浙江省嘉兴市二十一世纪外国语学校2026-2027学年八年级上学期月度质量测评一数学试卷

《2026年八上21世纪第一次月考数学卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A 0 D A B 0 11.x-5>4x 12.两直线平行，同位角相等 13.4或V34/34或4 14.5 15.3m 16.时 (2)101 17.(1)x≥- 5 2 (2)-1<x≤6 18.(1) 如图，△ABC即为所求； B 52 (2) 如图，射线BP即为所求. B 19.(1)见解析 e吗 20.(1)①=；②x<15 (2)-3≤m<-2 21.(1) △CEO与△ODB全等 理由如下： 由题意可知∠CEO=∠BDO=90°，OB=OC, '∠BOC=90° ∴.∠COE+∠BOD=∠BOD+∠OBD=90°. ∴.LCOE=∠OBD, 在△CEO和△ODB中， 乙， ∴.△CEO≌△ODB(AAS); (2)爸爸是在距离地面1.8m的地方接住小丽的 3)0.6 22.(1)见解析 (2)R6 2.d1cE-4:2AQ-5 (2)∠ACA=37.5°或∠ACA=75° 24.(1)不是(2)∠B的度数为50或42.503)BD的长为25+6或22 3嘉兴市二十一世纪外国语学校 八（上）月度质量评价1 数学试卷 一、单选题 1.如图是四款新能源汽车图标，其中是轴对称图形的有() 图① 图② 图③ 图④ A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.一个三角形的两边长分别为5cm和8cm,则第三边的长可以是() A.6cm B.3cm C.13cm D.14cm 3.若等腰三角形的一个外角是70°，则它的一个底角的大小为() A.15° B.70° C.110 D.35° 4.如图，△ABC兰△DEF,若LA=100°，∠F=47°，则∠E的度数为() A.100° B.53° C.47° D.33 5.如图，AB=DB,∠1=∠2，请问添加下面哪个条件不能判断△ABC兰△DBE的是() B 2 A.AC-DE B.BC=BE C.∠A=∠D D.∠ACB=∠DEB 6.直角三角形ABC中∠A=90°，点D为BC中点，AD=5cm,AB=6cm,则AC长度是() A.7cm B.8cm C.9cm D.10cm 7.对于命题“如果|a=bl,那么a=b”,能说明该命题为假命题的反例是（) A.a=0,b=0B.a=1,b=1 C.a=-1,b=1 D.a=1,b=2 8.下列命题错误的是() 试卷第1页（共5页） A.若a>b,b>c,则a>c B.若a>b,则-2a>-2b C.若a>b,则a-5>b-5 D.若a>b,则-2a+1<-2b+1 9.如图，在边长为I2的等边△ABC中，D为边BC上一点，BD=8,点E是AC上一动点，连接DE,将线 段DE绕点E顺时针旋转60°得到线段EF,当点F恰好落在边AB上时，则△AEF的面积是() A.4 B.4V3 C.8 D.83 10.如图，在△ABC中，AB=AC,点D为BC中点，以AB为边向下作等边△ABE,若DE的最小值为1， 则BC的长为() A.4 B.2V3 C.33 D.6 二、填空题 11.“x与5的差大于x的4倍用不等式表示为 12.“同位角相等，两直线平行”这个命题的逆命题是 13.已知直角三角形的两边长分别为3和5，则第三边的长为. 14.如图所示，在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC,交AC于点D,且AD=2,BC=5,则△BCD的 面积是 D B 15.由平面镜成像可知物与像关于镜面成轴对称.如图，物体PQ平行镜面MN,点Q处恰好能从镜面点G 处看到点P,PQ=1.6m,PG=QG=1.7m,点P'是点P的像，则P与P'之间的距离为 试卷第2页（共5页） ----D 三、解答题 16.图1表示一双开门关闭时的状态图，图2表示打开双门过程中，某一时刻的示意图，其中AB为门槛 宽度. D B (图1) (图2) (I)当∠CAB=∠DBA=60时，双门间隙CD与门槛宽度AB的比值为 (2)若双门间隙CD的距离为2寸，点C和点D距离AB都为1尺(1尺=10寸)，则门槛宽度AB是 寸 17.解下列不等式（组） (1)解不等式7x-2≤9x+3: (3x+2>x (2)解不等式组 1 3t≤2 18.在边长为1的小正方形组成的方格纸中，若三角形的各顶点都在方格的格点（横竖格子线的交错点） 上，这样的三角形称为格点三角形. A 图甲 图乙 (I)请在图甲中画一个格点三角形，使△ABC是一个等腰直角三角形，并求出△ABC的面积. (2)请在图乙中仅用无刻度的直尺，画出∠ABC的平分线（保留作图痕迹）. 19.已知：如图，Rt△ABC中，∠ACB=90° B Q 试卷第3页（共5页） (1)用直尺和圆规作∠ABC的平分线，交AC于点O: (2)在(1)的条件下，若BC=3,AC=4,求点O到AB的距离 20.对于任意实数ab,定义关于@的运算是：a@b=a-2b (1)①8@2 2@-1(填>，<，=，≥，≤)：②若x@2<1,则x的取值范围是 (2)若不等式组3@(m二)>5恰好有3个整数解，求m的取值范围。 x<2 21.小丽与爸妈在公园里荡秋千.如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，两脚在地面上 用力一蹬，妈妈在距地面1.2m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她.若妈妈与爸爸到OA的 水平距离BD、CE分别为1.8m和2.4m,∠BOC=90°. 0 dD (1)△CEO与△ODB全等吗？请说明理由. (2)爸爸在距离地面多高的地方接住小丽的？ (3)秋千的起始位置A处与距地面的高是m. 22.如图，在△ABC中，∠BAC=60°，∠B=45°，AD是∠BAC的平分线，且AC=2V3,CDLAB于点H, 交AD于点O H (1)求证：△ACD是等腰三角形： (2)求线段BD的长. 23.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点P为边AB上异于A,B的一个动点，作点A关于CP的对称点A',连 接A'P,A'C,交直线AB于点Q. 试卷第4页（共5页） (1)若AC=8,BC=6,AB=10,CE是边AB上的高线. ①求线段CE的长： ②当LPQA'=90时，求线段A'Q的长： (2)在∠A=35的情况下，当△A'PQ是等腰三角形时，求∠ACA'的度数， 24.定义：如果三角形有两个内角的差为60°，那么这样的三角形叫做准等边三角形”， 【理解概念】 (1)顶角为120的等腰三角形_“准等边三角形.（填“是”或不是”) 【巩固新知】 (2)已知△ABC是准等边三角形，其中∠A=35°，∠C>90°.求LB的度数. 【解决问题】 (3)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=1+V3,点D在AC边上，若△BCD是准等 边三角形”，直接写出BD的长 试卷第5页（共5页） · 嘉兴市二十一世纪外国语学校 · 八（上）月度质量评价1 数学试卷 一、单选题 1．如图是四款新能源汽车图标，其中是轴对称图形的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．一个三角形的两边长分别为和，则第三边的长可以是（   ） A． B． C． D． 3．若等腰三角形的一个外角是，则它的一个底角的大小为（   ） A． B． C． D． 4．如图，，若，，则的度数为（　　）      A． B． C． D． 5．如图，，，请问添加下面哪个条件不能判断的是（） A． B． C． D． 6．直角三角形中，点为中点，，，则长度是（   ） A． B． C． D． 7．对于命题“如果，那么”，能说明该命题为假命题的反例是（   ） A．， B．， C．， D．， 8．下列命题错误的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 9．如图，在边长为12的等边中，D为边上一点，，点E是上一动点，连接，将线段绕点E顺时针旋转60°得到线段．当点F恰好落在边上时，则的面积是（   ） A．4 B． C．8 D． 10．如图，在中，，点D为中点，以为边向下作等边，若的最小值为1，则的长为（   ） A．4 B． C． D．6 二、填空题 11．“与5的差大于的4倍”用不等式表示为_________． 12．“同位角相等，两直线平行”这个命题的逆命题是___________． 13．已知直角三角形的两边长分别为3和5，则第三边的长为_____． 14．如图所示，在中，，平分，交于点，且，则的面积是_____． 15．由平面镜成像可知物与像关于镜面成轴对称．如图，物体平行镜面，点Q处恰好能从镜面点G处看到点，点是点P的像，则P与之间的距离为________． 三、解答题 16．图1表示一双开门关闭时的状态图，图2表示打开双门过程中，某一时刻的示意图，其中AB为门槛宽度．    (1)当时，双门间隙与门槛宽度的比值为 ___________． (2)若双门间隙的距离为2寸，点和点距离都为1尺（1尺10寸），则门槛宽度是 ___________寸． 17．解下列不等式 （组）． (1)解不等式； (2)解不等式组 18．在边长为1的小正方形组成的方格纸中，若三角形的各顶点都在方格的格点（横竖格子线的交错点）上，这样的三角形称为格点三角形． (1)请在图甲中画一个格点三角形，使是一个等腰直角三角形，并求出的面积． (2)请在图乙中仅用无刻度的直尺，画出的平分线（保留作图痕迹）． 19．已知∶如图，中， (1) 用直尺和圆规作的平分线，交于点O； (2)在(1)的条件下，若，，求点O到的距离． 20．对于任意实数a、b，定义关于@的运算是：． (1)①________（填，，，，）；②若，则x的取值范围是________． (2)若不等式组恰好有3个整数解，求m的取值范围． 21．小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1.2 m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD、CE分别为1.8 m和2.4 m，∠BOC＝90°． (1)△CEO与△ODB全等吗？请说明理由． (2)爸爸在距离地面多高的地方接住小丽的？ (3)秋千的起始位置A处与距地面的高是 m． 22．如图，在中，，，是的平分线，且，CD⊥AB于点H，交于点O．    (1)求证：是等腰三角形； (2)求线段的长． 23．如图，在中，，点为边上异于的一个动点，作点关于的对称点，连接，交直线于点． (1)若是边上的高线． ①求线段的长； ②当时，求线段的长； (2)在的情况下，当是等腰三角形时，求的度数． 24．定义：如果三角形有两个内角的差为，那么这样的三角形叫做“准等边三角形”． 【理解概念】 （1）顶角为的等腰三角形 “准等边三角形”．（填“是”或“不是”） 【巩固新知】 （2）已知是“准等边三角形”，其中，．求的度数． 【解决问题】 （3）如图，在中，，，，点D在边上，若是“准等边三角形”，直接写出的长． 试卷第4页（共5页） 试卷第5页（共5页） 学科网（北京）股份有限公司 $ · 嘉兴市二十一世纪外国语学校 · 八（上）月度质量评价1 数学试卷 一、单选题 1．如图是四款新能源汽车图标，其中是轴对称图形的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形的定义是解题关键．如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义逐一分析判断即可． 【详解】解：根据轴对称图形的定义，可知图①②是轴对称图形，图③④不是轴对称图形， 即轴对称图形有2个． 故选：B． 2．一个三角形的两边长分别为和，则第三边的长可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的三边关系“三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边”，熟练掌握三角形的三边关系是解题关键．根据三角形的三边关系求解即可得． 【详解】解：设第三边的长为， ∵一个三角形的两边长分别为和， ∴，即， 观察四个选项可知，只有选项A符合， 故选：A． 3．若等腰三角形的一个外角是，则它的一个底角的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质和三角形内角和定理，灵活运用“等腰三角形两底角相等”以及“三角形内角和为”是解题的关键．根据外角与相邻内角互补，先求出与外角相邻的内角为，再由三角形内角和及等腰三角形性质判断出只能为顶角，进而求出底角的大小． 【详解】解：等腰三角形的一个外角是， 与这个外角相邻的内角为， 三角形内角和为，等腰三角形两底角相等，若为底角，则两个底角和为，不符合三角形内角和性质， 只能是等腰三角形的顶角， 它的一个底角为． 故选：． 4．如图，，若，，则的度数为（　　）      A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先根据全等三角形的性质得到，然后利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 在中，， ∴， 故选：D． 【点睛】此题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 5．如图，，，请问添加下面哪个条件不能判断的是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有．注意：不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 本题要判定，已知，，得，具备了一组边一对角对应相等，根据判定方法对选项一一分析，即可选出正确答案． 【详解】解：∵，， ∴， 即， A、添加，根据有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角，故不能判断，该选项符合题意； B、添加，根据，故能判断，该选项不符合题意； C、添加，根据，故能判断，该选项不符合题意； D、添加，根据，故能判断，该选项不符合题意． 故选：A． 6．直角三角形中，点为中点，，，则长度是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题关键．先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，再利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：由题意，画出图形如下： ∵在直角三角形中，点为中点，， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 7．对于命题“如果，那么”，能说明该命题为假命题的反例是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的性质、举反例，熟练掌握绝对值的性质是解题关键．找出满足，但的选项即可得． 【详解】解：A、此项中，且，不能作为反例，则此项不符合题意； B、此项中，且，不能作为反例，则此项不符合题意； C、此项中，但，能作为反例，则此项符合题意； D、此项中，不能作为反例，则此项不符合题意； 故选：C． 8．下列命题错误的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】根据不等式的性质逐一对选项进行分析即可 【详解】A选项中，若，，则，故该选项正确； B选项中，若，则，故该选项错误； C选项中，若，则，故该选项正确； D选项中，若a>b，则−2a<−2b，则，故该选项正确 故选：B 【点睛】本题主要考查不等式的性质，掌握不等式的性质是解题的关键 9．如图，在边长为12的等边中，D为边上一点，，点E是上一动点，连接，将线段绕点E顺时针旋转60°得到线段．当点F恰好落在边上时，则的面积是（   ） A．4 B． C．8 D． 【答案】D 【分析】先证明，再证明，最后用勾股定理三角形求出的高即可求解． 【详解】解：如图， ∵为等边三角形， ∴， ∵，且， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵，且， ∴， 在中：， ∴， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定以及解直角三角形，解题的关键是证明以及． 10．如图，在中，，点D为中点，以为边向下作等边，若的最小值为1，则的长为（   ） A．4 B． C． D．6 【答案】A 【分析】以为边向上作等边，证明F、A、D共线，证明，得到，推出点在射线上，当时，取得最小值，据此求解即可． 【详解】解：以为边向上作等边，连接，， ∵点D为中点，，， ∴，， ∵，点D为中点， ∴， ∴F、A、D共线， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴点在射线上， ∴当时，取得最小值， ∵的最小值为1， ∴， ∵， ∴， ∴． 二、填空题 11．“与5的差大于的4倍”用不等式表示为_________． 【答案】 【分析】根据题中的不等关系列出不等式即可，读懂题意，正确列出不等式是解题关键． 【详解】解：“与5的差大于的4倍”用不等式表示为， 故答案为： 12．“同位角相等，两直线平行”这个命题的逆命题是___________． 【答案】两直线平行，同位角相等 【分析】本题考查了命题与定理，掌握命题的基本知识是解题的关键． 把一个命题的题设和结论互换就得到它的逆命题． 【详解】命题“同位角相等，两直线平行”的题设是“同位角相等”，结论是“两直线平行”. 所以它的逆命题是“两直线平行，同位角相等”. 故答案为：两直线平行，同位角相等． 13．已知直角三角形的两边长分别为3和5，则第三边的长为_____． 【答案】或/或4 【分析】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键． 由于此题中直角三角形的斜边不能确定，故应分是直角三角形的斜边和直角边两种情况讨论． 【详解】解：∵直角三角形的两边长分别为3和5， ∴①当5是此直角三角形的斜边时， 设另一直角边为， 则； ②当5是此直角三角形的直角边时， 设斜边为， 则． 综上所述， 故答案为：4或． 14．如图所示，在中，，平分，交于点，且，则的面积是_____． 【答案】 【分析】首先作，利用角平分线的性质可得，利用三角形的面积公式可得结果． 【详解】解：过点作， ∵平分，， ∴， ∴， 故答案为5． 【点睛】此题考查了角平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线的性质． 15．由平面镜成像可知物与像关于镜面成轴对称．如图，物体平行镜面，点Q处恰好能从镜面点G处看到点，点是点P的像，则P与之间的距离为________． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握轴对称的性质，将问题转化为求，先过点作于A，得出为的中点，再利用勾股定理求出即可求解． 【详解】解：过点作于A，如图： 由题意知：， ， 由对称性知，点是点P的像，关于对称，则P与之间的距离为， 故答案为：． 三、解答题 16．图1表示一双开门关闭时的状态图，图2表示打开双门过程中，某一时刻的示意图，其中AB为门槛宽度．    (1)当时，双门间隙与门槛宽度的比值为 ___________． (2)若双门间隙的距离为2寸，点和点距离都为1尺（1尺10寸），则门槛宽度是 ___________寸． 【答案】(1) (2)101 【分析】（1）过作交于点，得到是等边三角形，四边形是平行四边形，从而推出，即可得到答案； （2）作于，于，得到，得到，设寸，则寸，由勾股定理列出关于的方程，即可解决问题． 【详解】（1）解：过作交于点，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴双门间隙与门槛宽度的比值为． 故答案为：； （2）作于，于，    ∵点和点距离都为1尺， ∴（寸）， ∵， ∴， ∴， 设寸，则寸， ∵寸， ∴（寸）， ∵，， ∴（寸）， ∵， ∴， ∴， ∴（寸）， ∴门槛宽度是101寸． 故答案为：101． 【点睛】本题主要考查平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识，正确作出辅助线是解题关键． 17．解下列不等式 （组）． (1)解不等式； (2)解不等式组 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）按照解一元一次不等式的一般步骤运算即可； （2）分别解出两个一元一次不等式，然后取公共部分即可． 【详解】（1）解：移项得：， 合并同类项得： 系数化为1得： （2） 解得：， 解得：， ∴不等式组的解集为：． 【点睛】本题考查解一元一次不等式和一元一次不等式组，掌握解一元一次不等式的一般步骤是解题的关键． 18．在边长为1的小正方形组成的方格纸中，若三角形的各顶点都在方格的格点（横竖格子线的交错点）上，这样的三角形称为格点三角形． (1)请在图甲中画一个格点三角形，使是一个等腰直角三角形，并求出的面积． (2)请在图乙中仅用无刻度的直尺，画出的平分线（保留作图痕迹）． 【答案】(1) 如图，即为所求； (2) 如图，射线即为所求． 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质，结合勾股定理及其逆定理，即可求解； （2）连接，取的中点P，根据等腰三角形的性质，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； （2）解：理由：连接，取的中点P， 根据题意得：， ∴， ∴平分． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理及其逆定理，熟练掌握等腰三角形的性质，勾股定理及其逆定理是解题的关键． 19．已知∶如图，中， (1) 用直尺和圆规作的平分线，交于点O； (2)在(1)的条件下，若，，求点O到的距离． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了复杂作图、角平分线的性质及勾股定理的知识点，熟知角平分线的作法和性质是解答本题的关键． (1)利用角平分线的作法得出即可； (2)利用角平分线的性质和勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图，为所求作的角平分线； （2）解：如图2，过点O作于点D， ，由（1）知平分， ，．    ，， ，，．   设，则，， 在中，， 得， 即点O到的距离为． 20．对于任意实数a、b，定义关于@的运算是：． (1)①________（填，，，，）；②若，则x的取值范围是________． (2)若不等式组恰好有3个整数解，求m的取值范围． 【答案】(1)①=；② (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，根据不等式组的解集求参数，熟知解一元一次不等式的方法是解题的关键． （1）①根据新定义计算判断即可；②根据题意可得不等式，解之即可得到答案； （2）根据新定义可得不等式，求出此不等式的解集，再根据不等式组的解集情况得出不等式求解即可． 【详解】（1）解：①根据题意得：，， ∴； 故答案为：； ②解：∵， ∴， 解得； （2）即 由①得， 有3个整数解， ， ． 21．小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1.2 m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD、CE分别为1.8 m和2.4 m，∠BOC＝90°． (1)△CEO与△ODB全等吗？请说明理由． (2)爸爸在距离地面多高的地方接住小丽的？ (3)秋千的起始位置A处与距地面的高是 m． 【答案】(1) △CEO与△ODB全等． 理由如下： 由题意可知∠CEO＝∠BDO＝90°，OB＝OC， ∵∠BOC＝90°， ∴∠COE＋∠BOD＝∠BOD＋∠OBD＝90°． ∴∠COE＝∠OBD， 在△CEO和△ODB中， ， ∴△CEO≌△ODB（AAS）； (2)爸爸是在距离地面1.8m的地方接住小丽的． (3)0.6 【分析】（1）由直角三角形的性质得出∠COE＝∠OBD，根据AAS可证明△CEO≌△ODB； （2）由全等三角形的性质得出CE＝OD，OE＝BD，求出DE的长则可得出答案； （3）由（2）可得点D距地面的高度是1.2m，用勾股定理求出OA的长，再求出AD的长，即可求得秋千的起始位置A处与距地面的高． 【详解】（1）略 （2）∵△CEO≌△ODB， ∴CE＝OD，OE＝BD， ∵BD、CE分别为1.8m和2.4m， ∴DE＝OD−OE＝CE−BD＝2.4−1.8＝0.6（m）， 由题意，点B距地面的高度是1.2m， 所以，点D距地面的高度是1.2m， 点E距地面的高度是1.2+0.6=1.8（m） 所以，点C距地面的高度是1.8m． 答：爸爸是在距离地面1.8m的地方接住小丽的． （3）在Rt△BOD中，（m）， ∴OA=3（m）， ∴AD=OA-OD=3-2.4=0.6（m） 由（2）得，点D距地面的高度是1.2m， ∴秋千的起始位置A处与距地面的高是1.2-0.6=0.6（m）， 答：秋千的起始位置A处与距地面的高是0.6m． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，证明△CEO≌△ODB是解题的关键． 22．如图，在中，，，是的平分线，且，CD⊥AB于点H，交于点O．    (1)求证：是等腰三角形； (2)求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据三角形内角和定理求得，再根据角平分线的定义和三角形外角的性质得出，即可得出结论； （2）过点D作于M，根据直角三角形的性质得出，再根据等腰直角三角形的性质和勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：过点D作于M，则， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴．    【点睛】本题考查直角三角形的性质、等腰直角三角形的性质、三角形内角和定理和三角形外角的性质、勾股定理，准确作出辅助线是解题的关键． 23．如图，在中，，点为边上异于的一个动点，作点关于的对称点，连接，交直线于点． (1)若是边上的高线． ①求线段的长； ②当时，求线段的长； (2)在的情况下，当是等腰三角形时，求的度数． 【答案】(1)①；②； (2)或 【分析】（1）①根据题意，作出高线，利用等面积法列等式求解即可得到答案； ②根据题意可知点Q与点E重合，又根据对称性可知，结合①中，即可得到的长； （2）根据是等腰三角形，分三种情况：①；②；③；先利用轴对称的性质得到，再根据等边对等角和三角形外角的性质即可求解． 【详解】（1）解：①如图，过点作于点E， 在中，， ∵是边上的高线， ， 即， 解得：； ②根据题意，如图所示： ∵点关于对称点为， ∴， ∵，是边上的高线， ∴点Q与点E重合， 由①知， 则， ∴； （2）解：当是等腰三角形时，分三种情况：①；②；③； ①当时， ∵点关于对称点为，， ， 在中，， ∵是的一个外角， ， 即； ②当时，， ∵点关于对称点为，， ， 在中，， ∵是的一个外角， ， 即； ③当时， ∵点关于对称点为， ， ∵是的一个外角， ， 即（舍去）， 综上所述，在的情况下，或． 【点睛】本题考查了等面积法求高、轴对称的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和、三角形外角性质等知识，熟练掌握相关性质，利用分类讨论的思想是解决问题的关键． 24．定义：如果三角形有两个内角的差为，那么这样的三角形叫做“准等边三角形”． 【理解概念】 （1）顶角为的等腰三角形 “准等边三角形”．（填“是”或“不是”） 【巩固新知】 （2）已知是“准等边三角形”，其中，．求的度数． 【解决问题】 （3）如图，在中，，，，点D在边上，若是“准等边三角形”，直接写出的长． 【答案】（1）不是（2）的度数为或（3）的长为或 【分析】（1）根据等腰三角形的性质，求得三角形的内角，再根据“准等边三角形”即可求解； （2）分两种情况求解，或，分别求解即可； （3）是“准等边三角形”，分两种情况，或，分别求解即可． 【详解】解：（1）∵等腰三角形的顶角为， ∴等腰三角形的两个底角度数分别为，， ∴顶角为的等腰三角形不是“准等边三角形”； （2）∵是“准等边三角形”，，， ∴分两种情况： 当时， ∴， ∴； 当时， ∵， ∴， ∴， ∴； 综上所述：的度数为或； （3）的长为或． ∵，，， ∴，， ∵是“准等边三角形”， ∴分两种情况： 当时， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：或（舍去）， ∴； 当时， 过点D作，垂足为E，    ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设， 在中，， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴； 综上所述： 的长为或． 【点睛】此题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，含30度直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关基本性质，利用分类讨论的思想求解问题． 试卷第20页（共21页） 试卷第5页（共21页） 学科网（北京）股份有限公司 $