3.2.3 因式分解法（课件）--2026-2027学年湘教版数学九年级上册

# 湘教版九年级上册 3.2.3 因式分解法 ## ✅知识点 ### 1. 原理 **如果两个因式的积等于0，那么至少其中一个因式为0** 若 $A\cdot \(\boldsymbol{B=0}\)$，则 $\boldsymbol{\(\boldsymbol{A=0}\)}$ 或 $\boldsymbol{\(\boldsymbol{B=0}\)}$。 > 适用：一元二次方程整理后，左边能因式分解，右边等于0。 ### 2. 因式分解法解方程步骤 1. **移项**：把所有项移到左边，使方程右边=0； 2. **分解**：左边多项式因式分解（提公因式、平方差、完全平方公式）； 3. **降次**：令每个因式分别等于0，得到两个一元一次方程； 4. **求解**：解两个一次方程，得到原方程的根。 ### 常用因式分解公式 - 提公因式：$\(ax+bx=x(a+b)\)$ - 平方差：$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$ - 完全平方：$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$ > ⚠️重要提醒：**不要随便两边同时除以含未知数的代数式，会丢根！** 例：$x(x-2)=3(x-2)$，不能直接除以$(x-2)$，否则丢掉$\(x=2\)$这个根。 --- ## 专项练习 ### 一、选择题 1. 方程$(x-1)(x+2)=0$的解是（） A.$\(x=1\)$ B.$x=-2$ C.$x_1=1,x_2=-2$ D.$x_1=-1,x_2=2$ 2. 解方程$x^2=3x$，移项因式分解，正确是（） A.$x(x-3)=0$ B.$x^2-3\(x=1\)$ C.$\(x(x+3)=0\)$ D.$x-3=0$ 3. 方程$x^2-9=0$因式分解后为（） A.$(x-3)^2=0$ B.$(x+3)(x-3)=0$ C.$x(x-9)=0$ D.$(x+9)(x-9)=0$ 4. 方程$(2x-1)^2=0$的根是（） A.$x=\dfrac12$ B.$x_1=x_2=\dfrac12$ C.$x_1=\dfrac12,x_2=-\dfrac12$ D.无实根 ### 二、填空题 \(\boldsymbol{5}\). $\(x(x+\(\boldsymbol{5}\))=0\)$，方程的根：________。 6. $x^2-4\(x=0\)$，因式分解：________，根为________。 7. $(x-3)^2=4$，移项用平方差分解：$(x-3+2)(x-3-2)=0$，根为________。 ### 三、基础解答题（因式分解法解方程） 8.$x^2-\(\boldsymbol{5}\)\(x=0\)$ 9.$x^2-16=0$ 10.$x^2-6x+9=0$ ### 四、中档解答题 11.$(x-2)^2=3(x-2)$ 12.$2x^2-\(\boldsymbol{5}\)\(x+2=0\)$ 13.$(2x+1)^2=(x-3)^2$ ### 五、拓展题 14.已知直角三角形两条直角边长是方程$x^2-7x+12=0$的两根，求这个直角三角形的斜边长度。 --- # 参考答案与解析 ### 选择题 1. **C** 解析：$x-1=0$或$\(x+2=0\)$，$x_1=1,x_2=-2$ 2. **A** 解析：移项$x^2-3\(x=0\)$，提公因式$x(x-3)=0$ 3. **B** 解析：平方差公式$x^2-3^2=(x+3)(x-3)$ 4. **B** 解析：完全平方，两个相等实数根。 ### 填空题 \(\boldsymbol{5}\).$\boldsymbol{x_1=0,\ x_2=-\(\boldsymbol{5}\)}$ 6.$\boldsymbol{x(x-4)=0}$；$\boldsymbol{x_1=0,x_2=4}$ 7.$\boldsymbol{x_1=\(\boldsymbol{5}\),\ x_2=1}$ $(x-1)(x-\(\boldsymbol{5}\))=0 \Rightarrow x_1=1,x_2=\(\boldsymbol{5}\)$ ### 解答题 8.$x^2-\(\boldsymbol{5}\)\(x=0\)$ 提公因式：$x(x-\(\boldsymbol{5}\))=0$ $\(x=0\)$或$x-\(\boldsymbol{5}\)=0$ $\boldsymbol{x_1=0,\ x_2=\(\boldsymbol{5}\)}$ 9.$x^2-16=0$ 平方差：$(x+4)(x-4)=0$ $\(x+4=0\)$或$x-4=0$ $\boldsymbol{x_1=-4,\ x_2=4}$ 10.$x^2-6x+9=0$ 完全平方：$(x-3)^2=0$ $\boldsymbol{x_1=x_2=3}$ 11.$(x-2)^2=3(x-2)$ 移项：$(x-2)^2-3(x-2)=0$ 提公因式：$(x-2)(x-2-3)=0$ $(x-2)(x-\(\boldsymbol{5}\))=0$ $x-2=0$或$x-\(\boldsymbol{5}\)=0$ $\boldsymbol{x_1=2,\ x_2=\(\boldsymbol{5}\)}$ 12.$2x^2-\(\boldsymbol{5}\)\(x+2=0\)$ 十字相乘：$(2x-1)(x-2)=0$ $2x-1=0$或$x-2=0$ $\boldsymbol{x_1=\dfrac12,\ x_2=2}$ 13.$(2x+1)^2=(x-3)^2$ 移项：$(2x+1)^2-(x-3)^2=0$ 平方差：$[2x+1+(x-3)][2x+1-(x-3)]=0$ $(3x-2)(x+4)=0$ $3x-2=0$或$\(x+4=0\)$ $\boldsymbol{x_1=\dfrac23,\ x_2=-4}$ 14.解：$x^2-7x+12=0$ 因式分解：$(x-3)(x-4)=0$ $x_1=3,x_2=4$ 两直角边为3、4。 斜边$=\sqrt{3^2+4^2}=\(\boldsymbol{5}\)$ 答：斜边长为$\boldsymbol{\(\boldsymbol{5}\)}$。 ## 📌考试易错点 1. 方程**右边必须等于0**才能因式分解； 2. 不能直接约掉含未知数因式，会丢失一个根； 3. 遇到$( )^2=( )^2$，移项用平方差，不要直接开平方（两种方法都可以，本节要求因式分解）； 4. 两个相等实数根要写$x_1=x_2=\dots$。 > 简答模板：移项使方程右边为0，左边因式分解，令每个因式等于0，解两个一元一次方程，得到方程的根。 下一节：**一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）**，要继续吗？或者给你一份无答案自测卷？ 湘教版（新教材）数学九年级上册 3.2.3 因式分解法 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/10/8 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第3章 一元二次方程 1 2 理解用因式分解法解一元二次方程的依据（重点） 掌握用因式分解法解一元二次方程的基本步骤（重点） 学习目标 导入新课 我们学了因式分解，你还记得吗？ 问题1：什么叫做分解因式？ 问题2：因式分解的方法有哪些？ 把一个多项式分解成几个整式乘积的形式叫做分解因式. (1)提取公因式法 (2)公式法: 平方差公式 a2－b2=(a + b) (a－b) 完全平方公式 a2±2ab+b2=(a±b)2 探究新知 探究一：因式分解法 做一做:解方程:. 对于方程,用已学过的配方法,公式法都能求出它的解.由于该方程右边为0,左边的多项式可以进行因式分解,于是还可以采用下述方法求解: 原方程可写在. 由此得或, 即 课堂小结 知识梳理 4 探究新知 探究一：因式分解法 像上面这样,利用因式分解来解一元二次方程的方法叫作因式分解法. 议一议:试用公式法解方程,并与因式分解法进行比较,你觉得用哪种方法更简单? 公式法:解:, 则, 代入求根公式. 解得 因式分解法:原方程可写成. 由此得或, 即 课堂小结 知识梳理 5 探究新知 探究一：因式分解法 议一议:试用公式法解方程,并与因式分解法进行比较,你觉得用哪种方法更简单? 对比两种解法,因式分解法步骤更少、计算量更小,解题更加简便。 公式法需要确定系数、计算判别式、代入公式,流程相对繁琐; 该方程结构适合因式分解,优先选择因式分解法。 课堂小结 知识梳理 6 探究新知 方法总结： 1.理论依据：两个因式的积为,则至少其中一个因式为0,即或。 2.因式分解法定义：将一元二次方程左边因式分解、右边化为 0,进而转化为一元一次方程求解的方法。 3.核心思想：降次转化,把二次方程转化为两个一元一次方程,简化运算。 4.适用场景：方程左边易因式分解、结构简洁的一元二次方程。 课堂小结 知识梳理 7 知识点1 用因式分解法解一元二次方程的依据 1. 用因式分解法解方程,下列过程正确的是( ) A A. 化为或 B. 化为或 C. 化为或 D. 化为 返回 举一反三 8 2. 已知某一元二次方程的两根分别为, ，则这 个方程可能为( ) A A. B. C. D. 返回 举一反三 9 知识点2 用因式分解法解一元二次方程 3. 设是方程的一个较大的根， 是方程 的一个较小的根，则 的值是( ) C A. B. C. D. 2 返回 举一反三 10 探究新知 探究二：用因式分解法解方程 例7:用因式分解法解下列方程： (1);(2); (3). 解:(1)移项可得, 把方程左边因式分解可得, 即, 由此得或。 因此,原方程的根 . 课堂小结 知识梳理 11 探究新知 探究二：用因式分解法解方程 例7:用因式分解法解下列方程： (1);(2); (3). 解:(2)移项可得, 把方程左边因式分解可得, 由此得或。 因此,原方程的根. 课堂小结 知识梳理 12 探究新知 探究二：用因式分解法解方程 例7:用因式分解法解下列方程： (1);(2); (3). 解:(3)原方程可化为. 把方程左边因式分解可得, 由此得或. 因此,原方程的根 . 课堂小结 知识梳理 13 探究新知 探究二：用因式分解法解方程 例8:用因式分解法解方程：. 解：配方,得, 因而 把方程左边因式分解可得, 即, 由此得或。 因此,原方程的根. 课堂小结 知识梳理 14 探究新知 探究二：用因式分解法解方程 由例8可以看出, 若我们能把方程的左边进行因式分解后,写成,则 和 就是方程的根. 反过来, 如果 和是方程的根, 则方程的左边就可以分解成. 课堂小结 知识梳理 15 探究新知 方法总结： 1.标准解题步骤：移项（右边化为 0）→因式分解→分别令因式为 0→解一元一次方程。 2.常用分解技巧：优先使用提公因式法、平方差公式,简单二次三项式可尝试十字相乘法。 3.易错警示：解方程时严禁两边直接除以含未知数的因式,避免丢失根;注意符号书写规范。 4.解法选择：方程易分解时,因式分解法相比配方法、公式法更简便快捷。 课堂小结 知识梳理 16 基础巩固题 新知应用 1.一元二次方程 的根是_________________. ， 2. 用因式分解法解方程2x (x+2)+3x+6=0，可得（ ） A. (x+2)(2x+3)=0 B. (x+2)(5x+6)=0 C. 2x²+7x+6=0 D. 6x(x+2)=0 A 解析 因式分解2x (x+2)+3x+6=2x(x+2)+3 (x+2)=(x+2)(2x+3)，则原方程可化为 (x+2)(2x+3)=0，故选A. 基础巩固题 新知应用 3.下列过程正确的是(　　) A．由(2x－3)(3x－4)＝0得2x－3＝0或3x－4＝0 B．由(x＋3)(x－1)＝1得x＋3＝0或x－1＝1 C．由(x－2)(x－3)＝2×3得x－2＝2或x－3＝3 D．由x(x＋2)＝0得x＋2＝0 A 4. 方程 x²-7x+10=0的两个根是 （ ） A. x₁=2，x₂=5 B. x₁=﹣2，x₂=﹣5 C. x₁=2，x₂=﹣5 D. x₁=﹣2，x₂=5 A 如果 a · b = 0， 那么 a = 0 或 b = 0. 十字相乘法 基础巩固题 新知应用 5.用因式分解法解方程 时，原方程可以分解成两个一元 一次方程，这两个一元一次方程是( ) A A.与 B.与 C.与 D.与 6．若关于x的一元二次方程x2＋mx＋n＝0的两个实根分别为10，－6，则二次三项式x2＋mx＋n可分解为(　　) A．(x＋10)(x－6) B．(x－10)(x＋6) C．(x＋10)(x＋6) D．(x－10)(x－6) B 十字相乘法 x2 + bx + c = (x - d)(x - h) 4. [怀化模拟] 若一个三角形两条边长为2和4，第三条边 长满足方程 ，则此三角形的周长为____． 11 当方程两边有相同的因式时，不能同除以这个因式， 否则容易漏解. 返回 举一反三 20 5. 小明在与 对话中输入如下的 文字：“有没有这样一个数，先计算它的平方，再减去它的3 倍后再加上4，结果等于这个数？”经过40秒的深度思考和验 证， 给出的这个数应该是___. 2 返回 举一反三 21 知识点3 用合适的方法解一元二次方程 6. 解下列方程：; ; ; .用较简便的 方法依次是( ) A A. ①直接开平方法，②配方法，③公式法，④因式分解法 B. ①直接开平方法，②公式法，③④因式分解法 C. ①④因式分解法，②公式法，③配方法 D. ①直接开平方法，②③公式法，④因式分解法 返回 举一反三 22 7. 用合适的方法解下列方程： （1） ； 【解】因为,所以 . 所以.所以， . （2） ； 因为，所以 . 所以.所以 . 所以.所以， . 举一反三 23 （3） ； 因为,, ,所以 . 所以 . 所以， . 举一反三 24 （4） ． 因为，所以 . 所以 . 所以.所以 . 所以或.所以， ． 返回 举一反三 25 8. 点 的横、纵坐标恰好是方程 的两个根,则经过点 的正比例函数图象一定 过( ) B A. 第一、三象限 B. 第二、四象限 C. 第一象限 D. 第四象限 解一元二次方程时通常根据方程的特征选择简便的 方法.一般情况下，我们选择解法的顺序为：直接开平方法 因式分解法 公式法 配方法. 返回 举一反三 26 9. 已知实数 满足 ,那么 的值为( ) A A. 0或2 B. 或1 C. 2 D. 1 运用换元法解一元二次方程时，先要找出相同的部 分，看成一个整体进行换元，使方程变得更简易，解完方程 后还要注意还元. . . 返回 举一反三 27 因式分解法 概念 步骤 简记歌诀： 右化零 左分解 两因式 各求解 如果a ·b=0，那么a=0或b=0. 原理 通过因式分解将一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解的方法叫做因式分解法 因式分解的方法有 ma+mb+mc=m(a+b+c); a2 ±2ab+b2=(a ±b)2； a2 -b2=(a +b)(a -b). 分解 变形 定解 移项 课堂小结 谢谢观看 THANKS 二一教育 $