2.4.1仰角与俯角问题 课件 2026-2027学年湘教版数学九年级上册

# 湘教版九年级上册 2.4.1 仰角与俯角问题 专项练习 ## 知识点回顾 - **仰角**：从低处观测高处目标，视线与**水平线**的锐角（视线在水平线上方）。 - **俯角**：从高处观测低处目标，视线与**水平线**的锐角（视线在水平线下方）。 > 解题核心：**作水平线、垂线构造直角三角形**；俯角可以通过内错角转化为下方直角三角形的锐角，多用$\tan\alpha=\dfrac{\text{对边}}{\text{邻边}}$。 > 常用参考数据：$\tan30^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{3},\tan45^\circ=1,\tan60^\circ=\sqrt{3}$；$\tan37^\circ\approx0.75,\tan53^\circ\approx\dfrac{4}{3}$ --- ## 一、基础选择题 1. 直升机从地面A垂直上升800米到C，在C处看地面B点的俯角为$30^\circ$，则A、B水平距离为（） A.$400\mathrm{m}$ B.$\dfrac{800\sqrt{3}}{3}\mathrm{m}$ C.$1600\mathrm{m}$ D.$800\sqrt{3}\mathrm{m}$ 2. 在距离铁塔底部水平150m的A点，测倾仪高$1.5\mathrm{m}$，测得塔顶仰角为$\alpha$，则铁塔总高为（） A.$(1.5+150\tan\alpha)\mathrm{m}$ B.$\left(1.5+\dfrac{150}{\tan\alpha}\right)\mathrm{m}$ C.$(1.5+150\sin\alpha)\mathrm{m}$ D.$\left(1.5+\dfrac{150}{\sin\alpha}\right)\mathrm{m}$ 3. 从楼顶A测得地面B点俯角$40^\circ$，下列说法正确的是（） A.$\angle A=40^\circ$ B.视线AB与水平线夹角为$40^\circ$ C.视线AB与铅垂线夹角$40^\circ$ D.$\angle B=40^\circ$ 4. 测教学楼高度，测角仪CD距教学楼水平距离18m，测角仪高\(1.5\mathrm{m}\)，测得楼顶仰角$30^\circ$，教学楼高是（） A.$1.5+6\sqrt{3}$ B.$1.5+18\sqrt{3}$ C.$1.5+\dfrac{18}{\sqrt{3}}$ D.$1.5+18\tan30^\circ$ ## 二、填空题 5. 山顶上观测地面一点，俯角$30^\circ$，山高$100\mathrm{m}$，则观测点到目标点的水平距离为________m。 6. 小明站在地面看旗杆顶端仰角$45^\circ$，小明眼睛离地面高1.6m，小明离旗杆底部水平距离12m，则旗杆高度为________m。 7. 无人机在高度90m处，看地面标志物俯角$60^\circ$，无人机与标志物水平距离为________m。 ## 三、解答题（基础） 8. 如图，离大树底部水平距离20m处，用测角仪测得树顶仰角为$30^\circ$，测角仪高1.2m，求大树高度。（保留根号） 9. 一架飞机在距离地面高度1500m的A处，观测地面控制点B的俯角为$45^\circ$，求飞机A到B的直线距离。 ## 四、解答题（中档，双直角三角形，考试高频） 10. 如图，两座建筑物AB、CD水平距离$BD=60\mathrm{m}$，从A点测得C点俯角$30^\circ$，测得D点俯角$45^\circ$，求两座建筑物高度AB、CD。（保留根号） 11. 数学小组测量山高，在山脚C测得山顶A仰角为$45^\circ$；沿水平地面向山前进\(100\mathrm{m}\)到D点，测得山顶A仰角为$60^\circ$，求山高AB。（保留根号） ## 五、拔高题（中考真题风格） 12. 无人机在C点距离地面102m，测得楼顶A俯角$45^\circ$，楼底B俯角$63^\circ$，$\tan63^\circ\approx2$，求楼房AB高度。 --- # 参考答案与解析 ### 一、选择题 1. **D** 解析：俯角$30^\circ$，内错角相等，$\angle B=30^\circ$，$\(AC=800\)$，$\tan30^\circ=\dfrac{AC}{AB}$，$AB=\dfrac{800}{\tan30^\circ}=800\sqrt{3}$。 2. **A** 解析：测倾仪上方直角三角形，水平邻边150，对边$150\tan\alpha$，再加仪器高度。 3. **B** 解析：俯角定义：视线与水平线下方夹角。 4. **A** 解析：$h=1.5+18\tan30^\circ=1.5+18\times\dfrac{\sqrt{3}}{3}=1.5+6\sqrt{3}$ ### 二、填空题 5.$100\sqrt{3}$ 解析：$\tan30^\circ=\dfrac{100}{x}\Rightarrow x=\dfrac{100}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=100\sqrt{3}$ 6.$\(13.6\)$ 解析：仰角$45^\circ$直角三角形等腰，上方高度12m，总高$12+1.6=\(13.6\)$ 7.$30\sqrt{3}$ 解析：$\tan60^\circ=\dfrac{90}{x},x=\dfrac{90}{\sqrt{3}}=30\sqrt{3}$ ### 三、基础解答题 8.解：设树在测角仪上方高度为$h$， $\tan30^\circ=\dfrac{h}{20}\Rightarrow h=20\times\dfrac{\sqrt{3}}{3}=\dfrac{20\sqrt{3}}{3}$ 树总高：$\boldsymbol{\left(1.2+\dfrac{20\sqrt{3}}{3}\right)}$米 9.解：俯角$45^\circ$，直角三角形中，对边1500，$\sin45^\circ=\dfrac{1500}{AB}$ $AB=\dfrac{1500}{\sin45^\circ}=1500\sqrt{2}\ \mathrm{m}$ 答：飞机到B直线距离$1500\sqrt{2}$米。 ### 四、中档解答题 10.解：过C作$CE\perp AB$于E，$\(CE=BD=60\)$ 由D点俯角$45^\circ$：$\angle ADB=45^\circ$，$\triangle ABD$等腰直角三角形，$\boldsymbol{AB=BD=60\mathrm{m}}$。 $\angle ACE=30^\circ$，$\tan30^\circ=\dfrac{AE}{CE}$ $AE=60\times\dfrac{\sqrt{3}}{3}=20\sqrt{3}$ $CD=BE=AB-AE=\boldsymbol{60-20\sqrt{3}}\ \mathrm{m}$ 答：$AB=60\mathrm{m}$，$CD=(60-20\sqrt{3})\mathrm{m}$ 11.解：设山高$\(AB=x\)$ $\angle ACB=45^\circ\Rightarrow BC=\(AB=x\)$，$BD=x-100$ $\tan60^\circ=\dfrac{AB}{BD}\Rightarrow\sqrt{3}=\dfrac{x}{x-100}$ $\sqrt{3}(x-100)=x,\sqrt{3}x-100\sqrt{3}=x$ $x(\sqrt{3}-1)=100\sqrt{3}$ $x=\dfrac{100\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1}=50\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)=\boldsymbol{150+50\sqrt{3}}$米。 ### 五、拔高题12 解：过A作$AH\perp$无人机竖直线，垂足H。 $\(CH=102\)$，$\angle HCA=45^\circ$，$\triangle AHC$等腰直角，$AH=\(CH=102\)$。 在$Rt\triangle CHB$中，$\angle HCB=63^\circ$，$\tan63^\circ=\dfrac{HB}{AH}$ $HB=AH\cdot\tan63^\circ\approx102\times2=204$ 楼房高度$AB=HB-HC=204-102=\boldsymbol{102m}$ --- ## ✅ 解题注意点（考试容易丢分） 1. **俯角一定要用内错角转换**，不要直接当成直角三角形内角； 2. 测角仪、人眼高度**千万不要忘记加上**； 3. 双直角三角形题型，优先设未知数，用两个三角函数列方程； 4. 结果有要求时：保留根号，或按参考数据取近似值。 要不要我单独出一份**不带答案版本**，方便你打印自测？ 湘教版（新教材）数学九年级上册 2.4.1仰角与俯角问题 授课教师： . 班 级： 9年级（ ）班 . 时 间： . 2026/10/8 学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。 第2章 锐角的正弦、余弦、正切 1 2 了解仰角、俯角的概念，能正确识别图形中的仰角和俯角。 能运用解直角三角形的知识解决与仰角、俯角有关的实际问题（重点） 学习目标 导入新课 A B C a b c 1、直角三角形的三边之间有什么关系？ a2+b2=c2(勾股定理) 2、直角三角形的锐角之间有什么关系？ ∠A+∠B=90° 3、直角三角形的边和锐角之间有什么关系？ 知二推一 cos A= sin A= tan A= 直角三角形中除了直角其它5个元素有什么关系呢？ ----在日常生活中，我们经常运用这些知识解决直角三角形有关的实际问题，今天我们来学习它。 问题1（函数选择） 在 中，，已知 ，，要求 的长，应选用哪个三角函数？请说明理由。 答案：选用正切。因为 是 的邻边， 是 的对边，已知邻边求对边，用 ，即 。 温故知新 4 问题2（完整求解） 在 中，，，。 （1）请画出图形，并在图上标注已知条件； （2）求 和 的长。 解答：（1）学生在练习本上画图， 标注 ，，） （2）求 ：，，，。 温故知新 5 【课本“思考”】——某探险者到达点 处，准备估算到海拔为 的山峰顶点 处的水平距离。思考： （1）山峰的海拔 是图中哪一段？点 处也有海拔吗？ （2）我们无法直接测量 、 之间的水平距离，你能帮探险者想一个可行的办法吗？ 温故知新 6 【课本“思考”】——某探险者到达点 处，准备估算到海拔为 的山峰顶点 处的水平距离。思考： （3）要用数学方法解决这个问题，我们需要知道哪些数据？ 温故知新 7 从实际问题到数学问题 如图2.4-2，BD表示点B的海拔，AE表示点A的海拔， AC⊥BD，垂足为点C. 用仪器先测量出点A的海拔AE，再测出仰角∠BAC，然后用锐角的正切就可求出A，B两点的水平距离AC. 探究新知 探究一： 8 从实际问题到数学问题 仰角：从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角叫做仰角。视线在水平线上方的角是仰角。 探究新知 探究一： 9 解直角三角形求解实际问题 【做一做】如图2.4-2，如果测得点A的海拔AE为1600m，仰角∠BAC=40°， 求A，B两点的水平距离AC（tan40°≈0.8391，结果精确到1m） 探究新知 探究二： 解直角三角形求解实际问题 由题意，，，，。 即 ，从而 。 探究新知 探究二： 解直角三角形求解实际问题 什么要用正切而不是正弦或余弦？在这个问题中，已知的是什么？所求的是什么？ 探究新知 探究二： 知识点1 仰角的应用 （第1题） 1. 2025年11月25日12时11分， 搭载神舟二十二号飞船的长征二号 遥二十二 运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射.如图， 当火箭上升到点时，位于海平面 处的雷达 测得点到点的距离为，仰角为 ，则 此时火箭距海平面的高度 为( ) A A. B. C. D. 返回 举一反三 13 （第2题） 2. 在课外实践活动中，某小组测量楼 房的高度（如图），他们在 处仰望 楼顶，测得仰角为 ，再往楼房的 方向前进至处，测得楼顶 的仰 角为 ，那么楼房 的高度为 __________（人的身高忽略不计，结果 保留根号）. 举一反三 14 问题中有两个或两个以上的 直角三角形，当其中一个直角三角形不 能求解时，可考虑分别由两个直角三角 形找出含有相同未知元素的关系式，运 用方程求解. （第2题） 返回 举一反三 15 【例1】某测量人员准备测量上海东方明珠塔的高度，他站在离塔底部 的 处，用仪器测得塔顶的仰角 为 ，仪器距地面的高度 为 ，如图2.4-3所示。求上海东方明珠塔的高度 （，结果精确到 ）。 完整示范——测量东方明珠塔高度 探究新知 探究三： 解答： 在 中，，， ， ，。 。 答：上海东方明珠塔的高度BD约为468m 典例精析 17 基础巩固题 新知应用 1．如图，某地修建高速公路，要从A地向B地修一条隧道（点A、B在同一水平面上）．为了测量A、B两地之间的距离，一架直升飞机从A地出发，垂直上升800米到达C处，在C处观察B地的俯角为α，则A、B两地之间的距离为（　　） A．800sinα米 B．800tanα米 C． 米 D． 米 D α 800 ? 基础巩固题 新知应用 2.在地面上离旗杆底部15米处的地方用测角仪测得旗杆顶端的仰角为 α ，如果测角仪的高为1.5米，那么旗杆的高为　 　 米．（用含 α 的三角函数表示） （1.5+15tanα） 15m AC=? 在Rt△ABC中，BC=15m， ∴， ∴AC=15tanα ∴AE=1.5+15tanα 基础巩固题 新知应用 3.如图，某数学兴趣小组测量一棵树的高度，在点A处测得树顶C的仰角为，在点B处测得树顶C的仰角为，且A，B，D三点在同一直线上，若，则这棵树的高度是（    ） A． B． C． D． 【解】设CD=x，在Rt△ADC中，∠A=45°， ∴CD=AD=x，∴BD=16-x， 在Rt△BCD中，∠B=60°，∴， 即：， 解得， 故选A． A 基础巩固题 新知应用 4.如图，一艘游船在离开码头 A 后，以与和河岸成 30°角的方向行驶了 500m 到达 B 处，求 B 处与河岸的距离 BC. 解：从点B作河岸线(看成直线段)的垂线，垂足为C， 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=500m. 由于BC是∠A的对边，AB是斜边，因此 从而BC=500×sin30°=250（m）. 答：B处与河岸的距离BC为250m． C 基础巩固题 新知应用 5. 如图，某飞机于空中A处探测到地平面目标B，此时从飞机上看目标B的俯角为α，若测得飞机到目标B的距离AB约为2400米，已知sinα=0.52，求飞机飞行的高度AC约为多少米？ 解：由题意得：∠B=∠α，∠C=90°． ∴sin B=sin α≈0.52． ∵sin B=， ∴AC=AB•sin B=2400×0.52=1248（米）． 答：飞机飞行的高度约为1248米． 知识点2 俯角的应用 3. 矮寨大桥，彻底打破了湘西 交通的瓶颈，不仅创造了世界桥梁史上的 奇迹，更是见证着湘西发展历程.如图，为 测量地面与大桥一侧塔顶的距离，无人机 在空中处测得大桥塔顶顶部的仰角为， 底部 的俯角 为 ，无人机与桥面的水平距离约为 ，则大桥的 高度 为_________（结果保留根号）. 返回 举一反三 23 4. 如图， 处有一垂直于地 面的标杆,热气球沿着与 的夹 角为 的方向升空，到达 处，这 时在处测得 处的正东方向200米的 处的俯角为（,,, 在同一平 141 面内）.则, 之间的距离约为_____（结果精确到1米，参考 数据： ）. 举一反三 24 【点拨】如图，过点作 ,垂 足为.由题意得， 米， ， ，所以 . 所以在中， （米），所以， 之间的距离约为141米. 在中，因为 ,所以 米， 举一反三 25 异侧双直角三角形的求解 方法： 方法一：先解已知条件较多的直角 三角形，再结合已知条件解另一个 直角三角形. 方法二：用重合边表示出共直线的 直角边，根据两边关系列方程求解. . . . . 返回 举一反三 26 （第5题） 5. 如图是椭圆机在使用过程中某时 刻的侧面示意图，已知手柄 滚轮连杆 ， 且，，连杆 与底座 的夹角为 ，则该椭圆机的机身高度 （点到的距离）为____________ . 举一反三 27 （第5题） 【点拨】如图，作, ,垂足分别 为和，作于点 ，所以 ， ，所 以四边形是矩形， . 所以, .因 ， ，所以 ， 举一反三 28 .所以 .所 以 . （第5题） 返回 举一反三 （第6题） 6. 如图，某地政 府为解决当地农户网络销售农产品 物流不畅问题，计划打通一条东西 方向的隧道.无人机从点 的正上 方点处，沿正东方向以 的速 243 度飞行到达点处，测得的俯角为 ,然后以同样的速 度沿正东方向又飞行到达点处，测得点的俯角为 , 则的长度约为_____.（结果精确到 ,参考数据： ,, , ） 举一反三 30 三角函数 表达式（以 为例） 表达式（以 为例） 正弦 （对边比斜边） 余弦 （邻边比斜边） 正切 （对边比邻边） 课堂小结 知识梳理 31 谢谢观看 THANKS $