0为圆心，OE为半径的⊙O上， ∴，当点P落在线段OD上时，DP的值最小， ,四边形ABCD是矩形， ∴.∠A=90, :AB=3P3,AE:EB=1:2, BE=23, :OE=OB,∠EOB=120°，OQ⊥EB, ∴.EQ=BQ=V3,∠E0Q=∠B0Q=60°， ∴∠OEQ=30°， ∴.0E=20Q,QE=30Q=V3 .OQ=1,0E=2, 即OP=OE=2 OJ⊥AD,OQ⊥AB, ∴.∠A=∠AJ0=∠AQ0=90°， ∴四边形AQOJ是矩形， ∴.AJ=OQ=1,J0=AQ=23, ,AD=5, ..DJ=AD-AJ=4, 76/86 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 六0D=JD2+0了=27 ∴PD的最小值=OD-OP=2V7-2, 故答案为：23,2V7-2 55.(24-25九年级上广东汕尾·期中)如图，已知正方形ABCD中，两动点M和N分别从顶点B、C同时 出发，以相同的速度沿BC、CD向终点C、D运动，连接AM、BN,交于点P,再连接PC,若AB=4, 则PC长的最小值为· D D BM 【答案】2V5-2 【详解】解：，四边形ABCD是正方形， ∴.∠ABM=∠BCN=90°，AB=BC=4, ,'点M和N分别从顶点B、C同时出发，以相同的速度沿BC、CD向终点C、D运动， ∴.BM=CN, .△ABM≌△BCN SAS, ∴.∠BAM=∠CBN, .'∠ABP+∠CBN=90°， ∴.∠ABP+∠BAM=90°， .∠APB=90°， 点P在以AB为直径的圆上运动，运动路径为BG,是这个圆的4， 如图所示，连接OC交圆O于点P,即当O、P、C三点共线时，PC的值最小， 77/86 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4 G N B M C .AB=4, ∴OB=OP=2, 由勾股定理得： 0C=V0B2+BC=V22+4=2/5 ∴.PC=0C-OP=2V5-2, 故答案为：2V5-2: 56. (25-26九年级上.福建福州，期中)如图△ACB中，∠ACB=90°，AC=BC,AB=5V2,D是射线 CB上的动点，连接AD,以AD为斜边向上作直角△ADE,使得∠E=90°，∠EAD=30°，则BE的最 小值是 B 【容】月 【详解】解：如图，取AD中点O,连接OE,OC,EC,作EC的延长线CF, ,∠ACB=90°，∠E=90°， 78/86 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .OE=OC=OA=OD-AD ∴A、E、C、D在以O为圆心，OA为半径是圆上， ∴.∠EAD+∠ECD=180°， 又EAD=30°， ∴.∠ECD=150°， ∴.∠DCF=180°-∠ECD=30°， 点E在定直线(CF)上运动， ∴.当BE⊥CF时，BE取最小值， 如图， :.BE=-BC, 2 :AC=BC,AB=5V2,∠ACB=90°， .AC2+BC2=2BC2=AB2=50, .BC=5(负值舍去)， BE 即BE的最小值为号 故答案为：2 57.(25-26九年级上.四川成都期中)已知，等腰三角形ABC中，底角∠ABC=∠ACB=30°，边 AB=10,取底边BC上的一个动点D,连接AD.将线段AD绕着点A逆时针旋转60°得到线段AG,连接 BG、CG和DG.当线段CG取得最小值时，在直线AB上取一点M,连接MG,将△AMG沿直线MG翻 折，得到△HMG,点A的对应点为H,则线段BH的最小值为 ” 79/86 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】57-5 【详解】解：如图，将等腰三角形ABC绕着点A逆时针旋转60°得到等腰三角形ABC, ,取底边BC上的一个动点D,连接AD,将线段AD绕着点A逆时针旋转6O°得到线段AG, ∴G在BC上运动， 即当CG⊥BC时，CG取得最小值， ,将等腰三角形ABC绕着点A逆时针旋转60°得到等腰三角形ABC, ∴.∠CAC=60°，∠C=∠C=30°， ∴.AC⊥BC, 即当CG⊥BC时，G为AC与BC交点， :直线AB上取一点M,连接MG,将△AMG沿直线MG翻折，得到△HMG,点A的对应点为H, ∴点H在以G为圆心，AG为半径的圆上运动， 连接BG,可知此时线段BH有最小值， :∠ABC=∠ACB=30°， .AB=AC=10, 即AB=AC=10, ㄥC=30 .AG=5, .CG=5, 作AE⊥BC,GF⊥BC, ,∠ABC=∠ACB=30°，AB=AC=10, .BE=CE=53. BC=10V3, CG=5,∠ACB=30°， Gr3 80/86 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由勾股定理得：CF 593, :.BF=BC-CF 153, BG 1593 + 67525=8700=57: V44-V4 .BH=BG-GH=57-5 故答案为：57-5. C M H E 58.(25-26九年级上广东广州期中)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=3, 线段BC绕点B旋转到BD,连接AD,E为AD的中点，连接CE,则CE的最大值是· B D 【答案】 92 【详解】解：如图，作AB的中点O,连接OE, 81/86 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B C 由旋转的性质得：BD=BC=3,.'点E为AD的中点，点O为AB中点， OE是△ABD的中位线，OE号BD-多点E的轨迹是以O为圆心 为半径的圆，当点E在C0延长线上时，CE最大， 3 .∠ACB=90°，∠BAC=30°，∴.AB=2BC=2×3=6, :点0为AB中点，0C=号AB=×6=3, 21 GE最大为0c+0E=3+2》.故若案为： 9 59.(25-26九年级上江苏苏州期中)如图，正方形ABCD,以AB为腰向正方形内部作等腰△ABE,且 AB=AE,过点E作EF⊥AB于点F,点P是△AEF的内心，连接AP,BP,EP,CP,若AB=2V2, 则CP的最小值为 D 【答案】2V5-2 【详解】解：.EF⊥AB, .∠EFA=90° ∴∠EAF+∠AEF=90°. .'点P是△AEF的内心，即PA,PE分别平分∠EAF和∠AEF, 82/86 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠PAE= 2 ←EAF,PEA=7∠AEF ∴.∠APE=180°-（∠PAE+∠PEA) =180°-（∠EAF+∠AEF) =180°-45°=135. .AE=AB,∠EAP=∠BAP,AP=AP, ∴.△APE≌△APB(SAS). ∴.∠BPA=∠APE=135°. 如图，作出△APB的外接圆，设圆心为Q,圆的半径为，则CP的最小值即为CQ-r. C B .∠APB=135 N 设，D所对的圆心角优角为a,则a=270, AMB ∴.∠AQB=90°. .∵QA=QB, .∠ABQ=∠BAQ=45°. :AB=2V2, ∴.QA=AB·sin45°=2=QB. :四边形ABCD是正方形， ∴.AB⊥BC 83/86 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 过点Q作QN⊥BC,则AB‖QN, .∴∠BQN=∠ABQ=45. ∴，△QBN是等腰直角三角形 .'QN=NB= QB=2. 2 ∴.CN=BC+BN=3V2. .CQ=VQN2+CN2=V2+18=25 ∴.PC≥CQ-PQ=CQ-r=2V5-2. ∴.PC的最小值为2V5-2 故答案为：2V5-2. 60.(25-26九年级上·江苏准安期中)如图，已知正方形ABCD,以AB为腰向正方形内部作等腰△ABE, 其中AB=AE,过点E作EF⊥AB于点R,若点P是△AEF的内心，AB=4,连接CP,则CP的最小值 是 【答案】2V10-2/2 【详解】解：.EF⊥AB, ∴.∠EFA=90°， ∴∠AEF+∠EAF=90°， .点P是△AEF的内心， .PE,PA分别是∠AEF和∠EAF的平分线， ∠AEBP=号ABF,∠BAP=∠BAP-克BAE. ∠APE=1800-(∠AEP+∠EAP)=180-∠AEF+∠EAF)=180-号×90=135， ,AE=AB,∠EAP=∠BAP,AP=AP, 84/86 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴△APE≌△APBSAS, ∴.∠APB=∠APE=135° ∴.点P在以AB为弦，所对的圆周角为135°的圆上运动，作△APB的外接圆，如图所示： D C B 圆心记作点O,连接OA,OB,在优弧AB上取一点Q,连接AQ,BQ,则 ∠AQB=180°-∠APB=45°， ∴.∠AOB=2∠AQB=90°， :0A=0B=2AB=22, 连接OC,交⊙O于点P,当点P与点P重合时，CP的值最小，分别过点O作OM⊥AB于点M, ON⊥CB交CB的延长线于点N,如图所示： B --N 0M=BM=AB=2.∠OMB=∠MBN=∠ONB=90 ∴四边形OMBN是正方形， ” 85/86 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.ON=BN=BM=2, .'CN=BC+BN=6, 在Rt△ONC中，OC=ON2+C=2+6=210' ∴.CP=0C-0P=2V10-2V2 即CP的最小值为2V10-2V2 故答案为：2/10-22. 86/86