天津市耀华中学2026-2027学年高三上学期第一次月考数学试题

天津市耀华中学2027届高三第一次月考 数学学科试卷 本试卷分第1卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分共150分，考试用时120分钟. 第I卷（选择题共60分） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题的4个选项中，只有 一项是符合题目要求的，将答案涂在答题卡上， 1.已知集合A=yly=e*-1,x∈R},B={x少=ln(2-x)},则A∩B=（) A.(-1,2) B.（-2,1) c.[-1,2) D.[-1,2] 2已蜘9∈0，，则“血日=是“0=若”的（） 21 A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 x1og区的部分图象大致是（) B.函数f(x=2+23 4若a=,=e-目，则(） A.b>a>c B.a>b>c Ua>c>b D.b>c>a 5.下列函数中既是偶函数，又在区间(0,2)内是增函数的为() A.y=cosx,x∈RB.y=e-e,x∈RC.y=hlxx∈R且x≠0D.y=x3+l,x∈R 6已知h,b+b8,a-7d-识当6>a>1时，则启+片(） a b A. B. C.1 7.已知向量á=(，1)，6=（亿，2），若ā1(a+b),则向量ā在6上的投影向量为()· 2w55 55 c.后 第一次月考 高三年级数学学科试卷 第1页共4页 ,则cosa=() A.1+万 B.-万 4 D.-1-万 9.函数f(x)=二sin3x+sinx(x∈(0，)在下列哪个区间上单调递减( (年引 c() 10.已知定义在R上的函数f(9满足f()=-f-,若函数(-1-到)与函数 =)的图象的交点为，，，()，则(x+)=( A.8 号 C.12 D. 2 1.已知函数f)=2sin(or+p吲0>0州5引-罩为函数y=f(的琴点，直线x=牙 4 为通数)=图像的对疹辅，且y一北倒在区间（食） 上是单调函数， 则心的最大 值为() A.11 B.9 C.7 D.5 12.函数8(x)=(x+)hm(x+D的图象在点(e2-1,g(e2-)处的切线与直线x+6y+1=0 垂直(em2.71828…是自然对数的底数)，函数fx)满足f(x)+g(x-1)-x=0,若关于 x的方程产钩-+8=0(6，ceR)在区间[尽]上恰有3个不同的实数解，则实 数b的取值范围是() ag*闪B+-cg+][-2时e] 第Ⅱ卷（非选择题 共90分) 二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，将答案填写在答题卡上。 13.已知i是虚数单位，化简一31 的结果为▲一 2+i 14.在(x-2y)的展开式中，xy2的系数为▲ 第·次月考高三年级数学学科试卷 第2页共4页 15.小鑫在一场篮球比赛中投了3次篮，他的投篮命中率为0.4，且每球是否命中均相互· 独立，设他投篮命中的次数为X,则的期望是▲；在已知他至少命中1次的条 件下，他恰好命中1次的概率为▲ 6.已知不等式2xy(x-y)+1≥y(化-y)对任意满足x>y>0的实数x,y恒成立，则实 数k的最大值是▲ 17.已知a,6,e是平面向量，ē是单位向量若非零向量ā与的夹角为红，向量石满 3 足产-48.6+3=0.(1)当6与ē共线时，=▲一；2)i-的最小值是▲ 18.在aABC中，角A,B,C所对边分别为a,b,c,4C的中点为M,b=2;且osC=2a-C cosB 2 延长AC到点D,使点C为线段AD的中点，则下列结论正确的有▲·（填序号） ①B=号 ②△ABD的面积的最大值为√5 ⑧若△ABC为锐角三角形，BM的取值范围为 ④BD的最小值为2W21-2W5 3 三.解答题：本大题共5小题，共60分，将解题过程及答案填写在答题卡上， 19.(本题满分14分)已知函数()=m2x+引+sin2x-os2x. (I)求函数f(x)的最小正周期： (Ⅱ).求函数f(x)的单调减区间； (m)在MBC中，a、、e分别是角A、B、C的对边，若f④=号c=3,△MBC 的面积S=3W5,求a的值： 第次月考 高三年级数学学科试卷 第3页共4页 20.(本题满分15分)在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD⊥平面ABCD,四边形ABCD为 直角梯形，AB11CD,∠ADC=90°，AD=AB=2,DC=4,△PAD为答边三角形，点E, F分别为AD,AB的中点， (I)证明：BC⊥平面PEF: (Ⅱ)求平面PEF与平面PCD所成角的余弦值： (Ⅲ)点M在线段DC上，且DM=MC, 求点M到平面PEF的距离. F B 21.(本题满分15分)已知椭圆C:号 芳=66>0的离心率为5，且过点 M 35 22 点F、E分别为椭圆的左右焦点. (I)求椭圆的标准方程； (Ⅱ)设点P为第一象限内椭圆上的点，若PE⊥PF,求点P的坐标： (Ⅲ)过右焦点F的直线与椭圆交于A,B两点，在x轴上是否存在定点T,使得TTB 的值为定值？若存在，求出定点T的坐标及该定值；若不存在，请说明理由. 22.(本题满分16分)函数f(x)的定义域为(-l,∞)，f(0)=0,f(x)的导函数 f'(x)=(x+1)n(x+1),为A(a,f(a(a≠0)处的切线. (I)求f'(x)的最小值： (Ⅱ)a>0,证明：除点A外，曲线y=f(x)均在上方： 四)若-1<a<0时，直线l2过A且与垂直，，12分别于x轴的交点为x与2，求 2a-二立的取值范围. 为一为 第次月考 高三年级数学学科试卷第4页共4.页 天津市耀华中学2027届高三第一次月考数学答案 一、单选题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A & 9 0 C D & Y 6 二、填空题 13 14 15 16 17 18 17 40 6.27 42 1或3；V3-1 ①③④ 5 549 三、解答题 19、 【解答】解（D质数f(x)sin(2x否)+sin2xco2: 21 可得f(x)-=sin2xc0s6tcos2xsin6+吃 rt号-cos2xsin(2x)号 所以x)的最小正周期T=2T =兀； 2 （2)令2x元空<2召<2机+3，解得kπ否数kT+5 2 6 所W6)的单调运藏送何是[k元受k玩，5受1(E2: ((x)in(( sin(2g)1又晋<24g<5晋. 可得2公石空即a受 :c=3,△4BC的而积为3W3, 即bcsinA- b×3=3V3. .b=4, a2b2+e2-2 obcoa169-2×4x3x号-VE. .a=V13. 20、 【详解】(1)连接BD,因为点E,F分别为AD,AB的中点，所以EF //BD 因为四边形ABCD为直角梯形，AB∥CD,∠ADC=90°，AD=AB=2, 所以BD=√AD2+AB2=2√5，∠ADB=∠BDC=45, 在△BDC中，由余弦定理可得 BC-BD'+DC-2BD.DC.coLBDC=8+16-2x2x4x 2 所以BC+BD=DC,所以BD⊥BC,所以EF LBC 又因为△PAD为等边三角形，点E为AD的中点，所以PE LAD, 又因为侧面PAD平面ABCD,侧面PADn平面ABCD=AD, 所以PE⊥平面ABD,又BCC平面ABD,所以PE⊥BC 又因为EFPE=E,EF,PEC平面PEF,所以BC⊥平面EF;--4分 (2)取BC的中点N,连接EN,可得N⊥AD, 又PE⊥平面BCD,又ENC平面ABCD,所以PE⊥N 以E为坐标原点，EA,BN,EP所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系 2孙 则D(-1,0,0),P0,0,V3),F(1,1,0),C(-14,0),E(0,0,0) 则EP=(0,0,V3),EF=1,10),DP=1,0,V5),DC=(0,4,0) 设平面PEF的一个法向量为m=(x,y,) m酽=5z=0.令x=1.则y=-1=0. mEF=x+y=0' 则平面PEF的一个法向量为m=(1,-1,0),----6分 设平面PcD的一个法向量为n=(mnS, mDP=m+5s=0,令s=1.则m=-5,n=0, 则 i.DC=4n=0 所以平面PCD的一个法向量为n=(-V3,0,1),--8分 则cos<五，i>= mn V6 ----9分 同 二一4 所以平面PEF与平面PCD所成角的余弦值为5， ---------10分 4 (3)d MP*m1+2+03√2 n 2 2 21、 (1) 。-日=故。=结合精圆本关 系a=8+c2,代入得a2=P+子a,化简 得2=言0 代入已知点求参数精圆过点（侵罗）代 精国方程后+ =1,结合2=32， 得 -=1 a2 3a2 +总=1，即器=1，解得 计算得9 15 a2=6,进而b2=2。 ·写出标准方程：椭圆标准方程为号+号-1 (2)由题可得焦点F(-2,0),E(2,0), VA 设P(x,y),x>0y>0,则PF=(-2-x-y),PE=(2-x,-y), 由PR⊥PE→PE.PE=0,即(-2-x)(2-x)+(-y(-y)=0 化简得到x2+y2=4, [x2+y2=4 联立椭圆方程上+上-1消元得到少=1， 6 2 因为y>0,所以y=1,代入x2+y2=4,由x>0解得x=5, 所以P5, (3)假设存在定点T(,O),使得T4TB的值为定值. 当直线4B的斜率为0时，A(6,0,B(V6,0,Tm历=2-6， 当直线AB的斜率不存在时， 9}}号 由r-6=-2-号，得到1-子且瓜而=号 接下来判脂当点了的坐标为仔直线8的斜率存在且不为0时。而的值是香为定。 设直线AB的方程为x=网y+2,A(名，y),B(名，)， 联粒方6得+列2-0 则%+男0写=△6+8+小0 2 五而-子儿-m引% =写6+r写-(n30g -5m2-15 5 9(m2+359 所以当点T的坐标为仔0时。T而为定值号 22、 (1)令g(x)=f(x)=(x+1)In(x+1),(x>-1), 则g'()=1+In(x+1),令g'()=0,解得x=君-1， 当-1<x<日-1时，9()<0,9()单调递减， x>-1时，9()>0,9()单调递增， 所以g6)mn=g(（任-1）=- 即f(x)的最小值为-是 (2)由题可知切线l1的方程为y-f(a)=(a+1)In(a+1)(x-a), 即y=(a+1)ln(a+1)·x-a(a+1)ln(a+1)+f(a), 令h(x)=f(x)-y=f(x)-(a+1)ln(a+1)·x+a(a+1)ln(a+1)-f(a,(x>-1), h(x)=f'(x)-(a+1)ln(a+1)=(x+1)ln(x+1)-(a+1)ln(a+1), 由()可得'()在(-1，。-1)上单调递减，在（台-1+∞）上单调递增， ∴h'(x)在(0，+o)上单调递增，且h(a)=0, 当0<x<a时，h'(x)<0,当x>a时，h(x)>0, a>0,(a+1)ln(a+1)>0, 当-1<x≤0时，(x+1)In(x+1)≤0，则h'(x)<0, 综上，当-1<x<a时，h'(x)<0,h(x)单调递减，当x>a时，h'(x)>0,h(x)单调递增， ∴.h(x)≥h(a)=f(a)-a(a+1)ln(a+1)+a(a+1)ln(a+1)-f(a)=0, 所以a>0,除点A外，曲线y=f(x)均在L1上方； g曲题意，直线ly=f@x-o)+f@,直线：y了高c-0+f@, 所以x,=-f@+a,x2=f(af(a+a, f(a) 所以2a4.2a-/afta+小f8d x2-x1 f@ft@+a-+可 _ftoP+1 -1+2 a+1[fa]+1 由1)可得当-1<a<0时，当-1<a<1-1,f'(a)单调递减， 号-1<a<0时，单调递增，且a→-1时，f(a)→0，f(0=0, 所rc(7可器小所器c品