14.3角的平分线 课件 2026--2027学年人教版八年级数学上册

第十四章　14.3　角的平分线 1.探索并证明角的平分线的判定定理. 2.会用角的平分线的判定定理解决问题.(重点、难点) 学习目标 课堂引入 1.回忆角平分线的性质定理； 2.说出点到直线的距离定义. 几何语言描述：∵ OC平分∠AOB，点P在OC上，且PD⊥OA， PE⊥OB. ∴ PD= PE. 角的平分线上的点到角两边的距离相等. 回顾复习 叙述角的平分线的性质定理. （不必再证全等） 我们知道，角的平分线上的点到角两边的距离相等.反过来，交换这个性质的题设和结论，得到的命题还成立吗？也就是说，到角两边距离相等的点一定在角的平分线上吗？ 已知： 角的内部的一个点到这个角两边的距离相等. 求证： 这个点在这个角的平分线上. 自己证明看看？ 知识点 角的平分线的性质 经过测量发现，PD=PE. 思考 如图，任意作一个角∠AOB，作出∠AOB的平分线OC.在OC上任取一点P，过点P画出OA，OB的垂线，垂足分别为D，E. (1)测量PD，PE并作比较，你得到什么结论？ （3）通过以上测量，你发现了角的平分线的什么 性质? (2)在OC上再取几个点试一试. 仍能得到同样的结论. 新知探究 知识点 角的平分线的性质 猜想：角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 已知:_________________________________ 求证:_________________________________ 一个点在一个角的平分线上 这个点到这个角两边的距离相等 用符号表示已知和求证 如图，已知： OC是∠AOB的平分线 ，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D，E. 求证：PD=PE. 反过来，到一个角的两边的距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢？ 已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，点 D，E 为垂足，PD＝PE. 求证：点 P 在∠AOB 的平分线上. 8 证明: ∵ PD⊥OA，PE⊥OB(已知)， 　 ∴ ∠PDO＝∠PEO＝ 90°(垂直的定义) . 在Rt△PDO 和Rt△PEO 中 　 PO＝PO(公共边)， PD=PE， ∴ Rt△PDO ≌ Rt△PEO(HL) . 　 ∴ ∠ POD＝∠POE. ∴点P在∠AOB 的平分线上. 9 D E F A B C P N M 例2 如图，△ABC 的角平分线 BM，CN 相交于点 P， 求证：点 P 到三边 AB，BC，CA 的距离相等. 证明：过点 P 作 PD，PE，PF 分别垂直于 AB，BC，CA，垂足分别为 D，E，F. ∵ BM 是△ABC 的角平分线，点 P 在 BM 上， ∴ PD = PE. 同理，PE = PF. ∴ PD = PE = PF. 即点 P 到三边 AB，BC，CA 的距离相等. 针对训练 1.如图，在直角△ABC 中，AC＝BC，∠C ＝90°，AP 平分∠BAC，BD 平分∠ABC；AP，BD 交于点 O，过点 O 作 OM⊥AC 于点 M，若 OM＝4. (1) 求点 O 到△ABC 三边的距离和； M E N A B C P O D 解：如图，过点 O 作 ON⊥BC 于点 N,过点 O 作 OE⊥AB 于点 E, ∵OM＝4. ∴OM+ON+OE=4+4+4=12. 如图，AB=AC，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，则①△ABE≌△ACF；②△BOF≌△COE；③点O在∠BAC的角平分线上，其中正确的结论是( ) A.3 个 B.2个 C.1个 D.0个 A 探究 我们知道，角的平分线上的点到角两边的距离相等．反过来，到角两边距离相等的点一 定在角的平分线上吗？ 角平分线上的点到角两边的距离相等 C A B O D E P 应用定理需具备的条件： （1）角的平分线； （2）点在该平分线上； （3）垂直距离. 定理的作用： 证明线段相等 角的平分线的性质 知识归纳 1．作已知角的平分线的方法有很多，主要有折叠法和　 　. 2．角的平分线上的点到角两边的距离　 　. 3．一般情况下，要证明一个几何命题时，可以按照以下的步骤进行：(1)明确命题中的　 　和 　 　；(2)根据题意，画出　 　，并用数学 　 　表示已知和求证；(3)经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出　 . 尺规作图法 相等 已知 求证 图形 符号 证明过程 如图，BD⊥AC，CE⊥AB，垂足分别为D，E，BD，CE相交于点O，点O在∠BAC的平分线上.求证：OB=OC.   随堂演练 4.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，垂足为E，点F在AC上，DB=DF，求证：∠B=∠CFD.   随堂演练 已知：如图，OD 平分∠POQ，在 OP，OQ 边上取OA＝OB，点 C 在 OD 上，CM⊥AD 于 M，CN⊥BD 于 N. 求证：CM ＝ CN. 证明：∵ OD 平分∠POQ， ∴∠AOD = ∠BOD. 在△AOD 与△BOD 中， OA = OB， ∠AOD =∠BOD， OD = OD， ∴△AOD≌△BOD (SAS). 又∵ CM⊥AD 于 M，CN⊥BD 于 N， ∴ CM = CN. ∴∠ADO =∠BDO. 角的平分线 角的平分线的判定 角的内部 的点在 上. 图示 符号语言 到角两边距离相等 角的平分线 ∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE. ∴ OP平分∠AOB . 归纳总结 角平分线的性质 尺规作图画角的平分线 角平分线上的点到角两边的距离相等 用角平分线的性质来解决简单的几何问题 特殊到一般 画图 猜想 验证 直接应用 适当长为半径 大于 MN画弧 20 作业： 课后作业 在区有一个贸易市场，它建在公路与铁路所成角的平分线上，要从点建两条路，一条到公路，一条到铁路，怎样修才能使路最短？它们有怎样的数量关系呢？ （选做） S 公路 铁路 P （必做） 1.∠AOB的平分线上一点M，M到OA的距离为1.5㎝，则 M到OB的距离为　　　㎝。 2. 如图，OP 平分∠MON，PA⊥ON,垂足为 A，PA = 2. Q是边 OM 上的一个动点,则线段 PQ的最小值（ ） A．1 B.2 C.3 D.4 21 Lavf57.83.100 $