浙江天域名校协作体2027届高三上学期10月学科练习数学试卷

绝密★使用前 高三数学学科练习 注意事项： 1．本题共4页，满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，在答题卡指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号． 3．所有答案必须写在答题卡上，写在试题上无效． 4．结束后，只需上交答题卡． 选择题部分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，集合，则（ ） A． B． C． D． 2．已知，为虚数单位，若为纯虚数，则的值为（ ） A．1 B． C．0 D． 3．已知，，则“”的一个充分不必要条件是（ ） A． B． C． D． 4．若将函数的图象向左平移个单位后的函数图象关于轴对称，则可取值为（ ） A． B． C． D． 5．已知事件与事件同时发生时，事件必然发生，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 6．设，分别为数列，的前项和，，且，则当取得最大值时，（ ） A．23 B．24 C．25 D．26 7．已知函数则（ ） A．．0 C．2 D．10 8．设为原点，，分别为双曲线C：的左右焦点，，分别为左右顶点，点在双曲线上且满足，平分，则该双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．掷一枚质地均匀的骰子，连续抛掷4次，记录每次朝上的点数．若该组数据的平均数为3，则（ ） A．中位数可能为3 B．极差可能为1 C．众数可能为2 D．方差可能为6 10．在棱长为2的正四面体中，点在平面内，且，则下列说法正确的有（ ） A．点的轨迹是圆 B．三棱锥的体积最大值为 C．存在点，使得 D．的最小值为 11．已知奇函数和偶函数的定义域均为，其导函数分别为，，且，，，则下列结论中正确的是（ ） A． B．函数的值域为 C．对任意，都有，那么的取值范围为 D．若直线与函数、函数的图象分别交于、两点，函数在点处的切线与函数在点处的切线相交于，则的最小值为 非选择题部分 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知两单位向量，满足，则，的夹角为_______． 13．已知抛物线：上点，斜率为1的直线过点，抛物线上存在两点，关于直线对称，则_______． 14．设数列满足，，，记为不超过实数的最大整数，则_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）在中，角，，所对应的边分别为，，，，． （1）求； （2）若，求． 16．（15分）如图，在三棱柱中，为边长为2的正三角形，顶点在底面的投影为线段的中点，已知直线与平面所成的角为，为棱上一动点． （1）求三棱锥的体积； （2）若，求平面与平面所成角的正弦值． 17．（15分）已知函数． （1）求证：函数在上存在唯一极值点； （2）设为（1）中的极值点，求证：对任意，都有． 18．（17分）已知椭圆，点在椭圆上，为坐标原点，、关于原点对称，设直线斜率为，过点作斜率为的直线交轴于点，直线与椭圆交于另一点． （1）证明：直线与直线斜率之和为定值； （2）若直线，直线，直线的斜率依次成等比数列，求的值； （3）求外接圆圆心的纵坐标的最大值． 19．（17分）已知，，…，为，，…，的一个排列，定义一次划分变换：把小于的数按照原排列的顺序排在左边（若没有小于，则其左侧不放任何数）；把大于的数按照原排列的顺序排在右边（若没有大于，则其右侧不放任何数），得到新的数列记为，其中，，． （1）若排列为4，2，3，1，写出以及； （2）对于任意有限排列，必定存在正整数使得．记使得成立的最小的正整数为随机变量，且表示满足的排列的个数，其中． （i）若，求的值（用表示）； （ii）证明：． 学科网（北京）股份有限公司 $绝密★使用前 高三数学学科练习参考答案 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D A C B D B C 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.AC 10.ACD 11.ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 2π 12. 3 13.2W10 14.1023 四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分)(1)C,A为锐角， 又因为C+A=,解得C=近A见 ……5 24 2》cos2C=cos(C+A+(c-4)=55_12_6- 2222 4 2-1-2sin2c, cOs24-c0s/(C+A)-C-42 2126+ 2-1-2sin2A …8 于是sin2c-sin2A=V2 …10 4 又因为2R= 6 ,…12 sin B 故c2-a2=(2RP(sn2c-sin2A小- 13 16.(15分)（1)：在三棱柱中，O为A在底面ABC上的投 影 ∴.AO⊥面ABC, A,C/I面ABC ∴·点M到平面ABC的距离等于点A到平面ABC的 距离2 因为AM与平面ABC所成的角为子，且A01面ABC, 六∠448=年，0A=04=1 .4 c=业m=9e40=×92x1 34 3 .7 (2)以O为原点，OB,OC,OA为x,y,z轴，如图， 可得：0(0,0,0)，B(1,0,0),C0,V5,0,A(-1,0,0),A(0,0,1), 又3w4.--c=写90 3 B .9 所以晒（号 Ba=(-2,00,Bc-（←15,0)， 设m=(:,y,)为平面ABM的一个法向量， 「2,5 则 +3%+=0,令云=1，则m=(0,-5,, -2x=0 设n=(x2y2,2)为平面CBM的一个法向量， nBM=0 [2,5 2*行 n-8C=0,即 则 13 -x2+V3y2=0 2w5 lcos(m,n= m列 3 3 网同 2x佩--2 13 所以平面ABM与平面CBM所成角的正弦值为239 …15 13 17.(1)()=ma-amx f(x)-a-hna+l-Inx-x …2 x2 令8()=a-ha+1-lnx-x,则g(x)=--1<0, 即g(X)递减，…4 又g()=a-lna>0【可证：lnx≤x-1】,，g(a)=1-2na<0（~a>e), 所以存在唯一零点x∈(1，a),使得g(xo)=0,… …6 当x∈(0，x),g(x)>0,即f'(x)>0, 当x∈(o,+o),g(x)<0,即当f'(x)<0, 因此X是f(x)的唯一极值点.…7 (2)由(1)可知x。是极大值点， 所以对任意x>0,f(x≤f(x).…9 因此只需证明不等式：对任意x>0,都有了（化，）<2-2，即f6,)-2+2<0. 由f'(x)=0,得：a-lna+1-lnxo-x%=0,得na-a=1-lho-, )=Ina-d InxInx-nxn ix., Xo 则f大）2t2E1nX+l,2 令p=-1-1nx+1,则p因=-=15x, XX-Y 当x∈(1，a),p'(x)<0，p(x)递减， 故K<(）=0,即f0,）2+2<0,得证.…15 18.(17分)(1)设A(x,%),则B(-x,-%), 线D:y-为三7C-x,从而D-2x,0…2 故8+kD=业+ （%) =0为定值.… (-0)-(-2x) (2)设E(x,),则 k制ka=名-业.当+业=只-好 ……7 名-0名+x0x-x0 X-xo 如设起知如=8得=气（)，解将k=5g 1 (3)设B(-xo,-%),直线BE的直线方程为y+y%=-k(x+xo),…10 可化为y=-c-2yo, [y=-kx-2y0 由 3+21 得(1+3k2)x2+12yox+12y-3=0. 6y0 的中点为M,则xM1132,yw=-w-2y,……产 联立AB,BE得垂直平分线 y-w=-w XM 得外接圆圆心为P的纵坐标为yp= 2 y=-x 6y0-2y0 于是2w,-+,-2%-+ +用%器- …15 =号-3%3-3g)-=2%-) 设=-)，由于()为奇函数，只需考虑0≤x≤1，令f)=1-3r=0,得=5 当0≤x<5时，/>0，y=网单调道增： 3 当 <x≤1时，f(x)<0,y=f(x)单调递减： 3 当x=5f因=f号 25 3 9 故y,的最大值为 v5 ,…17 9 19.(17分)（1)F(40:2,3,1,4,… 2 F2(A):1,2,3,4… .4 (2)结论2分，根据m的位置分类讨论的意识2分，说理2分 (i)考虑将最大的数m插入到由1,2,3，…，m-1构成的排列中： ①若m插在第1位：因为m最大，第一次变换会把它直接移到最右边，这相当于在子排列上多消耗 了一次变换，所以X比原来大1，对应Nmk: ②若m插在其余m-1位置：由于m最大，在变化过程中，m始终不可能成为排列的首项，因此X 保持不变，对应(m-1)Nm-k· 由①②知，Nmk=Nm-k-1+(m-1)Nm-k,故2=m-110 (i)【解法-】P(X=)=V上， m! 当m=1时，X=1,从而E(X)=1=1+ln1,满足结论.… 当m≥2时，由①得E,(X)=2k:=2k(N4+(m-1)N) m!m!k台 令j=k-1,则 kN-(m-1)tE(X)+(m-I) 又因为(m-)∑kNaw=(m-l)小-(m-l)E.(X),， 于是E(X)=En(X)+1, m …14 综上，E.(X)-1+2+m m 起树=h+20.则/w中4”y0, 于是f(x)单调递增，从而f(x)≥f(0)=0,当且仅当x=0等号成立.…15 所以=h+>0，即<h 二+1 n+1 n n 故En(X)=1++++1<1+n2+n++lnm=l+nm. 2 3 23 2 m-1 命题得证 ……………………17 【解法二】当m=1时，X=1,从而E(X)=1=1+n1,满足结论.11 当m≥2时，将1,2，，m任意排列得到随机排列A:a,a2,,am,使得F*(4)=Fk-(4)成立的 最小的正整数k为X,记此时X的期望为Em· 设A:4,2,,n中a=,则1等可能地取1,2，，m,故Pa=)=1,1=2,,m. m 对A作用一次划分变换F 若t=1,则没有小于1的数，变换后排列不变，此时X=1; 若t之2，则F(0:4,42,…,44,4,4…,0j其中a4,42,…,a是1,2，…，t-1的一个排列， 并且此后的划分变换F只对左侧的t-1个数起作用，右侧大数保持相对顺序不变，此时满足 F*(A)=F-(4),后续需要的最少次数的期望为E,1, 于是，在a,=t的条件下，有E(Xla=)=E-1+1 故E=上×1+2G1+, …… 12 m m 即mE。=251+m0从而（m-51-足5+m-1@, 1=2 1=2 1 ①-②得mEm-(m-l)Em-=Em-1+1(m≥3)，即Em=Em-+(m≥3)③ m 易知6=1E2=1+=3 1 1 ),容易验证E2=E+。满足Em=Em1+ 14 2 m 从而有Em=1+2+ 11 5+…+二， m 记f=+-本≥0，则f=1-】 x+1 x+1x+102(G+D2≥0， 于是f(x)单调递增，从而f(x)≥f(0)=0,当且仅当x=0等号成立… 15 所f=h+分>0，即<n中。 二+1 n+1 n 11 ，3 故En=1+号t++<1+n2+1n3++lnm,=l+nm. 2 2'3m 12 m-1 综上，X的期望E(X)≤I+lnm. 17