2027年高考数学一轮复习检测卷（全国一卷04）

2027年高考一轮复习检测卷（全国一卷04） 数学·全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由得，又，所以． 由得或，所以． 因此． 2．已知复数，则的模为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】， . 3．已知向量，，，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，，得. 已知，且，所以，解得. 由得，根据向量模长公式得. 4．【新背景】美国数学家Jack Kiefer于1953年提出0.618优选法，又称黄金分割法，是在优选时把尝试点放在黄金分割点上来寻找最优选择．我国著名数学家华罗庚于20世纪60、70年代对其进行简化、补充，并在我国进行推广，广泛应用于各个领域黄金分割比，现给出三倍角公式，则t与的关系式正确的为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为， 所以，又 所以，化简得， 可得，， 解得（负值舍去），所以. 5．已知正四棱台的上、下底面边长分别为和，侧棱长为，则该四棱台的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意将正四棱台补全为正四棱锥，如下图所示： 因为，且，故为的中位线， 所以，同理可得， 因为四边形是边长为的正方形，故， 所以是边长为的等边三角形， 设，由正四棱锥的结构可知：平面，且， 故正四棱台的高为， 所以正四棱台的体积为. 6．函数，若对于，都有成立，则实数a的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，都有成立，得函数在上单调递减. 当时，为一次函数，则，解得； 当时，为开口向上的二次函数，对称轴为，则，解得. 由函数在上单调递减，得分段点处左段函数值不小于右段函数值， 即，解得. 综上所述，，则实数的取值范围为. 7．已知数列满足，则（       ） A．250 B．500 C．550 D．1000 【答案】B 【详解】设偶数项为， 令，得， 所以， 当时， ， 当时， ， 代入： ， 即， 所以是等差数列，首项，公差为， 因此：， 而. 8．已知函数若恰有4个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数恰有4个零点，则函数和的图象有4个不同的交点， 又因为，所以是函数的一个零点， 所以函数和的图象有3个不同的交点． 设， 当时，，则， 当时，，则， 当时，，当时，， 所以在上为增函数，在上为减函数，则， 且，时，. 作出函数的图象： 由图可知，要使和的图象有3个不同的交点，则或， 所以的取值范围为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是（    ） A．一组数据10，10，11，12，12，14，16，19，21，21的第80百分位数为19 B．若变量，具有线性相关关系，且，，其经验回归方程为，则实数的值是 C．若，，，则事件与事件相互独立 D．若随机变量服从正态分布，且，则 【答案】BCD 【详解】对于A，该组数据共10个，已从小到大排列，则，为整数，第8项数据为19，第9项数据为21，则第80百分位数为，故A错误； 对于B，经验回归直线必过样本中心点，将，代入回归方程，得，解得，故B正确； 对于C，由，得； 由，得；满足，故事件与事件相互独立，故C正确； 对于D，随机变量服从正态分布，则正态曲线关于直线对称；，则，故D正确. 10．已知数列是正项等比数列，且，，则下列说法正确的是（    ） A． B．数列的前项和为 C． D．若，则数列为递增数列 【答案】BCD 【详解】设. ，. 设等比数列的公比为，因为数列为正项数列，所以. 由，解得（舍去），所以. 因此，，即. A选项：，故A错误； B选项：数列的前项和 ,故B正确； C选项： ，故C正确. D选项：. 则 令， . 因为，所以，故（当且仅当时取等号）. 说明数列单调不减. 又因为， 所以对任意，都有. 因此恒成立，即，数列为递增数列.故D正确. 11．已知抛物线的焦点为F，直线与C相交于M、N两点，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ABD 【详解】由抛物线，得， ∴ 焦点， 准线方程为. 设， 由抛物线定义得. 将代入， 整理得， 由韦达定理得. 对选项A：∵ ， ∴ ， 解得，代入得， ∴ ， 解得， 又， ∴ ， A正确； 对选项B：∵ ， 为坐标原点， ∴ 在线段的垂直平分线上， 而中点为， 垂直平分线为， 故. 代入抛物线方程得， 又， ∴ ，∴ ， 解得， B正确； 对选项C：∵ ， ∴ ， 即. 代入得， 即， 解得（负根舍去）， 则， ∴ ， 解得， 又，∴ ， C错误； 对选项D：， 代入， 得， 令， 解得， 又， ∴ ， D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．设函数，曲线在处的切线方程为，则的值为______． 【答案】2e 【详解】因为函数，所以， 曲线在处的切线方程为， 所以有，即，解得， 所以． 13．已知双曲线的左焦点为F，过F的直线l与y轴相交于点P，与C相交于M、N两点、且，则C的离心率为__________． 【答案】 【详解】如图，取该双曲线的右焦点为，不妨设在第一象限，连接， 因，则点是的中点，且点为的中点， 又因点为的中点，则为的中位线，又，则， 将代入，可得，即， 故，因点为的中点，则得， 又因点在双曲线上，则，结合，化简得，解得， 故C的离心率为. 14．在实验中学的足球班赛中，高一1班和高二2班进行到了点球大战，两队各派5名队员依次主罚，进球记1分，不进记0分．罚点球从1班开始先罚，两个班队员依次轮流主罚．在任一队员罚球结束后，若有一队进球数领先对方的分数大于对方剩余主罚人数，则比赛立即结束．每个点球只有“得分”和“不得分”两种可能，以{1班得分序列，2班得分序列}表示得分情况，如{11111，1101}表示1班五罚均得分，2班仅在第3罚罚失，则比赛恰好在1班的第5名队员罚球结束后结束的得分情况共___________种． 【答案】112 【详解】由题意，罚球顺序：1班第1人→2班第1人→1班第2人→2班第2人→…→1班第5人（第9次罚球）， 结束规则：任一队员罚完后，若一队领先分数大于对方剩余未罚人数，比赛立即结束. “比赛恰好在1班第5人罚完后结束”需同时满足： 前8次罚球（双方各罚4人）结束后，比赛未提前结束； 第9次（1班第5人）罚球结束后，比赛立即触发结束条件. 前8次罚球的约束（未提前结束）： 设前8次结束后，1班进球个，2班进球个，此时双方各剩余1次罚球， 比赛未结束，因此： 若1班领先：领先分数≤2班剩余人数（1人），即； 若2班领先：领先分数≤1班剩余人数（1人），即. 综上，前8次比分满足. （1）有效比分筛选， 第9次罚球后要触发结束，因此平分（、、、、）需排除（第9次后分差仍，无法结束）， 最终前8次有效比分为：. （2）中间过程无提前结束的验证， 对于上述比分，所有对应路径在中间步骤均不会触发结束： 以上比分分差均为1，在之前每一轮罚球后，分差始终s1，而对方剩余人数始终≥1，因此不会提前触发结束条件，所有路径均有效， 因此每个比分对应的路径数可直接用组合数计算：1班4罚进个的组合数，乘以2班4罚进个的组合数. 各比分路径数计算： 前8次比分 路径数计算 路径数 第9次罚球的结束条件：第9次为1班第5人罚球，罚完后1班全部罚完（剩余0人），2班剩余1人未罚. 分两类讨论： （1）前8次1班领先（，如1:0、2:1、3:2、4:3）：1班进球后分差变为2， 此时2班剩余1人，，满足结束条件；不进球则分差仍为1，不结束. →仅“进球”1种操作可结束比赛； （2）前8次2班领先（，如、、、）：1班不进球则分差仍为1， 此时1班剩余0人，，满足结束条件；进球则比分打平，不结束. →仅“不进球”1种操作可结束比赛. 综上，每类前8次比分对应第9次恰好1种得分选择，可使比赛结束. 将所有有效情况相加：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）记的内角，，的对边分别为，，，已知． (1)若，，求的值； (2)若的面积为，为的中点，且，求的长． 【详解】（1）已知， 结合余弦定理得，则， 因为为三角形边长，，所以， 2分 因为，所以， 又因，，代入整理得， 解得，因为，所以， 4分 根据余弦定理，； 6分 （2）由（1）知，由的面积，得， 又，代入，得， 9分 因为的中点，则， 两边取平方，， 11分 即， 所以的长为1. 13分 16．（15分）已知椭圆的左顶点为，为坐标原点，点为线段（不含端点）上一点，过且斜率为1的直线交于两点，在第三象限，设为线段的中点. (1)证明：为定值； (2)若，求的面积. 【详解】(1)设，则过点且斜率为1的直线可设为：，， 1分 设，，且，. 因为点都在椭圆上，因此有， 3分 两式相减得， 所以，因此，即点在定直线，上， 5分 因此的大小为定值，且. 在中，由正弦定理可知， 所以. 故为定值. 7分 （2）设的斜率为，的斜率，则， 因在第三象限，，解得，即，故. 因为，联立得 代入椭圆方程，得：，解得， 9分 因为，故，满足条件. 联立，整理得， 11分 ，则. 所以，则，. 13分 . 故的面积为. 15分 17．（15分）如图，在直三棱柱中，，分别为，的中点，，，． (1)求证：平面； (2)设点在的内部，，，使点的位置唯一确定，求平面与平面夹角的余弦值． 【详解】(1)如图所示，建立空间直角坐标系， 则，，，， ，，，， 2分 设面法向量为，则，即， 令，则，所以平面的一个法向量为， 4分 因为，所以，所以平面得证. 5分 （2）由题意得，不妨设， 则，， 因为，所以， 则，解得① 7分 因为，所以，所以，则②， ①②联立解得：，符合题意，所以， 此时，， 9分 设为平面的法向量，则，即， 令，可得，，所以， 11分 设为平面的法向量，则，即， 令，解得，所以， 13分 得到与平面夹角的余弦值为， 即平面与平面夹角的余弦值为. 15分 18．（17分）已知函数，． (1)求函数的极值； (2)若直线与曲线相切，求a的值； (3)若对任意的恒成立，求a的取值范围． 【详解】（1）因为，所以， 1分 令，解得， 当时，，当时，， 3分 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值，极大值为，无极小值． 4分 （2）直线与曲线相切，设切点为， 因为，所以， 所以，解得，① 6分 因为切点在上， 所以，即，② 由②-①并整理得：． 8分 令，则，令，解得， 则当时，，则在上单调递减， 当时，，则在上单调递增， 当时，，且， 则方程有唯一解为，将代入①式，可得． 10分 （3），， 因为对任意的恒成立， 所以， 11分 因为，所以， 即， 即恒成立，则， 解得． 则， 13分 令，则， 设， 则在恒成立，则在上单调递增， 15分 又，则由，由， 所以在上单调递减，在上单调递增，所以， 即恒成立，所以的取值范围是． 17分 19．（17分）小明是篮球爱好者，据统计，小明在篮球赛中选择三分投篮的概率为，投篮命中率为；选择二分投篮的概率是，投篮命中率为．某一场篮球赛中，小明每次选择三分投篮或者二分投篮都相互独立，记其投篮总得分为的概率为． (1)若小明投篮失败就退出比赛． （i）在的条件下，求小明最后一次投篮成功为二分投篮的概率； （ii）写出的递推式及计算． (2)若小明持续参赛且投篮次数足够多，求的表达式． 【详解】（1）（i）由题意，设小明投篮得2分的概率为，； 投篮得3分的概率为，； 投篮不成功的概率为． 2分 小明最后一次投篮成功为二分投篮意味着得分为6是3次二分投篮， 记“小明3次二分投篮成功得分为6”为事件，， ， 4分 由条件概率计算公式，在的条件下小明最后一次投篮成功为二分投篮的概率为 ． 5分 （ii）由题意，小明遇到投篮失败就退出比赛， 所以若第一次投篮失败则得分为，且． 对于，若第一次投篮得2分，则后续还需得分， 若第一次投篮得3分，则后续得分为分． 所以（），且， 7分 从而， ，， ，所以． 10分 （2）小明持续参赛且投篮次数足够多，说明小明投篮失败后也可继续投篮， 则（），规定（）． 11分 化简可得，，其中，，． 令， ， 所以． 即，．① 13分 令， ， ，所以对于，． ，（）．②． ①-②可得，（） 即，（）. 15分 令，则， 所以. 令，． 因为，所以，， 所以，． 17分 1 / 15学 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027年高考一轮复习检测卷（全国一卷04） 数学·参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 C C C B B A B D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BCD BCD ABD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．2e 13． 14．112 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15． 【详解】（1）已知， 结合余弦定理得，则， 因为为三角形边长，，所以， 2分 因为，所以， 又因，，代入整理得， 解得，因为，所以， 4分 根据余弦定理，； 6分 （2）由（1）知，由的面积，得， 又，代入，得， 9分 因为的中点，则， 两边取平方，， 11分 即， 所以的长为1. 13分 16． 【详解】(1)设，则过点且斜率为1的直线可设为：，， 1分 设，，且，. 因为点都在椭圆上，因此有， 3分 两式相减得， 所以，因此，即点在定直线，上， 5分 因此的大小为定值，且. 在中，由正弦定理可知， 所以. 故为定值. 7分 （2）设的斜率为，的斜率，则， 因在第三象限，，解得，即，故. 因为，联立得 代入椭圆方程，得：，解得， 9分 因为，故，满足条件. 联立，整理得， 11分 ，则. 所以，则，. 13分 . 故的面积为. 15分 17． 【详解】(1)如图所示，建立空间直角坐标系， 则，，，， ，，，， 2分 设面法向量为，则，即， 令，则，所以平面的一个法向量为， 4分 因为，所以，所以平面得证. 5分 （2）由题意得，不妨设， 则，， 因为，所以， 则，解得① 7分 因为，所以，所以，则②， ①②联立解得：，符合题意，所以， 此时，， 9分 设为平面的法向量，则，即， 令，可得，，所以， 11分 设为平面的法向量，则，即， 令，解得，所以， 13分 得到与平面夹角的余弦值为， 即平面与平面夹角的余弦值为. 15分 18． 【详解】（1）因为，所以， 1分 令，解得， 当时，，当时，， 3分 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值，极大值为，无极小值． 4分 （2）直线与曲线相切，设切点为， 因为，所以， 所以，解得，① 6分 因为切点在上， 所以，即，② 由②-①并整理得：． 8分 令，则，令，解得， 则当时，，则在上单调递减， 当时，，则在上单调递增， 当时，，且， 则方程有唯一解为，将代入①式，可得． 10分 （3），， 因为对任意的恒成立， 所以， 11分 因为，所以， 即， 即恒成立，则， 解得． 则， 13分 令，则， 设， 则在恒成立，则在上单调递增， 15分 又，则由，由， 所以在上单调递减，在上单调递增，所以， 即恒成立，所以的取值范围是． 17分 19． 【详解】（1）（i）由题意，设小明投篮得2分的概率为，； 投篮得3分的概率为，； 投篮不成功的概率为． 2分 小明最后一次投篮成功为二分投篮意味着得分为6是3次二分投篮， 记“小明3次二分投篮成功得分为6”为事件，， ， 4分 由条件概率计算公式，在的条件下小明最后一次投篮成功为二分投篮的概率为 ． 5分 （ii）由题意，小明遇到投篮失败就退出比赛， 所以若第一次投篮失败则得分为，且． 对于，若第一次投篮得2分，则后续还需得分， 若第一次投篮得3分，则后续得分为分． 所以（），且， 7分 从而， ，， ，所以． 10分 （2）小明持续参赛且投篮次数足够多，说明小明投篮失败后也可继续投篮， 则（），规定（）． 11分 化简可得，，其中，，． 令， ， 所以． 即，．① 13分 令， ， ，所以对于，． ，（）．②． ①-②可得，（） 即，（）. 15分 令，则， 所以. 令，． 因为，所以，， 所以，． 17分 7 / 7学 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027年高考一轮复习检测卷（全国一卷04） 数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知复数，则的模为（    ） A． B． C． D． 3．已知向量，，，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．【新背景】美国数学家Jack Kiefer于1953年提出0.618优选法，又称黄金分割法，是在优选时把尝试点放在黄金分割点上来寻找最优选择．我国著名数学家华罗庚于20世纪60、70年代对其进行简化、补充，并在我国进行推广，广泛应用于各个领域黄金分割比，现给出三倍角公式，则t与的关系式正确的为（   ） A． B． C． D． 5．已知正四棱台的上、下底面边长分别为和，侧棱长为，则该四棱台的体积为（    ） A． B． C． D． 6．函数，若对于，都有成立，则实数a的取值范围是（    ）． A． B． C． D． 7．已知数列满足，则（       ） A．250 B．500 C．550 D．1000 8．已知函数若恰有4个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是（    ） A．一组数据10，10，11，12，12，14，16，19，21，21的第80百分位数为19 B．若变量，具有线性相关关系，且，，其经验回归方程为，则实数的值是 C．若，，，则事件与事件相互独立 D．若随机变量服从正态分布，且，则 10．已知数列是正项等比数列，且，，则下列说法正确的是（    ） A． B．数列的前项和为 C． D．若，则数列为递增数列 11．已知抛物线的焦点为F，直线与C相交于M、N两点，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．设函数，曲线在处的切线方程为，则的值为______． 13．已知双曲线的左焦点为F，过F的直线l与y轴相交于点P，与C相交于M、N两点、且，则C的离心率为__________． 14．在实验中学的足球班赛中，高一1班和高二2班进行到了点球大战，两队各派5名队员依次主罚，进球记1分，不进记0分．罚点球从1班开始先罚，两个班队员依次轮流主罚．在任一队员罚球结束后，若有一队进球数领先对方的分数大于对方剩余主罚人数，则比赛立即结束．每个点球只有“得分”和“不得分”两种可能，以{1班得分序列，2班得分序列}表示得分情况，如{11111，1101}表示1班五罚均得分，2班仅在第3罚罚失，则比赛恰好在1班的第5名队员罚球结束后结束的得分情况共___________种． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）记的内角，，的对边分别为，，，已知． (1)若，，求的值； (2)若的面积为，为的中点，且，求的长． 16．（15分）已知椭圆的左顶点为，为坐标原点，点为线段（不含端点）上一点，过且斜率为1的直线交于两点，在第三象限，设为线段的中点. (1)证明：为定值； (2)若，求的面积. 17．（15分）如图，在直三棱柱中，，分别为，的中点，，，． (1)求证：平面； (2)设点在的内部，，，使点的位置唯一确定，求平面与平面夹角的余弦值． 18．（17分）已知函数，． (1)求函数的极值； (2)若直线与曲线相切，求a的值； (3)若对任意的恒成立，求a的取值范围． 19．（17分）小明是篮球爱好者，据统计，小明在篮球赛中选择三分投篮的概率为，投篮命中率为；选择二分投篮的概率是，投篮命中率为．某一场篮球赛中，小明每次选择三分投篮或者二分投篮都相互独立，记其投篮总得分为的概率为． (1)若小明投篮失败就退出比赛． （i）在的条件下，求小明最后一次投篮成功为二分投篮的概率； （ii）写出的递推式及计算． (2)若小明持续参赛且投篮次数足够多，求的表达式． 1 / 6学 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $