专题15 反比例函数与几何综合14大题型（期中复习讲义·培优版）九年级数学上学期新教材人教版

专题03 反比例函数与几何综合（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 类比法探索新函数的图象与性质 题型02 反比例函数与一次函数交点问题综合 题型03 反比例系数k的几何意义综合问题 题型04 反比例函数的性质 题型05 整点问题 题型06 求一次函数与反比例函数围成图形面积 题型07 反比例函数与跨学科问题 题型08 反比例函数中的平行与相等 题型09 与反比例函数有关的新定义问题 题型10 反比例函数与几何综合 题型11 反比例函数的对称问题 题型12 反比例函数与特殊三角形存在性问题 题型13 反比例函数与特殊四边形存在性问题 题型14 反比例函数与其它存在性问题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 类比法探索新函数的图象与性质 能类比已学函数的研究方法，探究新函数图象、增减性、特殊点等性质 中档探究题型，期中常作为选择、填空压轴，考查迁移能力 反比例函数与一次函数交点问题综合 能联立两个函数解析式求解交点坐标，会利用交点解决相关求值问题 高频必考，小题、解答题均会出现，基础综合题 反比例系数 k 的几何意义综合问题 能熟练利用 k 的几何意义求解图形面积，由面积反求 k 值 期中热点，选择填空高频，易忽略坐标符号导致 k 正负出错 反比例函数的性质 能根据反比例函数解析式判断增减性、图象所在象限，比较函数值大小 基础必考点，多为选择题，注意 “在每一象限内” 这一前提条件 整点问题 能结合反比例函数图象，准确找出限定范围内的整点，求解参数取值范围 期中压轴小题热门考点，容易漏数、多算整点 求一次函数与反比例函数围成图形面积 会用割补法计算两个函数图象围成的多边形面积 解答题常规考法，属于反比例综合基础大题 反比例函数与跨学科问题 能结合物理等学科公式，建立反比例函数模型解决实际问题 创新小题，难度中等，考查数学建模能力 反比例函数中的平行与相等 能结合反比例图象坐标关系，判定线段平行、线段相等关系 中档综合题型，常融合坐标运算 与反比例函数有关的新定义问题 读懂题目新定义，结合反比例函数知识推理、计算求解 期中压轴题型，文字信息量大，重在现场理解转化 反比例函数与几何综合 能结合几何图形性质，借助坐标转化线段长度，进行几何计算 解答压轴高频，综合性强，是期中重点难点 反比例函数的对称问题 掌握反比例函数图象的对称性，利用对称点坐标快速解题 选择填空常考，多和一次函数对称结合考查 反比例函数与特殊三角形存在性问题 能分类讨论，找出满足条件的点，求解特殊三角形存在时点坐标 期中解答压轴，分类不全是主要失分点 反比例函数与特殊四边形存在性问题 会结合平行四边形、菱形等性质，利用坐标分类找点，求参数 难度较高的压轴大题，多情况讨论，计算量大 反比例函数与其它存在性问题 能按照题意分类探究，验证点的存在性并求出对应坐标 拓展压轴题型，灵活多变，侧重数形结合思想 题型一 类比法探索新函数的图象与性质 【典例1】（2024·山西·模拟预测）下面是小明同学的数学学习笔记，请按要求完成相应的任务． 我们今天学习了反比例函数的图象和性质，我仿照反比例函数的研究方法，对函数的图象和性质进行了深入研究，我的思考如下： 反比例函数的研究思路：在知道反比例函数的定义及一般形式的基础上，先通过描点法画出某些具体函数的图象，然后观察函数图象并结合函数表达式总结规律，从而得到反比例函数的性质． 模仿这样的研究思路，我决定对函数的性质进行研究． 首先用描点法去分别画出函数和的图象． x … 0 1 2 3 4 5 6 … … — 6 3 2 1 … … — a 3 2 b … 通过描点、连线得到如下图像 然后，观察图像得到函数的性质有：性质一：函数的图象由两条曲线组成，故可以称作双曲线； 性质二：函数的图象是由函数的图象沿x轴向左平移1个单位长度得到的；…… 任务：(1)填空：__________，__________． (2)在上述研究过程中，涉及到的数学思想有__________．（多选） A．分类讨论思想    B．统计思想    C．数形结合思想    D．类比思想 (3)①根据所画图象再写一条函数的性质； ②如图3所示为函数的图象，请仿照函数的性质二写出一条函数的性质． (4)已知函数与函数的图象交于A，B两点，点A在点B的左侧，请在图2中画出函数的图象，连接OA，OB，并直接写出的面积以及不等式的解集． 【变式1】（25-26九年级上·山东济南·阶段检测）【问题】我们知道，反比例函数的图象是双曲线，那么函数的图象是怎样的？其图象与函数的图象有关系吗？ 【探索】我们可以借鉴学过的研究函数的方法，探索函数的图象． （1）写出表格中m，n的值，并将函数图象补充完整． ①列表、取值（这里自变量x的取值范围是）． x …… 0 2 3 4 5 6 7 …… y …… m 6 3 2 n 1 …… 表格中________， ________． ②描点连线． （2）认真观察图表，联想函数的图象和性质，解答下列问题： ①函数的图象是由函数的图象向________平移________个单位长度得到的，其对称中心的坐标是（________，________）； ②写出函数的增减性性质：当时，y随x的增大而________； 【应用】（3）在上面的坐标系中画出函数的图象，利用你所画的图象，直接写出不等式的解集：________． 【变式2】（24-25九年级上·北京·阶段检测）小平在学习过程中遇到一个函数． 下面是小平对其研究的过程，请补充完整：    (1)函数的自变量的取值范围是________； (2)上表是与的几组对应值．其中的值为________； (3)①根据表格中的数据，在平面直角坐标系中，画出函数图象； ②写出此函数图象的增减性：________． ③过点作平行于轴的直线，结合图象解决问题：若直线与函数的图象有三个交点，则的取值范围是________． 【变式3】（23-24八年级下·江苏苏州·期中）阅读理解：通过画图我们知道，函数的图像可以由反比例函数的图像向左平移一个长度单位得到；函数的图像可以由反比例函数的图像向上平移三个长度单位得到；函数的图像可以由反比例函数的图像先向左平移一个长度单位，再向上平移三个长度单位得到． (1)函数的图像可以由反比例函数的图像先向______平移三个长度单位，再向______平移两个长度单位得到； (2)如图，函数为常数，且的图像经过，两点．求这个函数的表达式； (3)在（2）的条件下，经过，两点的直线（，为常数且），若，直接写出的取值范围． 题型二 反比例函数与一次函数交点问题综合 解｜题｜技｜巧 已知反比例函数与一次函数，将两个方程联立，构造一元二次方程，无需求解方程，只需求出一元二次方程根的判别式的值，由判别式判断交点个数.即：. 【典例2】（2026·贵州六盘水·一模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，点A的坐标为，点B的坐标为． (1)求m的值； (2)将一次函数图象向下平移n个单位长度，若平移后的一次函数图象与反比例函数图象在第一象限内有且仅有一个交点时，求n的值． 【变式1】（2026·江苏无锡·模拟预测）在平面直角坐标系中，反比例函数的图像与一次函数的图像有两个交点． (1)求的取值范围； (2)若，求这两个交点纵坐标之差的绝对值． 【变式2】（25-26九年级上·山西运城·阶段检测）综合与实践 【问题情境】 如图1，某校的劳动实践小组计划在学校的闲置空地上开垦出一个面积为的矩形地块作为观察玉米生长情况的实践基地，该基地的一边靠墙（墙的长度足够），另外三边用木栅栏围住，木栅栏总长为，能否围出符合要求的矩形地块实践基地？ 【问题探究】 小宣尝试从“函数图象”的角度解决这个问题： 设为，为．由矩形地块面积为，得到，满足条件的可看成是反比例函数的图象在第一象限内点的坐标．木栅栏总长为，得到，满足条件的可看成一次函数的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的就可以看成两个函数图象交点的坐标． 如图2，反比例函数的图象与直线的交点坐标为和________．因此，木栅栏总长为时，能围出符合要求的矩形地块，分别为，或________，________． （1）根据小宣的分析思路，完成上面的填空． 【问题延伸】 （2）当木栅栏的总长为时，小亮建立了一次函数，发现直线可以看成是直线通过平移得到的，在平移过程中，当直线与反比例函数的图象有唯一交点时，求出a的值，并在图2中画出直线． 【拓展应用】 （3）小原从以上探究中发现“能否围成符合要求的矩形地块问题”可以转化为“与图象在第一象限内交点的存在问题”．若和的长均不小于，直接写出木栅栏总长a的取值范围．      【变式3】（24-25九年级上·北京·开学考试）已知反比例函数的图象位于第一、三象限． (1)求的取值范围； (2)若该反比例函数的图象与正比例函数的图象的一个交点为，求的值． (3)当时，直接写出的取值范围． 题型三 反比例系数k的几何意义综合问题 解｜题｜技｜巧 考题常结合反比例函数比例系数k的几何意义，考查求图形面积问题，或根据图形面积求k的值确定解析式等，在解题过程中，时常用到反比例函数图像的中心对称性，把问题转化成同底(等底)等高的三角形，结合k的几何意义求解. 当直角顶点在坐标轴上或在原点时，常常要过双曲线上的点向坐标轴作垂线，得到“一线三等角”模型，构造三角形相似借助相似的性质解决问题. 【典例3】（2026九年级上·全国·专题练习）如图，过的图象上一点A，分别作x轴、y轴的平行线交的图象于B，D两点，以，为邻边的矩形被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为，，，，若，求k的值． 【变式1】（24-25八年级上·上海·期中）知识回顾：在学习反比例函数性质时，我们已经知道：如图1，点是反比例函数上任意一点，则矩形的面积为． (1)初步尝试 如图2，点，分别在反比例函数和的图象上，四边形和都是矩形，易知四边形也是矩形，分别求矩形和的面积． (2)类比探究 如图3，点，在反比例函数的图象上，点，在反比例函数的图象上，轴，与在轴的两侧，，，与的距离为5，求的值． 【变式2】（2026·江西上饶·模拟预测）如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，轴于点． (1)若点A的横坐标为3，，直接写出的值______； (2)若，求出此时的值． 【变式3】（22-23八年级下·江苏常州·期末）在平面直角坐标系中，反比例函数的图像与一次函数的图像在第一象限交于A、B两点． 探究一：P是平面内的一点，过点A、B、P分别作x轴、y轴的垂线，相应的两条垂线与坐标轴所围成的矩形面积记为、、，矩形周长记为、、， （1）如图1，P是线段上不与点A、B重合的一点，． ______，______（填“＞”、“＜”或“＝”）： 猜想：当点P从点A运动到点B时，的变化规律是____________； （2）如图2，P是双曲线段上不与点A、B重合的一点，，． ______，______（填“＞”、“＜”或“＝”）； 猜想：当点P从点A运动到点B时，的变化规律是____________； 探究二：如图3，过点A作x轴的垂线，过点B作y轴的垂线，两条垂线交于直线右上方的点Q，与反比例函数的图像交于点G．若G是的中点，且的面积为9，求k的值．    题型四 反比例函数的性质 【典例4】（25-26九年级上·河北唐山·阶段检测）如图，双曲线与直线交于A，B两点．点和点在双曲线上，点C为x轴正半轴上的一点． (1)求双曲线的表达式和a，b的值； (2)请直接写出使得的x的取值范围； (3)若的面积为12，求此时C点的坐标． (4)若点也在反比例函数的图像上，求当时，函数值y的取值范围． 【变式1】（25-26九年级上·北京·期末）在平面直角坐标系中，一次函数的图像与函数的图像的一个交点为． (1)求反比例函数的表达式； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值，且小于一次函数的值，直接写出n的取值范围． 【变式2】（25-26九年级上·天津南开·阶段检测）已知在反比例函数（为常数，且）的图象上． (1)______________，该反比例函数的图象在第_____________象限； (2)判断点，，在该反比例函数的图象上的点是_____________． (3)当时，该反比例函数的函数值的取值范围为_________________． (4)，，在反比例函数图象上，且，比较的大小．（用<号连接）________________． 【变式3】（2025·江西吉安·二模）初中学考即将来临，同学们正全力准备着最后的决战，马超同学近期在复习函数时遇到了一类典型的函数：这类函数由已学过的一次函数、二次函数或反比例函数相结合，并要求得到其函数值的变化范围，马超同学遇到的这类函数问题的探究如下： 已知函数，该函数是否存在最值（最大值或最小值），若存在，求出其最值；若不存在，请说明理由． 思路分析： 显然，该函数是二次函数与反比例函数的结合，因此，可先从反比例函数入手研究． 请回答下列问题： （1）对于函数，当时，y随x的增大而______________（填“增大”或“减小”），当且时，该函数______________最值（填“有”或“无”）； （2）函数有______________值（填“最大”或“最小”），其最值为______________； （3）此时，若将替换成u，函数是否存在最值，若存在，请求出其最值，若不存在，请说明理由； 变式训练： （4）函数是否存在最值，若存在，求出其最值，若不存在，请说明理由． 题型五 整点问题 解｜题｜技｜巧 【典例5】（2024·河北保定·一模）如图，在平而直角坐标系中，记函数的图象为G，直线经过点，与图象G交于B，C两点．    (1)求b的值，并在图中画出直线l； (2)当点B与点A重合时，点在第一象限内且在直线l上，过点P作轴于点Q． ①求点C的坐标； ②连接．若，求m的取值范围； (3)横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象G与直线l所围成的封闭区域（含边界）为W．当区域W的边界上有5个整点时，请直接写出满足条件的整数k的个数． 【变式1】（23-24九年级上·山东济南·期末）在平面直角坐标系中，定义：横坐标与纵坐标均为整数的点为整点．如图，已知双曲线经过点，在第一象限内存在一点，满足． (1)求的值； (2)如图，过点分别作平行于轴，轴的直线于点、，记线段、、双曲线所围成的区域为（含边界）， 当时，区域的整点个数为 ； 直线过一个定点，若点为此定点，直线上方（不包含直线）的区域记为，直线下方（不包含直线）的区域记为，当与的整点个数之差不超过时，请求出的取值范围． 【变式2】（22-23八年级下·浙江金华·期中）定义：把横、纵坐标均为整数的点称为整点．如图，反比例函数与正比例函数相交于整点A，与一次函数相交于整点B、C，正比例函数与一次函数相交于点D，线段与线段上的整点个数之比记作．    (1)当时，求D点的坐标和m值． (2)当线段BC上的整点个数为7，时，求t的值． (3)当时，请直接写出t与m之间的关系式． 题型六 求一次函数与反比例函数围成图形面积 解｜题｜技｜巧 ①坐标系中求几何图形面积的问题，一般要寻找图形中和坐标轴平行、垂直或重合的线段.如果没有这样的线段，就要对这样的图形进行割或补，简称“割补法求面积”.②已知图形面积等 于知道固定值求动点坐标，一般有多种情况. 【典例6】（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)结合函数图象，直接写出时的取值范围； (3)点在轴上，且满足的面积等于8，请直接写出点的坐标． 【变式1】（2022·河南周口·模拟预测）如图，反比例函数与函数交于，两点，射线交轴于点，已知点的坐标为． (1)求反比例函数解析式； (2)若点在轴上，连接，，求当的值最小时的面积． 【变式2】（2026·江西·中考真题）如图，四边形是平行四边形，，，，点在轴上，反比例函数的图象经过点． (1)求反比例函数的表达式； (2)为边上的一点，直线交双曲线另一支于点，当的面积等于的面积的时，求点的坐标． 【变式3】（2026·广东汕头·一模）跨学科题（数学＋物理） 某中学科技小组设计了一款节能小车，其动力由可充电电池提供．实验数据显示，小车行驶时的耗电量与速度成反比．当速度为米/秒时，电池每小时耗电量为度． (1)求耗电量E（度/小时）与速度v（米/秒）的函数关系式； (2)为确保小车在科技展上连续行驶至少小时，科技小组需将速度调整为，此时每小时耗电量降至．已知调整后的耗电量满足分式方程：．结合第（1）问的函数关系，求调整后的速度（米/秒）． 题型七 反比例函数中的平行与相等 【典例7】（2025·湖北恩施·一模）如图，已知直线与轴，轴分别交于，两点，与反比例函数分别交于，两点，点的坐标为． (1)直接写出和的值； (2)求证：． 【变式1】（23-24九年级上·湖南张家界·期末）如图，矩形的顶点分别在轴和轴上，点的坐标为，是边上的一个动点（不与重合），反比例函数的图象经过点且与边交于点，连接． (1)如图1，若点是的中点，求点的坐标； (2)如图2，若直线与轴，轴分别交于点，连接，求证：； (3)如图3，将沿折叠，点关于的对称点为点，当点不落在矩形外部时，求的取值范围． 【变式2】（2023·广东东莞·模拟预测）如图，点，分别位于反比例函数图像的两分支上，且轴于点C，轴于点D，连接，延长，交于点P，连接，分别与x轴，y轴相交于点E，F．的直角顶点P落在第二象限． (1)求k的值． (2)求证：． (3)当四边形的面积为6时，直接写出点P的坐标． 题型八 与反比例函数有关的新定义问题 【典例8】（25-26八年级下·上海松江·期末）城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走．按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系，将两点和的“直角距离”定义为：． (1)已知，那么______； (2)函数的图像如图所示，如果点C在该函数的图像上，且． ①求点C的坐标； ②过点C作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E、F，试判断四边形的形状，并证明． 【变式1】（2026·广东深圳·二模）定义：若一个点的纵坐标是横坐标的倍，则称这个点为“三倍点”．如，，等都是“三倍点”． (1)请你判断下列说法是否正确（在相应的横线上，正确的打“√”，错误的打“×”）． ①函数的图象上存在“三倍点”．_______ ②函数的图象上有且只有一个“三倍点”．_______ (2)一次函数与反比例函数的图象交于、两点，点是线段的中点，求证：点是“三倍点”． (3)在的范围内，若二次函数的图象上有且只有一个“三倍点”，直接写出的取值范围． 【变式2】（25-26九年级上·辽宁辽阳·期末）在平面直角坐标系中，对任意点的阶映射变换（为常数）定义如下：若点的横坐标满足，则变换后对应点为；若，则变换后对应点为．如：点的1阶映射变换对应点为；点的4阶映射变换对应点为．请根据变换规则解答下列问题： (1)点的5阶映射变换对应点落在反比例函数的图象上，求的值； (2)点的0阶映射变换对应点落在直线的图象上，求的值； (3)点在直线的图象上，且点是点的1阶映射变换对应点． ①设点，求关于的函数关系式； ②若点在①的关于的函数图象上，点在的图象上，且，求的值． 【变式3】（25-26九年级上·广东佛山·阶段检测）新定义：若一个点的横坐标与纵坐标之和为6，那么称这个点为“和六点”．已知反比例函数的图象经过点，二次函数的图象经过该反比例函数图象上的所有“和六点”． (1)求二次函数的解析式 (2)已知二次函数与反比例函数的图象交于第一象限的两点，（点的横坐标小于点的横坐标）两点，为抛物线对称轴上一动点．若是以为顶点的等腰三角形，求点的坐标． 题型九 反比例函数与几何综合 【典例9】（2026九年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，点的坐标分别为，． (1)点的坐标是____； (2)若过点的反比例函数的图象经过直线上的点，且点的坐标为，求的值及反比例函数的解析式； (3)若（）中的反比例函数的图象与相交于点，连接，在直线上找一点，使得是等腰三角形，请直接写出点的坐标． 【变式1】（2026九年级上·全国·专题练习）如图，已知，，，，，是轴上的点，且，分别过点，，，，，作轴的垂线交反比例函数的图象于点，，，，，，过点作于点，过点作于点，，记的面积为，的面积为，，的面积为，解答下列问题： (1)_____； (2)____； (3)求的值． 【变式2】（2026·甘肃兰州·中考真题）如图，一次函数的图象是由的图象向上平移1个单位得到，交反比例函数（）的图象于点，交轴于点．为轴上一点，分别交一次函数、反比例函数的图象于点，．过点作轴于点，为的中位线，． (1)求反比例函数的表达式； (2)求线段的长． 【变式3】（26-27九年级上·全国·单元复习）如图所示，在平面直角坐标系中，菱形的边轴，直线与x轴交于点B，与反比例函数图象交于点D和点E，，． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)点P为线段上的一个动点，过点P作x轴的平行线，当被这条平行线分成面积相等的两部分时，求点P的坐标． 题型十 反比例函数的对称问题 解｜题｜技｜巧 1）反比例函数图像关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（-a，-b）在双曲线的另一支上； 2）若（a，b）在反比例函数图像上，则（b，a）也在该图像上. 【典例10】（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）平面直角坐标系中，横坐标为2的点A在反比例函数的图象上，点与点A关于点O对称，一次函数的图象经过点交x轴于C点，点在函数、的图象上． (1)分别求函数，的表达式； (2)写出使成立的x的范围是_______； (3)连接，若点P在x轴上，的面积等于的面积，求点P的坐标． 【变式1】（2022·四川乐山·中考真题）如图，已知直线1：y=x+4与反比例函数y=(x<0)的图象交于点A(−1，n)，直线l′经过点A，且与l关于直线x=−1对称． (1)求反比例函数的解析式； (2)求图中阴影部分的面积． 【变式2】（2026九年级上·全国·专题练习）反比例函数过，点与点关于直线对称，抛物线经过A、B两点． (1)求反比例函数的表达式； (2)若抛物线的对称轴为，求抛物线的表达式； (3)若抛物线在的部分与反比例函数无公共点，求a的取值范围（）． 【变式】3（25-26九年级上·山东淄博·阶段检测）如图，一次函数的图象与反比例函数（k为常数且）的图象交于，B两点． (1)求此反比例函数的表达式及点B的坐标； (2)在x轴上找一点C使的周长最小，求点C坐标； (3)在y轴上是否存在一点P，使A、O、P的三点围成等腰三角形，若存在直接写出点坐标；若不存在请说明理由． 题型十一 反比例函数与特殊三角形存在性问题 解｜题｜技｜巧 反比例函数与三角形的存在性问题，一般是指与等腰三角形、直角三角形、等腰直角三角形等的存在性问题，①考查等腰三角形存在性问题时，按任意两边相等，分三种情况讨论；②考查直角三角形时，按有一个内角为90°，分三种情况讨论，利用勾股定理进行计算；③考查等腰直角三角形存在性问题时，构造全等三角形的一线三等角模型进行求解. 【典例11】（22-23九年级上·全国·期末）如图，直线与双曲线交于，两点，与x轴，y轴分别交于点C，D． (1)直接写出k、b、m的值； (2)设点P是y轴上的一个动点，当的周长最小时，请求出点P的坐标； (3)x轴上是否存在点M，使得是以为直角边的直角三角形，若存在，直接写出点坐标，若不存在，请说明理由． 【变式1】（24-25九年级上·湖南益阳·期中）如图，已知直线与反比例函数的图象交于点，，点是轴上一动点，连接，． (1)求点，的坐标； (2)当点运动时，的周长是否存在最小值，若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)点在轴正半轴上，点是反比例函数（）的图象上的一个点，若是以点为直角顶点的等腰直角三角形时，求所有满足条件的点的坐标． 题型十二 反比例函数与特殊四边形存在性问题 解｜题｜技｜巧 反比例函数与四边形的存在性问题，一般是指与平行四边形、矩形、菱形、正方形等存在性问题，①考查平行四边形时，根据一固定线段按边和对角线进行分类讨论；②考查矩形时，可联想到直角三角形存在性问题进行探讨；③考查菱形时，可联想到等腰三角形存在性问题进行探讨；④考查正方形时，可联想到等腰直角三角形存在性问题进行探讨. 【典例12】（25-26九年级上·四川成都·阶段检测）如图，直线与双曲线交于A，B两点，点A的坐标为；点C是双曲线第一象限分支上的一点，连接并延长交x轴于点D，且 (1)求k的值并直接写出点B的坐标； (2)点G是y轴上的动点，连接，求的最小值； (3)点P是x轴上的一点，点Q是平面内一点，是否存在点P、Q，使得四边形是菱形？若存在，请求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式1】（24-25九年级上·四川成都·阶段检测）如图1，反比例函数与一次函数的图象交于A，B两点，已知． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)一次函数的图象与x轴交于点C，点D（未在图中画出）是反比例函数图象上的一个动点，若，求点D的坐标； (3)若点M是x轴上一点，点N是反比例函数图象上一点，是否存在点M，N，使得以点A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式2】（2025·四川成都·模拟预测）如图，一次函数（为常数，）的图象与反比例函数（为常数，）的图象相交于点，． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)若点C是x轴正半轴上的一点，且，求点C的坐标； (3)过点A作交反比例函数图象于另一点D，在平面内是否存在点P，（点P在第一象限反比例函数图象的上方），使得四边形是一个长与宽之比为的矩形？若存在，求出点P的坐标；若不存在．请说明理由． 题型十三 反比例函数与其它存在性问题 【典例13】（25-26九年级上·陕西渭南·阶段检测）如图，矩形的两个顶点A，B都在反比例函数的图象上，经过原点O，对角线垂直于x轴，垂足为E，已知点A的坐标为． (1)求反比例函数的表达式并写出点B的坐标； (2)在反比例函数图象上是否存在点P，使得，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【变式1】（25-26九年级上·安徽蚌埠·阶段检测）如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，直线与轴交于点，与轴交于点，若，． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)若点是坐标轴上的一动点，是否存在，使的面积是的面积的2倍？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式2】（24-25九年级上·四川绵阳·期末）如图所示，矩形在平面直角坐标系中，，边与y轴交于点E，M为边上的点，以M为圆心，为半径作的一部分弧，交于点F，连接，且与弧相切，平分，反比例函数的图象经过点M，交于点N． (1)求反比例函数的解析式及点N的坐标； (2)在直线上是否存在点P，使的值最大？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式3】（24-25九年级下·四川广安·期中）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点和点，与轴交于点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)请直接写出关于的不等式的解集； (3)连接、，在直线上是否存在点，使的面积是面积的？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 题型十四 反比例函数与跨学科问题 【典例14】（22-23九年级上·福建福州·期末）已知电源电压且保持不变，试验用到的定值电阻的阻值为5Ω，10Ω，15Ω，20Ω，25Ω；滑动变阻器．在确保电路安全无故障的情况下，李老师开始实验，多次更换定值电阻，调节滑动变阻器的滑片，使电压表示数保持不变，记录下电流表的示数，得到下表． （单位：Ω） 5 10 15 20 25 （单位：A） 0．4 (1)从你学过的函数中，选择合适的函数类型刻画电流随电阻的变化规律，请直接写出与的函数关系式 ； (2)在（1）的条件下，直接写出，的值，并画出该函数在第一象限的图象； (3)已知该滑动变阻器允许通过的最大电流为1A，记其电阻为．将定值电阻更换为一电阻箱，根据物理知识可知电源电压．在（1）的条件下，当电阻箱可调电阻的取值范围为时，为保证电路安全，取值范围是 ． 【变式1】（2024·山西忻州·三模）阅读与思考 下面是小晋同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务． ×年×月×日  星期六 借助物理知识用吸管制作乐器 根据物理学知识，我们知道声音是由物体的振动产生的．查阅资料可知，用吸管吹气时，吸管内部空气的振动产生声音，而吸管的长度能够影响空气振动的频率，使吸管发出不同的声调．于是我准备了一些相同规格的吸管进行如下操作： ①分别剪出不同长度的吸管． ②借助仪器用同样的力度向吸管吹气，并记录吸管中空气的振动频率． ③将吸管的长度记为，振动频率记为，记录数据如表： 组别 第组 第组 第组 第组 第组 第组 ④建立如图所示的平面直角坐标系，将表中的数据对应的各点在平面直角坐标系中描出． 我发现其中一个数据异常，将其剔除后，用光滑的曲线将剩余的点顺次连接起来，根据画出的图象，猜想与大致满足我们学过的一种函数关系． 再次查阅资料得到了表的数据： 音调 频率 根据以上研究，我成功制作出了可以吹出表中个音调的吸管乐器． 任务： (1)根据以上材料，可以判断表中异常的数据是第 组． (2)根据小晋画出的图象，猜想是的 函数（填“一次”“二次”或“反比例”），与的函数关系式为 （系数保留整数）． (3)根据以上材料，求音调“”对应吸管的长度．（结果精确到） 【变式2】（25-26九年级上·山东济宁·阶段检测）杆秤体现了古代劳动人民的智慧，它的制作原理就是根据：杠杆原理，当杠杆处于水平静止状态时，动力×动力臂=阻力×阻力臂，即．跨学科小组的同学，想制作一个简易杆秤（如图所示），它们利用一根长的均匀木杆，在木杆的中点并穿上细绳将木杆吊起．在距离点的左侧处垂直悬挂一个物体，物体重量（即）．在点的右侧挂上一个弹簧秤，竖直向下拉弹簧秤，使木杆处于水平静止状态．设此时弹簧秤与点的距离是，弹簧秤的示数是．完成下列问题： (1)求关于的函数关系式； (2)在右侧任意移动弹簧秤的位置，但使木杆始终保持水平静止状态，求的最小值． 期中重难突破练（测试时间：30分钟） 1．（26-27九年级上·四川·期中）在平面直角坐标系中，点A，C分别是y轴的正半轴和x轴的正半轴上的动点，四边形是矩形，反比例函数在第一象限的图象与边交于点P，与边交于点Q（P，Q不重合），连接． (1)若点P的坐标为 ①如图1，连接，则的面积为___________； ②如图2，当点B关于的对称点D正好落在x轴的正半轴时，求线段的长． (2)如图3，若点P和点Q同时都在一次函数的图象上，且线段． ①求k的值． ②分别作点P和点Q关于直线的对称点，连接．若线段与此时反比例函数的图象有交点，请直接写出m的取值范围． 2．（26-27九年级上·江苏扬州·阶段检测）【概念理解】已知是的函数，当时，函数值；当时，函数值，若（为正整数），则称为该函数的倍区间．如，函数中，当时，，当时，，，所以是函数的3倍区间． (1)若是函数的倍区间，则__________； 【深入探究】 (2)已知是函数的倍区间（为正整数），点、是函数图象上的两点． ①试说明：； ②当，时，__________； 【拓展应用】 (3)已知是函数的3倍区间，在此区间内，该函数的最大值与最小值的差为，求的值． 3．（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，点在反比例函数的图象上，且在第一象限内点的右侧，连接的面积为5． (1)求反比例函数的解析式和点的坐标； (2)平移直线与反比例函数交于，是否存在这样的点使得是直角？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)探究在轴上是否存在点，使得以点O，C，M，N为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 4．（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)利用图像，直接写出不等式的解集； (3)在x轴上找一点C，使的周长最小，并求出最小值． 5．（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）定义：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点关于直线（为常数）对称，则称该函数为“函数”． (1)在下列函数中，是“函数”的有______（填序号）． ①；②；③；④ (2)若关于的函数是函数，且过点，求该函数关系式． (3)若关于的函数是“函数”，且图象与直线相交于两点，函数图象的顶点为，当时，求、的值． 期中综合拓展练（测试时间：30分钟） 1．（2026·西藏·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式： (2)将一次函数的图象向上平移3个单位长度，求平移后的一次函数图象与反比例函数图象的交点坐标． 2．（2026·山东淄博·中考真题）如图，反比例函数的图象与直线相交于，两点，点的坐标为． (1)求的值； (2)根据图象，直接写出关于的不等式的解集； (3)将直线向上平移3个单位长度得到直线，直线与反比例函数的图象交于，两点，若是直线上的动点，求的面积． 3．（2026·江苏常州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别与轴、轴相交于点，，与反比例函数的图像相交于点．已知点，的坐标分别为，． (1)求一次函数、反比例函数的表达式． (2)点在反比例函数的图像上，且点与点不重合．作射线，交坐标轴于点，连接，．若，求点的坐标． 4．（2026·黑龙江大庆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线与反比例函数的图象交于点D及点，与x轴交于点B． (1)求m的值； (2)若直线与反比例函数（）的图象在第三象限交于点C，求点C的坐标及的面积； (3)在第三象限内的反比例函数（）的图象上，是否存在点E，使得为直角三角形，若存在，请直接写出满足条件的所有点E的坐标；若不存在，请说明理由． 5．（2026·江苏无锡·中考真题）如图，点在反比例函数的图象上，过分别作轴、轴的平行线，与反比例函数的图象相交于点，，过作轴的平行线，与反比例函数的图象相交于点（其中，为常数，且）． (1)若点，，则______． (2)若点的横坐标为2，且，求与之间的数量关系． (3)延长，相交于点，当点在函数图象上运动时，的面积是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 反比例函数与几何综合（期中复习讲义） 内 容 导 航 明·期中考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 类比法探索新函数的图象与性质 题型02 反比例函数与一次函数交点问题综合 题型03 反比例系数k的几何意义综合问题 题型04 反比例函数的性质 题型05 整点问题 题型06 求一次函数与反比例函数围成图形面积 题型07 反比例函数与跨学科问题 题型08 反比例函数中的平行与相等 题型09 与反比例函数有关的新定义问题 题型10 反比例函数与几何综合 题型11 反比例函数的对称问题 题型12 反比例函数与特殊三角形存在性问题 题型13 反比例函数与特殊四边形存在性问题 题型14 反比例函数与其它存在性问题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 类比法探索新函数的图象与性质 能类比已学函数的研究方法，探究新函数图象、增减性、特殊点等性质 中档探究题型，期中常作为选择、填空压轴，考查迁移能力 反比例函数与一次函数交点问题综合 能联立两个函数解析式求解交点坐标，会利用交点解决相关求值问题 高频必考，小题、解答题均会出现，基础综合题 反比例系数 k 的几何意义综合问题 能熟练利用 k 的几何意义求解图形面积，由面积反求 k 值 期中热点，选择填空高频，易忽略坐标符号导致 k 正负出错 反比例函数的性质 能根据反比例函数解析式判断增减性、图象所在象限，比较函数值大小 基础必考点，多为选择题，注意 “在每一象限内” 这一前提条件 整点问题 能结合反比例函数图象，准确找出限定范围内的整点，求解参数取值范围 期中压轴小题热门考点，容易漏数、多算整点 求一次函数与反比例函数围成图形面积 会用割补法计算两个函数图象围成的多边形面积 解答题常规考法，属于反比例综合基础大题 反比例函数与跨学科问题 能结合物理等学科公式，建立反比例函数模型解决实际问题 创新小题，难度中等，考查数学建模能力 反比例函数中的平行与相等 能结合反比例图象坐标关系，判定线段平行、线段相等关系 中档综合题型，常融合坐标运算 与反比例函数有关的新定义问题 读懂题目新定义，结合反比例函数知识推理、计算求解 期中压轴题型，文字信息量大，重在现场理解转化 反比例函数与几何综合 能结合几何图形性质，借助坐标转化线段长度，进行几何计算 解答压轴高频，综合性强，是期中重点难点 反比例函数的对称问题 掌握反比例函数图象的对称性，利用对称点坐标快速解题 选择填空常考，多和一次函数对称结合考查 反比例函数与特殊三角形存在性问题 能分类讨论，找出满足条件的点，求解特殊三角形存在时点坐标 期中解答压轴，分类不全是主要失分点 反比例函数与特殊四边形存在性问题 会结合平行四边形、菱形等性质，利用坐标分类找点，求参数 难度较高的压轴大题，多情况讨论，计算量大 反比例函数与其它存在性问题 能按照题意分类探究，验证点的存在性并求出对应坐标 拓展压轴题型，灵活多变，侧重数形结合思想 题型一 类比法探索新函数的图象与性质 【典例1】（2024·山西·模拟预测）下面是小明同学的数学学习笔记，请按要求完成相应的任务． 我们今天学习了反比例函数的图象和性质，我仿照反比例函数的研究方法，对函数的图象和性质进行了深入研究，我的思考如下： 反比例函数的研究思路：在知道反比例函数的定义及一般形式的基础上，先通过描点法画出某些具体函数的图象，然后观察函数图象并结合函数表达式总结规律，从而得到反比例函数的性质． 模仿这样的研究思路，我决定对函数的性质进行研究． 首先用描点法去分别画出函数和的图象． x … 0 1 2 3 4 5 6 … … — 6 3 2 1 … … — a 3 2 b … 通过描点、连线得到如下图像 然后，观察图像得到函数的性质有： 性质一：函数的图象由两条曲线组成，故可以称作双曲线； 性质二：函数的图象是由函数的图象沿x轴向左平移1个单位长度得到的； …… 任务： (1)填空：__________，__________． (2)在上述研究过程中，涉及到的数学思想有__________．（多选） A．分类讨论思想    B．统计思想    C．数形结合思想    D．类比思想 (3)①根据所画图象再写一条函数的性质； ②如图3所示为函数的图象，请仿照函数的性质二写出一条函数的性质． (4)已知函数与函数的图象交于A，B两点，点A在点B的左侧，请在图2中画出函数的图象，连接OA，OB，并直接写出的面积以及不等式的解集． 【答案】(1)，； (2)； (3)函数的图象与轴交点为；函数的图象与轴无限靠近，但不相交（答案不唯一）；函数是由图象沿向右平移个单位； (4)；不等式的解集为或． 【分析】本题考查了新定义函数，反比例函数，掌握函数图象与性质是解题的关键． （）把和，分别代入即可求解； （）即可数学思想方法即可求解； （）根据函数图象即可求解； 根据函数图象平移即可求解； （）设直线与轴交于点，由题意联立方程，解得，，则，，根据函数图象即可求出不等式的解集，由得当，则，然后通过的面积为，再代入即可求解． 【详解】（1）解：当时，；当时，； 故答案为：，； （2）解：在上述研究过程中，涉及到的数学思想有：数形结合思想和类比思想， 故选：； （3）解：函数的图象与轴交点为；函数的图象与轴无限靠近，但不相交； 函数是由图象沿向右平移个单位； （4）解：如图，设直线与轴交于点， 由题意联立方程：，解得：，， ∴，， ∴根据图象可得不等式的解集为或， 由得当， ∴， ∴， ∴的面积为 ． 【变式1】（25-26九年级上·山东济南·阶段检测）【问题】我们知道，反比例函数的图象是双曲线，那么函数的图象是怎样的？其图象与函数的图象有关系吗？ 【探索】我们可以借鉴学过的研究函数的方法，探索函数的图象． （1）写出表格中m，n的值，并将函数图象补充完整． ①列表、取值（这里自变量x的取值范围是）． x …… 0 2 3 4 5 6 7 …… y …… m 6 3 2 n 1 …… 表格中________， ________． ②描点连线． （2）认真观察图表，联想函数的图象和性质，解答下列问题： ①函数的图象是由函数的图象向________平移________个单位长度得到的，其对称中心的坐标是（________，________）； ②写出函数的增减性性质：当时，y随x的增大而________； 【应用】（3）在上面的坐标系中画出函数的图象，利用你所画的图象，直接写出不等式的解集：________． 【答案】（1）①；； ②连线如图： （2）①右；1；1；0；②减小； （3）或 【分析】（1）①根据分式有意义的条件可求得自变量的取值范围，当时和当时，代入即可求得m，n的值； ②在坐标系内描点，再利用平滑的曲线连接即可． （2）①当时，将其代入和中求出x的值，再根据左右平移的规律即可求解； ②根据函数图象得出答案即可； （3）联立方程组，解得或，根据函数图象，进而可求得解集． 【详解】（1）解：①由题意得：， 解得：， 自变量x的取值范围是； 当时，， ； 当时，， ； 故答案为：；； ②略 （2）①当时，代入得：，代入得：， ， 函数的图象是由函数的图象向右平移1个单位长度得到的， 由于的对称中心的坐标是， 则的对称中心的坐标是； ②根据函数图象可知：当时，y随x的增大而减小； （3）联立， 整理得，， 解得：或， 根据函数图象可知：不等式的解集为： 或． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象及性质、用描点法画函数图象、自变量，熟练掌握反比例函数的图象及性质和作函数图象的基本步骤是解题的关键． 【变式2】（24-25九年级上·北京·阶段检测）小平在学习过程中遇到一个函数． 下面是小平对其研究的过程，请补充完整：    (1)函数的自变量的取值范围是________； (2)上表是与的几组对应值．其中的值为________； (3)①根据表格中的数据，在平面直角坐标系中，画出函数图象； ②写出此函数图象的增减性：________． ③过点作平行于轴的直线，结合图象解决问题：若直线与函数的图象有三个交点，则的取值范围是________． 【答案】(1) (2)4 (3)①   ②当或时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小； ③ 【分析】本题主要考查函数图象与性质： （1）由分母不能为零，即可得出自变量的取值范围； （2）把代入则可求出的值； （3）①根据描点，连线画出函数图象； ②根据函数图象结合自变量的取值范围分析，即可求解； ③观察函数图象可知，在直线时即，直线与函数有2个交点，在时，有3个交点，故可得结论 【详解】（1）解：∵， ∴，即， 故答案为：； （2）解：当时，， 故答案为：4； （3）（3）①略 ②略 ③观察函数图象可知，在直线时即，直线与函数有2个交点，在时，有3个交点， 故答案为：． 【变式3】（23-24八年级下·江苏苏州·期中）阅读理解：通过画图我们知道，函数的图像可以由反比例函数的图像向左平移一个长度单位得到；函数的图像可以由反比例函数的图像向上平移三个长度单位得到；函数的图像可以由反比例函数的图像先向左平移一个长度单位，再向上平移三个长度单位得到． (1)函数的图像可以由反比例函数的图像先向______平移三个长度单位，再向______平移两个长度单位得到； (2)如图，函数为常数，且的图像经过，两点．求这个函数的表达式； (3)在（2）的条件下，经过，两点的直线（，为常数且），若，直接写出的取值范围． 【答案】(1)左，下 (2) (3)或 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数交点问题，函数图像的平移； （1）根据函数图象平移的规律可得答案； （2）待定系数法求解析式，即可求解； （3）根据函数图象即可求解． 【详解】（1）解：先向左平移3个长度单位，再向下平移2个长度单位得到，得到了， 故答案为：左，下． （2）解：将，代入， 得， 解得：， ∴； （3）解：如图所示， 过，两点， 根据函数图象像可得，当时，或． 题型二 反比例函数与一次函数交点问题综合 解｜题｜技｜巧 已知反比例函数与一次函数，将两个方程联立，构造一元二次方程，无需求解方程，只需求出一元二次方程根的判别式的值，由判别式判断交点个数.即：. 【典例2】（2026·贵州六盘水·一模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，点A的坐标为，点B的坐标为． (1)求m的值； (2)将一次函数图象向下平移n个单位长度，若平移后的一次函数图象与反比例函数图象在第一象限内有且仅有一个交点时，求n的值． 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）将代入，求出一次函数解析式，再将代入即可； （2）先求出反比例函数解析式，再设向下平移n个单位后的一次函数解析式，将其与反比例函数联立，然后令判别式解出n的值，根据交点在第一象限舍去不符合条件的值． 【详解】（1）解：将代入， 得：， 解得， 一次函数解析式为， 将代入， 得：． （2）解：在反比例函数的图象上， ， 一次函数图象向下平移n个单位长度后的解析式为：， 联立与，得：， ， ，即， 当两个图象在第一象限内有且仅有一个交点时，有且只有一个根， ， 解得或． 当时，方程为， 解得，符合题意； 当时，方程为， 解得，不符合在第一象限内有交点的条件，舍去， 综上可得，n的值为． 【变式1】（2026·江苏无锡·模拟预测）在平面直角坐标系中，反比例函数的图像与一次函数的图像有两个交点． (1)求的取值范围； (2)若，求这两个交点纵坐标之差的绝对值． 【答案】(1)且 (2) 【分析】（1）联立解析式，利用根的判别式列出不等式进行求解即可； （2）求出交点坐标，然后进行求解． 【详解】（1）解：联立解析式得， 整理得，， ∴， 解得， 根据反比例函数得，， ∴的取值范围为且； （2）解：当时， 联立解析式得，， 解得， 当时，， 当时，， ∴． 【变式2】（25-26九年级上·山西运城·阶段检测）综合与实践 【问题情境】 如图1，某校的劳动实践小组计划在学校的闲置空地上开垦出一个面积为的矩形地块作为观察玉米生长情况的实践基地，该基地的一边靠墙（墙的长度足够），另外三边用木栅栏围住，木栅栏总长为，能否围出符合要求的矩形地块实践基地？ 【问题探究】 小宣尝试从“函数图象”的角度解决这个问题： 设为，为．由矩形地块面积为，得到，满足条件的可看成是反比例函数的图象在第一象限内点的坐标．木栅栏总长为，得到，满足条件的可看成一次函数的图象在第一象限内点的坐标，同时满足这两个条件的就可以看成两个函数图象交点的坐标． 如图2，反比例函数的图象与直线的交点坐标为和________．因此，木栅栏总长为时，能围出符合要求的矩形地块，分别为，或________，________． （1）根据小宣的分析思路，完成上面的填空． 【问题延伸】 （2）当木栅栏的总长为时，小亮建立了一次函数，发现直线可以看成是直线通过平移得到的，在平移过程中，当直线与反比例函数的图象有唯一交点时，求出a的值，并在图2中画出直线． 【拓展应用】 （3）小原从以上探究中发现“能否围成符合要求的矩形地块问题”可以转化为“与图象在第一象限内交点的存在问题”．若和的长均不小于，直接写出木栅栏总长a的取值范围．      【答案】（1），4，2； （2）， 画出直线如图所示． （3） 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数综合问题，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）根据函数图象即可得解； （2）由直线与反比例函数的图象有唯一交点，得出方程，化为只有一个根，再求出的值，画出函数图象即可； （3）由与的图象在第一象限内有交点，即方程有实数根，整理得，结合一元二次方程根的判别式得出，求出反比例函数的图象经过点和．由图可知，当与的图象在点的右边，点的左边时，存在交点．把点代入，计算即可得解． 【详解】（1）由图可得：反比例函数的图象与直线的交点坐标为和．因此，木栅栏总长为时，能围出符合要求的矩形地块，分别为，或，； （2）∵直线与反比例函数的图象有唯一交点， ∴方程，化为只有一个根， ∴， ∴或（不符合题意，舍去）． （3）与的图象在第一象限内有交点，即方程有实数根，整理得， ∴， 解得． ∵和的长均不小于， ∴把代入，得． ∴反比例函数的图象经过点． 把代入，得， 解得， ∴反比例函数的图象经过点． 由图可知，当与的图象在点的右边，点的左边时，存在交点． 把点代入，得， 解得， ∴木栅栏总长a的取值范围为． 【变式3】（24-25九年级上·北京·开学考试）已知反比例函数的图象位于第一、三象限． (1)求的取值范围； (2)若该反比例函数的图象与正比例函数的图象的一个交点为，求的值． (3)当时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3)的取值范围为或． 【分析】（1）根据反比例函数的图象位于第一、三象限，即，列不等式求解，即可解题； （2）先利用正比例函数求出交点，再将代入反比例函数求解，即可解题； （3）根据反比例函数与正比例函数的交点，再根据交点情况即可得到的取值范围． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象位于第一、三象限， ∴， 解得， ∴的取值范围为； （2）解：∵正比例函数的图象过点， ∴， 反比例函数与正比例函数交点为， ∴， 解得； （3）解：由，则，解得：， ∴反比例函数与正比例函数的交点为，， ∴当时，的取值范围为或． 【点睛】本题考查反比例函数的图象性质，解一元一次不等式，一次函数与反比例函数交点情况，以及根据一次函数与反比例函数交点情况求不等式解集，解题的关键在于熟练掌握相关知识并灵活运用． 题型三 反比例系数k的几何意义综合问题 解｜题｜技｜巧 考题常结合反比例函数比例系数k的几何意义，考查求图形面积问题，或根据图形面积求k的值确定解析式等，在解题过程中，时常用到反比例函数图像的中心对称性，把问题转化成同底(等底)等高的三角形，结合k的几何意义求解. 当直角顶点在坐标轴上或在原点时，常常要过双曲线上的点向坐标轴作垂线，得到“一线三等角”模型，构造三角形相似借助相似的性质解决问题. 【典例3】（2026九年级上·全国·专题练习）如图，过的图象上一点A，分别作x轴、y轴的平行线交的图象于B，D两点，以，为邻边的矩形被坐标轴分割成四个小矩形，面积分别记为，，，，若，求k的值． 【答案】 【分析】设，求出，，可知，即，进而根据列方程求解即可． 【详解】解：设， ∵反比例函数的图像在第一象限， ∴， 在中， 令得， 令得， ，， ， ． ，， ， 经检验，符合题意． 【变式1】（24-25八年级上·上海·期中）知识回顾：在学习反比例函数性质时，我们已经知道：如图1，点是反比例函数上任意一点，则矩形的面积为． (1)初步尝试 如图2，点，分别在反比例函数和的图象上，四边形和都是矩形，易知四边形也是矩形，分别求矩形和的面积． (2)类比探究 如图3，点，在反比例函数的图象上，点，在反比例函数的图象上，轴，与在轴的两侧，，，与的距离为5，求的值． 【答案】(1)4，6 (2)6 【分析】（1）由反比例函数的几何意义可得答案； （2）如图，过A，B，C，D四点分别作、、、轴于点E，F，G，H，设，分别与y轴交于N，M，可得，设为h，而，，与的距离为5，再进一步建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵点A，E分别在反比例函数和的图象上，四边形和都是矩形， ∴，， ∴； （2）解：如图，过A，B，C，D四点分别作、、、轴于点E，F，G，H，设，分别与y轴交于N，M， ∴四边形，，，均为矩形，且， ∴， 设为h，∵，，与的距离为5，轴， ∴， ∴， 解得：， ∴． 【变式2】（2026·江西上饶·模拟预测）如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，轴于点． (1)若点A的横坐标为3，，直接写出的值______； (2)若，求出此时的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据点的横坐标求出其纵坐标，结合已知条件即可求出点的横纵坐标，从而求出值． （2）利用点和点与各自函数的关系可求出其横纵坐标的乘积，将其转化成线段关系，利用三角形的面积公式，表示出和的面积，利用等底关系和结合，将其面积比转化为线段比，即可求出的值． 【详解】（1）解：横坐标是3，在反比例函数上， 的纵坐标为， ， ， 在第四象限， 的纵坐标为， ， 和的横坐标相等， 的横坐标为3， ， ． （2）解：连接，，如图所示， 轴，在反比例函数上， ， ， ， 同理，， ， ， ． ， ． 【点睛】本题考查了反比例函数中点的坐标和值的关系，以及反比例函数中三角形面积问题，解题的关键在于点的坐标的乘积结果可以转化成面积的线段乘积关系． 【变式3】（22-23八年级下·江苏常州·期末）在平面直角坐标系中，反比例函数的图像与一次函数的图像在第一象限交于A、B两点． 探究一： P是平面内的一点，过点A、B、P分别作x轴、y轴的垂线，相应的两条垂线与坐标轴所围成的矩形面积记为、、，矩形周长记为、、， （1）如图1，P是线段上不与点A、B重合的一点，． ______，______（填“＞”、“＜”或“＝”）： 猜想：当点P从点A运动到点B时，的变化规律是____________； （2）如图2，P是双曲线段上不与点A、B重合的一点，，． ______，______（填“＞”、“＜”或“＝”）； 猜想：当点P从点A运动到点B时，的变化规律是____________； 探究二： 如图3，过点A作x轴的垂线，过点B作y轴的垂线，两条垂线交于直线右上方的点Q，与反比例函数的图像交于点G．若G是的中点，且的面积为9，求k的值．    【答案】探究一：（1）8，，猜想：先变大后变小；（2）8，，先变小后变大；探究二： 【分析】探究一：（1）根据反比例函数k的几何意义，结合图形即可求解； （2）根据直线解析式的特点，结合图形即可求解； 探究二：设点G的坐标为，则，Q、A、B的坐标分别为、、，再由的面积求解即可． 【详解】解：探究一： （1）∵A点、B点在反比例函数上， ∴， 过P点作轴交反比例函数图像于点Q，过点Q作轴交于点D， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴在时，的值先增大后减小， ∴． 故答案为：8，＜，先增大后减小． （2）∵，． ∴直线的解析式为， 设A点坐标为， ∴， ∴， 过P点作轴交反比例函数于点E，过E作轴交于点F， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴时，先减小后增大， ∴先减小后增大， ∴． 故答案为：8，＞，先减小后增大． 探究二： 设点G的坐标为，则． 由题意得点Q、A、B的坐标分别为、、． ∵的面积 ， ∴．    【点睛】本题主要考查反比例函数的图像及性质，熟练掌握反比例函数的图像及性质、反比例函数k的几何意义是解题的关键． 题型四 反比例函数的性质 【典例4】（25-26九年级上·河北唐山·阶段检测）如图，双曲线与直线交于A，B两点．点和点在双曲线上，点C为x轴正半轴上的一点． (1)求双曲线的表达式和a，b的值； (2)请直接写出使得的x的取值范围； (3)若的面积为12，求此时C点的坐标． (4)若点也在反比例函数的图像上，求当时，函数值y的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 (3) (4)或 【分析】（1）根据表达式，交点的意义，确定点，点，求解即可； （2）根据函数的交点分别为点，点，结合已知求解即可； （3）根据函数的交点分别为点，点，设点，根据题意，得，列式计算即可． （4）根据反比例函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：双曲线与直线交于A，B两点．点和点在双曲线上， 故，， 解得， 故点，点， 故， 解得， 故反比例函数的表达式为． （2）解：根据题意，得，的交点为点，点， ， 故x的取值范围为或； （3）解：根据函数的交点分别为点，点，设点， 根据题意，得， 由的面积为12， ， 解得， 故点． （4）解：点也在反比例函数的图像上， 当时，； 当时，； 根据反比例函数的性质，得y随x的增大而减小， 故函数值y的取值范围为或． 【变式1】（25-26九年级上·北京·期末）在平面直角坐标系中，一次函数的图像与函数的图像的一个交点为． (1)求反比例函数的表达式； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值，且小于一次函数的值，直接写出n的取值范围． 【答案】(1)y (2) 【分析】本题主要考查了反比例函数综合应用、待定系数法求函数解析式、函数图像上点坐标的特征、函数的增减性等知识点，掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． （1）求出，再代入y得，即可求得反比例函数解析式； （2）由当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值，且小于一次函数的值，即对任意，不等式恒成立，即且恒成立；再根据函数和在时是减函数，然后根据函数的增减性即可解答． 【详解】（1）解：把代入得：，解得：， ∴， 把代入得：，解得：， ∴反比例函数的表达式为． （2）解：当时，，， ∵当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值，且小于一次函数的值， ∴对任意，不等式恒成立，即且恒成立， ∵函数在时，是增函数， ∴， 要使恒成立，则n必须小于或等于函数在该范围的下界，即； ∵函数在时，是减函数， ∴当时，， 要使恒成立，则n必须大于或等于函数在该范围的上界，即， 综上，n的取值范围是． 【变式2】（25-26九年级上·天津南开·阶段检测）已知在反比例函数（为常数，且）的图象上． (1)______________，该反比例函数的图象在第_____________象限； (2)判断点，，在该反比例函数的图象上的点是_____________． (3)当时，该反比例函数的函数值的取值范围为_________________． (4)，，在反比例函数图象上，且，比较的大小．（用<号连接）________________． 【答案】(1)；二、四 (2)A，C (3) (4) 【分析】此题考查了求反比例函数解析式，反比例函数的图象和性质，比较反比例函数值大小，解题的关键是熟练掌握待定系数法． （1）将代入即可求出；然后得到反比例函数，根据即可得到该反比例函数的图象在第二、四象限； （2）分别将点A，B，C的横坐标代入求解判断即可； （3）分别求出时和时的函数值，然后根据增减性求解即可； （4）首先判断出点D，E在第二象限，点F在第四象限，然后根据该反比例函数的图象在第二、四象限和增减性求解即可． 【详解】（1）解：将代入得，， 解得； ∴反比例函数， ∵， ∴该反比例函数的图象在第二、四象限； （2）解：将代入， ∴点在该反比例函数的图象； 将代入， ∴点不在该反比例函数的图象； 将代入， ∴点在该反比例函数的图象； ∴在该反比例函数的图象上的点是A，C； （3）解：∵该反比例函数的图象在第二、四象限，且在每个象限内y随x的增大而增大， ∵， ∴当时，；当时，； ∴该反比例函数的函数值的取值范围为； （4）解：∵，，在反比例函数图象上，且， ∴点D，E在第二象限， ∵， 又∵该反比例函数在第二象限内y随x的增大而增大， ∴， ∵， ∴点F在第四象限， ∴， ∴． 【变式3】（2025·江西吉安·二模）初中学考即将来临，同学们正全力准备着最后的决战，马超同学近期在复习函数时遇到了一类典型的函数：这类函数由已学过的一次函数、二次函数或反比例函数相结合，并要求得到其函数值的变化范围，马超同学遇到的这类函数问题的探究如下： 已知函数，该函数是否存在最值（最大值或最小值），若存在，求出其最值；若不存在，请说明理由． 思路分析： 显然，该函数是二次函数与反比例函数的结合，因此，可先从反比例函数入手研究． 请回答下列问题： （1）对于函数，当时，y随x的增大而______________（填“增大”或“减小”），当且时，该函数______________最值（填“有”或“无”）； （2）函数有______________值（填“最大”或“最小”），其最值为______________； （3）此时，若将替换成u，函数是否存在最值，若存在，请求出其最值，若不存在，请说明理由； 变式训练： （4）函数是否存在最值，若存在，求出其最值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）减小，无； （2）最小，3； （3）存在最大值，最大值为； （4）函数不存在最值，理由如下： 令，则， ∵， ∴当时，取得最大值，最大值为4， 即， ∵当时，y随u的增大而减小，当时，y随u的增大而减小， ∴函数无最值， 即函数不存在最值． 【分析】本题主要考查了二次函数和反比例函数的性质，利用类比思想解答是解题的关键． （1）根据反比例函数的性质解答即可； （2）根据二次函数的性质解答即可； （3）根据二次函数和反比例函数的性质解答即可； （4）根据二次函数和反比例函数的性质解答即可． 【详解】解：（1）∵， ∴对于函数，当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而减小， ∴当且时，该函数无最值； 故答案为：减小，无； （2）∵，， ∴当时，函数有最小值，其最值为3； 故答案为：最小；3； （3）存在最大值，最大值为； 根据题意得：，此时， ∴y随u的增大而减小， ∴当时，函数存在最大值，最大值为； （4）略 题型五 整点问题 解｜题｜技｜巧 【典例5】（2024·河北保定·一模）如图，在平而直角坐标系中，记函数的图象为G，直线经过点，与图象G交于B，C两点．    (1)求b的值，并在图中画出直线l； (2)当点B与点A重合时，点在第一象限内且在直线l上，过点P作轴于点Q． ①求点C的坐标； ②连接．若，求m的取值范围； (3)横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象G与直线l所围成的封闭区域（含边界）为W．当区域W的边界上有5个整点时，请直接写出满足条件的整数k的个数． 【答案】(1)4， 画图，如下： (2)①点C的坐标为；② (3)3 【分析】（1）把代入，即可求出b，然后描点、连线画出直线l即可； （2）①先求出反比例函数解析式，然后联立方程组，解方程组，即可求出点C的坐标； ②根据点P在直线l上，可得出，结合条件得出，整理得，得出不等式组或，然后解不等式组即可； （3）分别画出，，，，的图象，观察图象找出区域W内整点的个数，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵直线经过点， ∴， ∴， （2）解：点B与点重合时， ∴， ∴， 由（1）知：直线l解析式为， 联立方程组， 解得或， ∴点C的坐标为； ②∵点在第一象限内且在直线l上， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， 整理得，即 ∴或， ∴； （3）解：函数的图象G与直线所围成的封闭区域（含边界）为W，当区域W的边界上有5个整点时， 当时，图象如下： 区域的边界上有4个整点，即，不符合题意； 当时，图象如下： 区域的边界上有5个整点，即，符合题意； 当时，图象如下： 区域的边界上有5个整点，即，符合题意； 当时，图象如下： 区域W的边界上有5个整点，即，符合题意； 当时，图象如下： 区域W的边界上有4个整点，即，不符合题意； ∴时，区域W的边界上有5个整点， ∴符合条件的整数k只有3个． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的综合问题，解一元二次方程，解不等式组等知识，待定系数法求一次函数（反比例函数）解析式，确定临界点是解题的关键． 【变式1】（23-24九年级上·山东济南·期末）在平面直角坐标系中，定义：横坐标与纵坐标均为整数的点为整点．如图，已知双曲线经过点，在第一象限内存在一点，满足． (1)求的值； (2)如图，过点分别作平行于轴，轴的直线于点、，记线段、、双曲线所围成的区域为（含边界）， 当时，区域的整点个数为 ； 直线过一个定点，若点为此定点，直线上方（不包含直线）的区域记为，直线下方（不包含直线）的区域记为，当与的整点个数之差不超过时，请求出的取值范围． 【答案】(1)； (2)①，②． 【分析】（）根据点在的图象上，可求出的值； （）标出区域，再统计区域内的整数点即可； 过定点即表示与的取值无关，则有的系数等于，便可解决问题，利用图象，求出区域内的所有整数点，再分类讨论即可； 本题考查反比例函数的性质，正确理解题目中所给出的新定义，结合图形合理的分析是解题的关键． 【详解】（1）∵双曲线经过点， ∴， 即的值为； （2）当时，由图可知， 上的整点有个， 上的整点有个， 双曲线上段的整点有个， 区域内部的整点有个， 又点，，都被算了次， 所以区域的整点个数为：， 故答案为：； 由题知，， 则不论为何值，时，即直线过定点， ∴， 如图所示，当时，区域内的整点共有个， 又被分成的区域和的整点个数之差不超过， 则当直线经过点时，的整点个数是，的整点个数是，满足要求， 此时，得， 当直线过点时，的整点个数是，的整点个数是，不满足要求，故当点在直线上方时，即可， 此时，得， 故的取值范围是：． 【变式2】（22-23八年级下·浙江金华·期中）定义：把横、纵坐标均为整数的点称为整点．如图，反比例函数与正比例函数相交于整点A，与一次函数相交于整点B、C，正比例函数与一次函数相交于点D，线段与线段上的整点个数之比记作．    (1)当时，求D点的坐标和m值． (2)当线段BC上的整点个数为7，时，求t的值． (3)当时，请直接写出t与m之间的关系式． 【答案】(1)D（）， (2)10 (3)当时，；当时， 【分析】（1）联立方程组求解可得，根据点为整点，可得，代入，求得，与联立，可求得，再通过联立求解可得，，即可得出答案； （2）根据题意可得，必为整点，即为偶数，由，可得，，进而推出，，建立方程求解即可得出答案； （3）当时，线段上有2个整点：设D（d，d），， ，进而得出，建立方程求解即可求得；当时，线段上只有1个整点，设，则线段上有个整点，线段上有个整点，得出，，可推出，再把点的坐标代入，即可得出． 【详解】（1）， ， 由，解得：， ， 点为整点，且点的横坐标是小于2的正整数， 点的横坐标为1， ， 把代入，得， 解得：， ， 联立得，解得：，， ， 由，解得：， ，， 线段上整点有1个：，线段上整点有4个：，，，． ； （2）线段上的整点个数为7，，必为整点， 为偶数， ， ，， ， 线段上有3个整点， ，， ， ， 解得：； （3）当时，线段AD上整点个数为2，即A、D两点， ∴线段BC上整点个数为2m，由对称可知，BD上整点个数为， 设D（d，d），则， 又∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时，线段AD上只有一个整点A， ∴线段BC上整点个数为m， 由对称BD上整点个数为，设A（a，a），则B， ∴， ∴， ∴，即； 综上，当时，；当时， 【点睛】本题考查的是反比例函数与一次函数的综合应用，抓住图象中的交点及其他特殊点的坐标和性质是解决问题的关键． 题型六 求一次函数与反比例函数围成图形面积 解｜题｜技｜巧 ①坐标系中求几何图形面积的问题，一般要寻找图形中和坐标轴平行、垂直或重合的线段.如果没有这样的线段，就要对这样的图形进行割或补，简称“割补法求面积”.②已知图形面积等 于知道固定值求动点坐标，一般有多种情况. 【典例6】（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)结合函数图象，直接写出时的取值范围； (3)点在轴上，且满足的面积等于8，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)；； (2)或； (3)点的坐标为或． 【分析】（1）待定系数法，求解析式即可； （2）根据图象求解即可； （3）先求出直线与x轴的交点D的坐标，再根据，列方程求出的值，进一步求出点P坐标． 【详解】（1）解：由题意可得： 点在反比例函数图象上， ，则， 反比例函数的解析式为， 将代入， 得：，即， 将，代入一次函数解析式中，得 ， 解得：， 一次函数解析式为； （2）解：由图象可得：当或时，； （3）解：如图， 点在轴上， 设点的坐标为， 一次函数解析式为，令，则， 直线与轴交于点， 由的面积为8，可得： ， ∴，即， 解得：或， 点的坐标为或． 【变式1】（2022·河南周口·模拟预测）如图，反比例函数与函数交于，两点，射线交轴于点，已知点的坐标为． (1)求反比例函数解析式； (2)若点在轴上，连接，，求当的值最小时的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将点横坐标代入分段一次函数对应解析式求出点纵坐标，再把点坐标代入反比例函数，利用待定系数法求出反比例函数解析式； （2）联立反比例函数与对应的一次函数解析式求出交点坐标；作点关于轴的对称点，连接，与轴交点即为使最小的点；利用待定系数法求直线解析式，求出点坐标；再求射线与轴交点的坐标，算出线段长度，结合点纵坐标作为三角形的高，代入三角形面积公式计算的面积． 【详解】（1）解：把点代入得，， ， 反比例函数图象过点， ， 反比例函数解析式为； （2）解：由， 解得或， ， 作点关于轴的对称点，连接，与轴的交点即为点， ， ， 设直线的解析式为， 则， 解得， 直线的解析式为， 把代入得，， 解得， ， 把代入得，， 解得， ， ， ， 当的值最小时的面积为． 【变式2】（2026·江西·中考真题）如图，四边形是平行四边形，，，，点在轴上，反比例函数的图象经过点． (1)求反比例函数的表达式； (2)为边上的一点，直线交双曲线另一支于点，当的面积等于的面积的时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）如图，过点作轴于点．证明，根据全等三角形的性质可得，进而求得的坐标，代入反比例函数解析式，即可求解； （2）根据已知可得为的中点，则坐标为．待定系数法求得直线的表达式为，可得直线经过坐标原点，进而根据正比例函函数与反比例函数图象的性质即可得出点的坐标． 【详解】（1）解：如图，过点作轴于点． ∵四边形为平行四边形， ，， ， 又∵， ． ， ． ， ∴反比例函数的表达式为． （2）的面积等于的面积的， 为的中点， 的坐标为． 设直线的表达式为， 则， 解得 ∴直线的表达式为，即直线经过坐标原点， 又∵， ∴由中心对称可得． 【变式3】（2026·广东汕头·一模）跨学科题（数学＋物理） 某中学科技小组设计了一款节能小车，其动力由可充电电池提供．实验数据显示，小车行驶时的耗电量与速度成反比．当速度为米/秒时，电池每小时耗电量为度． (1)求耗电量E（度/小时）与速度v（米/秒）的函数关系式； (2)为确保小车在科技展上连续行驶至少小时，科技小组需将速度调整为，此时每小时耗电量降至．已知调整后的耗电量满足分式方程：．结合第（1）问的函数关系，求调整后的速度（米/秒）． 【答案】(1) (2)米/秒 【分析】（1）设函数关系式为，再代入，求出的值即可求解； （2）解分式方程求出的值，由（1）得，再代入的值，即可求出的值． 【详解】（1）解：设函数关系式为， 代入，得，， 解得， ∴耗电量E（度/小时）与速度v（米/秒）的函数关系式为； （2）解：∵， ∴， 解得， 由（1）得，， 代入，得， 解得， ∴调整后的速度为米/秒． 题型七 反比例函数中的平行与相等 【典例7】（2025·湖北恩施·一模）如图，已知直线与轴，轴分别交于，两点，与反比例函数分别交于，两点，点的坐标为． (1)直接写出和的值； (2)求证：． 【答案】(1)； (2) 证明：由（1）得直线解析式为，反比例函数解析式为， 联立，解得或， ∴， 在中，当时，，当，， ∴， ∴，， ∴． 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，坐标系中两点距离计算公式，正确求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）分别把点C坐标代入到两个函数解析式中计算求解即可； （2）根据（1）所求可得两函数解析式，据此可求出A、B、C、D的坐标，利用两点距离计算公式求出即可证明结论． 【详解】（1）解：把代入到中得，解得； 把代入到中得，解得； （2）略 【变式1】（23-24九年级上·湖南张家界·期末）如图，矩形的顶点分别在轴和轴上，点的坐标为，是边上的一个动点（不与重合），反比例函数的图象经过点且与边交于点，连接． (1)如图1，若点是的中点，求点的坐标； (2)如图2，若直线与轴，轴分别交于点，连接，求证：； (3)如图3，将沿折叠，点关于的对称点为点，当点不落在矩形外部时，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 证明：点、点都在双曲线上， ，、， 则，， 则，同理可得：， ，， ， ； (3) 【分析】（1）由是的中点，求出，进而求解； （2）证明，即可求解； （3）当点在轴上时，的值最小；若点与点重合，则的值最大；若点与点重合，则，即可求解． 【详解】（1）解：如图1，四边形是拒形， 轴，轴， ，是的中点， ， 双曲线经过点 ， ， ， 当时，， 点的坐标为． （2）略 （3）解：如图3，连接、交于点，交于点， ，， 随的增大而增大， 当点在轴上时，的值最小；若点与点重合，则的值最大， 垂直平分，， ， ，且 ， 解得：， 则点，， 则． 若点与点重合，则， 的取值范围是． 【点睛】本题考查了反比例函数综合运用，涉及到三角形相似、最值的确定等，确定的临界点是（3）中解题的关键． 【变式2】（2023·广东东莞·模拟预测）如图，点，分别位于反比例函数图像的两分支上，且轴于点C，轴于点D，连接，延长，交于点P，连接，分别与x轴，y轴相交于点E，F．的直角顶点P落在第二象限． (1)求k的值． (2)求证：． (3)当四边形的面积为6时，直接写出点P的坐标． 【答案】(1)3 (2) 证明：∵， 设， 则，，， ∴， ∴， ∴． (3) 【分析】(1) 把代入反比例函数中，计算即可． (2) 设，则，证明即可证明． (3) 设，则，，，根据列式计算即可． 【详解】（1）把代入反比例函数中， 得． 解得， 故k的值为3． （2）略 （3）设， 则，，， ∵， ∴， 解得， ∴． ∴． 【点睛】本题考查了反比例函数的解析式，平行线分线段成比例定理，直角三角形的性质，熟练掌握反比例函数的解析式，平行线分线段成比例定理是解题的关键． 题型八 与反比例函数有关的新定义问题 【典例8】（25-26八年级下·上海松江·期末）城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走．按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系，将两点和的“直角距离”定义为：． (1)已知，那么______； (2)函数的图像如图所示，如果点C在该函数的图像上，且． ①求点C的坐标； ②过点C作x轴、y轴的垂线，垂足分别为E、F，试判断四边形的形状，并证明． 【答案】(1)3 (2)①； ②四边形是正方形，证明如下： 如图所示， 由（2）①得点C的坐标为， ∵轴，轴， ∴，， 又∵， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴矩形是正方形． 【分析】（1）根据“直角距离”的定义求解即可； （2）①设，根据题意可得，解方程即可得到答案；②根据题意可得，，据此可证明四边形是正方形． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）①解：设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，经检验是方程的解， ∴， ∴点C的坐标为； ②略 【变式1】（2026·广东深圳·二模）定义：若一个点的纵坐标是横坐标的倍，则称这个点为“三倍点”．如，，等都是“三倍点”． (1)请你判断下列说法是否正确（在相应的横线上，正确的打“√”，错误的打“×”）． ①函数的图象上存在“三倍点”．_______ ②函数的图象上有且只有一个“三倍点”．_______ (2)一次函数与反比例函数的图象交于、两点，点是线段的中点，求证：点是“三倍点”． (3)在的范围内，若二次函数的图象上有且只有一个“三倍点”，直接写出的取值范围． 【答案】(1)①√；②√ (2)见解析 (3)或 【分析】（1）根据“三倍点”的定义可得“三倍点”所在的直线为， ①联立和，解方程组得出，即可得出函数的图象上存在“三倍点”； ②联立和，得出，根据判别式，得出方程有两个相等的实数根，即可得出函数的图象上有且只有一个“三倍点”； （2）联立和反比例函数解析式得出 ，根据一元二次方程根与系数的关系得出点的横坐标为，进而求出纵坐标为，即可得出结论； （3）联立和得，根据判别式得出符合题意，当判别式时求出，，根据在的范围内，若二次函数的图象上有且只有一个“三倍点”得出或，解不等式求出的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵一个点的纵坐标是横坐标的倍，则称这个点为“三倍点”， ∴“三倍点”所在的直线为， ①联立和得，， 解得：， ∵， ∴是“三倍点”， 故函数的图象上存在“三倍点”，√； ②联立和得，， ∴， ∵， ∴方程有两个相等的实数根， ∴函数的图象上有且只有一个“三倍点”，√． （2）证明：联立和反比例函数解析式得：， ∴ ， 整理得， ， 设方程的两根为，， ∴， ∵点是线段的中点， ∴点的横坐标为 ， 当时， ， ∴， ∴点是“三倍点”． （3）解：或． 由题意得，“三倍点”所在的直线为， ∵在的范围内，二次函数的图象上有且只有一个“三倍点”， ∴在的范围内，二次函数和直线有且只有一个交点， 联立和得，， ∴， 整理得，， ∴ 解得：， 当时， 解得：，此时，方程有两个相等的实数根，，符合题意； 当时，解方程得，，， ∴或， 由可得，无解，不符合题意， 由可得， ∴， 综上，的取值范围为或． 【变式2】（25-26九年级上·辽宁辽阳·期末）在平面直角坐标系中，对任意点的阶映射变换（为常数）定义如下：若点的横坐标满足，则变换后对应点为；若，则变换后对应点为．如：点的1阶映射变换对应点为；点的4阶映射变换对应点为．请根据变换规则解答下列问题： (1)点的5阶映射变换对应点落在反比例函数的图象上，求的值； (2)点的0阶映射变换对应点落在直线的图象上，求的值； (3)点在直线的图象上，且点是点的1阶映射变换对应点． ①设点，求关于的函数关系式； ②若点在①的关于的函数图象上，点在的图象上，且，求的值． 【答案】(1) (2)a的值为5或3 (3)①；②m的值为或或4 【分析】（1）根据定义可知点的5阶映射变换对应点是，再代入函数关系式可得答案； （2）分两种情况讨论：当，即时，确定变换后对应点，代入关系式求出答案；当即时，确定变换后对应点，代入关系式，求出答案； （3）①分两种情况：当和时，计算可得答案； ②分两种情况：当、、和时，根据，列方程求解即可求得的值． 【详解】（1）解：根据题意点的5阶映射变换对应点为，即， 将代入得，， 解得； （2）解：当，即时， 点的0阶映射变换对应点，即， 将，代入得，，解得； 当，即时， 点的0阶映射变换对应点，即， 将，代入得，，解得； 综上所述，a的值为5或3； （3）解：①点C是点D的1阶映射变换对应点，点， 当时，， 将代入，得， ； 当时，， 将代入，得， ； 综上所述，． ②当时，，， ， ，， 解得，， 当时，，不合题意，舍去； 当时，，， ，不合题意，舍去； 当时，，， ， ， ， 解得，（舍去）； 综上所述，m的值为或或4． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的性质，一次函数的性质，理解新定义是解题的关键． 【变式3】（25-26九年级上·广东佛山·阶段检测）新定义：若一个点的横坐标与纵坐标之和为6，那么称这个点为“和六点”．已知反比例函数的图象经过点，二次函数的图象经过该反比例函数图象上的所有“和六点”． (1)求二次函数的解析式 (2)已知二次函数与反比例函数的图象交于第一象限的两点，（点的横坐标小于点的横坐标）两点，为抛物线对称轴上一动点．若是以为顶点的等腰三角形，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次函数与反比例函数综合，两点间距离公式，等腰三角形的定义，正确理解题意求出反比例函数上的“和六点”的坐标是解题的关键． （1）先利用待定系数法求出反比例函数解析式为，设反比例函数上的“和六点”为，根据“和六点”的定义建立方程求出反比例函数上的“和六点”坐标，进而利用待定系数法求出抛物线解析式即可； （2）先求出对称轴，再设出点P坐标，根据，利用两点间距离公式建立方程求解即可． 【详解】（1）解：反比例函数的图象经过点， ． 反比例函数的解析式为． 设反比例函数上的“和六点”为． ． 解得， 经检验，都是原方程的解， 反比例函数图象上的“和六点”的坐标为． 二次函数的图象经过点，． ，解得， 二次函数的解析式为． （2）解：由（1）可知，抛物线解析式为． 抛物线对称轴为直线． 点在抛物线的对称轴上， ∴可设． 联立得， 解得， 二次函数与反比例函数的图象交于，（点的横坐标小于点的横坐标）两点， ． 是以为顶点的等腰三角形， ． ， ， ． 解得． 点的坐标为． 题型九 反比例函数与几何综合 【典例9】（2026九年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，点的坐标分别为，． (1)点的坐标是____； (2)若过点的反比例函数的图象经过直线上的点，且点的坐标为，求的值及反比例函数的解析式； (3)若（）中的反比例函数的图象与相交于点，连接，在直线上找一点，使得是等腰三角形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)， (3)或或 【分析】（）根据矩形的性质解答即可求解； （）先求出点坐标，再利用待定系数法求出反比例函数的解析式，进而求出的值即可； （）先求出点坐标，设，再根据等腰三角形的定义分三种情况解答即可求解． 【详解】（1）解：∵矩形， ∴轴， ∵， ∴， ∴点的坐标是； （2）解：∵矩形，， ∴，轴， ∵， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的解析式为， ∵点在反比例函数的图象上， ∴； （3）解：由（）知， 把代入，得， ∴， ∵点在直线上， ∴可设， ∵是等腰三角形， ∴有如下三种情况： ①当时，则， 解得或， ∴或； ②当时，则， 此时方程无解； ③当时，则， 解得， ∴； 综上，点的坐标为或或． 【变式1】（2026九年级上·全国·专题练习）如图，已知，，，，，是轴上的点，且，分别过点，，，，，作轴的垂线交反比例函数的图象于点，，，，，，过点作于点，过点作于点，，记的面积为，的面积为，，的面积为，解答下列问题： (1)_____； (2)____； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）由已知可得，，，，，即得，，，，，再根据三角形面积公式计算即可； （）同理（）计算即可求解； （）由（）（）可得，再代入代数式计算即可求解． 【详解】（1）解：∵，，，，，是轴上的点，且， ∴，，，，， ∵点，，，，在反比例函数的图象上， ∴，，，，， ∴； （2）解：由（）知，； （3）解：， ， ， ， ， ． 【变式2】（2026·甘肃兰州·中考真题）如图，一次函数的图象是由的图象向上平移1个单位得到，交反比例函数（）的图象于点，交轴于点．为轴上一点，分别交一次函数、反比例函数的图象于点，．过点作轴于点，为的中位线，． (1)求反比例函数的表达式； (2)求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，函数图像平移，得到函数中的值，再根据已知条件，得出点坐标，将点坐标代入反比例函数内，即可得到函数解析式． （2）根据为的中位线，得出，继而得出，两点坐标，通过，即可得到的长度． 【详解】（1）解：由题意知，图像是由的图象向上平移1个单位得到， 得与为同一函数， ，， 一次函数为， 将代入一次函数，得， ∴ ， 过点作轴于点，， ∴的横坐标为， 在上，代入，得， 点坐标为， 点B在反比例函数上， ∴将点B坐标代入得，， 则反比例函数表达式为； （2）解：过点作轴于点，为的中位线，， ，， 轴，， 点的横坐标为， 又点在一次函数上，代入，得， 点的坐标为 轴， ∴点的纵坐标为3， ∵交反比例函数的图象于点． ∴， ∴， 点的坐标为， ∴， ． 【变式3】（26-27九年级上·全国·单元复习）如图所示，在平面直角坐标系中，菱形的边轴，直线与x轴交于点B，与反比例函数图象交于点D和点E，，． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)点P为线段上的一个动点，过点P作x轴的平行线，当被这条平行线分成面积相等的两部分时，求点P的坐标． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据题意分别确定点，点的坐标，用待定系数法即可求反比例函数和一次函数的解析式； （2）过点P作x轴的平行线交于Q，先确定直线的关系式，设，则，分别求出和的面积，根据题意列方程解答即可． 【详解】（1）解：，， 在中，，， 把代入，得， ， 一次函数的解析式为． 四边形是菱形， ． 轴， ， 把代入反比例函数， 得， 反比例函数的解析式为； （2）解：将联立，解得或， ． 过点P作x轴的平行线交于Q， ， ， ， ， 设直线的解析式为， 解得 直线的解析式为， 设，则， ， ， 由题意， ， 解得， 点P为线段上的一个动点， ， 不合题意（舍去）， ， ． 题型十 反比例函数的对称问题 解｜题｜技｜巧 1）反比例函数图像关于原点对称，即若（a，b）在双曲线的一支上，则（-a，-b）在双曲线的另一支上； 2）若（a，b）在反比例函数图像上，则（b，a）也在该图像上. 【典例10】（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）平面直角坐标系中，横坐标为2的点A在反比例函数的图象上，点与点A关于点O对称，一次函数的图象经过点交x轴于C点，点在函数、的图象上． (1)分别求函数，的表达式； (2)写出使成立的x的范围是_______； (3)连接，若点P在x轴上，的面积等于的面积，求点P的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，熟练掌握该知识点是关键． （1）利用待定系数法求出两个函数解析式即可； （2）先求出点的坐标，利用数形结合得到成立时的范围即可； （3）先求出的面积为 12 ，设的坐标为的面积为：，求出值即可得到点坐标． 【详解】（1）解：∵点在函数的图象上． ， ∴反比例函数解析式为， ∵横坐标为 2 的点在反比例函数的图象上， ， ∵点与点关于点对称， ， ∵一次函数的图象经过点，点， ∴ ，解得：， ． （2）解：如图，由直线解析式为可得， 根据函数图象可知，成立的的范围是． 故答案为：； （3）解：连接， ∵，， ∴轴，     ∴， 设的坐标为， ∴的面积为：， 解得或， ∴ P的坐标为或． 【变式1】（2022·四川乐山·中考真题）如图，已知直线1：y=x+4与反比例函数y=(x<0)的图象交于点A(−1，n)，直线l′经过点A，且与l关于直线x=−1对称． (1)求反比例函数的解析式； (2)求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)反比例函数的解析式为y=； (2)图中阴影部分的面积为7． 【分析】（1）先求得点A的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）先求得直线l′的解析式为y=-x+2，再根据图中阴影部分的面积=S△ABC- S△OCD求解即可． 【详解】（1）解：∵直线1：y=x+4经过点A(-1，n)，∴n=-1+4=3， ∴点A的坐标为(-1，3)， ∵反比例函数y=(x<0)的图象经过点A(-1，3)， ∴k=-1×3=-3， ∴反比例函数的解析式为y=； （2）解：∵直线l′经过点A，且与l关于直线x=−1对称， ∴设直线l′的解析式为y=-x+m， 把A(-1，3)代入得3=1+m，解得m=2， ∴直线l′的解析式为y=-x+2， 直线1：y=x+4与x轴的交点坐标为B(-4，0)， 直线l′：y=-x+2与x轴的交点坐标为C(2，0)，与y轴的交点坐标为D(0，2)， ∴图中阴影部分的面积=S△ABC- S△OCD=×6×3-×2×2=9-2=7． 【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数的性质，反比例函数点的坐标特征，正确地求得反比例函数的解析式是解题的关键． 【变式2】（2026九年级上·全国·专题练习）反比例函数过，点与点关于直线对称，抛物线经过A、B两点． (1)求反比例函数的表达式； (2)若抛物线的对称轴为，求抛物线的表达式； (3)若抛物线在的部分与反比例函数无公共点，求a的取值范围（）． 【答案】(1) (2) (3)且 【分析】本题考查二次函数与反比例函数图象综合问题； （1）将点代入反比例函数的解析式即可求出的值． （2）求出点的坐标，然后将与的坐标代入即可，结合抛物线的对称轴为，求出抛物线的解析式即可求出，与的值． （3）令和代入反比例函数中求出相应的点坐标，然后将两点的坐标代入中求出的值，根据函数图象求得的范围． 【详解】（1）解：∵反比例函数过， ∴， ∴； （2）∵点与点关于直线对称， ∴． ∵抛物线过点和，抛物线的对称轴为， ∴ ∴ ∴ （3）解：∵抛物线过点 ∴ 解得： ∴ 反比例函数的解析式： 令时，，即 令时，，即 当过点时，， 当过点时，， ∴抛物线在的部分与反比例函数无公共点，此时的范围：且． 【变式】3（25-26九年级上·山东淄博·阶段检测）如图，一次函数的图象与反比例函数（k为常数且）的图象交于，B两点． (1)求此反比例函数的表达式及点B的坐标； (2)在x轴上找一点C使的周长最小，求点C坐标； (3)在y轴上是否存在一点P，使A、O、P的三点围成等腰三角形，若存在直接写出点坐标；若不存在请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)或或或 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，“将军饮马”数学模型，等腰三角形的性质，熟练掌握以上模型与性质是解题的关键， （1）将点代入直线上，可先求出点，即可求出反比例函数解析式，再联立直线和反比例函数解析式可求得点B的坐标； （2）过点作关于轴对称的点，连接，交轴于点，利用数学模型“将军饮马”构造三角形，求出的直线解析式为：，令，得到，从而得到点C坐标； （3）设，根据，，得到，，，使A、O、P的三点围成等腰三角形，需要满足以下三种情况之一：①，②，③，代入后求出值，即可得到坐标． 【详解】（1）解：∵在上， ∴， ∴， ∵在上， ∴， ∴， ∵一次函数与反比例函数交于两点， ∴ 解得：或， ∴． （2）解：过点作关于轴对称的点，连接，交轴于点，此时的值最小，则的周长最小， ∵ ∴， 设的直线解析式为：， ∴ 解得： ∴的直线解析式为：， 令，则， ∴． （3）解：设， ∵，， ∴，，， ∵使A、O、P的三点围成等腰三角形，需要满足以下三种情况之一： ①， ②， ③， 情况①：， 两边同时平方得：， 解得：， ∴； 情况②：， 两边同时平方得：， 解得：（舍去）或， ∴； 情况③：， 两边同时平方得：， 解得：或， ∴或， ∴在y轴上是否存在一点P，使A、O、P的三点围成等腰三角形，点坐标为：或或或． 题型十一 反比例函数与特殊三角形存在性问题 解｜题｜技｜巧 反比例函数与三角形的存在性问题，一般是指与等腰三角形、直角三角形、等腰直角三角形等的存在性问题，①考查等腰三角形存在性问题时，按任意两边相等，分三种情况讨论；②考查直角三角形时，按有一个内角为90°，分三种情况讨论，利用勾股定理进行计算；③考查等腰直角三角形存在性问题时，构造全等三角形的一线三等角模型进行求解. 【典例11】（22-23九年级上·全国·期末）如图，直线与双曲线交于，两点，与x轴，y轴分别交于点C，D． (1)直接写出k、b、m的值； (2)设点P是y轴上的一个动点，当的周长最小时，请求出点P的坐标； (3)x轴上是否存在点M，使得是以为直角边的直角三角形，若存在，直接写出点坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，； (2) (3)或 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合问题，也考查了利用轴对称求最短路径，勾股定理等知识； （1）先把点代入求出m的值，然后求出n的值，再利用待定系数法，即可求出k和的值； （2）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，此时，的周长最小，得出，求得直线的解析式为，令，即可求解； （3）利用坐标两点距离公式，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意， 把点代入，得， 解得； ∴， 把代入，得， ∴； 把点、代入，得， 解得， ∴； 综上所述：，，． （2）解：作点关于轴的对称点，连接交轴于点，连接， ∴， ∴，此时，的周长最小， ∵， ∴， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴， 当时，， ∴． （3）解：点M坐标为或时，是以为直角边的直角三角形．理由如下， 设x轴上存在点M，其坐标为， ∵，， ∴， ， ， 当是以为斜边的直角三角形时，即：， ∴， 解得：，即点M坐标为， 当是以为斜边的直角三角形时，即：， ∴， 解得：，即点M坐标为， 综上所述：点M坐标为或时，是以为直角边的直角三角形． 【变式1】（24-25九年级上·湖南益阳·期中）如图，已知直线与反比例函数的图象交于点，，点是轴上一动点，连接，． (1)求点，的坐标； (2)当点运动时，的周长是否存在最小值，若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)点在轴正半轴上，点是反比例函数（）的图象上的一个点，若是以点为直角顶点的等腰直角三角形时，求所有满足条件的点的坐标． 【答案】(1)点的坐标为，点的坐标为 (2)存在，点的坐标为 (3)和 【分析】本题考查一次函数与反比例函数图象的交点问题，反比例函数与几何的综合应用，熟练掌握数形结合和分类讨论的思想，是解题的关键： （1）联立解析式，进行求解即可； （2）作点的关于轴的对称点，连接，得到当点在线段上时，的周长最小，求出直线的解析式，进而求出点的坐标即可； （3）分点在点左侧和点在点右侧，两种方法进行求解即可． 【详解】（1）解：联立，解得：或， ∴点的坐标为，点的坐标为； （2）作点的关于轴的对称点，连接， 设直线的解析式为，将点，代入， 得：，解得：，， ∴直线的解析式为，使直线与轴的交点为， ∴当点的坐标为时，有最小值，此时的周长最小． （3）设点坐标为， ①如图2，当点在点左侧时，过点作轴垂线，垂足为点， 过点作轴的垂线，与相交于点，则：，点的横坐标为3， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，解得：， ∴点坐标为； ②如图3，当点在点右侧时，过点，作轴的平行线与过点作轴的垂线交于点，； 同理可证：，可得：， 即：，解得：． ∴点坐标为； 综上所述：点坐标为和． 题型十二 反比例函数与特殊四边形存在性问题 解｜题｜技｜巧 反比例函数与四边形的存在性问题，一般是指与平行四边形、矩形、菱形、正方形等存在性问题，①考查平行四边形时，根据一固定线段按边和对角线进行分类讨论；②考查矩形时，可联想到直角三角形存在性问题进行探讨；③考查菱形时，可联想到等腰三角形存在性问题进行探讨；④考查正方形时，可联想到等腰直角三角形存在性问题进行探讨. 【典例12】（25-26九年级上·四川成都·阶段检测）如图，直线与双曲线交于A，B两点，点A的坐标为；点C是双曲线第一象限分支上的一点，连接并延长交x轴于点D，且 (1)求k的值并直接写出点B的坐标； (2)点G是y轴上的动点，连接，求的最小值； (3)点P是x轴上的一点，点Q是平面内一点，是否存在点P、Q，使得四边形是菱形？若存在，请求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将点A的坐标代入一次函数解析式中求出点A的坐标，再把点A的坐标代入反比例函数解析式中求出反比例函数解析式，再求出两函数的交点坐标即可得到答案； （2）如图1，作轴于点E，轴于点F，则，利用相似三角形性质即可求得，作点B关于y轴的对称点，连接，则即为的最小值，运用勾股定理即可求得答案； （3）由题易知，设参建立方程求解点P坐标，进而再利用对角线互相平分建立方程求出Q坐标即可． 本题属于反比例函数与一次函数综合题，主要考查了待定系数法，轴对称性质，最短问题，菱形性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用对称解决最短问题，学会用分类讨论的思想解决问题，属于中考压轴题． 【详解】（1）解：在直线上， ， 解得， ， 在反比例函数的图象上， ∴ ， ∴反比例函数解析式为， 联立，解得或， ； （2）解：如图，作轴于点E，轴于点F， ， ， ， ， ， ， ， 在中，当时，， ； 作点B关于y轴的对称点，连接，则，， ，当且仅当、G、C三点共线时取等， ， ， ∴的最小值为； （3）解：由题可知当四边形是菱形，则BC是对角线，， 设， ， ， ， ， 解得， ， ∵菱形对角线中点坐标相同， ∴， ，解得， 【变式1】（24-25九年级上·四川成都·阶段检测）如图1，反比例函数与一次函数的图象交于A，B两点，已知． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)一次函数的图象与x轴交于点C，点D（未在图中画出）是反比例函数图象上的一个动点，若，求点D的坐标； (3)若点M是x轴上一点，点N是反比例函数图象上一点，是否存在点M，N，使得以点A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)或 (3)存在；或或 【分析】（1）把点的坐标代入，得出反比例函数解析式；把点的坐标代入，求出的值，得到一次函数的解析式； （2）求出点，设，根据可得，由点是反比例函数图象上的一个动点，即可得点的坐标； （3）根据平行四边形的性质和中点坐标公式即可得到结论． 【详解】（1）解：∵点是反比例函数与一次函数的交点， ∴，， ∴反比例函数和一次函数的表达式分别为：，； （2）解：一次函数中，当时，， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∵点在上， ∴或， ∴或； （3）解：∵点是轴上一点，点是反比例函数图象上一点， ∴，， 解得或， ∴， ∵以点为顶点的四边形是平行四边形， ∴①以为对角线时，由中点坐标公式得， ∴， ∴； ②以为对角线时，由中点坐标公式得， ∴， ； ③以为对角线时，由中点坐标公式得， 解得， ； 综上所述，存在以点为顶点的四边形是平行四边形，或或． 【点睛】本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，平行四边形的性质，中点坐标公式，正确地求得函数的解析式是解题的关键． 【变式2】（2025·四川成都·模拟预测）如图，一次函数（为常数，）的图象与反比例函数（为常数，）的图象相交于点，． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)若点C是x轴正半轴上的一点，且，求点C的坐标； (3)过点A作交反比例函数图象于另一点D，在平面内是否存在点P，（点P在第一象限反比例函数图象的上方），使得四边形是一个长与宽之比为的矩形？若存在，求出点P的坐标；若不存在．请说明理由． 【答案】(1)， (2)； (3)存在，点P的坐标为或 【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案； （2）设，且，过点C作y轴的平行线，过点A、B作的垂线，垂足分别为E、F，则，，，，，再证得，根据相似三角形性质列方程求解即可； （3）利用待定系数法可得直线的表达式为，联立方程组可求得点D的坐标，设，分两种情况：当时，过点P作x轴的平行线，过点A、D分别作的垂线，垂足分别为M、N，可证得，利用相似三角形性质列方程求解即可求得点P的坐标；当时，同理可求得点D的坐标． 本题考查反比例函数的综合应用，相似三角形的判定和性质，矩形的性质．正确的求出反比例函数的解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解是解题的关键． 【详解】（1）解：把代入反比例函数，得：， 反比例函数的表达式为； 点在反比例函数的图象上， ， 解得：， ， 把，代入，得：， 解得：， 一次函数的表达式为； （2）点C是x轴正半轴上的一点， 设，且，过点C作y轴的平行线，过点A、B作的垂线，垂足分别为E、F，如图1， 则，，，，， ， ， ， ， ∽， ，即， 解得：（舍去），， ； （3）存在，理由： 由题意得，，或2， 设直线与x轴，y轴分别交于点H，G，设直线与y轴交于点E，作轴于点， 直线的表达式为， 当时，，当时，， ∴直线与x轴交点为，直线与y轴交点为， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， 即， 设直线的表达式为，把，代入，得： 则得：， 解得：， 直线的表达式为， 联立得：， 解得：舍去，， ， 设， 当时，如图，过点P作x轴的平行线，过点A、D分别作的垂线，垂足分别为M、N， 则，，，，， ， ， ， ∽， ，即， ， 解得：， ； 当时， 同理可得：，即， ， 解得：， ； 综上，点P的坐标为或 题型十三 反比例函数与其它存在性问题 【典例13】（25-26九年级上·陕西渭南·阶段检测）如图，矩形的两个顶点A，B都在反比例函数的图象上，经过原点O，对角线垂直于x轴，垂足为E，已知点A的坐标为． (1)求反比例函数的表达式并写出点B的坐标； (2)在反比例函数图象上是否存在点P，使得，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)存在点P，使得，点P的坐标为或 【分析】（1）把代入，即可求解出反比例函数的表达式，根据点A，B关于原点对称，即可求出点B的坐标； （2）根据勾股定理得到，再有，并证得， 根据相似三角形的性质求得的长，再求矩形的面积，最后根据分类讨论即可求出点P的坐标． 【详解】（1）解：把代入得：，， 反比例函数的表达式为， 点A，B都在反比例函数的图象上，AB经过原点O， 点A，B关于原点对称， 点B的坐标为， （2）解：矩形的对角线垂直于x轴，点A的坐标为， ，， ，， 又， ， ，即，， ， 设点P的纵坐标为m， ①当点P在第一象限时，，解得，此时点P坐标为， ②当点P在第三象限时，，解得，此时点P坐标为， 存在点P，使得，点P的坐标为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数的解析式，勾股定理，矩形的面积的计算，中心对称图形的性质，相似三角形的判定与性质，正确地求出函数的解析式是解题的关键． 【变式1】（25-26九年级上·安徽蚌埠·阶段检测）如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，直线与轴交于点，与轴交于点，若，． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)若点是坐标轴上的一动点，是否存在，使的面积是的面积的2倍？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)存在，点坐标为或或或 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数综合问题，涉及角直角三角形的性质，勾股定理等知识点． （1）过点作轴于点，先根据角直角三角形性质和勾股定理求出，再由待定系数法求解反比例函数和一次函数解析式； （2）先求出的面积，即可得到的面积，再分两种情况讨论，利用三角形面积公式求解． 【详解】（1）解：如图，过点作轴于点， ，， ， ∴， 点， 点在反比例函数的图象上， ， ， 反比例函数的表达式为； 把分别代入， 得， 解得， 一次函数的表达式为； （2）解：在坐标轴上存在点使的面积是的面积的2倍． 如图，对于，当时，， 解得，即点坐标． 的面积， 的面积的面积． 分两种情况：①当点在轴上，设点坐标为， 根据题意得， 解得， 此时点坐标为或； ②当点在轴上，设点坐标为，根据题意得， 解得， 此时点坐标为或； 综上，符合条件的点坐标为或或或 【变式2】（24-25九年级上·四川绵阳·期末）如图所示，矩形在平面直角坐标系中，，边与y轴交于点E，M为边上的点，以M为圆心，为半径作的一部分弧，交于点F，连接，且与弧相切，平分，反比例函数的图象经过点M，交于点N． (1)求反比例函数的解析式及点N的坐标； (2)在直线上是否存在点P，使的值最大？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)反比例函数的解析式为，点N的坐标为 (2)存在点，点P的坐标为 【分析】（1）连接，证明，即可得到，然后根据勾股定理求出长，再在中，利用勾股定理求出长，得到点M的坐标，求出反比例函数解析式，即可求得点N的坐标； （2）根据角平分线的定义和平行线的性质得到，进而得到，求出点G的坐标，进而得到直线的解析式，根据三角形三边关系的应用得到当B，M，P三点共线时，取得最大值，计算解答即可． 【详解】（1）解：∵点B的坐标为， ∴，， 连接， ∵与弧相切， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴设，则， 在中，，即， 解得：， ∴点M的坐标为， ∵点M在反比例函数图象上， ∴， ∴反比例函数的解析式为， ∵点的纵坐标为， ∴横坐标为， ∴点N的坐标为； （2）解：∵是矩形， ∴， ∴， 又∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点G的坐标为， 设直线的解析式为，把，代入得： ，解得， ∴直线的解析式为， 当点P在直线上，根据三角形三边的关系可得， 当B，M，P三点共线时，取得最大值， 即点P的横坐标为10， 当时，， ∴存在点，此时点P的坐标为． 【点睛】本题考查切线的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形三边关系，待定系数法求函数解析式，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【变式3】（24-25九年级下·四川广安·期中）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点和点，与轴交于点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)请直接写出关于的不等式的解集； (3)连接、，在直线上是否存在点，使的面积是面积的？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)或 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的综合应用，反比例函数与几何综合，待定系数法求函数解析式，三角形的面积的计算，正确求出一次函数和反比例函数解析式是解题的关键． （1）将点坐标代入反比例函数解析式求出反比例函数解析式，进而求出点的坐标，用待定系数法即可求出一次函数表达式； （2）根据函数图像找到一次函数的图像在反比例函数图像上方时自变量的取值范围即可得到答案； （3）求出点坐标，根据、、三点坐标求出的面积，再得到的面积，设，利用三角形面积求出的值即可得到答案． 【详解】（1）解：把代入，得，解得， 反比例函数表达式为， 在中，当时，，， ∴ 把，代入，得， ， 一次函数表达式为； （2）解：由函数图象可知，当时，一次函数的图像在反比例函数图像上方， ∴关于的不等式的解集为； （3）解：在中，当时，则得，， 点的坐标为， ， ， 设，则，得 ∴， ， 解得：或， 故或． 题型十四 反比例函数与跨学科问题 【典例14】（22-23九年级上·福建福州·期末）已知电源电压且保持不变，试验用到的定值电阻的阻值为5Ω，10Ω，15Ω，20Ω，25Ω；滑动变阻器．在确保电路安全无故障的情况下，李老师开始实验，多次更换定值电阻，调节滑动变阻器的滑片，使电压表示数保持不变，记录下电流表的示数，得到下表． （单位：Ω） 5 10 15 20 25 （单位：A） 0．4 (1)从你学过的函数中，选择合适的函数类型刻画电流随电阻的变化规律，请直接写出与的函数关系式 ； (2)在（1）的条件下，直接写出，的值，并画出该函数在第一象限的图象； (3)已知该滑动变阻器允许通过的最大电流为1A，记其电阻为．将定值电阻更换为一电阻箱，根据物理知识可知电源电压．在（1）的条件下，当电阻箱可调电阻的取值范围为时，为保证电路安全，取值范围是 ． 【答案】(1) (2)，函数图象如下所示： (3) 【分析】（1）根据欧姆定律进行求解即可； （2）根据（1）所求的关系式代值计算，再画出对应的图形即可； （3）分别求出通过滑动变阻器的最大电流和最小电流，根据（1）所求关系求出对应的电阻即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，电压表的度数为， ∴由欧姆定律得， 故答案为：； （2）解：当时，，当时，， （3）解：由题意得， ∴， ∵， ∴， ∴； 又∵定值电阻的电压固定为， ∴电流的最小值为， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式1】（2024·山西忻州·三模）阅读与思考 下面是小晋同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务． ×年×月×日  星期六 借助物理知识用吸管制作乐器 根据物理学知识，我们知道声音是由物体的振动产生的．查阅资料可知，用吸管吹气时，吸管内部空气的振动产生声音，而吸管的长度能够影响空气振动的频率，使吸管发出不同的声调．于是我准备了一些相同规格的吸管进行如下操作： ①分别剪出不同长度的吸管． ②借助仪器用同样的力度向吸管吹气，并记录吸管中空气的振动频率． ③将吸管的长度记为，振动频率记为，记录数据如表： 组别 第组 第组 第组 第组 第组 第组 ④建立如图所示的平面直角坐标系，将表中的数据对应的各点在平面直角坐标系中描出． 我发现其中一个数据异常，将其剔除后，用光滑的曲线将剩余的点顺次连接起来，根据画出的图象，猜想与大致满足我们学过的一种函数关系． 再次查阅资料得到了表的数据： 音调 频率 根据以上研究，我成功制作出了可以吹出表中个音调的吸管乐器． 任务： (1)根据以上材料，可以判断表中异常的数据是第 组． (2)根据小晋画出的图象，猜想是的 函数（填“一次”“二次”或“反比例”），与的函数关系式为 （系数保留整数）． (3)根据以上材料，求音调“”对应吸管的长度．（结果精确到） 【答案】(1) (2)反比例； (3)音调“”对应吸管的长度为 【分析】本题考查了反比例函数的应用，解答本题的关键是仔细观察表格，得出与的积为定值，从而得出函数关系式． （1）根据表中数据，可与的乘积接近的定值，从而可得答案． （2）根据散点图判断，根据散点图判断，可以用反比例函数来确定与的对应关系，由于吸管的长度与振动频率记为的乘积接近的定值，故系数保留整数时，即可得到． （3）由题可得，音调“”对应频率为，即，将代入， 可得吸管的长度． 【详解】（1）根据表中数据，可发现吸管的长度与振动频率记为的乘积接近的定值，而第三组相差太多，故第三组数据错误． （2）根据散点图判断，可以用反比例函数来确定与的对应关系， 由于吸管的长度与振动频率记为的乘积接近的定值， 故在反比例函数中（系数保留整数）， 故与的函数关系式为， 故答案为：反比例、． （3）由题可得，音调“”对应频率为，即， 将代入， 可得吸管的长度， 答：音调“”对应吸管的长度． 【变式2】（25-26九年级上·山东济宁·阶段检测）杆秤体现了古代劳动人民的智慧，它的制作原理就是根据：杠杆原理，当杠杆处于水平静止状态时，动力×动力臂=阻力×阻力臂，即．跨学科小组的同学，想制作一个简易杆秤（如图所示），它们利用一根长的均匀木杆，在木杆的中点并穿上细绳将木杆吊起．在距离点的左侧处垂直悬挂一个物体，物体重量（即）．在点的右侧挂上一个弹簧秤，竖直向下拉弹簧秤，使木杆处于水平静止状态．设此时弹簧秤与点的距离是，弹簧秤的示数是．完成下列问题： (1)求关于的函数关系式； (2)在右侧任意移动弹簧秤的位置，但使木杆始终保持水平静止状态，求的最小值． 【答案】(1) (2)的最小值为 【分析】本题主要考查反比例函数的运用，掌握待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象的性质是解题的关键． （1）根据反比例函数的定义，运用待定系数法即可求解； （2）根据反比例函数图形的性质即可求解． 【详解】（1）解：由题意设，把，代入，得， ∴关于的函数解析式为． （2）解：由（1）可知，关于的函数解析式为，，表示弹簧秤与中点的距离，最大值是， ∵， ∴随的增大而减小， ∴把代入，得， ∴弹簧秤的示数的最小值为． 期中重难突破练（测试时间：30分钟） 1．（26-27九年级上·四川·期中）在平面直角坐标系中，点A，C分别是y轴的正半轴和x轴的正半轴上的动点，四边形是矩形，反比例函数在第一象限的图象与边交于点P，与边交于点Q（P，Q不重合），连接． (1)若点P的坐标为 ①如图1，连接，则的面积为___________； ②如图2，当点B关于的对称点D正好落在x轴的正半轴时，求线段的长． (2)如图3，若点P和点Q同时都在一次函数的图象上，且线段． ①求k的值． ②分别作点P和点Q关于直线的对称点，连接．若线段与此时反比例函数的图象有交点，请直接写出m的取值范围． 【答案】(1)①4；②4 (2)①24；② 【分析】（1 ）① 先用待定系数法求出反比例函数的解析式，设，再根据面积公式计算即可；② 过点P作于点E，连结，，设，，先证明，再根据相似三角形的对应边成比例列方程求解即可； （2 ）① 设，，根据，列方程求解，得到，从而得到，再将P，Q两点的坐标代入反比例函数的解析式，列方程求解， 解得答案； ② 分别求出线段与此时反比例函数的图象有交点的两个临界状态时的m的值，即可求得答案．具体是先求出，的坐标，求出直线的解析式，并利用一元二次方程根的判别式求出当直线与双曲线有唯一交点时的m的值，再根据轴对称的性质，求出点，在双曲线上时的m的值，最后根据图象即可得到答案． 【详解】（1）解：① 把的坐标代入，得， ， 反比例函数的解析式为， 设， 则，， 的面积为； ② 过点P作于点E，连接，， 四边形是矩形， ，，，，， 四边形和都是矩形， ，，， 设，，则，，， ，， 点B关于的对称点D正好落在x轴的正半轴， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得， 即线段的长为4； （2）解：① 设，，（）， ， ， 解得， ， ， ， 点P和点Q都在反比例函数在第一象限的图象上， ， 解得， ∴； ② 由① 知，，，反比例函数解析式为， 对于直线， 当时， 当时， ，两点均在直线的上方， 点，均在直线的下方， 若线段与此时反比例函数的图象有交点， 则点，应都在第三象限， 过点P作轴，交直线于点M，连结，过点Q作轴，交直线于点N，连结 ， 直线与直线平行，且直线与x轴成角， 直线与x轴成角， 与直线成角， 点P和点Q关于直线的对称点，， 被直线垂直平分， ， ， ， 当时， ，且， ，即， 同理可得，， 当时，， ，且， ，即， 设直线的解析式为， 把，的坐标代入， 得， 解得， 直线的解析式为， 令， 方程整理得， 当直线与双曲线只有一个交点时，， 即， 解得， ， ， 由对称性可知，当时，即直线经过原点时，点恰在反比例函数的图象上， ， 解得或11（舍去）， 同时， 解得或10（舍去）， ； 根据图形可得． 2．（26-27九年级上·江苏扬州·阶段检测）【概念理解】已知是的函数，当时，函数值；当时，函数值，若（为正整数），则称为该函数的倍区间．如，函数中，当时，，当时，，，所以是函数的3倍区间． (1)若是函数的倍区间，则__________； 【深入探究】 (2)已知是函数的倍区间（为正整数），点、是函数图象上的两点． ①试说明：； ②当，时，__________； 【拓展应用】 (3)已知是函数的3倍区间，在此区间内，该函数的最大值与最小值的差为，求的值． 【答案】(1)2 (2)①根据题意，，，，， ∴， ∴，又i为正整数， ∴， 若，则，这与相矛盾， ∴； ②3； (3)， 【分析】（1）根据题中定义求解即可； （2）①根据题意得到，，，，，进而，根据i为正整数，进行分析可得结论； ②根据题意得到点A、B在第三象限的图象上，分别过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为E、F，由反比例函数的比例系数k的几何意义得到，结合坐标与图形性质求解即可； （3）根据题中定义，结合（2）中结论求得a值；分和两种情况，结合反比例函数的增减性求得函数的最大值和最小值，进而列方程求解即可． 【详解】（1）解：当时，，当时，， ∵， ∴； （2）解：①略； ②当，时，，，即， ∴，，又， ∴点A、B在第三象限的图象上，如图，分别过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为E、F， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴； （3）解：∵是函数的3倍区间， ∴由（2）知，解得， ∴， 当时，反比例函数在内，y随x的增大而减小， ∴函数的最大值为，最小值为， 由题意，得，解得； 当时，反比例函数在内，y随x的增大而增大， ∴函数的最小值为，最大值为， 由题意，得，解得； 综上，，． 3．（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，点在反比例函数的图象上，且在第一象限内点的右侧，连接的面积为5． (1)求反比例函数的解析式和点的坐标； (2)平移直线与反比例函数交于，是否存在这样的点使得是直角？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)探究在轴上是否存在点，使得以点O，C，M，N为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)反比例函数解析式为， (2)存在满足条件的，坐标为 (3)点坐标为或或或 【分析】（1）先求出点m的值，可得点A坐标，进而可得反比例函数解析式，根据对称性可得B坐标；过作轴，设，表示出的长，用面积公式代入计算，可得答案； （2）设，在中，由勾股定理得，得到，求出p的值，即可解答． （3）先求出的长，分情况讨论计算即可． 【详解】（1）解：将代入得， ， 解得， 正比例函数表达式为， ， 反比例函数解析式为， 点、关于原点对称， ； 过作轴，交于点， 设， 直线的解析式为， 当时， ， 解得， ， ， ， 解得或（舍去）， ； （2）解：存在，理由如下： 设， ，，， ，，， 在中，由勾股定理得：， ∴ ， ， 两边同乘，整理得： ， 解得：，． 对应点，舍去． 当时，，即． 存在满足条件的，坐标为． （3）解：， ． 当为菱形的边时，有如下三种情况： ①如图，点在点左侧， 此时轴，且， ； ②如图，此时点在点右侧， 此时轴，且， ； ③如图，、为对角线， 此时点与点关于轴对称，则； 当为菱形的对角线时，有如下一种情况： 过作轴于点， 设，则，， 在△中，， 解得， ， ； 点坐标为或或或． 4．（26-27九年级上·江苏宿迁·阶段检测）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)利用图像，直接写出不等式的解集； (3)在x轴上找一点C，使的周长最小，并求出最小值． 【答案】(1)， (2)或 (3)当点C的坐标为时，的周长有最小值，最小值为． 【分析】（1）把点坐标代入反比例函数解析式中求出反比例函数解析式，再把点B坐标代入反比例函数解析式中求出点B坐标，最后把点A和点B坐标代入一次函数解析式中求出一次函数解析式即可； （2）只需要根据函数图像找到一次函数图像在反比例函数图像下方时自变量的取值范围即可； （3）如图：作点B关于x轴的对称点D，连接，则，由轴对称的性质可得；由两点距离计算公式可得，则可推出的周长，根据，可推出当A、C、D三点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值，最小值为，利用两点距离计算公式可得，则的周长的最小值为；求出直线解析式为，易得． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图像经过， ∴，解得， ∴反比例函数的解析式为； 在中，当时，， ∴， ∵一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，， ∴，解得， ∴一次函数解析式为． （2）解：由函数图像可知，当一次函数的图像在反比例函数的图像下方时自变量的取值范围为或， ∴不等式的解集为或． （3）解；如图：作点B关于x轴的对称点D，连接，则， 由轴对称的性质可得； ∵，， ∴， ∴的周长， ∴当有最小值时，的周长有最小值， ∵， ∴当有最小值时，的周长有最小值， ∵， ∴当A、C、D三点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值，最小值为， ∵，， ∴， ∴的周长的最小值为； 设直线解析式为， 则， 解得：， ∴直线解析式为， 在中，当时，， ∴． 综上，当点C的坐标为时，的周长有最小值，最小值为． 5．（26-27九年级上·安徽合肥·阶段检测）定义：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点关于直线（为常数）对称，则称该函数为“函数”． (1)在下列函数中，是“函数”的有______（填序号）． ①；②；③；④ (2)若关于的函数是函数，且过点，求该函数关系式． (3)若关于的函数是“函数”，且图象与直线相交于两点，函数图象的顶点为，当时，求、的值． 【答案】(1)④ (2) (3) 【分析】（1）由题中“函数”的定义逐个验证即可； （2）由“函数”的定义确定二次函数对称轴为得到，再将点代入函数关系式得到，联立方程组求解即可； （3）由“函数”的定义确定二次函数对称轴为；设点，则点，结合题意，由等腰直角三角形的判定与性质得到，列方程组求解即可得到的值． 【详解】（1）解：①及②的图象是不平行于轴的直线，不是关于直线（为常数）对称的轴对称图形，即图象上不存在不同的两点关于直线（为常数）对称，函数①②不是“函数”； ③的图象是双曲线，关于直线和对称，但不是关于直线（为常数）对称的轴对称图形，所以图象上不存在不同的两点关于直线（为常数）对称，函数③不是“函数”； ④的图象是抛物线，关于轴对称，满足题目定义，函数④是“函数”； （2）解：为函数，即其图象的对称轴为， ，即； 又函数图象过点， ， 联立，解得， 该函数关系式为； （3）解：为“函数”， 其图象的对称轴为； 即， 又函数图象与直线相交于两点， 设点，其中，则点， ， ，函数图象的顶点，如图所示： ， 由抛物线对称性可得，， 是等腰直角三角形，即， ， 联立， 由①得，则，解得或（舍去）， ； 综上所述，． 期中综合拓展练（测试时间：30分钟） 1．（2026·西藏·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式： (2)将一次函数的图象向上平移3个单位长度，求平移后的一次函数图象与反比例函数图象的交点坐标． 【答案】(1)一次函数，反比例函数 (2)， 【分析】（1）将点代入反比例函数可得，再令得到点，然后代入即可得一次函数解析式； （2）根据平移得到平移后的解析式为，再联立求交点即可． 【详解】（1）解：点在反比例函数上， ，解得， 反比例函数， 令，则，解得， 故， 把，代入一次函数， 联立得， 解得， 所以一次函数； （2）一次函数的图象向上平移3个单位长度得， ， 解得或， 则平移后的一次函数图象与反比例函数图象的交点坐标，． 2．（2026·山东淄博·中考真题）如图，反比例函数的图象与直线相交于，两点，点的坐标为． (1)求的值； (2)根据图象，直接写出关于的不等式的解集； (3)将直线向上平移3个单位长度得到直线，直线与反比例函数的图象交于，两点，若是直线上的动点，求的面积． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）根据反比例函数的对称性可知，，观察函数图象即可求解； （3）直线与x轴、y轴分别交于点E、F，连接、，联立直线与反比例函数解析式求出，两点的坐标，再由平移得到，则，即可求解． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数上， ∴，即， ∵在直线上， ∴， 解得； （2）解：∵反比例函数的图象与直线相交于，两点，， ∴A、B关于原点对称， ∴， 观察函数图象，可知：当或时，正比例函数的图象在反比例函数的图象上方， ∴不等式的解集为或； （3）解：∵将直线向上平移3个单位长度得到直线， ∴直线的解析式为， 联立， 解得或， ∴，， 如图，直线与x轴、y轴分别交于点E、F，连接、， 当时，； 当时，； ∴，， ∵将直线向上平移3个单位长度得到直线， ∴， ∴． 3．（2026·江苏常州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像分别与轴、轴相交于点，，与反比例函数的图像相交于点．已知点，的坐标分别为，． (1)求一次函数、反比例函数的表达式． (2)点在反比例函数的图像上，且点与点不重合．作射线，交坐标轴于点，连接，．若，求点的坐标． 【答案】(1)一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为． (2)点的坐标为或． 【分析】（1）将点，的坐标分别代入即可求得，的值，将点的坐标代入即可求得的值，从而可得一次函数与反比例函数的表达式． （2）分射线交轴于点和射线交轴于点两种情况进行讨论，结合，即可得到，两点的横（或纵）坐标关系，进而可求得点的坐标． 【详解】（1）解：将点，的坐标分别代入， 得解得 一次函数的表达式为． 将点的坐标代入，得， 反比例函数的表达式为． （2）解：分情况讨论： ①当射线交轴于点时，如图 ， ， ， 将代入，得， 点的坐标为； ②当射线交轴于点时，如图 ， ， ， 将代入，得， 点的坐标为． 综上所述，点的坐标为或． 4．（2026·黑龙江大庆·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线与反比例函数的图象交于点D及点，与x轴交于点B． (1)求m的值； (2)若直线与反比例函数（）的图象在第三象限交于点C，求点C的坐标及的面积； (3)在第三象限内的反比例函数（）的图象上，是否存在点E，使得为直角三角形，若存在，请直接写出满足条件的所有点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)8 (2)，24 (3)或 【分析】（1）把代入可求出a的值，然后把A的坐标代入求解即可； （2）根据待定系数法求出直线解析式，然后联立直线解析式与反比例函数解析式，求出方程组的解，即可求出点C的坐标，根据求解即可； （3）先判断，然后分，两种情况讨论，然后构建相似三角形求解即可． 【详解】（1）解：把代入，得， 解得， ∴， 把代入，得， 解得； （2）解：设直线的解析式为， 则， 解得， ∴， 由（1）知反比例函数解析式为， 联立方程组， 解得（舍去）或， ∴， 对于，当时，， 解得， ∴， ∴ ； （3）解：联立方程组， 解得（舍去）或， ∴， 设， 连接 并延长至点F，如图， 则，， ∴，即， 又， ∴， 当时，如图，过A作轴，过E作于M，过D作于N， 则，，，， ∵，， ∴， ∴，即， 解得或（舍去）， ∴， ∴； 当时，如图，过D作轴，过E作于M，过A作于N， 则，，，， ∵，， ∴， ∴，即， 解得或（舍去）， ∴， ∴； 综上，当点E的坐标为或时，为直角三角形． 5．（2026·江苏无锡·中考真题）如图，点在反比例函数的图象上，过分别作轴、轴的平行线，与反比例函数的图象相交于点，，过作轴的平行线，与反比例函数的图象相交于点（其中，为常数，且）． (1)若点，，则______． (2)若点的横坐标为2，且，求与之间的数量关系． (3)延长，相交于点，当点在函数图象上运动时，的面积是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)5 (2) (3)当点在函数图象上运动时，的面积为定值，定值是 【分析】（1）根据轴，结合点坐标，可设，再根据的长列出方程，解出即可得的坐标，再把的坐标代入，即可解得的值． （2）把点的横坐标代入，即可得点的坐标，再根据轴，轴，轴，即可得点与点的纵坐标相等，点与点的横坐标相等，点与点的纵坐标相等，进一步表示出点、、的坐标，即可求出、、，最后根据得，代入数据计算即可得的值． （3）设点的坐标为，根据平行线的坐标特点，即可求出点、、的坐标，进一步求出、、，可得，根据梯形面积公式求出，根据题目得，根据平行线性质得，，可证明，根据相似三角形性质得，再根据，即可得，代入数据解出即可得的面积为定值，定值是． 【详解】（1）解：∵轴，， ∴设 ， ∵， ∴，解得：， ∴， ∵在的图象上， ∴，解得：， ∴的值为5． （2）解：点的横坐标为2，且点在反比例函数的图象上， ∴点的坐标为， ∵轴，轴， ∴点与点的纵坐标相等，点与点的横坐标相等， ∴点的纵坐标为，点的横坐标为2， ∵点、在的图象上， ∴即：，， ∴，， ∵轴， ∴点与点的纵坐标相等， ∴点的纵坐标为， ∵点在的图象上， ∴，解得：， ∴， ∴，，， , ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：如图1， 设点的坐标为， ∵轴，轴， ∴点与点的纵坐标相等，点与点的横坐标相等， ∴点的纵坐标为，点的横坐标为， ∵点、在的图象上， ∴即：，， ∴，， ∵轴， ∴点与点的纵坐标相等， ∴点的纵坐标为， ∵点在的图象上， ∴，解得：， ∴， ∴，，， ∴，， 根据题目条件得：， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，解得：， ∴当点在函数图象上运动时，的面积为定值，定值是． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $