精品解析：浙江省嘉兴市重点高中2027届高三上学期第一次调研考试数学试题

2026~2027学年上学期高三第一次调研考试 数 学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，请将答题卡上交． 4．本卷主要命题范围：集合、常用逻辑用语，不等式，函数，导数，平面向量，复数． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数满足，则复数在复平面内所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的除法求复数，进而判断对应点所在象限. 【详解】由题设， 则对应点为在第三象限. 故选：C 2. 命题，命题，则命题是命题的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分条件与必要条件定义判断即可. 【详解】因为，由不等式性质可得，； 若，取，满足，但得不到， 所以命题是命题的充分不必要条件， 故选：A． 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式求出，由函数特征求定义域，得到，利用补集和交集概念求出答案. 【详解】，解得，故， 得，故， 故. 故选：B 4. 若，则的最小值是（ ） A. 6 B. 4 C. 10 D. 【答案】C 【解析】 【分析】先对式子进行变形，构造出可以使用基本不等式的形式，再根据基本不等式的条件求出最小值. 【详解】，，对进行变形可得， 根据基本不等式，得， 当且仅当时即等号成立， 当时，取得最小值为. 故选：. 5. 已知函数，则（ ） A. 0 B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【详解】由题知当时，，当时，. ，. 又，. 6. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则满足的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过求导确定函数单调性，再结合函数奇偶性即可求解. 【详解】当时，， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增. 又因为，且时， 所以当时，， 当时，. 由奇函数的性质：当时，， 当时，. 对于不等式， 当时，只需，所以或， 解得或，又，则； 当时，只需，所以或， 解得或，又，则. 综上所述，的取值范围是. 故选：D. 7. 已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由，， ，故有. 8. 函数（，），若在上恒成立，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由题意结合导数计算可得与有公共零点，再结合韦达定理与对数运算性质计算即可得解. 【详解】令，则， 则当时，，当，， 则在上单调递减，在上单调递增， 又，当时，，当时，， 故有两个零点、； 由在上恒成立， 则时，需，时，需， 又在上单调递减，在上单调递增， 则当、为与的公共零点时，有在上恒成立， 则有，且有， 则. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若复数（i为虚数单位），则下列说法中正确的是（ ） A. z的虚部为5i B. z的实部为1 C. D. 【答案】BC 【解析】 【详解】，故， 所以的虚部为5，实部为1，故A错误，B正确； ，则，故C正确； ，D错误. 10. 已知函数，则（ ） A. 的极值点为 B. 的极大值为 C. 的最大值为 D. 只有1个零点 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用导函数可得，进而可求函数的极值，可判断ABC，利用对数函数的性质可判断D. 【详解】∵函数， ∴， 由，得，由，得， ∴函数在上单调递增，在上单调递减， ∴是函数的极大值点，函数在上取得极大值，，且为函数的最大值，故Ａ错误，BC正确； 又因为，且当时，，当时，，故D正确. 故选：BCD. 11. 定义域为的函数满足，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数为奇函数 C. D. 4为函数的一个周期 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，令可求出，对于B，令，再结合函数奇偶性的定义判断即可，对于C，分别令，分析求解，对于D，令，再结合周期的定义分析判断 【详解】对于A，令，可得，A选项正确； 对于B，令，有， 从而有，可知为偶函数，B选项错误； 对于C，令，有； 令，有，可得， 从而有，有， 当时，，可得，与矛盾， 可知，可求得，，有，C选项正确； 对于D，令，有，有， 从而有，可知4是函数的一个周期，D选项正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知非零向量，的夹角为，其中，且满足，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据得到，将代入求出答案. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 因为为非零向量，所以， 所以，所以， 故答案为： 13. 已知，若，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据已知条件化简得出，再应用常值代换结合基本不等式计算求解最小值. 【详解】因为，所以， 则，由得：， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为． 故答案为：． 14. 已知直线与函数交于两点，过点的切线与过点的切线分别交轴于，两点，则_____． 【答案】2 【解析】 【分析】根据对数运算得出，再根据切线方程计算求解即可. 【详解】依题意，， 因为，所以； 在处的切线方程为，令，解得， 在处的切线方程为，令，解得， 所以． 故答案为：2. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知向量，，若，，与的夹角为． （1）求； （2）当为何值时，向量与向量互相垂直？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据平面向量数量积定义计算结合模长公式求解； （2）应用垂直数量积为0结合数量积运算律计算求参即可. 【小问1详解】 ， ． 【小问2详解】 当向量与向量互相垂直时，， 即，即，解得． 所以当时，向量与向量互相垂直. 16. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若，证明：当时，. 【答案】（1） 若时，在上单调递减； 若时，在上单调递减，在上单调递增； 若时，在上单调递减，在上单调递增； （2） 若，由（1）可得，在上单调递增，在上单调递减， 所以在区间上有最大值，只需证明即可. 令，则， 当时，，所以在区间上单调递减， 由于，所以，即得证， 所以若，当时，. 【解析】 【分析】（1）求导可得的解析式，分别讨论、和三种情况，根据二次函数的性质，分析即可得答案. （2）由（1）可得的单调性和最大值，只需证即可，令，利用导数判断的单调性，分析即可得证. 【小问1详解】 由题意， ①若时，恒成立，则在上单调递减； ②若时，此时， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增； ③若时，此时， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增； 【小问2详解】 略 17. 已知，，且，证明： （1）； （2）． 【答案】（1） ， 因为，，，则，当且仅当时等号成立， 所以； （2） ， 由（1）有，有，，有，， 有，当且仅当时等号成立， 所以． 【解析】 【分析】（1）利用基本不等式，求得，进而证得. （2）化简，然后利用不等式的性质以及（1）的结论证得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 设函数的定义域为，对于区间，若满足以下两条性质之一，则称为的一个“Ω区间”.性质1：对任意，均有；性质2：对任意，均有. （1）分别判断说明区间是否为下列两函数的“Ω区间”； ； . （2）若是函数的“Ω区间”，求的取值范围. 【答案】（1） 对于，由一次函数性质得它在上单调递减， 所以当时，，故区间是的“Ω区间”， 对于，由反比例函数性质得它在上单调递减， 所以当时，，此时不满足， 也不满足，故区间不是的“Ω区间”. （2） 【解析】 【分析】（1）利用给定定义逐步检验即可. （2）利用给定定义结合对参数分类讨论，求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 若是函数的“Ω区间”， 而，不满足性质2，必然满足性质1， 由二次函数性质得在上单调递增，在上单调递减， 当时，在上单调递增， 且， 即，所以， 满足，符合题意， 当时，在上单调递减， 所以，而，符合题意， 当时，在上单调递减， ，所以，不符合题意， 综上可得的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：本题考查函数新定义，解题关键是利用给定定义，然后对参数进行分类讨论，得到所要求的取值范围即可． 19. 已知函数. （1）若单调递增，求的取值范围； （2）已知，且. （i）若，证明：； （ii）证明：. 【答案】（1） （2） （i）证明：不妨设，则， 则由，知，所以， 设， 所以单调递增，， 所以，即. （ii）证明：由（1）可知，当时，， 所以，即当时，， 由，得，所以， 又，所以，所以， 所以. 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用参数分离法，构造函数，将问题转化为，再利用导数求得，从而得解； （2）（i）利用换元法将等式化为，构造函数，利用导数分析得其单调性，从而得证； （ii）利用（1）结论，取，得到，进而得到，从而化简得证. 【小问1详解】 由题意得定义域，， 即恒成立. 设，则， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以当时，取得极小值，也是最小值，， 所以. 【小问2详解】 （i）略 （ii）略 【点睛】关键点点睛：第（2）（i）关键点是通过换元令，从而可构造函数，求导得出函数单调性，从而利用最值证明原命题； 第（2）（ii）关键点是通过观察找到合适的的值代入运算，使得证明过程更简便，再结合，代入结论式即可证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026~2027学年上学期高三第一次调研考试 数 学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，请将答题卡上交． 4．本卷主要命题范围：集合、常用逻辑用语，不等式，函数，导数，平面向量，复数． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数满足，则复数在复平面内所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 命题，命题，则命题是命题的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 4. 若，则的最小值是（ ） A. 6 B. 4 C. 10 D. 5. 已知函数，则（ ） A. 0 B. C. D. 1 6. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则满足的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 函数（，），若在上恒成立，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若复数（i为虚数单位），则下列说法中正确的是（ ） A. z的虚部为5i B. z的实部为1 C. D. 10. 已知函数，则（ ） A. 的极值点为 B. 的极大值为 C. 的最大值为 D. 只有1个零点 11. 定义域为的函数满足，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数为奇函数 C. D. 4为函数的一个周期 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知非零向量，的夹角为，其中，且满足，则______. 13. 已知，若，则的最小值为________． 14. 已知直线与函数交于两点，过点的切线与过点的切线分别交轴于，两点，则_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知向量，，若，，与的夹角为． （1）求； （2）当为何值时，向量与向量互相垂直？ 16. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若，证明：当时，. 17. 已知，，且，证明： （1）； （2）． 18. 设函数的定义域为，对于区间，若满足以下两条性质之一，则称为的一个“Ω区间”.性质1：对任意，均有；性质2：对任意，均有. （1）分别判断说明区间是否为下列两函数的“Ω区间”； ； . （2）若是函数的“Ω区间”，求的取值范围. 19. 已知函数. （1）若单调递增，求的取值范围； （2）已知，且. （i）若，证明：； （ii）证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $