浙江省新阵地教育联盟2027届高三第一次学情诊断数学试题

绝密★考试结束前 浙江省新阵地教育联盟2027届高三第一次学情诊断 数学试题卷 第Ⅰ卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若复数，则 A．6 B．8 C． D．50 2．已知，，若，则实数的值为 A． B． C． D．1 3．曲线在点处的切线方程 A． B． C． D． 4．已知实数，，且，则下列不等式一定正确的是 A． B． C． D． 5．已知椭圆的一个顶点与抛物线的焦点重合，则的值为 A． B． C． D． 6．已知数列满足，，对于，，是数列的前项和，则 A．5100 B．4999 C．5202 D．5000 7．已知函数在上仅存在极小值，则的范围是 A． B． C． D． 8．的一个不充分条件是 A．， B．， C．， D．， 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列统计量中，不能度量样本的离散程度的是 A．中位数 B．平均数 C．众数 D．标准差 10．在直角梯形中，，，，，．点在线段上，满足．现将沿翻折至的位置，在翻折过程中（点不在底面内），下列说法正确的是 A．四棱锥体积最大值为 B．存在某个位置，使得平面 C．四棱锥外接球表面积的最小值为 D．直线与所成角的取值范围是 11．已知圆：及定点，设为圆的一条动切线，切点为．若上存在点满足，则下列结论正确的有 A．恒有 B．无论切点在何处，直线上总存在两个不同的点满足条件 C．存在点，使得为等边三角形 D．线段长度的最大值为 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．的展开式中的系数为_________（用数字作答）． 13．已知函数，（）满足恒成立，则_________，若锐角满足，则_________． 14．已知数列的前项和，若，，使得，则实数的最小值为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知在梯形中，，，，， （1）求的长； （2）求的值． 16．（15分）在四棱锥中，，底面是直角梯形，，．已知，，．点为的中点， （1）求证：平面； （2）若二面角的余弦值，求的长． 17．（15分）某项考试按理论考试、实操考试两科目依次进行，只有当理论考试成绩合格时，才可继续实操考试．已知每科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得证书．现某人参加这项考试，每次理论考试成绩合格的概率均为，每次实操考试成绩合格的概率均为．假设各次考试成绩合格与否均互不影响． （1）求他可获得证书的概率； （2）在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，记他参加考试的次数为，求的分布列和数学期望． 18．（17分）已知双曲线的左焦点为，离心率为． （1）求曲线的方程； （2）设为坐标原点，过的动直线与曲线交于，两点，且，直线与曲线的另一个交点为． （i）当时，求直线的方程； （ii）求四边形的面积的取值范围． 19．（17分）取名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理．该定理表明：对于满足一定条件的图象连续不间断的函数，在其定义域内存在一点，使得，则称为函数的一个“不动点”． （1）求函数的不动点； （2）若定义在上的函数的图像绕原点逆时针旋转之后不变，是函数的一个“不动点”，证明：； （3）设常数，函数，满足，，． ，对于任意实数，证明：函数存在唯一的不动点． 学科网（北京）股份有限公司 $