学易金卷：高二数学上学期期中模拟卷·拔高卷（广东专用，范围：人教A版选择性必修第一册第1章～第3章3.1）

学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2026-2027学年高二数学上学期期中模拟卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $■■■■ ■■■■ 2026-2027学年高二数学上学期期中模拟卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 n 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 巢 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共40分） 1[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 2[A]B][C][D] 6[A][B][C]D] 3[A][B][C][D] 7[A][B][C[D] 双阙 4[A][B][C][D] 8[A][B][CI[D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分， 有选错的得0 分，共18分) 9[A][B][C][D] 10[A]B][C][D] 11[A][B][C][D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12 妇 13 14 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) D 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) D E D 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页） 2026-2027学年高二数学上学期期中模拟卷 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版选择性必修第一册第一章~第三章3.1。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【详解】对于A，因为，所以，，共面； 对于B，因为，所以，，共面； 对于C，因为，所以，，共面； 对于D，假设三个向量共面，则存在实数，使得成立， 由空间向量基本定理得：， 方程组无解，所以，，不共面. 2．（常考点）若直线，的倾斜角分别为，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】依题意，直线的斜率， 所以直线的斜率. 3．（常考点）已知点是椭圆上的一个动点，，则的最大值为（    ） A．4 B． C． D．8 【答案】D 【详解】，，， ， 设右焦点为，左焦点， ，， 当点共线时取等号， ，，， ，的最大值为. 故选：D. 4．在直三棱柱中，分别是棱的中点，且.若，则与所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在直三棱柱中，平面，平面， 所以且， 所以如图，以为顶点建立空间直角坐标系， 设， 所以， 所以， 所以， 设与所成角为，则. 5．已知直线：.当点到的距离最大时，（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】将直线的方程整理为关于参数的形式： 令，解得，即直线恒过定点， 当直线时，点到直线的距离最大，最大值为， 因为直线的斜率为，直线的斜率为（）， 所以，由两直线垂直的斜率关系得：，化简解得，验证，符合条件. 所以，. 6．已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在上，记的外接圆半径为，内切圆半径为，若，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设，，则① ， 在中，由及余弦定理可得，即② ， ①② 得，所以， 又， 又，因为，所以， 解得，故椭圆的离心率为. 7．已知平面上，（）均与圆相交，若相交的四个点可以构成一个正方形，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由圆的方程，配方得，因此圆心为，半径. 计算平行直线距离：将直线整理为，， 由平行线距离公式得两直线距离. 因为四个交点构成正方形，故直线截圆所得弦长等于两平行线距离， 因两直线关于圆心对称，所以圆心到每条直线的距离.如图： 代入弦长公式计算：弦长，代入，，， 得，两边平方得，解得，即. 再将代入，得. 8．如图，在四棱锥 中，底面 是边长为4 的正方形，， ，则该四棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设正方形 的中心为 ． 以 为坐标原点，以平行于 ， 的方向分别为 轴、 轴正方向， 以垂直于平面 且向上的方向为 轴正方向，建立空间直角坐标系 ． 则，设 ，其中 ． 由 ，得，所以 ． 又因为 ，，所以， 两式相减，得 ，所以 ．代入上式，得 ． 因为 ，所以 ，故 设该四棱锥外接球的球心为 ，因为 ， 所以点在过正方形中心 且垂直于平面 的直线上． 设由 ，得，解得 所以外接球半径满足， 因此外接球的表面积为 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若为平面的法向量，为平面的法向量，为直线的方向向量，则（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则或 【答案】ACD 【详解】对于A，由题意可知，则，存在实数，使得， 所以，解得，选项A正确； 对于B，若，则，存在实数，使得， 所以，解得，选项B错误； 对于C，若，则， 所以，选项C正确； 对于D，若，则， 所以，所以或者，选项D正确. 10．（新背景）数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.在平面直角坐标系中，曲线：就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，下列说法正确的有（    ） A．曲线围成的图形有条对称轴 B．曲线围成的图形的周长是 C．曲线上的任意两点间的距离不超过 D．若是曲线上任意一点，的最小值是 【答案】ACD 【详解】当，时，曲线的方程可化为， 当，时，曲线的方程可化为， 当，时，曲线的方程可化为， 当，时，曲线的方程可化为， 所以曲线的图象如图所示， 对于选项A，由图可知曲线围成的图形有条对称轴， 对称轴方程分别为，故A正确； 对于选项B，曲线由4个半圆组成，圆的半径为，其周长为，故B错误； 对于选项C，由图可知曲线上任意两点间的最大距离为，故C正确； 对于选项D，到直线的距离， 点到直线的距离为， 由圆的性质得曲线上一点到直线的最小距离为， 故的最小值为，故D正确. 11．在直角坐标系中，点，，为动点，，记的轨迹为，为的上顶点，则（    ） A．的方程为 B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对于A，设，易知，，则，. 易知，当点在轴上方时，即为直线的斜率，即为直线的倾斜角补角的正切， 此时，， 所以， 整理得，即的方程为. 同理可得，当点在轴下方时，的方程为. 当点在轴上时，不满足. 综上，的方程为，即，A正确. 对于B，由选项A可知，点，所以，B正确. 对于C，当点为短轴顶点时，最大，最小， 此时，则，. 在中，. 所以，当点运动时，，C错误. 对于D，由选项A可知，（且），则， 所以， 而且，所以，即，D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．方程所表示的圆的最大面积为________. 【答案】 【详解】方程表示圆，化为圆的标准方程得， 圆的半径，由 ， 当时，半径的最大值. 所以圆的最大面积为. 13．一束光线从点射出，沿倾斜角150°的直线射到x轴上，经x轴反射后，反射线所在的直线方程为________________． 【答案】 【详解】由题意知，入射光线所在直线的斜率为， 所以入射光线方程，整理得， 令得，所以入射光线与x轴的交点为， 由对称性知，反射光线的斜率为，所以反射光线的方程为， 即, 故答案为：. 14．在长方体中，，点为侧面内的一点，且点到点的距离与到平面的距离相等，点满足，则的最小值为__________. 【答案】 【详解】以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，. 由知在线段上，且，所以，于是. 因为为侧面内的一点，所以设，其中，. 点到点的距离为，又平面即为平面，所以点到平面的距离为. 由题意得，因为，两边平方并整理得，即. 于是，所以. 代入，得. 因为，所以当时，取得最小值，此时，满足. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．设直线的方程为. (1)若直线不经过第二象限，求实数的取值范围； (2)若直线与轴、轴分别交于点，，且，求（为坐标原点）面积的最小值及此时直线的方程. 【详解】（1）因为：不经过第二象限， 则，解得， 所以的取值范围为. 4分 （2）因为直线的方程为， 令，得；令，得； 7分 且，则，， 9分 可得 11分 ， 13分 当且仅当，即时，等号成立， 所以面积的最小值为2，此时直线的方程为. 15分 16．在四棱锥中，底面为等腰梯形，，，，为等边三角形，且平面平面． (1)证明：平面； (2)求二面角的余弦值． 【详解】(1)连接，过作于， 在等腰梯形中，，，，， 因为故， 2分 又， 在直角三角形中，， 在中， 且，故 4分 取的中点，连接，因为为等边三角形，故， 又平面平面，交线为，故平面，则， 5分 因为，，且，又平面， 故平面. 6分 （2）以中点为原点，为轴，取中点，由且，可知，以为轴，为轴建立空间直角坐标系， 又，则 8分 又为等边三角形，边长为，故则 平面即为底面，其法向量为 平面中， 10分 设平面的法向量为，则， 取，得 12分 设二面角的大小为，则 故二面角的余弦值为. 15分 17．设圆，直线，点为上的一个动点．过点作圆的两条切线，切点分别为． (1)当最大时，求点的坐标； (2)求证：直线恒过定点； (3)当最小时，求直线的方程． 【详解】（1）由直线的斜率为， 当时，最大， 所以直线的方程为：， 1分 所以，解得， 所以； 3分 （2）设点， 由，所以点在以为直径的圆上， 所以的中点为，半径为， 所以圆的方程为， 化简整理得：， 5分 由，两式相减得：， 即直线的方程为：， 7分 又，令，即，解得， 所以直线恒过定点为； 9分 （3）由题意得：，， 所以， 又， 所以当时，取最小值，即取最小值， 12分 由（1）得当时，点， 由（2）得点，此时直线的方程为：， 所以，代入得， 所以直线的方程为. 15分 18．如图，在四棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，，，，，为的中点． (1)证明：平面； (2)求平面与平面的夹角； (3)棱上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的长；若不存在，说明理由． 【详解】(1)证明：取AD中点，连接，. 是以为斜边的等腰直角三角形，，，. 1分 ，，，四边形是矩形，. ，，. 2分 ，、底面，故底面. 3分 以O为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系. ，，，，，，为中点：. ，，. 4分 设平面法向量，则 ， 令，则，代入得，. 6分 ， ，又平面，故平面. 7分 （2）， 设平面法向量，则 ，，取，，. 8分 ，， 设平面法向量， ，，取，，. 9分 . 10分     平面与平面的夹角为. 11分 （3），设，，. 平面法向量，取平面内点，向量. 点到平面距离： ， 13分 令， 解得，所以存在点，使得点到平面的距离是. 15分 此时点坐标为. ，. 17分 19．（17分）已知椭圆的右焦点为，且经过点． (1)求椭圆的方程． (2)过的直线（不与轴重合）交于、两点，分别过、作的切线，两切线交于点，记的中点为，为坐标原点． （i）证明：点在定直线上． （ⅱ）求的取值范围． 【详解】（1）由题意知，， 1分 将点代入椭圆方程得，解得， 所以椭圆的方程为． 3分 （2）（ⅰ）易知直线不与轴重合，设直线的方程为，设点、， 联立得， 4分 则，由韦达定理得 6分 设过点的切线为， 联立，得， 8分 令上式中， 即，即， 即，即，即， 解得，故切线的方程可化为， 10分 同理可得过点的切线的方程为， 联立，化简得， 两式相减得，即，所以点在定直线上． 13分 （ii）将代入直线的方程，得，所以， 再由，及得，中点， 15分 因为，所以三点共线． 所以， 因为，所以，所以． 17分 / 学科网（北京）股份有限公司 $西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2026-2027学年高二数学上学期期中模拟卷 参考答案 第一部分（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共0分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 6 P D D C B D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部 选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 10 11 ACD ACD ABD 第二部分（非选择题共2分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 3 11 12.8元 13.ys 3-2 14.2 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15 【详解】(1)因为l:y=-(a+)x+a+2不经过第二象限， -(a+1)≥0 则a+2≤0，解得a≤-2， 所以“的取值范围为 -0,-2] 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 4分 (2)因为直线l的方程为y=-(a+1)x+a+2」 令X=0,得y=a十2：令y=0,得X=a十1：……7分 119 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 且a≥0，则 -2-8号.o1-g+2-a+2 9分 可得 11分 a5+2-2 .13分 当且仅当a+1= a+1,即a=0时，等号成立， 所以△MON面积的最小值为2，此时直线的方程为y=-X+215分 16. 【详解】(I)连接BD,过D作DF⊥AB于F, 在等腰梯形ABCD中，ABIICD,AB=4,CD=2,AD=BC=2, 因为AF=2=。兰=1，故DE=AD2-4F2=22-2=5习 2 2 2分 又BF=AB-AF=4-1=3, 在直角三角形BDF中，BD=VBF2+DF=V32+(5=2=25, 在△MBD中， AD=2,BD=23,AB=4, 且AD2+BD2=4+12=16=AB2,故AD⊥BD, 4分 取AD的中点O,连接PO,因为aPAD为等边三角形，故PO⊥AD 又平面PAD⊥平面ABCD,交线为AD,故PO⊥平面ABCD,则PO⊥BD, .5分 因为BD⊥AD,BD⊥PO,且AD∩PO=O,又AD,POc平面PAD, 故BD⊥平面PAD .6分 (2)以AD中点O为原点，OA为x轴，取AB中点E,由OEIIBD且BD LAD,可知OE⊥AD,以OE 为y轴，OP为z轴建立空间直角坐标系， 又AD=2,则10,0)D(-10,0B(-l,2,0吵，C(-2,5,0, .8分 219 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 又aP1D为等边三角形，边长为2，故P0=V5,则P0,0) 平面DBC即为底面ABCD,其法向量为 =(0,0,1) 平面PBC中， BC=C-B=(-1,-5,0,BP=P-B=(,-2N5,N⑤， 10分 [元.BC=-x-V3y=0 设平面P8C的法向量为元=(x,y,z)则i-BP=x-23y+V3z=0, 取y=1,得7=(5,13， 12分 的大小为，则cos6= nk 3 3313 设二面角 P-BC-D 0 V3+1+9.11313 3V13 故二面角P-BC-D的余弦值为13 15分 17. :2x+y+5=0 =-2 【详解】(1)由直线 的斜率为 当OP⊥I时，∠APB最大， 1 所以直线0p的方程为：y=2X,1分 1 y=x 所以 2 ,解得x=-2 2x+y+5=0 y=-1 所以P(2) 3分 319 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 A 2x+y+5=0 P(a,-2a-5) (2)设点 由OA上AP,OB⊥BP,所以点A,B在以OP为直径的圆上， 所以p的中点台2）半径%R-9-分+e+可。 圆的在-a-a门 化简整理得： x2+y2-ax+(2a+5)y=0 5分 [x2+y2-ax+(2a+5)y=0 由x2+y2=4 ,两式相减得：axr-(2a+5)y-4=0, 即直线1B的方程为：r-(2a+5)y-4=0 7分 、8 5 又 令 ,即「x-2y=0,解得 4 a(x-2y)-(5y+4)=0x-2y=0 5y+4=0 y=-5 所以直线AB恒过定点为5》 9分 (3)由题意得： AO=2PA⊥AO 所以Poh=45o=4xPA40=4P4。 又PA=VPo-4. 419 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 所以当OP1I时， PA取最小值，即 n PO4B 取最小值，12分 由①)得当0P1'时，点P-2,-) 由(2得点P(a-2a-5列) 此时直线4B的方程为：-(2a+5y-4=0, 所以a=-之，f代入瓜-(2a+5y-4=0得2x+y+4=0. 所以直线AB的方程为2x+y+4=0… .15分 18. 【详解】(I)证明：取AD中点O,连接PO,OC. △PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，POLAD,P0=L,OD=OA=11分 BC/1D,BC=1,CDL4D,四边形OBCD是矩形，OC=VOD+CD=5 PC=V3P02+0C2=1+2=3=PC2.P0⊥OC 2分 OC∩AD=O,OC、ADc底面ABCD,故POL底面ABCD… 3分 以0为原点， 历为”轴，0D为'轴，O所为'轴建立空间直角标系 0a0C0L020L0,400,BL00.P0,E为PD中点，E022 C正-(12》.m=01-少.历=0- .4分 设平面PMB法向量 元1=(x,y,z) ,则 元PA=-y-z=0 元·PB=x-z=0 令”，则2=-，代入得1=03=-，元=，-) 6分 压a=((+(-=1号}0， 519 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 C匠1元，又CE之平面PAB,放CE平面P1B 7分 (2) PB=(1,0,-1)BC=(0,-1,0) 设平面P8C法向量瓦=(，列，则 n2·PB=x-z=0 n,·BC=-y=0,y=0,取x=1'z=1元=(4,01)… 8分 PC=1,l,-1)CD=(-1,0,0) 设平面PCD法向量元=(：少)】 元·PC=x+y-z=0 元3·CD=-x=0 ’X=0’取y=12=1'元=(0,1，）9分 cos0= 万01+1-0+11_1 万，Hi吲1+0+1V0+1+1V2V22…… 10分 平面PBC与平面PCD的夹角为60°11分 (3) D=0.l-D,设P0=P历：ie0】,00l-2》 平面PMB法向量风=(L-》,取平面内点P(001）向量P0=@,-2》 点Q到平面PAB距离： d=P元l_10++-122元 1元1 √1+1+1√3V3,… .13分 2_4V15 令545， 415 解得150,1。所以存在点Q,使得点到平面P4B的距离是4行5分 619 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 Q0 25125 此时0点坐标为气(15,1-15。 1PD0+P+(-2,P0=1P0-252.2Mo 15 15 17分 D 19 【详解】(1)由题意知，C2=2-b2=1,.1分 将点)代入桶国方程得疗+衣引，解得。=4=3 19 x2,y2 所以椭圆c的方程为4+3 =1 3分 (②)(1)易知直线P吧不与*轴重合，设直线P的方程为x=m+1,设点P(,)、(,） x=my+l 联立3x2+4y2=12得(3m2+4)y2+6my-9=0 .4分 -61m y+y2= 3m2+4 则 由韦达定理得 -9 6分 △'=36m2+36(3m2+4)=144(m2+1>0 4y=3m2+4 设过点P的切线为”=(x-x)+y [y=k(x-x)+y 联立3x2+4y2=12,得(3+42）x2+8k(y-)x+4(y--12=0,…8分 719 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 令上式中4=64(0-c-4(42+3儿40-广-12]=0」 即4秋+3-(kx-2ay+)=0,即4-)k2+2海y+3-=0 +2y+3-0,即16yX+24+9g=0,即(4k+3=0, 即3 4 k=- 3x1 +=1 解得4y,故切线PT的方程可化为4+3 10分 xx+以=1」 同理可得过Q点的切线Qr的方程为4+3 [3xx+4yy=12 3(my+1)y2x+4yy2y=12y2 联立3x2x+4y2y=12,化简得3(my2+1)yx+4yy2y=12y, 两式相减得3(0-为)r=12(-）,即=4，所以点T在定直线=4上.13分 4代入线PT方，得广=3 ,所以T(4,-3m). -6m 再由+为3m+4,及x=m+1得，PQ中点 4-3m） （3m2+4'3m2+4, 15分 因为人or=w=-3m 4,所以O,M,T三点共线. 3m 所以OMo-+ x4=16+9m 3m2+4 =3+4 3m2+4, 4 因为m2≥0，所以3m+4∈(0,1，所以oM-oT∈3,4. 17分 819 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 919………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年高二数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版选择性必修第一册第一章~第三章3.1。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．（常考点）若直线，的倾斜角分别为，，则（   ） A． B． C． D． 3．（常考点）已知点是椭圆上的一个动点，，则的最大值为（    ） A．4 B． C． D．8 4．在直三棱柱中，分别是棱的中点，且.若，则与所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 5．已知直线：.当点到的距离最大时，（    ） A． B． C． D． 6．已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在上，记的外接圆半径为，内切圆半径为，若，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 7．已知平面上，（）均与圆相交，若相交的四个点可以构成一个正方形，则（    ） A． B． C． D． 8．如图，在四棱锥 中，底面 是边长为4 的正方形，， ，则该四棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若为平面的法向量，为平面的法向量，为直线的方向向量，则（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则或 10．（新背景）数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.在平面直角坐标系中，曲线：就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，下列说法正确的有（    ） A．曲线围成的图形有条对称轴 B．曲线围成的图形的周长是 C．曲线上的任意两点间的距离不超过 D．若是曲线上任意一点，的最小值是 11．在直角坐标系中，点，，为动点，，记的轨迹为，为的上顶点，则（    ） A．的方程为 B． C． D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．方程所表示的圆的最大面积为________. 13．一束光线从点射出，沿倾斜角150°的直线射到x轴上，经x轴反射后，反射线所在的直线方程为________________． 14．在长方体中，，点为侧面内的一点，且点到点的距离与到平面的距离相等，点满足，则的最小值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）设直线的方程为. (1)若直线不经过第二象限，求实数的取值范围； (2)若直线与轴、轴分别交于点，，且，求（为坐标原点）面积的最小值及此时直线的方程. 16．（15分）在四棱锥中，底面为等腰梯形，，，，为等边三角形，且平面平面． (1)证明：平面；(2)求二面角的余弦值． 17．（15分）设圆，直线，点为上的一个动点．过点作圆的两条切线，切点分别为． (1)当最大时，求点的坐标； (2)求证：直线恒过定点； (3)当最小时，求直线的方程． 18．（17分）如图，在四棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，，，，，为的中点． (1)证明：平面； (2)求平面与平面的夹角； (3)棱上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的长；若不存在，说明理由． 19．（17分）已知椭圆的右焦点为，且经过点． (1)求椭圆的方程． (2)过的直线（不与轴重合）交于、两点，分别过、作的切线，两切线交于点，记的中点为，为坐标原点． （i）证明：点在定直线上．（ⅱ）求的取值范围． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版选择性必修第一册第一章~第三章3.1。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．（常考点）若直线，的倾斜角分别为，，则（   ） A． B． C． D． 3．（常考点）已知点是椭圆上的一个动点，，则的最大值为（    ） A．4 B． C． D．8 4．在直三棱柱中，分别是棱的中点，且.若，则与所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 5．已知直线：.当点到的距离最大时，（    ） A． B． C． D． 6．已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在上，记的外接圆半径为，内切圆半径为，若，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 7．已知平面上，（）均与圆相交，若相交的四个点可以构成一个正方形，则（    ） A． B． C． D． 8．如图，在四棱锥 中，底面 是边长为4 的正方形，， ，则该四棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若为平面的法向量，为平面的法向量，为直线的方向向量，则（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则或 10．（新背景）数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.在平面直角坐标系中，曲线：就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，下列说法正确的有（    ） A．曲线围成的图形有条对称轴 B．曲线围成的图形的周长是 C．曲线上的任意两点间的距离不超过 D．若是曲线上任意一点，的最小值是 11．在直角坐标系中，点，，为动点，，记的轨迹为，为的上顶点，则（    ） A．的方程为 B． C． D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．方程所表示的圆的最大面积为________. 13．一束光线从点射出，沿倾斜角150°的直线射到x轴上，经x轴反射后，反射线所在的直线方程为________________． 14．在长方体中，，点为侧面内的一点，且点到点的距离与到平面的距离相等，点满足，则的最小值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）设直线的方程为. (1)若直线不经过第二象限，求实数的取值范围； (2)若直线与轴、轴分别交于点，，且，求（为坐标原点）面积的最小值及此时直线的方程. 16．（15分）在四棱锥中，底面为等腰梯形，，，，为等边三角形，且平面平面． (1)证明：平面；(2)求二面角的余弦值． 17．（15分）设圆，直线，点为上的一个动点．过点作圆的两条切线，切点分别为． (1)当最大时，求点的坐标； (2)求证：直线恒过定点； (3)当最小时，求直线的方程． 18．（17分）如图，在四棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，，，，，为的中点． (1)证明：平面； (2)求平面与平面的夹角； (3)棱上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的长；若不存在，说明理由． 19．（17分）已知椭圆的右焦点为，且经过点． (1)求椭圆的方程． (2)过的直线（不与轴重合）交于、两点，分别过、作的切线，两切线交于点，记的中点为，为坐标原点． （i）证明：点在定直线上．（ⅱ）求的取值范围． / 学科网（北京）股份有限公司 $