3.3 一元二次方程根的判别式（课件）--2026-2027学年湘教版数学九年级上册

# 湘教版九年级上册 3.3 一元二次方程根的判别式 ## ✅知识点 对于一元二次方程 $\boldsymbol{ax^2+bx+c=0\ (a eq0)}$ 定义根的判别式：$\boldsymbol{\Delta = b^2-4ac}$ 1. $\boldsymbol{\Delta>0}$ ⇒ 方程有**两个不相等的实数根** 2. $\boldsymbol{\Delta=0}$ ⇒ 方程有**两个相等的实数根** 3. $\boldsymbol{\Delta<0}$ ⇒ 方程**没有实数根** > 反过来也成立： - 有两个不相等实根 $\Rightarrow \Delta>0$ - 有两个相等实根 $\Rightarrow \Delta=0$ - 无实数根 $\Rightarrow \Delta<0$ ⚠️重要前提：**必须是一元二次方程，$a≠0$！** 题目带参数，既要考虑$\Delta$，还要保证**二次项系数不等于0**。 ### 解题思路 1. 化成一般形式 $ax^2+bx+c=0$ 2. 写出$\(a,b,c\)$（带正负号） 3. 计算$\Delta=b^2-4ac$ 4. 根据$\Delta$的正负判断根情况；已知根情况，列不等式求参数范围 --- ## 专项练习 ### 一、选择题 1. 一元二次方程$x^2-2x-1=0$的判别式$\Delta$为（） A.$0$ B.$4$ C.$8$ D.$-8$ 2. 方程$2x^2+3x+2=0$根的情况是（） A.两个不等实根 B.两个相等实根 C.无实数根 D.无法判断 3. 若方程$x^2-4x+m=0$有两个相等实数根，则$m$的值是（） A.$4$ B.$-4$ C.$2$ D.$-2$ 4. 关于$x$的方程$(k-1)x^2+2x-1=0$有实数根，则$k$的取值范围要注意（） A.只需$\Delta\ge0$ B.$k eq1$且$\Delta\ge0$ C.只需$\Delta>0$ D.$k eq1$且$\Delta>0$ ### 二、填空题 5. 方程$x^2-5x=0$，$\Delta=$________，根的情况：____________。 6. 一元二次方程$2x^2-4x+3=0$，$\Delta=$________，方程________实数根。 7. 若$x^2+2x-k=0$有两个不相等实数根，则$k$的取值范围是________。 ### 三、基础解答题 8. 不解方程，判断下列方程根的情况： (1)$x^2+3x-2=0$ (2)$2x^2-4x+2=0$ (3)$x^2-2x+5=0$ ### 四、中档解答题 9. 已知关于$x$的一元二次方程$x^2-2(m+1)x+m^2=0$有两个实数根，求$m$的取值范围。 10. 当$k$为何值时，方程$2x^2-4x+k=0$ （1）有两个不相等实数根； （2）有两个相等实数根； （3）没有实数根。 ### 五、拓展题 11. 求证：无论$m$取何实数，方程$x^2-(m+2)x+2m=0$总有实数根。 --- # 参考答案与解析 ### 选择题 1. **C** $\Delta=(-2)^2-4\times1\times(-1)=4+4=8>0$ 2. **C** $\Delta=3^2-4\times2\times2=9-16=-7<0$，无实数根 3. **A** 两个相等实根，$\Delta=(-4)^2-4\times1\times m=0 \Rightarrow16-4m=0,m=4$ 4. **B** 一元二次方程，$k-1≠0$；有实数根$\Delta\ge0$ ### 填空题 5.$\boldsymbol{\(\boldsymbol{25}\)}$；**有两个不相等的实数根** $\Delta=(-5)^2-4\times1\times0=\(\boldsymbol{25}\)>0$ 6.$\boldsymbol{-4}$；**没有** $\Delta=(-4)^2-4\times2\times3=16-24=-4<0$ 7.$\boldsymbol{k>-1}$ $\Delta=2^2-4\times1\times(-k)=4+4k>0 \Rightarrow k>-1$ ### 解答题 8. (1)$a=1,b=3,c=-2$ $\Delta=3^2-4\times1\times(-2)=9+8=17>0$ ∴方程有两个不相等实数根。 (2)$a=2,b=-4,c=2$ $\Delta=(-4)^2-4\times2\times2=16-16=0$ ∴方程有两个相等实数根。 (3)$a=1,b=-2,c=5$ $\Delta=(-2)^2-4\times1\times5=4-20=-16<0$ ∴方程没有实数根。 9. 这是一元二次方程，$a=1,b=-2(m+1),c=m^2$ $$ \begin{align*} \Delta&=\big[-2(m+1)\big]^2-4\times1\times m^2\\ &=4(m^2+2m+1)-4m^2\\ &=8m+4 \end{align*} $$ 方程有两个实数根，$\Delta\ge0$ $8m+4\ge0\Rightarrow \boldsymbol{m\ge-\dfrac12}$ 10.$a=2,b=-4,c=k$ $\Delta=(-4)^2-4\times2\times k=16-8k$ (1)两个不等实根：$\Delta>0$ $16-8k>0\Rightarrow \boldsymbol{k<2}$ (2)两个相等实根：$\Delta=0$ $16-8k=0\Rightarrow \boldsymbol{k=2}$ (3)无实数根：$\Delta<0$ $16-8k<0\Rightarrow \boldsymbol{k>2}$ 11.证明： $a=1,b=-(m+2),c=2m$ $$ \begin{align*} \Delta&=\big[-(m+2)\big]^2-4\times1\times2m\\ &=m^2+4m+4-8m\\ &=m^2-4m+4\\ &=(m-2)^2 \end{align*} $$ $\because$任何实数的平方$\ge0$，即$\Delta=(m-2)^2\ge0$ ∴无论$m$取何实数，方程总有实数根。 ## 📌考试易错点 1. 带参数题目，**一元二次方程必须$a≠0$**，很多同学漏掉这个条件； 2. 区分：**有实数根$\Rightarrow\Delta\ge0$；两个不相等实数根$\Rightarrow\Delta>0$**； 3. 计算$\Delta$，是$b^2\boldsymbol{-4ac}$，$c$是负数时容易符号算错； 4. 证明题配方得到完全平方，利用平方\(\ge0\)判断。 >简答模板：先写出$\(a,b,c\)$，计算判别式$\Delta=b^2-4ac$，根据$\Delta$大于、等于、小于0判断根的情况。 下一节：**3.4 一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）**，继续吗？或者要无答案版练习？ 湘教版（新教材）数学九年级上册 3.3 一元二次方程根的判别式 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/10/8 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第3章 一元二次方程 1 2 3 理解一元二次方程根的判别式的概念，知道 Δ=b 2 −4ac 的由来（重点） 掌握用判别式判断一元二次方程根的情况的方法（重点） 能根据一元二次方程根的情况，确定字母系数的取值范围（难点） 学习目标 导入新课 分组PK限时求解！ 解下列方程： (1) x²+4x- 3=0； (2) x²-10x+25=0； (3) x²-3x+7=0. 说一说一元二次方程的根有哪几种情况? 有两个不相等的实数根 没有实数根 有两个相等的实数根 一元二次方程的根为什么有这三种情况？由谁决定的呢？ 今天，我们一起来探究它。 情景问题 因为一个正数有两个平方根,它们互为相反数; 由的符号决定,它决定了方程有无实数根及根的个数。 为什么有的一元二次方程能解出两个根,有的只有一个,有的却无解？关键由谁决定？ 课堂小结 知识梳理 4 探究新知 探究一:根的判别式的推导 议一议:我们在运用公式法求解一元二次方程时, 总是要求. 这是为什么？ 将方程配方后得到. 由于,所以,因此我们不难发现: (1)当时, . 由于正数有两个平方根, 所以原方程的根为.此时, 原方程有两个不相等的实数根. 课堂小结 知识梳理 5 探究新知 探究一:根的判别式的推导 (2)当时, . 由于 0 的平方根为 0, 所以原方程的根为. 此时,原方程有两个相等的实数根. (3)当时, . 由于负数在实数范围内没有平方根, 所以原方程没有实数根. 因此, 若方程要有实数根,则必须为非负数.即. 课堂小结 知识梳理 6 探究新知 总结归纳: 我们把叫作一元二次方程的根的判别式,记作“”, 即 . 综上可知,我们不难发现一元二次方程的根的情况可由来判断: 当时,原方程有两个不相等的实数根, ; 当时,原方程有两个相等的实数根, 其根为; 当时,原方程没有实数根. 课堂小结 知识梳理 7 探究新知 方法总结: 1.推导依据:一元二次方程配方结果结合平方根的非负性展开分类讨论。 2.概念定义:把叫做一元二次方程的根的判别式。 3.对应关系:,有两个不相等实数根;,有两个相等实数根;,无实数根。 4.核心前提:研究判别式时,必须保证方程为一元二次方程,即。 课堂小结 知识梳理 8 知识点1 一元二次方程根的判别式 1. 下列所给方程中，没有实数根的是( ) D A. B. C. D. 2. 关于的方程 ,有以下说法：①当 时，方程只有一个实数根；②当 时，方程有两个 相等的实数根；③当 时，方程没有实数根.其中正确 的是( ) A A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 返回 举一反三 9 3. 常数，， 在数轴上的位置如图所示，则 关于的一元二次方程 根的情况是( ) B A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 无实数根 D. 无法确定 返回 举一反三 10 知识点2 一元二次方程根的判别式的应用 4. 关于的方程 有两个相等的实数根， 若，，是 的三边长，则这个三角形一定是( ) B A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰直角三角形 5. 在讲解一元二次方程 时，老师故意把常 数项“ ”空下了，让同学们填一个正整数，使这个一元二次 方程有两不等实根，问大家其中所填的值可能有___个. 8 返回 举一反三 11 探究新知 探究二:根的判别式的应用 例:不解方程,利用判别式判断下列方程根的情况: (1);(2);(3). 解:(1)∵, ∴原方程有两个不相等的实数根. (2)将原方程化为一般形式,得. 因为, 所以,原方程有两个相等的实数根. 课堂小结 知识梳理 12 探究新知 探究二:根的判别式的应用 例:不解方程,利用判别式判断下列方程根的情况: (1);(2);(3). 解:(3)将原方程化为一般形式,得. 因为, 所以,原方程没有实数根. 注意:要先将方程化为一般形式,才能确定的值. 课堂小结 知识梳理 13 探究新知 方法总结: 1.基础应用(判断根的情况):先将方程化为一般形式,确定计算,根据符号判定根的个数。 2.拓展应用(求参数取值):根据根的情况列出对应不等式(或等式),同时结合求解。 3.易错提醒:确定系数时包含数字前的符号;含参题型切勿遗漏二次项系数不为这一条件。 4.解题思想:全程运用分类讨论思想,依据的三种情况分类分析。 课堂小结 知识梳理 14 基础巩固题 新知应用 1.一元二次方程 的根的情况为（ ） A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根 D 2.下列一元二次方程中有两个相等的实数根的是 (　　) A.(x-1)2=0　　 B.x2+2x-19=0 C.x2-4=0　 D.x2+x+1=0 A　 Δ =b2-4ac = ( -1 )2-4×1×1=1-4=-3<0 当∆=0时，原方程有两个相等的实数根 基础巩固题 新知应用 3.若关于的一元二次方程 有两个相等的实数根，则实 数 的值为( ) C A. B. C. D.9 4.关于x的一元二次方程 有两个实根，则m的取值范围是 . 解： ∴ m ≤ 1 m ≤ 1 ∆=0 若方程要有实数根，则≥0 基础巩固题 新知应用 5. 不解方程,利用判别式判断下列方程根的情况: (1) x2 + 3x - 1 = 0； (2) x2 - 6x + 9 = 0； (3) 2y2 - 3y + 4 = 0； (4) x2 + 5 = 2x. 解：(1) 因为 △ = b2 - 4ac = 32 - 4×1×(-1) = 13 > 0 ， 所以，方程（1）有两个不 相等的实数根； (2) 因为 △ = b2 - 4ac = (-6)2 - 4×1×9 = 0 ， 所以，方程（2）有两个相等的实数根； 6. 定义运算：对于任意实数,，有 ★ ，例如4★，若关于的方程 ★ 有两个不相等的实数根，则 的取值范围为 ________________. 且 返回 举一反三 18 7. 已知矩形的两边,的长是关于 的方程 的两个实数根. （1）求证：无论 为何值，方程总有实数根. 【证明】由题意得 ,所以无论 为何 值，方程总有实数根. 举一反三 19 （2）若的长为2,则矩形 的周长是多少? 【解】因为的长为2,所以方程 的一个 根是,所以,解得 ,所以原方程为 ,所以,解得, , 所以,所以,所以矩形 的周长是 . 返回 举一反三 20 8. 已知关于 的方程 有两个实数根，则 的化简结果是( ) A A. B. 1 C. D. 返回 举一反三 21 9. 已知关于的方程 有两个相等的实数根.若在直角坐标系中，点 在直线 上，点在直线下方且与直线 平行的直 线上，则 的最小值为_ ___. 举一反三 22 课堂小结 一元二次方程 根的判别式 ax2+bx+c=0（a≠0） =b2-4ac 课堂小结 谢谢观看 THANKS $