2027年高考数学一轮复习培优卷（全国一卷03）

2027年高考数学一轮复习培优卷（全国一卷03） 数学·全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】或， ∴. 2．在复平面内，复数对应的点位于（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【详解】. 所以复数对应的点为，横坐标，纵坐标均为负数，该点位于第三象限. 3．【新背景】勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．在如图所示的勒洛三角形中，已知，P为弧上的点，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】. 4．五名篮球运动员比赛前将外衣放在休息室，比赛后都回到休息室取衣服．由于灯光暗淡，看不清自己的外衣，则至少有两人拿对自己的外衣的情况有（   ） A．30种 B．31种 C．35种 D．40种 【答案】B 【详解】由题意知本题是一个简单分类计数问题，至少有两人拿对自己外衣包括三种情况， 第一类，两人拿对：（种）； 第二类，三人拿对：（种）； 第三类，四人拿对与五人拿对一样，所以有1种． 故共有（种）． 5．已知函数，若存在，满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】函数，，则， 设， ，则， 因为，得，所以，且， 所以，所以，得 所以. 6．已知数列是首项和公比均为3的等比数列，在数列的任意相邻两项与（其中）之间插入个1，使它们和原数列的项构成一个新数列，则数列的前50项和（    ） A．402 B．404 C．408 D．412 【答案】C 【详解】因为，，，，， ，，，，， 由题意前5项共插入项， 则数列的前50项的和 ． 7．在四棱锥中，，，若该四棱锥的所有顶点均在同一个球的球面上，则该球的半径为（     ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【详解】 由题意四边形有外接圆，则， 即，得，即，故， 取的中点为，即为四边形外接圆的圆心，且外接圆半径， 又，可得在底面上的投影为，即底面且， 故外接球的球心在上，设球心为，球的半径为， 由，得，解得. 8．已知定义在上的奇函数，满足.当时，，则方程的所有根之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由是定义在上的奇函数得，结合可得： ，因此, 即4为函数的一个周期，且其图象关于对称． 原方程可整理为，令， 因 则关于中心对称，故关于中心对称， 当时，的值域为， 结合对称性和周期性可知的值域是， 当时，在时取最小值2，如图所示： 当时，与共有2个交点，结合函数对称性可知， 时，两函数也有2个交点，共4个交点，且交点关于对称， 即原方程有4个实数根，所有根之和为8． 【点睛】本题的核心是利用函数的奇偶性、对称性、周期性简化方程根的计算，不需要直接求解每个根，利用对称点的横坐标之和直接得到总根之和． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．关于函数，下列结论正确的是（    ） A．定义域为 B．为奇函数 C．在上单调递增 D．极小值为 【答案】ABD 【详解】对于A，要使函数有意义，则即， 所以函数的定义域为，故A正确； 对于B，由于函数的定义域为关于原点对称， 且， 所以为奇函数，故B正确； 对于C，在上时，，， 令，得 解得 ； 令，得 解得 . 所以在上单调递减，上单调递增，故C错误； 对于D，由选项C，可知在上单调递减，上单调递增， 根据选项B可知函数为奇函数， 故在上单调递增，上单调递减， 处取得极大值，处取得极小值， 所以极小值为，故D正确. 10．已知分别为双曲线的左、右焦点，为的渐近线上一点，且，则（ ） A．的方程为 B．的离心率为 C．点到直线 的距离为3 D．的面积为 【答案】AD 【详解】已知焦点，得双曲线半焦距，即 ， 又由双曲线渐近线为，得 ​，即， 代入，得， 因此双曲线的方程为，故A正确； 离心率，故B不正确； 到直线的距离： ，故C错误； 由，可知在以为直径的圆上， 联立渐近线：代入得， 可得交点纵坐标， 即的面积为： ，故D正确. 11．设a，，且.若随机变量X，Y满足，，则下列说法正确的是（    ）（附：若随机变量，则） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】对于选项A，，则， ，则，所以，故选项A正确； 对于选项B，，则， ，和选项中不符，故选项B错误； 对于选项C，， ，故选项C正确； 对于选项D，，， ， ， 因为，，所以， 因为，所以， 所以，故选项D正确． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知数列为等比数列，，是方程的两个实数根，则___________. 【答案】 【详解】已知，是方程的两个实数根， 由韦达定理知，，，所以， 因为在等比数列中， 所以，因为，所以. 13．如下图，一个质点在随机外力的作用下，从原点出发在数轴上移动，每次向左或向右移动一个单位且相互独立，已知向右移的概率为，向左移的概率为，设该质点移动次后在数轴上对应的数为随机变量，则的方差__________（用含的式子表示）． 【答案】 【详解】设次移动中向右移动的总次数为随机变量，由于每次移动相互独立，向右移概率固定为， 因此，根据二项分布的方差公式，可得， 次移动中向左移动的次数为，质点最终的位置等于“向右移动的净步长”， 即， 根据方差的性质：对任意常数，有， 因此. 14．已知抛物线的顶点为，焦点为，过点的直线交抛物线于两点，若，则______． 【答案】/ 【详解】 ，设，， 由抛物线的焦半径公式得，， 因为，所以，即， 由题意知，直线的斜率不为，设直线的方程为， 由，得， ，根据韦达定理有， 又因为，所以， 由，得， 因为抛物线关于轴对称，所以不妨设点在第一象限， 则，所以，， 所以， 所以． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知分别为三个内角的对边，且； (1)求C； (2)若为上一点，为的平分线，且，求线段长度的最大值． 【详解】（1）， 由正弦定理得， 即， 2分 又， 则， 所以， 4分 因为，所以，故， 即， ，，. 6分 （2）由题可知：， 即，即； 9分 由余弦定理知：， 即，当且仅当时取等， ， 11分 即，当且仅当时等号成立， 所以线段长度的最大值为. 13分 16．（15分）如图，在三棱柱中，平面平面，，，，四棱锥的体积为，． (1)求证：平面； (2)是否存在点，使平面与平面所成的角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【详解】(1)在三棱柱中，上底面下底面，因此， 已知，根据平行线的性质，可得， 2分 又因为平面平面，且它们的交线为，， 且在平面内， 根据面面垂直的性质定理，可得平面， 4分 因为直线在平面内，所以， 直线和是平面内的两条相交直线（交于点 ）， 因此，根据线面垂直的判定定理，平面. 6分 （2）由（1）可知平面，平面， 所以 且，又由题设，因此，两两垂直， 7分 以为原点，分别以的方向为轴的正方向， 以过点且平行于的直线为轴的正方向，建立空间直角坐标系， 如图所示， 已知，则，所以，，， 8分 设的坐标为（）， 由于， ， 所以，解得 ， 9分 所以，则， 所以，，， 点满足，其中，，所以， 10分 设平面的法向量为，，， 则，令，则，所以 ， 设平面的法向量，，， 则， 令，则， 所以 ， 13分 设平面与平面所成角为，为锐角， 则， 因为，所以，所以， 两边平方得 ， 化简得， 解得或， 这两个解都在范围内， 因此存在满足条件的点，此时或. 15分 17．（15分）已知函数（）. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若在其定义域上存在极值点，求的取值范围； (3)证明：当时，. 【详解】（1）当时，，， ，， 所以切线方程为，即. 3分 （2）已知函数（），定义域为，且， 已知在其定义域上存在极值点，即在上有变号零点， 设 ，则， 5分 ① 当时，恒成立，在上单调递增；且时，时， 故有唯一零点且为变号零点，有极值点， 7分 ② 当时，在上单调递增，在上单调递减，， 要使有变号零点，需，即（时仅有一个零点但不变号）， 综上所述，的取值范围为. 10分 (3)当时，，，， 设，则，令，得， 12分 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 因此的最大值为，所以恒成立， 14分 所以在上单调递减， 当时，，因此对于，. 15分 18．（17分）已知椭圆，分别是椭圆的左、右顶点，是椭圆上异于的两个点，当四边形为菱形时，四边形的周长为，面积为4. (1)求椭圆的方程. (2)若，的斜率分别为，，且，证明：直线过定点. (3)在（2）的条件下，若直线，交于点，直线，交于点，求的最小值. 【详解】（1）根据椭圆的对称性知，当M，N分别为椭圆的上、下顶点时，四边形为菱形， 由，，得，，所以椭圆的方程为. 2分 (2)依题意，直线的斜率不为零，设直线的方程为，， 由消去整理得， 4分 则，，， 6分 而，则， 因此 ， 9分 解得， 所以直线恒过定点. 10分 （3） 由（2）知，，得， 直线的方程为，直线的方程为， 12分 则， 即，解得， 14分 即可得点有，， 同理可得点有，， ， 当且仅当时取等号，所以的最小值为. 17分 19．（17分）已知某袋中有（，，）个大小、形状完全相同的小球，其中红球有个，白球有个，黑球有个，每次从袋中不放回地随机取出1个小球． (1)设，记前3次取的小球的颜色的种数为，求的期望； (2)设，，求红球首先被全部取出的概率； (3)若，，且最后剩下的球全是红球的概率为，证明：当时，． 【详解】（1）设分别表示前 3 次取球中是否取到红球、白球、黑球（取到对应颜色记为 1，未取到记为 0），则颜色种数，对红球而言，前 3 次都未取到红球的概率为， 3分 因此取到红球的期望， 5分 由于三种颜色的数量相同，故， 根据期望的线性； 7分 （2）“红球首先被全部取出” 等价于：最后一个红球的位置早于最后一个白球和最后一个黑球的位置，即红球是三种颜色中最先被取完的. 分两类讨论：若最后一个球是白球，概率为，此时白球是最后被取完的，只需红球比黑球先被取完. 对 3 个红球和 2 个黑球，红球先被取完的概率等于最后一个为黑球的概率为； 9分 若最后一个球是黑球，概率同样为，同理，红球比白球先被取完的概率也为， 若最后一个球是红球，则红球不可能最先被全部取出，无需计入， 因此总概率； 11分 (3)“最后剩下的球全是红球” 等价于最后一个球是红球（所有白球、黑球都被取完后，剩余球均为红球），因为，， 因此最后一个球是红球的概率为， 13分 取倒数得， 对到求和， 15分 当，即时，，故， 综上，当时，，得证. 17分 1 / 15学 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027年高考数学一轮复习培优卷（全国一卷03） 数学·参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 A C D B C C A D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ABD AD ACD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13． 14．/ 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15． 【详解】（1）， 由正弦定理得， 即， 2分 又， 则， 所以， 4分 因为，所以，故， 即， ，，. 6分 （2）由题可知：， 即，即； 9分 由余弦定理知：， 即，当且仅当时取等， ， 11分 即，当且仅当时等号成立， 所以线段长度的最大值为. 13分 16． 【详解】(1)在三棱柱中，上底面下底面，因此， 已知，根据平行线的性质，可得， 2分 又因为平面平面，且它们的交线为，， 且在平面内， 根据面面垂直的性质定理，可得平面， 4分 因为直线在平面内，所以， 直线和是平面内的两条相交直线（交于点 ）， 因此，根据线面垂直的判定定理，平面. 6分 （2）由（1）可知平面，平面， 所以 且，又由题设，因此，两两垂直， 7分 以为原点，分别以的方向为轴的正方向， 以过点且平行于的直线为轴的正方向，建立空间直角坐标系， 如图所示， 已知，则，所以，，， 8分 设的坐标为（）， 由于， ， 所以，解得 ， 9分 所以，则， 所以，，， 点满足，其中，，所以， 10分 设平面的法向量为，，， 则，令，则，所以 ， 设平面的法向量，，， 则， 令，则， 所以 ， 13分 设平面与平面所成角为，为锐角， 则， 因为，所以，所以， 两边平方得 ， 化简得， 解得或， 这两个解都在范围内， 因此存在满足条件的点，此时或. 15分 17． 【详解】（1）当时，，， ，， 所以切线方程为，即. 3分 （2）已知函数（），定义域为，且， 已知在其定义域上存在极值点，即在上有变号零点， 设 ，则， 5分 ① 当时，恒成立，在上单调递增；且时，时， 故有唯一零点且为变号零点，有极值点， 7分 ② 当时，在上单调递增，在上单调递减，， 要使有变号零点，需，即（时仅有一个零点但不变号）， 综上所述，的取值范围为. 10分 (3)当时，，，， 设，则，令，得， 12分 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 因此的最大值为，所以恒成立， 14分 所以在上单调递减， 当时，，因此对于，. 15分 18． 【详解】（1）根据椭圆的对称性知，当M，N分别为椭圆的上、下顶点时，四边形为菱形， 由，，得，，所以椭圆的方程为. 2分 (2)依题意，直线的斜率不为零，设直线的方程为，， 由消去整理得， 4分 则，，， 6分 而，则， 因此 ， 9分 解得， 所以直线恒过定点. 10分 （3） 由（2）知，，得， 直线的方程为，直线的方程为， 12分 则， 即，解得， 14分 即可得点有，， 同理可得点有，， ， 当且仅当时取等号，所以的最小值为. 17分 19． 【详解】（1）设分别表示前 3 次取球中是否取到红球、白球、黑球（取到对应颜色记为 1，未取到记为 0），则颜色种数，对红球而言，前 3 次都未取到红球的概率为， 3分 因此取到红球的期望， 5分 由于三种颜色的数量相同，故， 根据期望的线性； 7分 （2）“红球首先被全部取出” 等价于：最后一个红球的位置早于最后一个白球和最后一个黑球的位置，即红球是三种颜色中最先被取完的. 分两类讨论：若最后一个球是白球，概率为，此时白球是最后被取完的，只需红球比黑球先被取完. 对 3 个红球和 2 个黑球，红球先被取完的概率等于最后一个为黑球的概率为； 9分 若最后一个球是黑球，概率同样为，同理，红球比白球先被取完的概率也为， 若最后一个球是红球，则红球不可能最先被全部取出，无需计入， 因此总概率； 11分 (3)“最后剩下的球全是红球” 等价于最后一个球是红球（所有白球、黑球都被取完后，剩余球均为红球），因为，， 因此最后一个球是红球的概率为， 13分 取倒数得， 对到求和， 15分 当，即时，，故， 综上，当时，，得证. 17分 7 / 7学 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027年高考数学一轮复习培优卷（全国一卷03） 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．在复平面内，复数对应的点位于（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．【新背景】勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．在如图所示的勒洛三角形中，已知，P为弧上的点，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．五名篮球运动员比赛前将外衣放在休息室，比赛后都回到休息室取衣服．由于灯光暗淡，看不清自己的外衣，则至少有两人拿对自己的外衣的情况有（   ） A．30种 B．31种 C．35种 D．40种 5．已知函数，若存在，满足，则（    ） A． B． C． D． 6．已知数列是首项和公比均为3的等比数列，在数列的任意相邻两项与（其中）之间插入个1，使它们和原数列的项构成一个新数列，则数列的前50项和（    ） A．402 B．404 C．408 D．412 7．在四棱锥中，，，若该四棱锥的所有顶点均在同一个球的球面上，则该球的半径为（     ） A．1 B． C． D． 8．已知定义在上的奇函数，满足.当时，，则方程的所有根之和为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．关于函数，下列结论正确的是（    ） A．定义域为 B．为奇函数 C．在上单调递增 D．极小值为 10．已知分别为双曲线的左、右焦点，为的渐近线上一点，且，则（ ） A．的方程为 B．的离心率为 C．点到直线 的距离为3 D．的面积为 11．设a，，且.若随机变量X，Y满足，，则下列说法正确的是（    ）（附：若随机变量，则） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知数列为等比数列，，是方程的两个实数根，则___________. 13．如下图，一个质点在随机外力的作用下，从原点出发在数轴上移动，每次向左或向右移动一个单位且相互独立，已知向右移的概率为，向左移的概率为，设该质点移动次后在数轴上对应的数为随机变量，则的方差__________（用含的式子表示）． 14．已知抛物线的顶点为，焦点为，过点的直线交抛物线于两点，若，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知分别为三个内角的对边，且； (1)求C； (2)若为上一点，为的平分线，且，求线段长度的最大值． 16．（15分）如图，在三棱柱中，平面平面，，，，四棱锥的体积为，． (1)求证：平面； (2)是否存在点，使平面与平面所成的角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 17．（15分）已知函数（）. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若在其定义域上存在极值点，求的取值范围； (3)证明：当时，. 18．（17分）已知椭圆，分别是椭圆的左、右顶点，是椭圆上异于的两个点，当四边形为菱形时，四边形的周长为，面积为4. (1)求椭圆的方程. (2)若，的斜率分别为，，且，证明：直线过定点. (3)在（2）的条件下，若直线，交于点，直线，交于点，求的最小值. 19．（17分）已知某袋中有（，，）个大小、形状完全相同的小球，其中红球有个，白球有个，黑球有个，每次从袋中不放回地随机取出1个小球． (1)设，记前3次取的小球的颜色的种数为，求的期望； (2)设，，求红球首先被全部取出的概率； (3)若，，且最后剩下的球全是红球的概率为，证明：当时，． 1 / 6学 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $