专题04 有理数的应用（期中专项训练·冲刺版）七年级数学上学期新教材人教版

专题04 有理数的应用 题型1 正负数的应用 题型5 有理数四则混合运算的实际应用 题型2 绝对值的应用 题型6 乘方的应用 题型3 有理数加减法实际应用 题型7 程序流程图 题型4有理数乘除法的实际应用 题型8 算“24”点 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 正负数的应用（共4小题） 1．（26-27七年级上·全国·课后作业）体育课上全班男生进行了百米测试，下面是第一小组8名男生的成绩（单位：）：12.9，14.7，13.9，13.5，13.6，13.9，14.2，14.5． (1)这个小组8名男生的平均成绩是多少？ (2)以平均成绩为标准，用正数表示超出的部分，用负数表示不足的部分，他们的成绩分别应记为多少？ 【答案】(1) (2)以平均成绩为标准，他们的成绩应分别记为，，，，，，， 【详解】（1）解：这个小组8名男生的平均成绩是 ． 答：这个小组8名男生的平均成绩是． （2）略 2．（25-26七年级上·全国·期末）如图，一只甲虫在的方格（每小格边长为）上沿着网格线运动，它从处出发去看望，，处的甲虫，规定：向上、向右走为正，向下、向左走为负．例如从到记为：，从到记为：，其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向． (1)图中 ， ， ； (2)若这只甲虫从处去处的行走路线依次为，，，，请在图中标出的位置． 【答案】(1)，， (2)点位置如图所示： 【分析】本题考查了正数、负数的意义，掌握“正负数可以用来表示相反意义的量”是解题的关键． （1）从，先向右走格，对应，再向上走格，对应；从开始先向左走格，再向下走格，到达处； （2）从开始先向右走格，向上走格，接着向右走格，向下走格，之后向左走格，向上走格，最后向左走格，向下走格，即可明确的位置． 【详解】（1）解：因为向上、向右走为正，向下、向左走为负， 所以到记为，到记为； （2）略 3．（25-26七年级上·广东深圳·期中）一种黄油手撕面包包装袋上有这样的标记：，妈妈买回6袋面包依次进行称重，和标准质量比较分别记录为：．这6袋面包中有几袋是合格的． 【答案】这6袋面包中有4袋是合格的 【分析】本题考查了正负数的实际应用，熟练掌握相反意义的量，有理数大小比较，是解题的关键．根据的意思是质量都是有浮动的，不都正好是．所以它的质量允许有的上下浮动，只要不超范围都是合格的． 【详解】解：指面包质量比多或少都是合格的． 其中指的是比标准质量多，是合格的； 指比标准质量少，是不合格的； 指正好等于标准质量，是合格的； 指比标准质量少，是合格的； 指比标准质量多，是合格的； 指比标准质量多，是不合格的． ∴这6袋面包中有4袋是合格的． 4．（25-26七年级上·湖北武汉·阶段检测）一个病人每天要测量5次体温，该病人某一天5次所测体温变化情况（与前一次的温度比较，升高为正，降低为负，前一天最后一次测量的体温是）如表所示： 时间 体温变化/℃ 实际体温/℃ _________ _________ _________ _________ _________ (1)补全上面的表格； (2)计算该病人这一天的平均体温． 【答案】(1) 39.1；39.5；38.5；39；38.9 (2) 【分析】本题考查了有理数的加减、平均数，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据每天的体温变化计算即可； （2）根据平均数的计算方法解题即可． 【详解】（1）解：，，，，； 表格如下： 时间 体温变化 实际体温 _________ _________ _________ _________ _________ （2）解：平均体温为：． 题型二 绝对值的应用（共4小题） 5．（26-27七年级上·广西南宁·阶段检测）如图，检测5个排球，其中质量超过标准的克数记为正数，不足标准的克数记为负数．则质量最接近标准的球是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图形，找出差值绝对值最小的球即可，差值的绝对值越小和标准值越接近，反之越远． 【详解】解：， ∴质量最接近标准的球是． 6．（26-27七年级上·甘肃张掖·阶段检测）洛川苹果是黄土高原孕育出的知名苹果品类．某果商随机抽取了四箱苹果进行质量监测，超过标准质量的千克数记作正数，不足标准质量的千克数记作负数，其中最接近标准质量的是（     ） A．1kg B． C． D． 【答案】D 【分析】最接近标准质量即所记数值的绝对值最小，比较各选项数的绝对值即可． 【详解】解：，，，， ∵， ∴记录为的苹果最接近标准质量． 7．（25-26六年级上·山东泰安·阶段检测）杭州亚运会期间，某出租车司机免费接送志愿者．某日从公司出发，在东西方向的人民路上连续接送5批客人，行驶路程记录如下（规定向东为正，向西为负，单位：）： 第1批 第2批 第3批 第4批 第5批 (1)以公司为原点，用1个单位长度表示，在数轴上表示出第1批、第2批、第3批、第4批、第5批客人下车的位置（用A/B/C/D/E来表示下车位置）． (2)若该出租车每千米耗油，那么在这一过程中共耗油多少升？ 【答案】(1)如图所示： (2) 【分析】（1）公司作为原点0，依次累加行驶路程算出每一批客人下车点对应的数值，分别标记A、B、C、D、E，画数轴描点； （2）耗油量只看总行驶路程，把每次行驶的绝对值相加得到总千米数，再乘每千米耗油量即可得到总油耗． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 故第1至5批客人下车位置依次对应数轴上的数、、、、，分别标注为A、B、C、D、E，数轴略； （2）解：（）， 答：在这一过程中共耗油． 8．（26-27七年级上·内蒙古乌兰察布·阶段检测）某校篮球队选拔队员，按规定男队员的标准身高为，高于标准身高的部分记为正，低于标准身高的部分记为负．现有8名候选队员，身高记录如下表所示． 选手编号 1 2 3 4 5 6 7 8 身高偏差（） (1)表中所有队员，最接近标准身高的是 号选手；这名队员的身高是 ． (2)选拔队员时，身高在范围内为合格，则有 名候选队员合格；若将标准放宽为，则有 名候选队员合格． (3)表中所有队员，身高最高的队员和身高最低的队员相差多少？ 【答案】(1)6；179 (2)4；7 (3) 【分析】（1）计算每个身高记录的绝对值，绝对值最小的就是最接近标准身高，再用标准身高加上这个记录算出实际身高． （2）先算出每位选手实际身高，再对照合格身高范围数出符合条件的人数． （3）找到最高、最低的实际身高，用最高身高减去最低身高，得到两者的身高差． 【详解】（1）解：观察每个数的绝对值： ， 因为最小，对应6号选手， 最接近标准身高的是6号选手，这名队员的身高是． （2）解：由表格可知： 1号选手的实际身高； 2号选手的实际身高； 3号选手的实际身高； 4号选手的实际身高； 5号选手的实际身高； 6号选手的实际身高； 7号选手的实际身高； 8号选手的实际身高． 选拔队员时，身高在范围内为合格，则有4名候选队员合格， 若将标准放宽为，则有7名候选队员合格． （3）解：由表可知，身高最高的队员是8号，记录为， 身高最低的队员是3号，记录为， 两者相差：， 答：身高最高的队员和身高最低的队员相差． 题型三 有理数加减法实际应用（共3小题） 9．（26-27七年级上·福建泉州·阶段检测）足球比赛中，根据场上攻守形势，守门员会在门前来回跑动，如果以球门线为基准，向前跑记作正数，返回则记作负数，一段时间内，某守门员的跑动情况记录如下（单位：m）：，，，，，，，．（假定开始计时时，守门员正好在球门线上） (1)守门员最后是否回到了球门线上？ (2)守门员离开球门线的最远距离是多少米？ (3)如果守门员离开球门线的距离超过（不包括），对方球员挑射极可能造成破门，则在这一时间段内，对方球员有几次挑射破门的机会？请简述理由． 【答案】(1)守门员最后回到了球门线上 (2) (3)解：次，理由如下： 由每次跑动后的位置计算可知，守门员离开球门线的距离大于（不包括）的情况有、、、，共次， ∴对方球员有次挑射破门的机会． 【分析】（1）计算所有跑动记录的代数和，由和是否为0判断是否回到球门线; （2）依次计算每次跑动后的位置，比较位置绝对值的大小得到最远距离; （3）统计每次跑动后离开球门线距离大于的次数． 【详解】（1）解：计算所有跑动数据的代数和：， ∵开始计时时守门员在球门线上，最终位置的代数和为， ∴守门员最后回到了球门线上． （2）解：依次计算每次跑动后守门员的位置（以球门线为基准，单位：）： 第1次后：，距离球门线； 第2次后：，距离球门线； 第3次后：，距离球门线； 第4次后：，距离球门线； 第5次后：，距离球门线； 第6次后：，距离球门线； 第7次后：，距离球门线； 第8次后：，距离球门线； ∵， ∴守门员离开球门线的最远距离为． （3）解：略． 10．（26-27七年级上·云南临沧·阶段检测）临沧市某超市对一批袋装茶叶进行抽检，每袋标准质量为克．超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数．随机抽取袋茶叶，称重结果如下： 克，克，克，克，克，克 (1)这袋茶叶中，最重的一袋和最轻的一袋各是多少克？ (2)这袋茶叶的总质量比标准总质量多（或少）多少克？ 【答案】(1)最重的一袋是克，最轻的一袋是克 (2)这袋茶叶的总质量比标准总质量多克 【分析】（1）根据正偏差最大的是最重的一袋，偏差最小的负数的是最轻的一袋，计算即可得到答案． （2）计算出总质量偏差，即所有正负偏差的和，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵标准质量是克，最重的为偏差最大的正数，最轻的为偏差最小的负数， ∴最重：（克）， 最轻：（克）； 答：最重的一袋是克，最轻的一袋是克； （2）解：总质量偏差：（克），即多克， 答：这袋茶叶的总质量比标准总质量多克． 11．（26-27七年级上·广东汕头·阶段检测）练江某水文站记录了一周内水位的变化情况（以上周末水位为基准，上升为正，下降为负，单位：： 星期 一 二 三 四 五 六 日 水位变化 (1)这一周内，哪一天的水位最高？哪一天最低？最高水位与最低水位相差多少米？ (2)与上周末相比，本周末水位是上升了还是下降了？变化了多少米？ (3)已知上周末水位为（低于警戒水位），求本周末的水位． 【答案】(1)周五的水位最高，周三的水位最低，相差 (2)本周末水位是上升了，变化为 (3) 【分析】（1）根据表格中的水位变化情况求出这七天的水位即可得到答案； （2）根据（1）计算的结果即可得到答案； （3）用上周末的水位加上本周总的变化情况即可得到答案． 【详解】（1）解：周一水位：， 周二水位：， 周三水位：， 周四水位：， 周五水位：， 周六水位：， 周日水位：， ∴周五的水位最高，周三的水位最低， ， ∴最高水位与最低水位相差； （2）解：由（1）可知，与上周末相比，本周末水位是上升了，变化为； （3）解：， 答：本周末的水位为． 题型四 有理数乘除法的实际应用（共4小题） 12．（26-27七年级上·陕西咸阳·阶段检测）一建材公司主营水泥、砂石等建筑材料，其水泥仓库需每日统计原料进出量以便管理库存，并核算运输成本．某日仓库根据运输单据整理出当日水泥进出记录（运进用正数表示，运出用负数表示）如下（单位：吨）： ． (1)若经过这一日，仓库管理员结算时发现仓库里还有50吨水泥，则一天前仓库里存有水泥多少吨？ (2)运输公司提供如下运费结算方案：运进水泥，每吨收取运费5元，运出水泥因为需要额外增加装卸和防护措施费用，每吨收取运费8元，则这一日该建材公司需要付多少元的运费？ 【答案】(1)一天前仓库里存有水泥65吨 (2)这一日该建材公司需要付1160元的运费 【分析】（1）用50减去所有记录的数据之和，再根据结果可判断； （2）将运进记录数据的绝对值之和乘以运进每吨收取运费加上运出记录数据的绝对值之和乘以运出每吨收取运费即可得到答案． 【详解】（1）解：（吨）． 答：一天前仓库里存有水泥65吨． （2）解： （元）． 答：这一日该建材公司需要付1160元的运费． 13．（26-27七年级上·全国·单元测试）某班抽查了10名同学的期末成绩，以80分为基准，超出的分数记为正数，不足的分数记为负数，记录的结果如下： ，，，，，，，，0，． (1)这10名同学的期末成绩中，最高分是多少？最低分是多少？ (2)这10名同学中，期末成绩低于80分的同学所占的百分比是多少？ 【答案】(1)最高分为92分，最低分为70分 (2)这10名同学中，期末成绩低于80分的同学所占的百分比是 【分析】（1）用这10个数中最大的数加80即可得出最高分，用这10个数中最小的数加80即可得出最低分； （2）用这10个数中负数的个数除以10，求出结果即可． 【详解】（1）解：最高分为（分）， 最低分为（分）． （2）解：因为记录的结果中有5个负数， 所以这10名同学中，低于80分的同学有5名， 因为， 所以这10名同学中，期末成绩低于80分的同学所占的百分比是． 14．（25-26七年级上·湖南湘潭·期中）某高速公路检修队开车从A地出发，在东西走向的公路上检修道路，规定向东走为正，向西走为负，从出发到收工时所行驶的路程记录如下（单位：千米）：，，，，，，，． (1)问收工时，检修队在A地哪边，距A地多远？ (2)问从出发到收工时，汽车共行驶多少千米？ (3)在汽车行驶过程中，若每行驶1千米耗油升，共用油费元．问油价是每升多少元？ 【答案】(1)收工时检修队在A地东边，距A地10千米 (2)汽车共行驶52千米 (3)油价是每升元 【分析】（1）将所有行驶路程记录求和，根据结果正负判断方向，结果的绝对值为距A地的距离； （2）计算所有行驶路程记录的绝对值之和，即为总行驶路程； （3）先由总行驶路程和单位耗油量求出总耗油量，再用总油费除以总耗油量得到油价． 【详解】（1）解：各段路程的和为 （千米）， ∵规定向东走为正， ∴收工时检修队在A地东边，距A地10千米． （2）解： （千米）， 答：汽车共行驶52千米． （3）解：总耗油量为（升）， 油价为（元/升）， 答：油价是每升元． 15．（26-27七年级上·陕西咸阳·阶段检测）外卖送餐为我们生活带来了许多便利，某学习小组调查了一名外卖小哥一周每天的送餐情况，规定每天送餐量超过单（送一次外卖称为一单）的部分记为“”，低于单的部分记为“”，如表是该外卖小哥一周每天的送餐量： 星期 一 二 三 四 五 六 日 送餐情况（单位：单） -3 +4 -5 +14 -8 +7 +12 (1)该外卖小哥这一周送餐量最多的一天比最少的一天多送______________单； (2)求该外卖小哥这一周共送餐多少单？ (3)外卖小哥每天的工资由底薪元加上送单补贴构成，送单补贴的方案如下：每天送餐量不超过单的部分，每单补贴元；超过单的部分，每单补贴元，求该外卖小哥这一周的工资总收入． 【答案】(1) (2)该外卖小哥这一周共送餐单． (3)该外卖小哥这一周的工资总收入为元． 【分析】（1）将一周的送餐量比较大小，周四最多，周五最少，用周四的送餐量减去周五的送餐量即可求解； （2）由一周的规定送餐量单加上超过或不足部分数据求解即可； （3）先求出表格内超出规定送餐量（正数）的总和，计算补贴元的部分，再用（2）问的总送餐量减去前面算出的正数和，计算补贴元的部分，再算一周底薪，每天的工资由底薪加上送餐部分的补贴求和即可． 【详解】（1）解：∵， ∴周四最多，周五最少， (单) 即该外卖小哥这一周送餐量最多的一天比最少的一天多送单． （2） 即该外卖小哥这一周共送餐单． （3）补贴元的部分：， 补贴元的部分：， 一周总收入： 即该外卖小哥这一周的工资总收入为元． 题型五 有理数四则混合运算实际应用（共3小题） 16．（26-27七年级上·陕西咸阳·阶段检测）体育是教育的重要组成部分，也包括塑造品格、养成精神．某校为积极响应国家的号召，扎实有效地开展了多项体育运动．本学期七年级学生在体育老师的组织下开展了一次定点投篮比赛，下表为七年级某班50人参加定点投篮比赛的情况记录，已知标准数量为每人三分钟定点投篮投中25个． 三分钟定点投篮投中个数与标准数量的差/个 0 人数 7 12 8 8 10 5 (1)该班三分钟定点投篮投中个数最多与个数最少的差值为_____个； (2)该班平均每人三分钟定点投篮投中多少个？ (3)若规定三分钟定点投篮投中个数达到标准数量记0分，超过标准数量，每多投1个加2分，每少投1个扣1分，求该班三分钟定点投篮总共获得多少分？ 【答案】(1) (2)个 (3)分 【分析】（1）利用投中个数与标准数差的最大值和最小值计算差值； （2）通过总偏差结合标准数与总人数计算平均投中数； （3）分别计算总加分与总扣分，求和得到总得分． 【详解】（1）解：∵投中个数与标准数量的差的最大值为，最小值为， ∴最多与最少的投中个数差值为（个）． （2）解：计算总偏差：（个）， 平均偏差为（个）， ∴平均每人投中个数为（个）， 答：该班平均每人三分钟定点投篮投中个． （3）解：低于标准的总扣分数：（分）， 高于标准的总加分数：（分）， ∴总得分：（分）， 答：该班三分钟定点投篮总共获得分． 17．（26-27七年级上·陕西咸阳·阶段检测）阳光中学组织了“废纸回收，变废为宝”活动，七年级18个班各班收集的废纸均以为标准，超过标准质量的记为“+”，低于标准质量的记为“-”，各班收集的废纸质量记录如下表所示： 与标准质量的差 班级个数 1 2 4 3 6 2 (1)七年级收集废纸最多的班级比最少的班级多___________； (2)七年级18个班平均每班收集的废纸质量是多少？ (3)规定参加“废纸回收，变废为宝”活动可为各班量化考核加10分，若低于标准质量，每少扣2分；若超过标准质量，每多加1分．根据此规定，本次活动七年级18个班量化考核一共增加多少分？ 【答案】(1)2.7 (2)七年级18个班平均每班收集的废纸质量是 (3)本次活动七年级18个班量化考核一共增加179.7分 【分析】（1）先确定最大的与标准质量的差和最小的与标准质量的差，因为最多的班级质量和最少的班级质量的差等于两个差值的差，所以直接计算两个差值的差即可． （2）先计算18个班与标准质量的总差值，用每个差值乘以对应班级个数再求和，因为平均每班的超出量等于总差值除以班级总数，所以先求出平均超出量，再加标准质量即可得到平均每班收集的质量． （3）因为总增加分数等于基础加分总和加上超额加分数减去不足扣分数，所以将三部分结果按规则运算求和即可． 【详解】（1）解：收集废纸最多的班级对应与标准质量的最大差值为， 最少的班级对应最小差值为， 两者的差为： ． （2）先计算所有班级的废纸质量与总标准质量的总差值： ． 平均每班质量为． 答：七年级18个班平均每班收集的废纸质量是． （3）（分）． 答：本次活动七年级18个班量化考核一共增加179.7分． 18．（26-27七年级上·河北廊坊·阶段检测）完成下列小题． 项目主题 做一个分析师 项目背景 在赵县雪花梨销售活动中，某数学小组探讨“如何获得更高的销售额？” 素材1 A果农（精装礼盒）：将精选的雪花梨装入6箱礼盒中，标准重量设定为每箱10千克，实际称重时，超过10千克的部分记为正数（单位：千克），不足10千克的部分记为负数，称重记录为：，，，，，． 销售策略：实际重量超过10千克的礼盒，作为“特级尊享装”，按120元/箱的价格出售；其余礼盒，作为“家庭实惠装”，按9元/千克的价格出售．所有礼盒全部售出． 素材2 B果农（散装筛选）：将雪花梨进行人工筛选，先挑出40千克的“梨王”（特级果），以15元/千克的高价通过直播间秒杀售出，剩下的普通雪花梨，按9元/千克的价格全部批发给收购商． 注：B果农售出的雪花梨的总重量与A果农售出的总重量相同． (1)请根据素材1，求A果农售出的最轻的一箱雪花梨的实际重量； (2)求A果农售出的雪花梨的总重量； (3)如果不考虑人工成本，请你通过计算说明哪位果农的销售策略可使售出的雪花梨的总销售额更高． 【答案】(1)9.4千克 (2)61千克 (3)B果农的销售策略可使售出的雪花梨的总销售额更高． 【分析】（1） 找出称重记录中最小的偏差，加上标准每箱10千克得到最轻一箱实际重量； （2） 总重量等于6箱标准总重量加上全部称重偏差的和； （3） 分别算出 A 果农、B 果农的总销售额，再比较二者大小得出结论． 【详解】（1）解： 称重记录：，，，，，，最小偏差为． （千克） 答：最轻的一箱雪花梨实际重量是千克； （2）解：（千克）． A 果农售出雪花梨总重量为61千克； （3）解： A 果农：超过10千克即记录为正数的有，共3箱特级尊享装； 特级尊享装销售额：（元）， 家庭实惠装三箱实际重量依次：，，， 家庭实惠装总重量：（千克）， 家庭实惠装销售额：（元）， A 总销售额：（元）． B 果农总重量与 A 相同为61千克， 普通雪花梨重量：（千克）， B 总销售额（元）． ， B 果农总销售额更高． B果农的销售策略可使售出的雪花梨的总销售额更高． 题型六 乘方的应用（共4小题） 19．（25-26七年级下·黑龙江大庆·期中）一根1米长的绳子第一次剪去一半，第二次剪去剩下的一半，如此剪下去，剪第六次后，剩下的绳子的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：第一次后剩下的绳子的长度为， 第二次后剩下的绳子的长度为米； 第三次后剩下的绳子的长度为米； ； ∴第六次后剩下的绳子的长度为米． 20．（25-26七年级上·湖北襄阳·期末）《庄子·天下》中“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的意思是一尺长的木棍，每天截掉一半，永远也截不完．如图，有一根4米长的木棍，第1天截取它的一半，第2天截取剩余部分的一半，第3天再截取剩余部分的一半，．．．，则第1天到第5天一共截取的长度为___________米． 【答案】 【分析】本题考查有理数的乘方的应用，由题意可得第n天操作后剩余全长的，则第1天到第n天一共截取的长度为米． 【详解】解：由题意知，第1天操作后剩余全长的， 第2天操作后剩余全长的， 第3天操作后剩余全长的， 第4天操作后剩余全长的， 第5天操作后剩余全长的， 第1天到第5天一共截取的长度为（米）， 故答案为：． 21．（26-27七年级上·江苏扬州·阶段检测）小明是一个聪明而又富有想象力的孩子．学习了“有理数的乘方”后，他就琢磨着使用“乘方”这一数学知识脑洞大开地定义出“有理数的除方”概念．于是规定：若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“3的下3次方”．一般地，把n个a（）相除记作，读作“a的下n次方”，即． (1)直接写出计算结果：______，______． (2)关于除方，下列说法正确的有______（填序号）．①对于任何正整数n，；②（）；③（a是有理数，，n是正整数）；④；⑤负数的下正奇数次方结果是负数，负数的下正偶数次方结果是正数． (3)我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢?例如：（幂的形式）． 试一试：将下列除方运算直接写成幂的形式：______，______（写成幂的形式，不化简） (4)计算：． 【答案】(1)，4 (2)①②⑤ (3)； (4) 【分析】（1）根据新定义，列式计算即可； （2）根据新定义，逐一进行判断即可； （3）根据新定义结合除法法则，进行计算即可； （4）根据新定义以及有理数的运算法则进行计算即可. 【详解】（1）解：，； （2）解：表示个1相除，结果为1，故①正确； ，故②正确； 当时，，故③错误； ，故，故④错误； 负数的下正奇数次方表示奇数个负数相除，结果是负数；负数的下正偶数次方表示偶数个负数相除，结果是正数，故⑤正确； 综上，正确的有①②⑤； （3）解：； ； （4）解：原式 . 22．（26-27七年级上·重庆·阶段检测）阅读材料回答问题： 材料一：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如： ，等，类比有理数的乘方，我们把记作，读作“5的圈3次方”，记作，读作“的圈4次方”，一般把记作，读作“a的圈n次方”． 材料二：求的值，设，将等式两边同时乘2得：，利用第二个式子减去第一个式子可以得到，即，即． (1)【问题解决】直接写出计算结果：____________； (2)【类比探究】有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 试一试：将下列运算结果直接写成幂的形式： ____________； ____________．（且为正整数）； (3)【实践应用】求的值．（其中） 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）根据题意理解“的圈次方”的定义，即可求出的值． （2）把除法化为乘法，第一个数不变，从第二个数开始依次变为倒数，由此分别得出结果，注意最后一个式子，结果第一个数不变为，第二个数及后面的数变为，再计算即可． （3）按照材料一的方法将原式转化为，利用材料二的方法设，两边同时乘以5即可得到新的式子，将两个式子相减即可求出答案． 【详解】（1）解：一般把记作，读作“的圈次方”， ． （2）解：① ② （3）解：由材料一的方法可知，， ，，， ， 根据材料二方法，可设①， ②， 得， ， ． 题型七 程序流程图（共4小题） 23．（25-26七年级上·河南信阳·阶段检测）某编程兴趣小组设计了一个数值转换的小程序，运行规则如图所示，当输入的数为时，输出的数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】按照程序流程图，结合有理数混合运算的法则计算即可得出结果． 【详解】解：∵输入的数为， ∴，， ∴当输入的数为时，输出的数是． 24．（26-27七年级上·江苏苏州·阶段检测）根据流程图中的程序，若输入的值为-1，则输出的值为______． 【答案】 【分析】本题考查有理数的运算与程序框图的理解，解题关键是按照流程图的运算顺序逐步计算，并注意判断条件是否满足，若不满足需循环计算． 【详解】解：当输入时， 按照程序计算：； ∵， ∴将重新代入计算； ∵， 故输出的值为． 25．（26-27七年级上·江苏南京·阶段检测）如图是一个“数值转换机”（箭头是指数进入转换机的路径，方框是对进入的数进行转换的转换机）． (1)当小明输入，4，15这三个数时，则三次输出的结果依次为__________，__________，__________； (2)有一次，小明操作的时候输入了一个小于10的正整数，最后输出的结果是2，则小明输入的正整数是__________ 【答案】(1)；1；0 (2)2或7 【分析】（1）根据题目中的数值转换机，可以写出相应的输出结果； （2）根据题意，利用分类讨论的方法，可以计算出相应的输入数据． 【详解】（1）解：由题意得， 当输入数值是时，，，输出的数值为； 当输入数值是4时，，，，输出的数值为1， 当输入数值是15时，，，，的相反数是0，，输出的数值为0； （2）解：当按照绝对值输出结果为2时， ∴绝对值为2的非正数是，的相反数为2， ∵， ∴输入数据为2或者7， 当按照倒数输出结果为2时，取相反数后应该为，取相反数前为，一个数减去5后结果为，这个数一定是一个分数，而不可能为整数，因此这种情况时，输入的数据不可能是正整数； 综上，小明输入的正整数是2或7． 26．（25-26九年级下·河北邯郸·期中）如图，有A、B、C、D四张运算卡片，每张卡片表示对前一个数进行卡片上的运算，如按“”进行运算，则所列算式为“”． (1)若按“”进行计算，先列出算式，再直接写出结果； (2)若琪琪同学按“进行计算，请列出算式并写出运算过程和结果． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据流程图规则列式计算即可； （2）根据流程图规则列式计算即可． 【详解】（1）解：根据题意，得； （2）解：根据题意，得， ∴原式． 题型八 算“24”点（共3小题） 27．（26-27七年级上·广西南宁·阶段检测）数学游戏题： (1)下图是一个三阶幻方，由9个数字构成，并且每横行，竖行和对角线上的3个数字的和都相等，试填出空格中的数； (2) 有一种“二十四点”的游戏（即算24游戏），其游戏规则是这样的：任取四个1至之间的自然数，将这四个数（每个数用且只能用一次）进行加减乘除四则运算，使其结果等于．例如对1，2，3，4，可作如下运算：（上述运算与视为相同方法的运算） ①给出有理数4，6，9，；请你写出一个算式并计算，使其结果为； ②在我们学过负数以后这个游戏仍可以玩．现给出，，4，5四个数，请你写出一个算式并计算，使其结果为． 【答案】(1) 9 2 7 5 0 (2)①； ② 【分析】（1）根据表格数字先算出第一行数字的和为，用减去第二列的数字和，得到第二列第二行数字为7；用减去第一列第一行的数字，再减去第二列第二行数字7，得到第三列第三行数字为0；用减去第三列第一行的数字9，再减去第三列第三行数字0，得到第三列第二行数字为；用减去第二列第二行的数字7，再减去第三列第二行数字，得到第一列第二行数字为2；用减去第一列第一行的数字，再减去第一列第二行数字2，得到第一列第三行数字为5； （2）①结合给的四个有理数，利用来凑即可； ②结合给的四个有理数，利用来凑即可，有一个4，剩下三个数凑6就可以了． 【详解】（1）解：， 第二列第二行：， 第三列第三行：， 第三列第二行：， 第一列第二行：， 第一列第三行：； （2）①； ②． 28．（22-23七年级上·全国·期末）小明有5张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题： (1)从中抽取2张卡片，将2张卡片上的数字分别作为底数和指数，使所得的幂最大，应如何抽取？幂的最大值是多少？ (2)从中抽取3张卡片，使这3张卡片上数字的乘积最小，应如何抽取？积的最小值是多少？ (3)从中抽取4张卡片，将四个数（四个数都用且只能用一次，可使用括号） “”、“”、“”、“”运算，使其结果等于．（写出一种情况即可） 【答案】(1)抽取和两张卡片，幂最大，最大为 (2)抽取、、三张卡片，乘积最小，最小为； (3)抽取、、、，（答案不唯一） 【分析】（1）如果底数是正数，指数越大，幂越大；如果底数是负数，指数必须是偶数，结果才为正数，且底数的绝对值越大、指数越大，幂越大．指数越大，幂通常越大，据此即可求解； （2）根据同号得正，异号得负，并把绝对值相乘，计算积，再根据有理数的大小比较解答即可； （3）根据有理数的混合运算解答即可． 【详解】（1）解：和两张卡片，幂最大，； （2）解：根据正数大于零，正数大于负数， 故抽取的卡片上的数字之积为负数时，积最小， 抽取、和三张卡片，乘积最小，最小为； （3）解：抽取、、、，（答案不唯一） 29．（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）学习了有理数的混合运算方法（加、减、乘、除）后，越越和兴兴两个同学在课间分享“二十四点”计算方法．两人的对话如下： 越越：如果看到四个数中有一个是，只要其余三个数能算出是或，，，，都可算出，如：可以列出． 兴兴：有时遇到不能用你的方法算出，可以尝试用除以，也能得到哦！如：，，，，可以列出． 结合上面两位同学的分享，解决下列问题： (1)现给定三个数，，，请从到这些自然数中选一个，使四个数能算出，要求列出算式，并简单说一下你的思考过程． (2)想一想，数字，，，这四个数可以算出吗？如果可以，请列出算式． 【答案】(1) 所选数字为，算式： (2) 可以， 【分析】本题考查有理数的四则混合运算，在理解有关规则的基础上灵活应用有理数的混合运算法则求解是解题关键； （1）根据运算结果为和已知给定的三个数，筛选出合适的数字； （2）根据已给数字有，按照题干所给方法进行判断即可． 【详解】（1）解：当选时， ∵， ∴； 当选时， ∴； 当选时， ∴； 当选时， ∴； 当选时， ∴； 当选时， ∴； 当选时， ∴； 当选时， ∴； 当选时， ∴； 当选时， ∴； 任选其一即可； （2）答：可以，． $专题04 有理数的应用 题型1 正负数的应用 题型5 有理数四则混合运算的实际应用 题型2 绝对值的应用 题型6 乘方的应用 题型3 有理数加减法实际应用 题型7 程序流程图 题型4有理数乘除法的实际应用 题型8 算“24”点 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 正负数的应用（共4小题） 1．（26-27七年级上·全国·课后作业）体育课上全班男生进行了百米测试，下面是第一小组8名男生的成绩（单位：）：12.9，14.7，13.9，13.5，13.6，13.9，14.2，14.5． (1)这个小组8名男生的平均成绩是多少？ (2)以平均成绩为标准，用正数表示超出的部分，用负数表示不足的部分，他们的成绩分别应记为多少？ 2．（25-26七年级上·全国·期末）如图，一只甲虫在的方格（每小格边长为）上沿着网格线运动，它从处出发去看望，，处的甲虫，规定：向上、向右走为正，向下、向左走为负．例如从到记为：，从到记为：，其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向． (1)图中 ， ， ； (2)若这只甲虫从处去处的行走路线依次为，，，，请在图中标出的位置． 3．（25-26七年级上·广东深圳·期中）一种黄油手撕面包包装袋上有这样的标记：，妈妈买回6袋面包依次进行称重，和标准质量比较分别记录为：．这6袋面包中有几袋是合格的． 4．（25-26七年级上·湖北武汉·阶段检测）一个病人每天要测量5次体温，该病人某一天5次所测体温变化情况（与前一次的温度比较，升高为正，降低为负，前一天最后一次测量的体温是）如表所示： 时间 体温变化/℃ 实际体温/℃ _________ _________ _________ _________ _________ (1)补全上面的表格； (2)计算该病人这一天的平均体温． 题型二 绝对值的应用（共4小题） 5．（26-27七年级上·广西南宁·阶段检测）如图，检测5个排球，其中质量超过标准的克数记为正数，不足标准的克数记为负数．则质量最接近标准的球是（     ） A． B． C． D． 6．（26-27七年级上·甘肃张掖·阶段检测）洛川苹果是黄土高原孕育出的知名苹果品类．某果商随机抽取了四箱苹果进行质量监测，超过标准质量的千克数记作正数，不足标准质量的千克数记作负数，其中最接近标准质量的是（     ） A．1kg B． C． D． 7．（25-26六年级上·山东泰安·阶段检测）杭州亚运会期间，某出租车司机免费接送志愿者．某日从公司出发，在东西方向的人民路上连续接送5批客人，行驶路程记录如下（规定向东为正，向西为负，单位：）： 第1批 第2批 第3批 第4批 第5批 (1)以公司为原点，用1个单位长度表示，在数轴上表示出第1批、第2批、第3批、第4批、第5批客人下车的位置（用A/B/C/D/E来表示下车位置）． (2)若该出租车每千米耗油，那么在这一过程中共耗油多少升？ 8．（26-27七年级上·内蒙古乌兰察布·阶段检测）某校篮球队选拔队员，按规定男队员的标准身高为，高于标准身高的部分记为正，低于标准身高的部分记为负．现有8名候选队员，身高记录如下表所示． 选手编号 1 2 3 4 5 6 7 8 身高偏差（） (1)表中所有队员，最接近标准身高的是 号选手；这名队员的身高是 ． (2)选拔队员时，身高在范围内为合格，则有 名候选队员合格；若将标准放宽为，则有 名候选队员合格． (3)表中所有队员，身高最高的队员和身高最低的队员相差多少？ 题型三 有理数加减法实际应用（共3小题） 9．（26-27七年级上·福建泉州·阶段检测）足球比赛中，根据场上攻守形势，守门员会在门前来回跑动，如果以球门线为基准，向前跑记作正数，返回则记作负数，一段时间内，某守门员的跑动情况记录如下（单位：m）：，，，，，，，．（假定开始计时时，守门员正好在球门线上） (1)守门员最后是否回到了球门线上？ (2)守门员离开球门线的最远距离是多少米？ (3)如果守门员离开球门线的距离超过（不包括），对方球员挑射极可能造成破门，则在这一时间段内，对方球员有几次挑射破门的机会？请简述理由． 10．（26-27七年级上·云南临沧·阶段检测）临沧市某超市对一批袋装茶叶进行抽检，每袋标准质量为克．超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数．随机抽取袋茶叶，称重结果如下： 克，克，克，克，克，克 (1)这袋茶叶中，最重的一袋和最轻的一袋各是多少克？ (2)这袋茶叶的总质量比标准总质量多（或少）多少克？ 11．（26-27七年级上·广东汕头·阶段检测）练江某水文站记录了一周内水位的变化情况（以上周末水位为基准，上升为正，下降为负，单位：： 星期 一 二 三 四 五 六 日 水位变化 (1)这一周内，哪一天的水位最高？哪一天最低？最高水位与最低水位相差多少米？ (2)与上周末相比，本周末水位是上升了还是下降了？变化了多少米？ (3)已知上周末水位为（低于警戒水位），求本周末的水位． 题型四 有理数乘除法的实际应用（共4小题） 12．（26-27七年级上·陕西咸阳·阶段检测）一建材公司主营水泥、砂石等建筑材料，其水泥仓库需每日统计原料进出量以便管理库存，并核算运输成本．某日仓库根据运输单据整理出当日水泥进出记录（运进用正数表示，运出用负数表示）如下（单位：吨）： ． (1)若经过这一日，仓库管理员结算时发现仓库里还有50吨水泥，则一天前仓库里存有水泥多少吨？ (2)运输公司提供如下运费结算方案：运进水泥，每吨收取运费5元，运出水泥因为需要额外增加装卸和防护措施费用，每吨收取运费8元，则这一日该建材公司需要付多少元的运费？ 13．（26-27七年级上·全国·单元测试）某班抽查了10名同学的期末成绩，以80分为基准，超出的分数记为正数，不足的分数记为负数，记录的结果如下： ，，，，，，，，0，． (1)这10名同学的期末成绩中，最高分是多少？最低分是多少？ (2)这10名同学中，期末成绩低于80分的同学所占的百分比是多少？ 14．（25-26七年级上·湖南湘潭·期中）某高速公路检修队开车从A地出发，在东西走向的公路上检修道路，规定向东走为正，向西走为负，从出发到收工时所行驶的路程记录如下（单位：千米）：，，，，，，，． (1)问收工时，检修队在A地哪边，距A地多远？ (2)问从出发到收工时，汽车共行驶多少千米？ (3)在汽车行驶过程中，若每行驶1千米耗油升，共用油费元．问油价是每升多少元？ 15．（26-27七年级上·陕西咸阳·阶段检测）外卖送餐为我们生活带来了许多便利，某学习小组调查了一名外卖小哥一周每天的送餐情况，规定每天送餐量超过单（送一次外卖称为一单）的部分记为“”，低于单的部分记为“”，如表是该外卖小哥一周每天的送餐量： 星期 一 二 三 四 五 六 日 送餐情况（单位：单） -3 +4 -5 +14 -8 +7 +12 (1)该外卖小哥这一周送餐量最多的一天比最少的一天多送______________单； (2)求该外卖小哥这一周共送餐多少单？ (3)外卖小哥每天的工资由底薪元加上送单补贴构成，送单补贴的方案如下：每天送餐量不超过单的部分，每单补贴元；超过单的部分，每单补贴元，求该外卖小哥这一周的工资总收入． 题型五 有理数四则混合运算实际应用（共3小题） 16．（26-27七年级上·陕西咸阳·阶段检测）体育是教育的重要组成部分，也包括塑造品格、养成精神．某校为积极响应国家的号召，扎实有效地开展了多项体育运动．本学期七年级学生在体育老师的组织下开展了一次定点投篮比赛，下表为七年级某班50人参加定点投篮比赛的情况记录，已知标准数量为每人三分钟定点投篮投中25个． 三分钟定点投篮投中个数与标准数量的差/个 0 人数 7 12 8 8 10 5 (1)该班三分钟定点投篮投中个数最多与个数最少的差值为_____个； (2)该班平均每人三分钟定点投篮投中多少个？ (3)若规定三分钟定点投篮投中个数达到标准数量记0分，超过标准数量，每多投1个加2分，每少投1个扣1分，求该班三分钟定点投篮总共获得多少分？ 17．（26-27七年级上·陕西咸阳·阶段检测）阳光中学组织了“废纸回收，变废为宝”活动，七年级18个班各班收集的废纸均以为标准，超过标准质量的记为“+”，低于标准质量的记为“-”，各班收集的废纸质量记录如下表所示： 与标准质量的差 班级个数 1 2 4 3 6 2 (1)七年级收集废纸最多的班级比最少的班级多___________； (2)七年级18个班平均每班收集的废纸质量是多少？ (3)规定参加“废纸回收，变废为宝”活动可为各班量化考核加10分，若低于标准质量，每少扣2分；若超过标准质量，每多加1分．根据此规定，本次活动七年级18个班量化考核一共增加多少分？ 18．（26-27七年级上·河北廊坊·阶段检测）完成下列小题． 项目主题 做一个分析师 项目背景 在赵县雪花梨销售活动中，某数学小组探讨“如何获得更高的销售额？” 素材1 A果农（精装礼盒）：将精选的雪花梨装入6箱礼盒中，标准重量设定为每箱10千克，实际称重时，超过10千克的部分记为正数（单位：千克），不足10千克的部分记为负数，称重记录为：，，，，，． 销售策略：实际重量超过10千克的礼盒，作为“特级尊享装”，按120元/箱的价格出售；其余礼盒，作为“家庭实惠装”，按9元/千克的价格出售．所有礼盒全部售出． 素材2 B果农（散装筛选）：将雪花梨进行人工筛选，先挑出40千克的“梨王”（特级果），以15元/千克的高价通过直播间秒杀售出，剩下的普通雪花梨，按9元/千克的价格全部批发给收购商． 注：B果农售出的雪花梨的总重量与A果农售出的总重量相同． (1)请根据素材1，求A果农售出的最轻的一箱雪花梨的实际重量； (2)求A果农售出的雪花梨的总重量； (3)如果不考虑人工成本，请你通过计算说明哪位果农的销售策略可使售出的雪花梨的总销售额更高． 题型六 乘方的应用（共4小题） 19．（25-26七年级下·黑龙江大庆·期中）一根1米长的绳子第一次剪去一半，第二次剪去剩下的一半，如此剪下去，剪第六次后，剩下的绳子的长度为（   ） A． B． C． D． 20．（25-26七年级上·湖北襄阳·期末）《庄子·天下》中“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的意思是一尺长的木棍，每天截掉一半，永远也截不完．如图，有一根4米长的木棍，第1天截取它的一半，第2天截取剩余部分的一半，第3天再截取剩余部分的一半，．．．，则第1天到第5天一共截取的长度为___________米． 21．（26-27七年级上·江苏扬州·阶段检测）小明是一个聪明而又富有想象力的孩子．学习了“有理数的乘方”后，他就琢磨着使用“乘方”这一数学知识脑洞大开地定义出“有理数的除方”概念．于是规定：若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如等．类比有理数的乘方，我们把记作，读作“3的下3次方”．一般地，把n个a（）相除记作，读作“a的下n次方”，即． (1)直接写出计算结果：______，______． (2)关于除方，下列说法正确的有______（填序号）．①对于任何正整数n，；②（）；③（a是有理数，，n是正整数）；④；⑤负数的下正奇数次方结果是负数，负数的下正偶数次方结果是正数． (3)我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢?例如：（幂的形式）． 试一试：将下列除方运算直接写成幂的形式：______，______（写成幂的形式，不化简） (4)计算：． 22．（26-27七年级上·重庆·阶段检测）阅读材料回答问题： 材料一：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如： ，等，类比有理数的乘方，我们把记作，读作“5的圈3次方”，记作，读作“的圈4次方”，一般把记作，读作“a的圈n次方”． 材料二：求的值，设，将等式两边同时乘2得：，利用第二个式子减去第一个式子可以得到，即，即． (1)【问题解决】直接写出计算结果：____________； (2)【类比探究】有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 试一试：将下列运算结果直接写成幂的形式： ____________； ____________．（且为正整数）； (3)【实践应用】求的值．（其中） 题型七 程序流程图（共4小题） 23．（25-26七年级上·河南信阳·阶段检测）某编程兴趣小组设计了一个数值转换的小程序，运行规则如图所示，当输入的数为时，输出的数是（     ） A． B． C． D． 24．（26-27七年级上·江苏苏州·阶段检测）根据流程图中的程序，若输入的值为-1，则输出的值为______． 25．（26-27七年级上·江苏南京·阶段检测）如图是一个“数值转换机”（箭头是指数进入转换机的路径，方框是对进入的数进行转换的转换机）． (1)当小明输入，4，15这三个数时，则三次输出的结果依次为__________，__________，__________； (2)有一次，小明操作的时候输入了一个小于10的正整数，最后输出的结果是2，则小明输入的正整数是__________ 26．（25-26九年级下·河北邯郸·期中）如图，有A、B、C、D四张运算卡片，每张卡片表示对前一个数进行卡片上的运算，如按“”进行运算，则所列算式为“”． (1)若按“”进行计算，先列出算式，再直接写出结果； (2)若琪琪同学按“进行计算，请列出算式并写出运算过程和结果． 题型八 算“24”点（共3小题） 27．（26-27七年级上·广西南宁·阶段检测）数学游戏题： (1)下图是一个三阶幻方，由9个数字构成，并且每横行，竖行和对角线上的3个数字的和都相等，试填出空格中的数； (2) 有一种“二十四点”的游戏（即算24游戏），其游戏规则是这样的：任取四个1至之间的自然数，将这四个数（每个数用且只能用一次）进行加减乘除四则运算，使其结果等于．例如对1，2，3，4，可作如下运算：（上述运算与视为相同方法的运算） ①给出有理数4，6，9，；请你写出一个算式并计算，使其结果为； ②在我们学过负数以后这个游戏仍可以玩．现给出，，4，5四个数，请你写出一个算式并计算，使其结果为． 28．（22-23七年级上·全国·期末）小明有5张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题： (1)从中抽取2张卡片，将2张卡片上的数字分别作为底数和指数，使所得的幂最大，应如何抽取？幂的最大值是多少？ (2)从中抽取3张卡片，使这3张卡片上数字的乘积最小，应如何抽取？积的最小值是多少？ (3)从中抽取4张卡片，将四个数（四个数都用且只能用一次，可使用括号） “”、“”、“”、“”运算，使其结果等于．（写出一种情况即可） 29．（25-26七年级上·浙江绍兴·期末）学习了有理数的混合运算方法（加、减、乘、除）后，越越和兴兴两个同学在课间分享“二十四点”计算方法．两人的对话如下： 越越：如果看到四个数中有一个是，只要其余三个数能算出是或，，，，都可算出，如：可以列出． 兴兴：有时遇到不能用你的方法算出，可以尝试用除以，也能得到哦！如：，，，，可以列出． 结合上面两位同学的分享，解决下列问题： (1)现给定三个数，，，请从到这些自然数中选一个，使四个数能算出，要求列出算式，并简单说一下你的思考过程． (2)想一想，数字，，，这四个数可以算出吗？如果可以，请列出算式． $