精品解析：山东济南市槐荫区西城实验学校2026-2027学年度第一学期学科素养诊断试题九年级数学试题

2026-2027学年度第一学期学科素养诊断试题 九年级数学试题 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列各组线段中，不成比例的是（ ） A. 4cm，10cm，6cm，8cm B. 12cm，4cm，6cm，8cm C. 33cm，11cm，22cm，66cm D. 2cm，4cm，4cm，8cm 2. 如图，已知，，，则的长为（ ） A. 96 B. 60 C. 48 D. 120 3. 拋物线的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 轴 4. 已知：，下列图形中，与不存在位似关系的是（    ） A. B. C. D. 5. 如图，，要使，只需要添加一个条件即可，这个条件不可能是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，有一块锐角三角形材料，边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成正方形零件，使其一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，则这个正方形零件的边长为 A. 40mm B. 45mm C. 48mm D. 60mm 7. 已知二次函数，下列说法错误的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴为直线 C. 顶点坐标为 D. 当时，随的增大而减小 8. 设，，是抛物线（m为常数）上的三点，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 9. 《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法，如图所示，在井口处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端观察井水水岸．视线与井口的直径交于点，如果测得米，米，米，那么为（ ） A. 3米 B. 4米 C. 5米 D. 6米 10. 如图，在正方形中，是等边三角形，、的延长线分别交于点E、F，连接、，与相交于点H．给出下列结论：①；②；③；其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ①② C. ②③ D. ①③ 二、填空题（本大题共6个小题．每小题4分，共24分．把答案填在答题卡的横线上．） 11. 如果，那么______． 12. 抛物线与轴的交点坐标是___________． 13. 若点C是线段的黄金分割点，，，则的长为______． 14. 已知线段m，n，p，q，则下列图形中线段的数量关系能得到的是（ ） A. B. C. D. 15. 如图，在矩形中，，，点E、F在边上，和交于点G，若，则图中阴影部分的面积为______． 16. 如图，是边长为1的等边三角形，取的中点E，作，，得到四边形，它的面积记为，取的中点，作，，得到四边形，它的面积记作，照此规律，则________． 三、解答题（本大题共9个小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17. （1）四条线段a，b，c，d成比例，其中，求线段a的长． （2）已知，且，求a的值． 18. 如图，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一点，使得AE⊥DE． (1)求证：△ABE∽△ECD； (2)若AB＝4，AE＝BC＝5，求CD的长． 19. 已知抛物线经过点和． （1）求b，c的值； （2）若点在函数的图象上，求m的值． 20. 如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，其顶点的坐标为． （1）直接写出点、、的坐标； （2）若点在抛物线上，的面积是24，求点的坐标． 21. 在如图的方格纸中，的顶点坐标分别为，与是以点P为位似中心的位似图形． （1）在图中标出位似中心P的位置； （2）以原点O为位似中心，在位似中心的同侧画出的一个位似图形，使它与的位似比为；并写出点A的对应点的坐标； （3）求的面积 22. 如图，嘉嘉同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，点E到地面的高度，点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离为．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点A、B、C、D在同一水平面上． （1）求的长． （2）求灯泡到地面的高度． 23. 【综合与实践】 矩形种植园最大面积探究 情境 劳动实践基地有一长为12米的墙，研究小组想利用墙和长为40米的篱笆，在前面的空地围出一个面积最大的矩形种植园．假设矩形一边，矩形种植园的面积为S． 分析 要探究面积S的最大值，首先应将另一边用含x的代数式表示，从而得到S关于x的函数表达式，同时求出自变量的取值范围，再结合函数性质求出最值． 探究 方案一：将墙的一部分用来替代篱笆 按图1的方案围成矩形种植园（边为墙的一部分）． 方案二：将墙的全部用来替代篱笆 按图2的方案围成矩形种植园（墙为边的一部分）． 【解决问题】 根据分析，分别求出两种方案中S的最大值；比较并判断矩形种植园的面积最大值为多少？ 24. 如图，，，，．点P从点C出发，以的速度沿向点A匀速运动，同时点Q从点B出发，以的速度沿向点C匀速运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止． （1）求经过几秒，的面积等于面积的？ （2）求经过几秒，与相似？ 25. 【基础巩固】 （1）如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD＝∠B．求证：AC2＝AD•AB． 【尝试应用】 （2）如图2，在▱ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，∠BFE＝∠A．若BF＝4，BE＝3，求AD的长． 【拓展提高】 （3）如图3，在菱形ABCD中，E是AB上一点，F是△ABC内一点，EF∥AC，AC＝2EF，∠EDF＝∠BAD，AE＝2，DF＝5，求菱形ABCD的边长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度第一学期学科素养诊断试题 九年级数学试题 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列各组线段中，不成比例的是（ ） A. 4cm，10cm，6cm，8cm B. 12cm，4cm，6cm，8cm C. 33cm，11cm，22cm，66cm D. 2cm，4cm，4cm，8cm 【答案】A 【解析】 【分析】将每组的四个数据按从小到大排列，计算前两条线段之比与后两线段之比是否相等即可. 【详解】解：A项，从小到大排列后，因为4：6≠8：10，所以四条线段不成比例； B项，从小到大排列后，因为4：6=8：12，所以四条线段成比例； C项，从小到大排列后，因为11：22=33：66，所以四条线段成比例； D项，从小到大排列后，因为2：4=4：8，所以四条线段成比例； 故选A. 【点睛】本题考查比例线段的概念.判断四条线段是否成比例，要先统一单位，再按照从小到大的顺序排列，最后判断前两条线段的长度比是否等于后两条线段的长度比，相等则成比例，不相等则不成比例. 2. 如图，已知，，，则的长为（ ） A. 96 B. 60 C. 48 D. 120 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理等知识．由，推出，进一步计算可得结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 3. 拋物线的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 轴 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质即可求解，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：拋物线的对称轴是轴或直线， 故选：． 4. 已知：，下列图形中，与不存在位似关系的是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查位似变换，正确把握位似图形的定义是解题关键． 根据位似图形的定义，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，进而判断得出答案． 【详解】解：A、与是位似关系，故此选项不合题意； B、与是位似关系，故此选项不合题意； C、与是位似关系，故此选项不合题意； D、与对应边和不平行，故不存在位似关系，故此选项符合题意； 故选：D． 5. 如图，，要使，只需要添加一个条件即可，这个条件不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形判定方法：两角法、两边及其夹角法、三边法、平行线法．先求出，再根据相似三角形的判定方法分析判断即可． 【详解】∵， ∴， ∴， A、添加可利用两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似可得，故此选项不合题意； B、添加可利用两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似可得，故此选项不合题意； C、添加可利用两边及其夹角法：两组边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，故此选项不合题意； D、添加不能证明，故此选项符合题意； 故选：D． 6. 如图，有一块锐角三角形材料，边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成正方形零件，使其一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，则这个正方形零件的边长为 A. 40mm B. 45mm C. 48mm D. 60mm 【答案】C 【解析】 【详解】因为正方形PQMN的QM边在BC上， ∴PN∥BC， ∴△APN∽△ABC， ∴， 设ED=x， ∴PN=MN=ED=x，， ∴解得：x=48， ∴这个正方形零件的边长是48mm． 故选：C． 7. 已知二次函数，下列说法错误的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴为直线 C. 顶点坐标为 D. 当时，随的增大而减小 【答案】D 【解析】 【分析】将二次函数一般式化为顶点式，再判断开口方向、对称轴、顶点坐标和增减性，即可得出答案． 【详解】解：∵ ，， ∴ 抛物线开口向上，A选项说法正确， 抛物线对称轴为直线，顶点坐标为，B、C选项说法正确， ∵ 抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴ 当时，随的增大而增大，因此D选项说法错误． 综上，只有D选项符合题意． 8. 设，，是抛物线（m为常数）上的三点，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质．由二次函数解析式可知抛物线开口向上，且对称轴为．根据二次函数的性质来判断纵坐标的大小． 【详解】解：∵二次函数线， ∴该二次函数的抛物线开口向上，且对称轴为：． ∴在对称轴右侧，y随x增大而增大， ∴点关于直线的对称点坐标为， ∵， ∴， 故选：A． 9. 《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法，如图所示，在井口处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端观察井水水岸．视线与井口的直径交于点，如果测得米，米，米，那么为（ ） A. 3米 B. 4米 C. 5米 D. 6米 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，由题意知：，得出对应边成比例即可得出．根据题意得出是解决问题的关键． 【详解】解：由题意知：，则，， ∴， ∴， ∴， ∴， 经检验，是所列方程的解， 故选：D． 10. 如图，在正方形中，是等边三角形，、的延长线分别交于点E、F，连接、，与相交于点H．给出下列结论：①；②；③；其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ①② C. ②③ D. ①③ 【答案】D 【解析】 【分析】①根据等边三角形的性质和正方形的性质，得到，于是得到，证得，于是得到，故①正确．②由于，推出，得到故②错误；③由于，推出，得到，等量代换得到，故③正确． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， 在正方形中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴；故①正确； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故②错误； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故③正确； 故选：D． 【点睛】本题考查的正方形的性质，相似三角形的判定和性质，平行线的性质，三角函数定义，解答此题的关键是作出辅助线，利用锐角三角函数的定义求出及的长． 二、填空题（本大题共6个小题．每小题4分，共24分．把答案填在答题卡的横线上．） 11. 如果，那么______． 【答案】 【解析】 【分析】利用分式的加法性质，将拆分为，再代入已知条件计算． 本题考查了分式的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：∵ ， ∴ ． 故答案为：． 12. 抛物线与轴的交点坐标是___________． 【答案】 【解析】 【分析】令得出y的值，从而得出与轴的交点坐标． 【详解】令， 得， 抛物线与轴的交点坐标是， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数与坐标轴的交点问题，熟练掌握二次函数与y轴交点的求法是解题的关键． 13. 若点C是线段的黄金分割点，，，则的长为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割，把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项，叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点．根据黄金分割的定义得到，然后把的长代入计算即可，把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项（即，叫作把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点．特别要注意线段的黄金分割点有两个． 【详解】解：点是线段的黄金分割点，且， ， 故答案为：． 14. 已知线段m，n，p，q，则下列图形中线段的数量关系能得到的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是平行线的判定，平行线分线段成比例的应用，根据平行线分线段成比例列出比例式，再化为等积式即可判断． 【详解】解：A选项： 由同位角相等可得平行线， ∴，则，故A不符合题意； B选项： 由同位角相等可得平行线， ∴，则，故B不符合题意； C选项： 由内错角相等可得平行线， ∴，则，故C不符合题意； D选项： 由内错角相等可得平行线， ∴，则，故D符合题意； 故选D 15. 如图，在矩形中，，，点E、F在边上，和交于点G，若，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】35 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形面积计算，过点G作，交于点P，交于点Q，说明四边形和四边形为矩形，证明，得出，分别求出，，，即可得出答案． 【详解】解：过点G作，交于点P，交于点Q，如图所示： ∵四边形是矩形， ∴四边形和四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴． 16. 如图，是边长为1的等边三角形，取的中点E，作，，得到四边形，它的面积记为，取的中点，作，，得到四边形，它的面积记作，照此规律，则________． 【答案】 【解析】 【分析】首先由得出，根据相似三角形的性质得出，根据的面积求出，，求出，同理，，，…，根据规律可写出，再将n取，计算即可得答案． 【详解】解：连接， 的中点，是边长为1的等边三角形， ，， ， ， ∴， ， ， ， ， 的面积是， ， 同理， ， ， 同理，，，…， ． 三、解答题（本大题共9个小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17. （1）四条线段a，b，c，d成比例，其中，求线段a的长． （2）已知，且，求a的值． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）根据成比例线段的定义得到a：b=c：d，然后把代入进行计算即可； （2）设，则，代入，求出k的值，从而得出a的值． 【详解】解：（1）∵a，b，c，d是成比例线段 ∴， 即， ∴a=1cm； （2）设，则， ∵， ∴，解得， ∴． 【点睛】本题考查了成比例线段，关键是理解成比例线段的概念，列出比例式，用到的知识点是比例的基本性质． 18. 如图，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一点，使得AE⊥DE． (1)求证：△ABE∽△ECD； (2)若AB＝4，AE＝BC＝5，求CD的长． 【答案】 （1）证明：∵AB⊥BC，DC⊥BC， ∴∠B＝∠C＝90°，∠BAE＋∠AEB＝90°， ∵AE⊥DE， ∴∠AED＝90°， ∴∠AEB＋∠DEC＝90°， ∴∠BAE＝∠DEC， ∴△ABE∽△ECD. （2）CD＝． 【解析】 【分析】（1）先根据同角的余角相等可得：∠DEC＝∠BAE，再利用两角相等证明三角形相似； （2）先根据勾股定理得：BE＝3，根据△ABE∽△ECD，列比例式可得结论． 【详解】(1)略 (2)在Rt△ABE中，∵AB＝4，AE＝5， ∴BE＝3， ∴EC＝BC－BE＝5－3＝2， ∵△ABE∽△ECD， ∴， ∴， ∴CD＝. 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质等，解此题的关键在于熟练掌握其知识点. 19. 已知抛物线经过点和． （1）求b，c的值； （2）若点在函数的图象上，求m的值． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质． （1）将点和代入计算即可； （2）将点的横坐标代入已求出的抛物线方程，计算对应的y值即得m． 【小问1详解】 解：将点和代入得： ， 解得：； 【小问2详解】 解：由（1）知抛物线方程为， ∵点在函数的图象上， ∴． 20. 如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，其顶点的坐标为． （1）直接写出点、、的坐标； （2）若点在抛物线上，的面积是24，求点的坐标． 【答案】（1），， （2）点的坐标为或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键： （1）根据顶点坐标求出函数解析式，再分别令和，求出、、的坐标即可； （2）设，根据三角形的面积公式进行求解即可． 【小问1详解】 解：抛物线顶点的坐标为 抛物线解析式为， ∴当时，，当时，，解得：， ∴，，； 【小问2详解】 解：设 ∵，， ∴， ， ，即， 当时，解得：，， 点的坐标为或． 当时， ∴方程无实数根．（舍去） 综上所述：点的坐标为或． 21. 在如图的方格纸中，的顶点坐标分别为，与是以点P为位似中心的位似图形． （1）在图中标出位似中心P的位置； （2）以原点O为位似中心，在位似中心的同侧画出的一个位似图形，使它与的位似比为；并写出点A的对应点的坐标； （3）求的面积 【答案】（1） （2），点的坐标为； （3） 【解析】 【分析】（1）连接并延长，交的延长线于点P，点P即为所求点； （2）根据图形中点的位置，直接写出坐标即可； （3）利用割补法求解即可 【小问1详解】 解：略； 【小问2详解】 解：略； 【小问3详解】 解：的面积 22. 如图，嘉嘉同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，点E到地面的高度，点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离为．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点A、B、C、D在同一水平面上． （1）求的长． （2）求灯泡到地面的高度． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）直接利用相似三角形的判定与性质得出的长； （2）根据相似三角形的性质列方程进而求出的长． 【小问1详解】 解：由题意可得：， 则， 故， 即， 解得：， 经检验，是上述分式方程的解， ∴的长为； 【小问2详解】 ∵， ∴（）， ∵光在镜面反射中的入射角等于反射角， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 解得：（）， ∴灯泡到地面的高度为． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用，正确得出相似三角形是解题关键． 23. 【综合与实践】 矩形种植园最大面积探究 情境 劳动实践基地有一长为12米的墙，研究小组想利用墙和长为40米的篱笆，在前面的空地围出一个面积最大的矩形种植园．假设矩形一边，矩形种植园的面积为S． 分析 要探究面积S的最大值，首先应将另一边用含x的代数式表示，从而得到S关于x的函数表达式，同时求出自变量的取值范围，再结合函数性质求出最值． 探究 方案一：将墙的一部分用来替代篱笆 按图1的方案围成矩形种植园（边为墙的一部分）． 方案二：将墙的全部用来替代篱笆 按图2的方案围成矩形种植园（墙为边的一部分）． 【解决问题】 根据分析，分别求出两种方案中S的最大值；比较并判断矩形种植园的面积最大值为多少？ 【答案】方案1，；方案2，；矩形种植园面积最大为 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题的关键是理解题意，求出二次函数解析式． （1）设，则，根据矩形面积公式得出，根据，求出最大值即可； （2）设，得出，根据矩形面积公式得出，根据，求出结果即可． 【详解】解：方案1：∵，则， ∴， ∵， ∴当时，． 方案2：设， 则， ∴． ∵，当时，． ∵， ∴矩形种植园面积最大为． 24. 如图，，，，．点P从点C出发，以的速度沿向点A匀速运动，同时点Q从点B出发，以的速度沿向点C匀速运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止． （1）求经过几秒，的面积等于面积的？ （2）求经过几秒，与相似？ 【答案】（1）2； （2）或 【解析】 【分析】（1）设经过x秒，的面积等于面积的，根据题意列出关于x的一元二次方程即可求解； （2）设经过t秒，与相似，分①当，②当，分别列出比例式即可求解 【小问1详解】 解：设经过x秒，的面积等于面积的， 由题意得：， 解得：， 答：经过2秒，的面积等于面积的， 【小问2详解】 解：设经过t秒，与相似， ①当，则， ∴，解得：； ②当，则， ∴，解得：； 综上所述，经过或秒，与相似． 25. 【基础巩固】 （1）如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD＝∠B．求证：AC2＝AD•AB． 【尝试应用】 （2）如图2，在▱ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，∠BFE＝∠A．若BF＝4，BE＝3，求AD的长． 【拓展提高】 （3）如图3，在菱形ABCD中，E是AB上一点，F是△ABC内一点，EF∥AC，AC＝2EF，∠EDF＝∠BAD，AE＝2，DF＝5，求菱形ABCD的边长． 【答案】（1）证明：∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A， ∴△ADC∽△ACB， ∴， ∴AC2＝AD•AB； （2）AD＝； （3）5﹣2 【解析】 【分析】（1）根据题意证明△ADC∽△ACB，即可得到结论； （2）根据现有条件推出△BFE∽△BCF，再根据相似三角形的性质推断，即可得到答案； （3）如图，分别延长EF，DC相交于点G，先证明四边形AEGC为平行四边形，再证△EDF∽△EGD，可得，根据EG＝AC＝2EF，可得DE＝EF，再根据，可推出DG＝DF=5，即可求出答案． 【详解】解：（1）略 （2）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，∠A＝∠C， 又∵∠BFE＝∠A， ∴∠BFE＝∠C， 又∵∠FBE＝∠CBF， ∴△BFE∽△BCF， ∴， ∴BF2＝BE•BC， ∴BC＝＝=， ∴AD＝； （3）如图，分别延长EF，DC相交于点G， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB∥DC，∠BAC＝∠BAD， ∵AC∥EF， ∴四边形AEGC为平行四边形， ∴AC＝EG，CG＝AE，∠EAC＝∠G， ∵∠EDF＝∠BAD， ∴∠EDF＝∠BAC， ∴∠EDF＝∠G， 又∵∠DEF＝∠GED， ∴△EDF∽△EGD， ∴， ∴DE2＝EF•EG， 又∵EG＝AC＝2EF， ∴DE2＝2EF2， ∴DE＝EF， 又∵， ∴DG＝DF=5， ∴DC＝DG﹣CG＝5﹣2． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，菱形的性质，平行四边形的性质和证明，证明三角形相似是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $