重难专题02 三角函数图像和性质的综合应用（11种题型清单）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测

重难专题02 三角函数图象和性质的综合应用 题型脑图·重难考法归纳 考法深研·解题技能通关 题型01 三角函数性质的综合应用 三角函数性质的综合应用核心思路是先把函数画出的形式或的形式，再用整体换元法研究周期性、对称性、单调性和值域. 1．（多选）（26-27高三上·重庆·阶段检测）已知函数，其中，，、为图象上的两点，且的最小值为，是的一个对称中心，将图象上的所有点横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，则下列选项正确的是（     ） A． B．函数在上有个极值点 C．函数在区间上的最大值为，最小值为 D．函数在区间上单调递增 【答案】ACD 【详解】依题意，函数的最小正周期，解得，A正确； 由是的一个对称中心，得，则 而，则，，， 将图象上的所有点横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象， 则， 对于B，当时，， 由， 得函数的极值点，因此函数在上有个极值点，B错误； 对于C，由，得， 当时，即当时，， 当时，即当时，，C正确； 对于D，当时，， 因此函数在区间上单调递增，D正确. 2．（多选）（26-27高三上·重庆九龙坡·阶段检测）已知函数，点在函数的图象上，且，的最小值为，则下列说法正确的是（    ） A． B．的单调递减区间是， C．将的图象向右移动个单位长度后，所得到的图象关于轴对称 D．若在上恰有三个极值点，则实数的取值范围是 【答案】ABD 【详解】选项A：将代入得，即，又，所以. 因为是函数的最大值，的最小值为， 所以最小正周期，则，A正确； 因此. 选项B：余弦函数的单调递减区间为， 令，则，解得，B正确； 选项C：向右平移个单位后得函数， 是奇函数，图象关于原点对称，不关于轴对称，C错误； 选项D：极值点满足，即. 时的极值点依次为，恰有3个极值点则，D正确. 3．（多选）（25-26高三上·江苏泰州·阶段检测）已知函数的最小正周期为，且对于恒成立，则（    ） A．在区间单调递减 B．在区间有两个零点 C．是曲线的一个对称中心 D．当时，函数取得极值 【答案】AB 【详解】 ， ， 对于恒成立， ，解得， . 对于A，， ， 所以在区间单调递减. 对于B，，， 在上有两个零点，故在区间有两个零点，B正确； 对于C，， 故不是曲线的对称中心，C错误； 对于D，，故当时，函数不取极值，D错误； 4．（多选）（26-27高三上·安徽六安·开学考试）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．的值域为 B．的最小正周期为 C．在上单调递减 D．的图象关于直线对称 【答案】ACD 【详解】对于A， ，故以为周期， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 故的值域为，A正确； 对于B， ，故的最小正周期不为，故B错误； 对于C，当时，，， 故单调递减，故C正确； 对于D，由 ，故的图象关于直线对称，故D正确． 5．（多选）（2026·四川眉山·模拟预测）把函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象关于原点对称，则（    ） A．的最小正周期为 B．的图象关于直线对称 C．在上单调递减 D．当在区间上存在极大值点和极小值点时，实数的取值范围为 【答案】AD 【详解】因为， 将其向左平移个单位长度后， 得， 因为此函数的图象关于原点对称，所以，则， 又因为，所以，则， 所以函数的最小正周期，故A正确； 令，解得， 所以函数的对称轴为：， 所以函数图象不关于直线对称，故B错误； 当时，， 因为在上不单调递减， 所以在上不单调递减，故C错误； 当时，， 因为在区间上存在极大值点和极小值点， 所以，解得， 所以实数的取值范围为，故D正确. 6．（2026·河北张家口·三模）已知函数图象的两条相邻对称轴间的距离为，且的最大值为，，则（    ） A． B．在区间上单调递增 C．在区间上只有一个极值点 D．在区间上的图象与直线所有交点的横坐标之和为 【答案】D 【详解】因为图象的两条相邻对称轴间的距离为，所以最小正周期，则，故A错误； 由为最大值，得，所以. 因为，所以. 所以，则， 若取，则，此时. 当时，， 此时不单调递增，故B错误； 当时，，此时有两个极值点，故C错误； 令，得，则，又， 所以在区间上的图象与直线所有交点的横坐标之和为，故D正确. 7．（2026·天津滨海新区·三模）若函数（，）在区间上单调递增，且，，则以下说法中正确的个数是（     ） ①；②；③函数是偶函数； ④若函数在区间内有个零点，则在此区间内有且只有个极大值点． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】由题意，可得且， 即，则有， 解得， 因函数在区间上单调递增，则该函数的最小正周期满足， 即，故由（*）可得，则， 又由可得，则得， 即，因，则，故①错误； 由上分析，得，则，故②错误； 于是，因为，故为偶函数，故③正确； 当时，，要使函数在区间内有个零点，需使， 此时若，则函数有3个极大值，若，则函数有2个极大值，故④错误. 8．（25-26高三·全国·一轮复习），在上单调递增，且为图象的一条对称轴，是图象的一个对称中心，当时，的最小值为（   ） A． B． C． D．0 【答案】A 【详解】由函数在上单调递增，得，则， 由为图象的一条对称轴，是图象的一个对称中心， 得，解得，因此， 而，，则， 因此，当时，， 所以． 9．（2026·福建泉州·模拟预测）已知是函数的一个零点，当时，，则方程在区间内所有根的和为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】已知​是 的零点，代入得： ， 即 ，解得 ， 由条件： 时，代入验证： 时，， ，恒成立，符合条件； 时，​， ，恒成立，不符合条件； 时，的取值区间内函数值不恒为负，不符合条件. 因此， ， 当时：； 当时： ， 原方程等价于求和在 内的所有根之和. 令，当时，， 方程，即在 内仅是解，对应： ，​ 方程即在 内有两个解，由正弦函数对称性得，对应： ，​ ​ 故所有根的总和为： .​ 10．（2026·甘肃金昌·三模）已知函数，直线为图象的对称轴，，且在上单调，则当时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由直线为图象的对称轴，得，是整数， 所以， 由在上单调，得. 因为，所以 当时，. 11．（2026·天津河西·一模）已知函数，在区间上单调递增，为它的一条对称轴，则方程在区间上所有不相等的实数根之和为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 ，， 因为为的一条对称轴，所以，，即， 设函数的周期为，由在区间上单调递增，则，即， 所以，即， 所以或或或， 当时，，令，解得， 当时，的增区间为，而，满足题意； 当时，，令，解得， 当时，的增区间为，而，不合题意； 当时，，令，解得， 当时，的增区间为，而，不合题意； 当时，，令，解得， 当时，的增区间为，而，不合题意； 综上，，. 当时，， 当时，，即， 所以方程等价于，即， 所以或， 解得或， 当时，在区间上，时，，时，，时，； 当时，在区间上，时，，时，，时，； 所以方程在区间上所有不相等的实数根之和为. 12．（多选）（26-27高三上·重庆·阶段检测）已知函数，且在 内有最大值，没有最小值， 则下列结论正确的有（    ）． A． B．在上有且仅有1个零点 C．若，则 D．函数的所有零点之和为 【答案】ACD 【分析】由可得，，结合特殊值即可判断A；由求出x的表达式，即可判断B；利用三角函数恒等变换可判断C；令，求出符合题意要求的所有零点，可判断D. 【详解】A：由，即得，， 设，，则． 由于在内有最大值，没有最小值， 不妨取，，则， 故，解得，A正确； B：由以上分析知，令， 则，得， 令，，得，，所以在上有2个零点，B错误； C：，得， 因为，得，， 因此，，得，， 所以，，且， 所以， 故， 即， 由，得（负值舍），C正确； D.令，有， 得或， 解得或， 故上的零点依次为，，或，，，，， 所以各零点和为，D正确． 13．（多选）（26-27高三上·浙江·开学考试）已知函数，点，，若，为图象上的两动点，则下列结论正确的是（    ） A．若，则的最小值为 B．当时， C．存在，，使得为等腰直角三角形 D．若方程在上有唯一实根，则 【答案】BCD 【详解】若，则，两点中一个为极大值点，一个为极小值点，当两点为相邻的极值点时，取得最小值，最小值为，A错误； 由得，， ，又， 所以，解得或（舍）， 所以，B正确； 过点斜率为1的直线，记， 因为，，所以，又，，故， 所以直线与的图象在上必有交点，由对称性可知直线与的图象在上必有交点， 当，分别为两个交点时，为等腰直角三角形，C正确； 令， 令，，则， 当或时，方程无实数根；因为，当时，方程有4个实数根； 当时，方程有2个实数根；当时，，方程有2个实数根； 当时，，方程有2个实数根； 当时，，方程有唯一实数根，所以，D正确． 14．（2026·山东·模拟预测）已知函数，满足，，且的最小值为，下列说法正确的是（     ） A．的最小正周期为 B．在区间单调递减 C．在区间有两个极值点 D．使得为偶函数的最小正实数为 【答案】AC 【难度】0.43 【详解】由 ， 对于A，因为，，且的最小值为， 即函数的最小正周期满足，所以，所以A正确； 对于B，由上分析可得，解得，则， 当时，， 当时，即时，函数单调递增； 当时，即时，函数单调递减， 即在上单调递增，在上单调递减，所以B错误； 对于C，令，可得， 因，由，解得，又， 故当时，；当时，， 即函数在区间有两个极值点和，所以C正确； 对于D，由函数， 因为函数为偶函数，可得，解得， 当时，，所以最小正实数为，所以D不正确. 15．（多选）（2026·河南·模拟预测）已知函数（），则（     ） A．当的最小正周期为时， B．当在上单调时， C．当在上恰有两个零点时，D．当时，在上的值域为 【答案】ABD 【详解】函数 ； A，当的最小正周期为时，可知，解得，即A正确； B，当时，可知， 若在上单调，则需满足，解得，B正确； C，结合B中分析可知当在上恰有两个零点时,需满足，解得，即C错误； D，当时可知，若，则, 所以，可知在上的值域为，即D正确. 16．（多选）（2026·陕西榆林·三模）已知函数，下列结论正确的是（   ） A．的图象关于直线对称 B．的最大值为 C．的最小值为 D．当方程在上有6个实根时，的取值范围是 【答案】ACD 【详解】对于A，的定义域为，因为，所以是偶函数， 因为， 所以，所以的图象关于直线对称，故A正确； 对于BC，由是偶函数，且最小正周期为， 得在上的值域等于在上的值域， 当时，， 因为，所以，故B错误，C正确； 对于D，由上知，在上有唯一实根，由的图象关于直线对称，得方程在上的实根为， 由的周期性可得在上的前7个实根分别为，，，，，，，所以，故D正确. 17．（多选）（2026·陕西·二模）声音是由物体振动产生的声波．纯音的数学模型是函数，我们日常听到的声音通常由多个纯音叠加而成，称为复合音，其数学模型为，记，则（    ） A．的最小正周期为 B．在区间上有10个零点 C．的图象关于点中心对称 D．的最大值为 【答案】CD 【详解】对于A，，此时， ，， 故的最小正周期不为，故A错误； 对于B，令，则，即， 故或，而，故，故B错误； 对于C， ， 故的图像关于点中心对称，故C正确； 对于D，， 因为 ，故为周期函数，且周期为， 设，则 ，令，得或， 则或或或或或， 当或或或时，， 当或或时，， 故在，，，上均为增函数， 在，，上均为减函数， 而， ， ， ， 故，故D正确. 18．（2026·江苏·模拟预测）已知函数的最小正周期为，若函数在区间上单调递减，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据积化和差将化为正弦型三角函数，求出及的具体表达式，再化简得，再由积化和差公式得，再分和两种情况讨论即可. 【详解】 ，其最小正周期为， 解得，又因为，所以，， 因为， 得 ， 由和差化积公式得： ， 即，下面分和两种情况讨论， 因为函数在区间上单调递减，所以，所以， 故当时，必有， 分析 的单调递减区间：令， 得的递减区间为，结合， 可得，， 且当时，有，此时不等式的等号成立. 若，则，， ， 因为的递减区间为， 所以 ， ，所以，即， 又因为关于在时递增，在 时递减， 所以的最小值为， 所以的最小值为. 题型02 根据三角函数的性质求参数的范围 这类题型的核心思路是：先把含参的三角函数看成整体，换元后转化为标准正弦或余弦函数，再利用图像或性质列不等式. 求参数的取值范围，关键是把已知条件（单调性、零点个数、最值、对称轴等）翻译成关于，或参数的不等式（组）。 19．（25-26高三下·山西太原·阶段检测）已知函数，将图象上的所有点的横坐标缩小为原来的后，再向右平移个单位，得到函数的图象．若函数在区间上不单调，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由， 横坐标缩小为原来的​，得； 向右平移个单位，得： ， 当时，相位的范围为： ， 不单调区间内存在正弦函数的最值点， 结合，则， 该范围内仅有的最值点为， 因此要求： ， 右半部分： ​，符合题设； 左半部分： 综上，的取值范围是 . 20．（25-26高一下·辽宁营口·阶段检测）若函数在区间上没有最小值，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，， 在区间上没有最小值， ，解得， 的取值范围为． 21．（26-27高三上·广东广州·阶段检测）已知函数在区间上单调递增，且在区间上只取得一次最大值2，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意得 ， 由题意得在区间上单调递增， 由，则，结合， 可得，解得， 当时，，要使得该函数取得一次最大值2， 故只需，解得； 综上所述，的取值范围为. 22．（25-26高一下·海南省直辖县级单位·阶段检测）如图，是函数（，，）图象的一部分，函数在区间上有且仅有两个零点，实数的取值范围________． 【答案】 【详解】由图可得，函数的最小正周期为， 则，所以，因为， 则，因为，所以，解得， 所以，令，，则， 因为函数在区间上有且仅有两个零点， 所以方程在有且仅有两个实根， 令，得或，， 所以方程的正根从小到大排列分别是，，，…， 所以，解得． 23．（26-27高三上·安徽·阶段检测）已知，函数的图象关于直线对称，且在上单调递增，则______；函数，若关于的方程在上有且仅有1个根，则实数的取值范围为______． 【答案】 【详解】（1）由的图象关于直线对称，得， 即，解得. 的单调递增区间满足， 即. 当时，， 由在上单调递增，得，即， 结合得，. （2）当时，， 方程，即，. 令， 当时，，，单调递增； 当时，，，单调递减. 由得，分情况讨论： ①当即时， 在单调递减，恒成立， 方程有且仅有1个根等价于. ，由， 结合，得. ②当，即时，， 在递增，在递减. 时，，方程无解； 时，且， 要使方程仅有1个根，需. ，由， 结合，得. 综上，实数的取值范围为. 24．（2026·河南濮阳·二模）已知函数是的零点，直线为图象的一条对称轴，且函数在区间上单调，则的最大值为__________． 【答案】3 【详解】 函数，为的零点，为图象的对称轴，，且， 相减可得， 即，，即为奇数． 在单调，， ，故奇数的最大值为． 当时，， ，． 此时在上不单调，不满足题意． 当时，， ，， 此时在上不单调，不满足题意． 当时，， ，， 此时在上单调递减，满足题意； 故的最大值为. 25．（2026·山西大同·三模）已知函数在区间上恰有3个零点，则的取值范围是______． 【答案】 【详解】因为，所以， 所以函数在区间上恰有3个零点， 即在上恰有3个实数根， 所以，， 又， 所以在上恰有3个实数根， 所以， 解得， 即的取值范围是． 26．（2026·湖南长沙·一模）已知函数其中实数. (1)若的最小正周期为，求 在处的切线方程； (2)若在区间上恰有三个极值点、两个零点，求的取值范围. 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）. 因为的最小正周期为，所以，解得. 所以. 则，所以切点为. 又，则， 所以切线方程为，即. （2）由（1）知，，，，则， 因为在区间上恰有三个极值点，所以，且， 即，解得. 又若在区间上恰有两个零点，则，且， 即，解得. 综上，. 故的取值范围为. 27．（25-26高三上·上海杨浦·期末）已知，其中. (1)若，求函数的最小正周期及严格增区间； (2)若关于的方程在上至少存在2026个解，且的最小值不小于2026，求的取值范围. 【答案】(1)，，；(2) 【详解】（1）当时，，所以最小正周期. 由，得， 所以严格增区间为，. （2）因为，，， 与相差个周期，与相差个周期， 所以要使区间上至少存在2026个解，其区间长度的最小值为个周期，且最小值不小于， 故，即，所以，又, 所以. 题型03 由图象确定正（余）弦型函数解析式 由图像确定正（余）弦函数的解析式的核心是求三个参数：A（振幅），（角频率）、（初相），若图像由上下平移还需加上，基本思路是：看图定A和周期代入点求. 28．（26-27高三上·湖北武汉·阶段检测）函数的部分图象如图所示，是等边三角形，其中，两点为图象与轴的交点，为图像的最高点，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】∵ 函数的振幅为，故最高点的纵坐标为，即等边的高为. 设等边三角形边长为，由等边三角形高与边长的关系得，解得，即. ∵ 余弦函数两个相邻零点之间的距离为半个周期，故，得周期，因此. ∵ 且，解得，，结合图象得，. ∵ 为函数单调增区间内的零点，故，， 代入得，化简得，. ∵ ，故，即. 计算一个周期内的函数值和： ， ， ， ， 故. ∵ 求和项共项，，即包含个完整周期， 剩余项对应，，， ∴ . 29．（多选）（26-27高三上·江苏无锡·阶段检测）已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（   ） A． B．若，，则 C．当时，若的值域是，则 D．当时，曲线与有4个交点 【答案】ABD 【详解】由图象可知. 曲线在与处都是由下往上穿过轴，故这两点是相邻的同向零点， 它们的距离等于一个周期，即，从而. 把代入得，即，； 又且图象在该点上升，故取，得. 所以，A正确. B中，由得， 所以或，即或，； 相邻两解的最小距离为（如与），B正确. C中，时. 值域恰为需同时满足三条：取到最大值， 需，即；取到最小值，需，即； 不能取到，需，即. 故，C错误. D中，画出，在区间上的图象如下图所示， 由图可知，两个函数图象有个交点，所以D选项正确. 30．（多选）（2026·河南·三模）已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（   ） A．， B．在区间上单调递增 C．将的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象 D．直线与的图象的所有交点的横坐标之和小于3 【答案】BCD 【详解】由图像最大值为，最小值为，且，得, 由图像得，所以，因此, 将点代入，得 ，解得， 所以 ， 选项 A：，A 错误； 选项 B：由, 得, 当时，递增区间为, B 正确; 选项 C：将的图像向右平移个单位长度后得到的图像, C 正确; 选项 D：解方程，即，得, 解得,即或, 因为，所以的解为，， 所有交点横坐标之和为：，D 正确. 31．（多选）（2026·湖北武汉·模拟预测）已知函数与的部分图象如图所示，为两曲线相邻的交点的横坐标，记，则（   ） A． B．的最小正周期为 C．若在上有9个零点，则 D． 【答案】ACD 【分析】由求导得，根据图像分和两种情况分析求出求得周期可判断A、B；由求得相邻两零点的距离，结合在上零点的个数求出的范围即可判断C；先由，得，再由及求得的值，进而通过诱导公式结合三角恒等变换求解即可判断D. 【详解】对于A，B，，若，则，得， 所以，又且，得， 此时，符合题意； 若，则，得，所以， 又，且，得，此时， 在其单调递减区间内，与图象不符，所以，最小正周期为，故A正确，B错误； 对于C，由得，所以相邻两零点的距离为， 因为在上有9个零点，所以， 即，故C正确； 对于D，由，得， 又由，且， 得， 所以 ，故D正确． 32．（多选）（2026·福建龙岩·三模）已知函数的部分图象如图所示，为图象的最高点，分别为图象与轴，轴的交点，则（   ） A． B．为的一条对称轴 C．函数在上有且只有4个零点 D．若在区间上的最大值为，则 【答案】AC 【详解】已知，过，得， 结合，得； 过，且是最高点之后的零点，满足，解得. 因此，最高点坐标为. 选项A.，，则，A选项正确； 选项B.不是最值，故不是的对称轴，B选项错误； 选项C.， 因此，该函数是偶函数. 当时，，不是零点. 令，即. 当时，作出函数和在区间上的图象如下： . 所以当时有2个零点，由偶函数对称性，当时有2个零点，总共4个零点，C选项正确； 选项D.中，对应，即长度为的区间上的最大值. 取，区间对应，最大值，不满足，D选项错误. 33．（25-26高三下·陕西西安·阶段检测）已知函数，如图，是直线与曲线的两个交点，且，若在区间上的值域是，则的取值范围是__________. 【答案】 【详解】根据可得，故， 故， 令，故或， 结合图象可知， 因此，故，即. 当时，， 又在区间上的值域是， 所以，解得， 即的取值范围是. 34．（2026·上海·三模）函数对应的图象如图，点为图象与轴的交点，点为图象的最高点，点为图象的最低点，若，则的值为______ 【答案】 【详解】，振幅为，周期， 设点，则，， ， ， 解得，解得或（舍去）， ，解得． 35．（26-27高三·全国·一轮复习）已知函数的部分图象如图所示，图象与轴的交点，与轴的交点为，最高点，且满足．则____________． 【答案】 【详解】由题知，函数的最小正周期满足，解得， 所以， 由图象与轴的交点，得， 因为，所以，即， 所以的图象与轴的交点为， 因为，所以， 解得（舍去）或， 所以． 故答案为：． 36．（26-27高三上·安徽阜阳·阶段检测）函数的部分图象如图所示，，是图象与轴的交点，，分别为图象的最高点与最低点.若，函数的图象关于点中心对称. (1)求函数的最小正周期； (2)求函数的解析式，并写出其函数图象的对称轴方程； (3)求的值. 【答案】(1)4；(2)，对称轴方程为，；(3) 【详解】（1）由题图知A=，由图象的对称性知为线段的中点， 因为，所以，所以， 即，函数的最小正周期为. （2）由(1)知，， 因为函数的图象关于点中心对称，所以，， 即，，因为，所以， 故，令， 函数的图象的对称轴方程为，. （3）由图象的对称性知，所以，所以， 所以，所以为正三角形. 在中，，，所以， 所以，所以. 37．（26-27高三上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知（其中，），函数相邻的极小值点和极大值点分别为和．直线为函数在轴右侧与轴距离最近的对称轴，且分别交函数的图象和轴于，两点，点为线段上一动点． (1)求函数的表达式，并写出其增区间； (2)设的内角，，所对的边分别为，，，若，且，求的取值范围； (3)设，记，请写出关于的函数表达式，并求的最小值． 【答案】(1)，；(2)；(3)， 【详解】（1）设的最小正周期为， 则由题可知，，而，解得， 则； 在处取得极大值，，， 又因为，故，，则 令，， 解得， 即的增区间为 （2）因为，因为，所以， 又因为，所以由余弦定理， 即，即． 而，当且仅当时取等号， 所以，即， 又因为，所以，即． （3）由题可知，为轴右侧最接近轴的极大值点，而正弦型函数的极值点同时也是其对称轴， 因此易知，故，则，． ，，． 因此． 设，，，． 设， 则， 当时，，，即，因此在上单调递减； 当时，，，即，因此在上单调递增， 因此在时取到最小值，， 故的最小值． 题型04 三角函数图像的综合应用 三角函数图像的综合应用核心是把图像变换、解析式求法和性质分析三者打通，会看图，会求式，会算性质。 38．（26-27高三上·内蒙古锡林郭勒·开学考试）已知函数的最小正周期为，且在内有两个零点，则实数的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正弦型函数的周期公式可得出，即可得出，令，则，问题转化为直线与函数在上的图象有两个交点，数形结合可得出实数的取值范围，即可得解. 【详解】因为函数的最小正周期为，则， 所以， 由可得， 当时，则，令，则， 由题意可知直线与函数在上的图象有两个交点，如下图所示： 由图可知，当时，直线与函数在上的图象有两个交点. 故实数的最小值为. 39．（2026·广东广州·模拟预测）设函数，若关于的方程在上有奇数个不同的实数解，则实数（    ） A． B．0 C．1 D．1或 【答案】A 【分析】由题意可得，从而可得关于直线对称，据此求解即可． 【详解】因为， ， 所以，故关于直线对称， 设与的图象在处有个交点， 与的图象在上有个交点， 则与的图象在上也有个交点， 所以与的图象在上共有个交点， 由于关于的方程在上有奇数个不同的实数解， 故与的图象在上交点的个数为奇数，即为奇数， 因此只能，即与的图象在处有1个交点，故． 40．（26-27高三上·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知函数，若恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，分析可知函数为增函数，且为奇函数，利用函数的奇偶性及单调性可得恒成立，换元令，结合函数最值运算求解. 【详解】令，函数的定义域为，为增函数， 且，所以函数为奇函数. 若恒成立，则恒成立， 即恒成立， 即恒成立，即恒成立， 即， 令， 则恒成立， 因为在区间上的最大值为， 所以的取值范围是. 41．（2026·湖南怀化·三模）已知函数在区间上单调递增，直线为的图象的一条对称轴，则方程在区间上所有不相等的实数根之和为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对称轴求出或，再根据单调性得到，分为和两种情况分别解方程即可求出答案. 【详解】因为直线为的图象的一条对称轴， 所以，即， 又，所以或. 当时，，当时，， 函数在上单调递增， 故在上单调递增，符合题意； 当时，，当时，， 函数在上不单调递增， 故在上不单调递增，不符合题意. 所以，， 当时，方程可化为，方程无解， 当时，方程可化为， 所以， 当时，， 所以或或，解得或或， 所以方程在区间上所有不相等的实数根之和为. 42．（2026·天津河西·二模）已知函数（，），图象的两个相邻对称中心之间的距离为，且关于点对称，若关于x的方程在区间上有且只有两个不同的实数根，，则的所有可能取值构成的集合为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出的解析式，换元，画出函数图象，数形结合得到的取值范围，并分两种情况，结合函数对称性得到方程，求出答案 【详解】图象的两个相邻对称中心之间的距离为，故的最小正周期为， 又，所以，解得，故， 因为为函数的对称中心，所以， 所以，解得， 因为，所以只有满足要求，故， ，故， 画出在上的函数图象，如下： 有且只有两个不同的实数根，， 则与有且只有两个不同的实数根， 所以且， 若，则关于对称，，， 即，解得，， 若，则关于对称，，， 即，解得，， 则的所有可能取值构成的集合为 43．（2026·天津河东·二模）已知，在函数的部分图象中（如图），其图象上的点，，是同一直线上的三点，且该直线与轴交于点，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】已知，而且共线，因此可以把这条直线的方向向量设出来，再把三个点都写成同一个参数形式.随后利用它们都在函数的图象上，把几何条件转化为三组正弦值关系，最后联立求出. 【详解】设，并设直线 的单位方向向量为 由可得 因为都在函数的图象上，所以 令 则上面三式化为①②③ 由 ①+②得 若，设，则由②③可推出 即 由于，故，从而，这与图象位置关系矛盾，因此不成立. 所以只能有取最小正值， 此时由①③得 即所以 于是故 再由得 而，所以 因此 44．（2026·湖北·模拟预测）记不超过x的最大整数为（如，），若函数与在上恰好有722个解，则a的最小值为（    ） A．1440 B．1441 C．1445 D．1446 【答案】C 【详解】解：， 的周期为， 当时，，； 当时，，； 当时，，； 当时，，； 当时，，； 又的周期为， 则时，函数图像如下： 所以，在一个周期内有个解， ， 又时，有2个解，时，有3个解， 解得，则a的最小值为． 45．（多选）（2026·浙江嘉兴·二模）已知函数，关于x的不等式在区间内的整数解的个数为n，下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则n的最小值为338 C．若存在实数a，使，则t的最小值为 D．若存在实数t，使，则a的最大值为 【答案】ACD 【分析】利用正切函数的周期为6及区间包含337个完整周期，结合图像分析不同参数下每个周期内整数解的分布规律，从而判断各选项的正确性. 【详解】画出函数的图象如图所示，    因为的周期，所以区间含区间和337个完整的周期， 对于A：若，则原式为， 即求不等式的整数解，只需找直线和之间横坐标为整数的点， 由图可知：3，9，15，…均满足，共有338个，故A正确： 对于B：的整数解个数， 即直线和之间横坐标为整数的点的个数． 取，此时当时，不等式无解，则，故B错误； 对于C：要使，则区间和337个周期内各2个． 要使t最小，只需内包含1和2，因此t的最小值为，故C正确； 对于D：要使，则区间和337个周期内各2个． 要使a最大，只需内包含2和3，因此a的最大值为，故D正确． 46．（2026·江苏南京·三模）已知，与在上有三个交点，若，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据求出，从而可得出三点的坐标，再根据，得，结合数量积的坐标公式求解即可. 【详解】令，则， 即，化简得， 解得（舍去）， 因为，所以， 所以， 所以，， 由，得， 不妨设， 则， 由，得， 即， 解得（负值舍去）. 47．（2026·辽宁沈阳·三模）已知两函数和的图象在区间上有三个交点，且三个交点构成一个正三角形，若交点横坐标为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，化简可得，根据正切函数的性质求出的范围，以及三个交点的横坐标，再根据正三角形的性质求出，再利用二倍角公式以及和差化积公式即可得解. 【详解】令，即， 即，所以， 因为函数和的图象在区间上有三个交点， 所以方程在区间上有三个不同的解， 因为，所以， 所以，所以， 由，得， 所以， 所以， 则函数和的图象相邻两个交点的水平距离为， 构成正三角形的高为， 由正三角形的性质可得高与水平距离之比为， 即，所以， 所以， 则 ， 由和差化积公式可得 ， 所以. 48．（25-26高一下·湖南长沙·开学考试）已知函数，，对任意恒有，且在区间上有且只有一个使，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据的零点及最值点列方程组，可得的关系式，根据在区间上有且只有一个使，得在区间上有且只有一个最大值，从而求得的取值范围，得到的最大值. 【详解】因为对任意恒有，所以在处取得最值. 所以； 由，得. 所以. 令，则. 由在区间上有且只有一个使，得在区间上有且只有一个最大值，所以， 所以. 所以，解得. 若，，此时取可使成立. 当时，，其中或时，，所以. 若，，此时取可使成立. 当时，，其中或时，，所以. 若时，，此时取可使成立. 当时，，其中时，. 所以时满足题意. 故的最大值为. 49．（2026·四川绵阳·模拟预测）已知，不等式在中的整数解有个.关于的个数，以下不可能的是（    ） A．1014 B．1013 C．507 D．0 【答案】A 【分析】根据已知有，结合正切函数的周期性研究与直线整数交点的个数，再应用分类讨论研究直线与所包围的区域（不含边界）内的整点个数，即可得. 【详解】因为，所以， 因为函数的周期为4，先考虑一条直线与函数的整数交点. 注意到在一个周期内，可能存在的整点有1，3，4，可得，以下分情况讨论： ①当时，，，有506个整点； ②当时，，，有506个整点； ③当时，，，有507个整点； 再考虑直线与所包围的区域（不含边界），注意到区间的长度为2. 当时，则可能，就有个整点； 也可能，就有个整点；故B可能； 当时，，就有506个整点， 当时，，就有507个整点，故C可能； 当或时，中没有元素，就有0个整点，故D可能， 综上，不可能只有A. 50．（25-26高三上·云南曲靖·期末）函数与的图象在上有个不同的交点，则（    ） A．2026 B．4053 C．8104 D．8105 【答案】D 【分析】根据两函数的对称性可求出它们的对称中心为，结合图象求出它们在上交点的总个数，即可求得结果. 【详解】易知函数关于点成中心对称， 又函数满足； 因此函数也关于点成中心对称， 易知函数的最小正周期为，其值域为 因为函数在上单调递减，且当时，，当，； 可知的值域为； 画出两函数在同一坐标系下的图象如下图： 根据图象可知两函数在上除了之外，共有四个交点， 且这四个交点的横坐标之和为0，纵坐标之和满足， 再由周期性可知两函数在上除了之外共有个交点， 结合对称性可知. 故选：D 51．（25-26高三下·上海·期中）已知函数，若函数在区间上恰有2026个零点，则所有可能的正整数的值组成的集合是______． 【答案】 【分析】化简函数得，令，换元得，根据二次函数零点可得原题意等价于在区间上恰有2026个零点，结合正弦函数的图象性质分析求解即可. 【详解】由题意得， 令，，可得，， 记的两零点为，， 则，不妨设， 且，则，，， 可知（舍去），， 原题意等价于在区间上恰有2026个零点， 可知在和（为正整数）内不同根的个数均为， 所以，故所有可能的正整数组成的集合为. 52．（26-27高三上·山东泰安·阶段检测）如图，已知扇形的圆心角，半径．点C为弧上的动点，过点C作扇形的内接矩形，其中点D在半径上，点E、F在半径上，且． (1)当时，求扇形的周长； (2)求矩形面积的最大值M（用表示），并指出此时点C的位置； (3)记扇形的面积为T，设． （ⅰ）判断函数在区间上的单调性，并证明； （ⅱ）若对任意，不等式恒成立，求实数的最大值． 【答案】(1)；(2)，C为弧的中点；(3)答案见解析；（ⅱ） 【分析】（1）利用扇形周长计算公式即可求解； （2）连接，设，，把矩形面积转化关于的三角函数，再求解出面积的最大值及点的位置. （3）先求出，   （ⅰ）通过求导来判断函数的单调性；   （ii）利用函数的单调性求解时，的最小值，从而求出实数的最大值. 【详解】（1）由题意得，弧的长为，故扇形的周长为． （2）连接，设，．又， 所以，，所以， 所以， 所以 ． 因为，所以；又，故， 从而，当且仅当，即时取等号． 所以 此时，即点C为弧的中点． （3）扇形的面积，故． （ⅰ）（ⅰ）在上单调递减， 设，则， 故在上单调递增，，即． 取，得，故，所以在上单调递减． （ⅱ）由（ⅰ）知，对任意，有 ． 因为恒成立，故满足；而当时，取充分接近可使， 不等式不恒成立，所以． 题型05 三角函数中的不等式恒成立问题 三角函数中的不等式恒成立问题，核心思路是把不等式转化为求函数的最值或值域问题。 53．（26-27高三上·山东日照·开学考试）已知关于的不等式对任意恒成立．则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析条件可知的解集为，得到和的关系，不等式等价转化后可得不等式的解集. 【详解】由得，. 当时，，， 当时，，， 当时，，. ∵对任意恒成立， ∴由得，， ∴和是方程的两根，且， ∴，故. 由得，， 化简可得，即， 解得或，故不等式的解集为. 54．（26-27高三上·广东·阶段检测）已知函数，若存在（）使得，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】问题转化为函数在同时存在两个（或以上）最大值点或两个（或以上）最小值点，再分情况讨论，最后合并答案即可. 【详解】因为，所以要想存在（）使得， 必须满足函数在同时存在两个（或以上）最大值点或两个（或以上）最小值点. ①设函数的周期为，当即时， 函数在上有两个以上周期，满足条件； ②当时，若在有两个最大值点，则，. 所以，. 由；由. 又，所以. 当时，得； 当时，得，又，所以. ③当时，若在有两个最小值点，则，. 所以，. 由；由. 又，所以. 当时，得.又，所以. 综上，的取值范围为. 55．（2026高三下·全国·专题练习）已知函数，存在，使得对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用导数求出，记，然后求出即可得解. 【详解】因为，所以在上单调递增， 所以，记， 因为存在使得对任意的，恒成立， 所以，又，所以. 56．（25-26高三下·山东聊城·阶段检测）设为不等于1的正实数，若不等式对任意都成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析可知，数形结合可得出，结合对数函数的单调性可求出实数的取值范围. 【详解】若，对任意的，，，不等式不成立. 所以，作出函数、在上的图象如下图所示： 要使得不等式对任意都成立，则， 故 因为对数函数在上为减函数，所以， 又因为，故，即实数的取值范围是. 57．（26-27高三上·福建福州·开学考试）已知函数（，）的一条对称轴为，且对任意，都有，则___________；若对于任意的，，都有成立，则实数的最大值是___________． 【答案】 / / 【分析】先由判断出函数的一个对称中心，再结合余弦型函数的对称轴与对称中心的水平距离公式，求出与函数周期的关系，结合，求得的值，然后利用余弦型函数的对称轴性质，，求得值；对于任意的，，都有成立，可转化为，对代入后得到的进行分类讨论，可求得其范围，从而确定的最大值． 【详解】已知对任意，都有， 则函数的图象关于点，即点对称． 又有函数的一条对称轴为，则其与对称中心的水平距离为． 因为余弦型函数的对称轴与对称中心的水平距离为， 其中为函数周期，, 所以，化简可得． 又因为，所以，，则． 由余弦型函数的对称轴性质，可得，即． 因为，所以仅取，时，满足题意． 故函数； 对于任意的，，都有成立， 等价于， 其中和分别为在上的最小值和最大值． 已知，令，可得， 则当时，． 对于余弦函数， 当时，函数的最小值为，最大值为，满足题意； 当，时， 函数的最小值为，最大值小于，满足题意； 又有，则当时， 函数的最小值为，最大值为，满足题意； 当，时， 函数的最小值为，最大值为，满足题意； 当，时， 函数的最小值小于，最大值为，不满足题意． 综上可得，，解，可得， 故实数的最大值是． 58．（25-26高二下·全国·课后作业）已知函数，．若关于的不等式有解，则实数的取值范围为________． 【答案】 【分析】通过函数导数与函数单调性的关系，结合函数零点存在定理，即可求解参数范围. 【详解】，当，即时，，在上单调递增，所以由有解， 而，故， 又，所以； 当，即时，，在上单调递减，所以由有解，得，故， 又，所以； 当，即时，使， 当时，，，单调递增， 当时，，，单调递减， 所以， 令，，则， 所以在上单调递增，故， 所以，即有解． 综上，实数的取值范围为． 59．（2026·上海·模拟预测）设，若存在使得对恒成立，则实数的最小值为______． 【答案】 【分析】先考虑时的范围，对于时，可利用存在使得，结合特值法求得，从而可得的最小值. 【详解】记， 因为， 故为周期函数且周期为，故只需讨论的情况. 当时，， 当时，， 此时， 令，则， 而， ，故， 当，先证：给定和，证明：存在使得； 由余弦函数的性质得的解为，， 若任意与交集为空， 则且，此时无解，矛盾，故无解； 故存在，使得， 在上面结论中取，则存在，使得， 取，则，取即， 故，故， 综上，可取，使得等号成立. 综上，. 60．（2026·河南·模拟预测）若对恒成立，则_______． 【答案】 【详解】因为，所以， 当时，， 由，得， 当时，，所以， 所以当，即时，， 当时，，所以， 所以当，即时，， 由，得， 故． 题型06 三角函数中任意与存在问题 一般地，已知函数，，，. （1）若，，有成立，则； （2）若，，有成立，则； （3）若，，有成立，则； （4）若，，有成立，则的值域是的值域的子集. 61．（2026·上海·三模）若对于任意的，总存在．使得，则满足条件的的一个充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得在内的值域包含，只需，即可，进而将选项中的角，依次代入验证，即可判断. 【详解】因为对任意，都存在，使得成立， 所以， 因为，所以，， 若对任意，都存在，使得成立， 可知在内的值域包含， 只需，即可， 因为，则， 对于A：当时，，则， 因为，所以的取值不符合条件，故A错误； 对于B：当时，，则， 因为，所以的取值不符合条件，故B错误； 对于C：当时，，则， 因为，，取值符合条件，故C正确； 对于D：当时，，则， 因为，所以的取值不符合条件，故D错误； 62．（25-26高三下·云南楚雄·阶段检测）已知函数，若，总存在唯一实数，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，因为，所以，进而可得，因为存在唯一实数，结合正弦函数的图象性质，可得，求解即可. 【详解】因为，所以， 所以，则. ，总存在唯一实数，使得， 即，使得在上有唯一解， 因为，所以， 因为总存在唯一实数，使得， 所以，即. 63．（25-26高三上·河南·期末）已知，若，存在，使得成立，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，得，由题意可得，计算即可求解. 【详解】因为，所以， 将其解集（部分）在数轴上表示如下： 若，存在，使得成立， 则区间的长度大于等于相邻两个解集之间的长度， 即，即， 又，所以，所以的最大值为. 故选：B. 64．（2026·上海虹口·三模）若对于任意的，总存在，使得，则实数可以是（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得在内的值域包含，只需，即可，进而将选项中的角，依次代入验证，即可求解. 【详解】因为对任意，都存在，使得成立， 所以， 因为，所以，， 若对任意，都存在，使得成立， 可知在内的值域包含， 只需，即可， 因为，则， 对于A：当时，，则， 因为，所以的取值不符合条件，故A错误； 对于B：当时，，则， 因为，所以的取值不符合条件，故B错误； 对于C：当时，，则， 因为，，取值符合条件，故C正确； 对于D：当时，，则， 因为，所以的取值不符合条件，故D错误； 65．（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知常数，若，，使得成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用诱导公式将不等式转化为，根据余弦函数的性质求出的取值范围，再分析区间覆盖条件，列不等式求解. 【详解】因为，所以可化为． 由三角函数的定义解得，，即，． 该解集在数轴上表示如下： 若，，使得成立，则只需的长度大于等于相邻解集之间的长度， 所以，解得． 又，所以的最小值为． 66．（25-26高三下·云南楚雄·阶段检测）已知函数，若，总存在唯一实数，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，因为，所以，进而可得，因为存在唯一实数，结合正弦函数的图象性质，可得，求解即可. 【详解】因为，所以， 所以，则. ，总存在唯一实数，使得， 即，使得在上有唯一解， 因为，所以， 因为总存在唯一实数，使得， 所以，即. 67．（25-26高一下·湖北·期中）已知函数，．若，，，则a的取值范围是________． 【答案】 【分析】利用三角恒等变换及对勾函数的性质求得的值域，根据一次函数的单调性求得的值域，由题可得的值域是的值域的子集，由此列出不等式，求解可得a的取值范围. 【详解】函数. 令， 当时，，，所以. 当时，，当且仅当，即时等号成立. 所以由对勾函数的性质，得在上单调递增， 所以. 所以，. 函数是单调递增函数， 所以当时，. 若，，，则是的子集， 所以，解得. 故a的取值范围是. 题型07 三角函数与数列的融合 这类题型就是把三角函数的周期、图象、恒等变换和数列的递推、通项、前项和放到一起，核心是用三角函数的周期判断数列是否重复，再把角看成等差数列去求和或化简。 68．（2026高三·全国·专题练习）若向量，则数列是（   ） A．等差数列 B．既是等差数列又是等比数列 C．等比数列 D．既非等差数列又非等比数列 【答案】A 【分析】利用向量数量积的坐标表示，余弦的二倍角公式，同角三角函数关系平方和为“1”以及等差数列的定义分析即可. 【详解】由， 所以 ， 所以， 令， 则， 所以数列是以公差为的等差数列. 69．（2026·湖南长沙·二模）已知，设函数的零点个数为，则（    ） A．4049 B．4050 C．4051 D．4052 【答案】C 【分析】先利用图象的交点求出当时，的零点个数，再根据函数的周期得出数列为等差数列，求出数列的通项公式，即可求出. 【详解】的零点个数即为方程的解的个数， 即为函数与函数 的图象的交点个数. 函数的最小正周期为.所以. 又，所以只分析当时，两个函数图象的交点即可. 当时，， 结合图象可知，函数与函数 的图象有一个交点，所以. 当时，， 结合图象可知，函数与函数 的图象有3个交点，所以. 每增加1个单位，增加个单位，相应的的图象也增加一个周期的图象，则交点增加2个， 所以数列是公差为2的等差数列， 所以. 所以. 70．（25-26高二下·安徽阜阳·阶段检测）已知数列是首项为，公差为的等差数列，集合，则集合的子集个数为____． 【答案】 【分析】先根据等差数列的公式得到的通项，再结合正弦型函数的周期，及集合元素的互异性得到集合，进而得到集合的子集个数． 【详解】由题意得， 则，所以其周期， 又， ， ， ， ， ，…… 结合集合元素的互异性，得， 即集合有个元素，故集合的子集个数为． 71．（26-27高三上·辽宁·开学考试）已知函数（，，），为坐标原点，将曲线与坐标轴的所有交点用点列表示，其中，数列的前三项分别为，，，则_________． 【答案】/ 【分析】根据给定条件，确定函数与轴交点及相邻两个零点，再利用五点法作图思想求解. 【详解】假设1为的零点，则，中必有一个为的零点，由，得， 令，的一个解为，，此时对应的k为，则，即， 因此，其中，故零点要么为无理数，要么为， 故1不是的零点，同理也不是的零点， 则，，函数的最小正周期，解得， 于是，由，得，，又， 则，，由，得，所以. 72．（26-27高三上·山东日照·开学考试）已知数列为等差数列，，存在正整数，使得恒成立，且当时，不恒成立．若集合有3个元素，则的可能取值有_______个． 【答案】 【分析】由题意得为周期数列，集合有个不同元素，得，再分别对取值讨论即可. 【详解】设等差数列的首项为，公差为，则，， 由题意，存在正整数，使得，又集合有个不同元素，得， 当时，，即， ，或（舍）， ，取，则， 此时，对应的取值为、、， 取，恰好有个不同值，即集合可取个不同元素；符合条件； 当，，即， ，取时，， 取值为，若，则共个值，符合要求； 当，，即， ， 当时，，当时 的取值为， 共个值，符合要求； 当，，即， ，当时，，，此时​， 对应的取值为，，，，， 此时共个不同的正弦值，符合条件； 当时，我们考虑，，，， 若它们中有两个正弦值相等，这两个角的终边关于轴对称， 设这个角中有对关于轴对称，则不同的正弦值的个数为， 但这个角最多能配对，故不同的正弦值的个数大于或等于， 因为，故，故， 即不同的正弦值的个数大于或等于，不合题意. 综上，，，，满足条件，故的可能取值有个. 73．（25-26高三上·重庆·阶段检测）已知函数，，，，若函数与图象交点的横坐标记为，，记数列满足：，则数列的所有项之和为______． 【答案】0 【分析】本题考查函数的对称性以及数列的性质．先分析函数和的对称性，确定它们图象的交点关于直线对称，再根据数列的定义，结合交点的对称性求出数列的所有项之和． 【详解】对于函数，其图象关于直线对称． 对于函数， 令，解得， ∴的图象关于直线对称． ∵与的图象都关于直线对称， ∴它们图象的交点也关于直线对称． 已知，设交点关于直线的对称点为， 则，即， 那么． 由于函数与图象的交点关于直线对称， ∴数列的项两两配对，每对的和都为0， 因此数列的所有项之和为0． 故答案为：0． 74．（26-27高三上·河北雄安·开学考试）已知函数，若函数在区间上的所有零点从小到大依次为，设数列的前项和为. (1)求函数在区间上的值域； (2)求的最小值； (3)记，证明：. 【答案】(1)；(2)；(3)答案见解析 【分析】（1）先根据正弦的二倍角公式及两角和的正余弦公式将原式化简为，再利用正弦函数的性质求出在上的值域即可； （2）根据零点定义，令，得，进而可得数列是首项为，公差为的等差数列，从而求出通项公式为；再令，求出可能的取值，即可求出的最小值； （3）先化简可得，再利用裂项相消法求和，即可得出证明. 【详解】（1）由 . 当时，则， 可得，可得， 故函数在区间上的值域为； （2）令，有，可得， 取，可得，又由，可得， 当时，，可得数列是首项为，公差为的等差数列， 可得， 令，可得，又由，可得或2或3或4， 可得的最小值为； （3）证明：由. 有. 有 ， 所以. 75．（2026·福建泉州·模拟预测）已知函数． (1)若直线是的图象的一条对称轴，求的单调递增区间； (2)若函数的所有正零点从小到大排列构成数列，且，，构成等比数列，求的前项和． 【答案】(1)的单调递增区间是；(2) 【分析】（1）利用两角差的正弦公式整理后结合正弦型函数的对称轴可求得，再利用整体法求解单调区间即可； （2）解方程得到两个等差数列形式的正零点，根据参数范围确定奇数项和偶数项分别对应这两个数列，利用，，构成等比数列可列方程，解出参数，代入参数后写出奇数项和偶数项的通项，将前20项按奇偶配对求和，每对的和构成等差数列，计算总和即可. 【详解】（1）因为， 又直线是的一条对称轴， 所以，，即，， 又因为，所以，．   由，， 解得，， 所以的单调递增区间是． （2）令，即， 所以或，， 即，或，． 又因为，所以， 所以当时，； 当时，． 即，，． 又因为，，构成等比数列，所以， 即，解得． 所以，， 所以． 故 ． 76．（2026·吉林长春·模拟预测）已知，，函数，． (1)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围； (2)设． （ⅰ）若的最大值为，求的值； （ⅱ）将函数的所有正实数零点按从小到大的顺序排列后，是否能构成等差数列？若能，求出所有满足条件的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)；(2)（ⅰ）；（ⅱ）能，或 【分析】（1）先化简，利用三角恒等变换将其转化为仅含、的形式，再整理为可判断单调性的结构，求导，其导函数在该区间上恒大于等于0，分离参数后转化为求对应函数在区间上的最值问题. （2）（ⅰ）代入，利用二倍角公式将转化为关于的二次函数，其中,分析该二次函数在区间上的最大值点，结合最大值为列方程求解.（ⅱ）令，将方程转化为关于的二次方程，求解的可能取值后反解对应的的正根,假设正零点按从小到大排列为等差数列，根据等差数列的性质，结合三角函数的周期性和根的分布规律，推导的可能取值并验证是否符合条件. 【详解】（1）由， 可得， 整理得， 因为函数在区间上单调递增， 所以在上恒成立， 即在上恒成立， 法一：令，则，因为，所以， 又由，所以在上恒成立，即，， 设，在上单调递减，只需，所以的取值范围为. 法二：设， 由，得． ， 因为，，所以， 故当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减． 又因为，所以，所以的取值范围为. （2）当时，，令， 则，.         （ⅰ）因为，所以当时，， 由得，.      （ⅱ）令，得，函数，当时，． ①当或时，即或时，方程在上没有解，无零点； ②当时，即时，方程的解为，则，方程的正实数解按从小到大的顺序排列记为，如图， 则，，，所以该数列不是等差数列， ③当时，即时，方程在内恰有两个解，设方程的解为，且，，作出函数，，图象如下， 方程和的正实数解按从小到大的顺序排列记为， 设数列为等差数列，设数列的公差为，因为，所以，，则，所以，则，与矛盾， ④当时，即时，方程在内只有一个解，设方程的解为，且，作出函数，，图象如下， 方程的正实数解按从小到大的顺序排列记为， 设数列为等差数列，设数列的公差为，因为，所以，，则，所以，与矛盾， ⑤若，即时，方程在内的解为，所以，所以，所以方程的正实数解按从小到大的顺序排列后所得数列为，该数列为等差数列，满足条件； ⑥当时，即时，方程在内有两个解，，由，可得，，由，可得或，， 所以方程的所有正实数解按从小到大的顺序排列后满足，，， 所以，所以该数列为等差数列， 综上所述，当或时，方程的正实数解即的正实数零点按从小到大的顺序排列后所得数列为等差数列. 77．（2026·重庆·模拟预测）已知函数． (1)当时，求的单调区间． (2)设的极值点从小到大依次为． (i)当时，记数列的前项和为，的前项和为，证明：； (ii)当时，证明：． 【答案】(1)单调递增区间为：，，单调递减区间为：．(2)答案见解析 【分析】(1)将代入得到解析式，求出，根据正余弦图象与性质确定的正负，从而判断的单调区间； (2)(i)由(1)可求出的极值点，求出与的通项从而计算出与，利用放缩放证明即可；(ii)根据导函数的根，求出的表达式，然后写出的解析式，通过化简形式，构造新函数，求导得到的单调性，从而证明范围即可． 【详解】（1）因为，故， 则； 令，则，即，，解得； 当时，，，单调递减； 当时，，，单调递增， 因为；，当时，单调递增区间为， 当时，单调递增区间为； 综上：的单调递增区间为：，， 的单调递减区间为：． （2）证明：(i)由(1)知，的极值点为，即； 则； 因为， 因为； 故，故， 则； 令，则，故， 故恒成立； 故 因为，故恒成立． (ii)因为， 则； 令，可得：，即，解得：，即； 根据解析式可判断为的变号零点， 故，； 设，则，故 故； 故： ； 证明下界： 要证，即证，即， 即证： 令，因为， 故， 又， 则： ， 故，则在上单调递减； 当时，，，故,故； 即； 证明上界： 因为，则，，则； 则，故； 又，可得； 故在上单调递减，故， 故； 综上：成立． 78．（25-26高一下·湖北十堰·期中）已知函数. (1)求的图象的对称中心坐标； (2)若对任意恒成立，求实数的取值范围； (3)设，方程在区间上的根从小到大依次为，求的值. 【答案】(1)；(2)；(3) 【分析】（1）化简，令，即可求出的图象的对称中心坐标； （2）先求出，代入不等式化简令可得，根据的单调性求出的最大值，即可得出答案. （3）根据正弦函数的对称轴计算求值. 【详解】（1） . 令，故对称中心坐标为. （2）因为， ， 又因为已知对恒成立， 所以，故， 令，当时，， 不等式变为：，所以， 因为，所以， 即，在该区间单调递减， 故最大值在时取得：. 故实数的取值范围为. （3）令 因为方程，所以. 因为的对称轴方程为：， 则，因为， 所以在有四条对称轴，分别为， ∵，∴共有4个解. 其中关于对称，关于对称，关于对称， ∴. 题型08 三角函数与导数的融合 导数与三角函数综合题的核心思路是：先用导数工具分析含三角函数的函数单调性、极值与最值，再结合三角函数的有界性、周期性进行放缩或分类讨论。 79．（多选）（2026·四川·二模）已知函数两相邻对称中心的距离为4，，且，则下列说法正确的是（   ） A． B．的对称中心为 C．若有两个零点，，则 D．当其中一个零点时，最小值为 【答案】CD 【详解】对A：因为函数两相邻对称中心的距离为4， 所以函数的最小正周期为8，所以， 所以或，故A错误； 对B：对函数，由或， 所以函数的定义域为，所以函数的定义域不关于点对称， 所以函数的图象也不关于点中心对称，故B错误； 对C：因为，. 所以. 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当即时，方程有两解，和各有1个.故C正确； 对D：由， 代入得：. 令，因为，所以， 则. 令，. 则. 因为，所以，所以在上单调递减. 所以当，对应时，最小，且，所以的最小值为，故D正确. 80．（26-27高三上·江苏·开学考试）已知函数在上的最小值为1，则的取值范围是_________ 【答案】 【分析】将问题转化为在上恒成立，结合局部保号性可求参数的取值范围. 【详解】由于函数在上的最小值为1，结合在上恒成立， 因此可知，故对任意的恒成立，故， 因为，故只需在上恒成立即可， 故只需在上恒成立即可，故在上恒成立， 故在上恒成立， 故，故需在上恒成立， 设，则， 因为在上为增函数， 故当即时有在上恒成立， 且不恒为零点，故在上为增函数，故， 即在上恒成立， 若，则，故存在，使得，总有， 即在上为减函数，此时即，这样题设矛盾； 综上可得. 81．（2026·陕西咸阳·二模）已知函数 (1)若曲线是中心对称图形，证明：； (2)若，证明：在存在极小值； (3)若，且在单调递增，求的取值集合． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3) 【分析】（1）设对称中心，根据恒成立代入解析式化简得到，再化简证明即可. （2）令，，根据零点存在定理以及函数的单调性得到在单调递增且存在唯一的零点，进而得到在存在极小值； （3）将题意转化为恒成立，先得；再考虑时导函数非负的条件，通过分析三角函数与二次函数的大小关系，求解得到的取值集合. 【详解】（1）若是中心对称图形，设对称中心为，则对任意恒有. 则 化简得等式对任意恒成立， 故各项系数必须为，即，. （2）当时，即时，令，则，其中， 设，则， 因为在为增函数，故在为增函数. 由于，且， 由零点定理知存在使. 令. 当，，从而. 所以在单调递增，进而在上单调递减，在上单调递增， 因此是的极小值点，即在存在极小值. （3）已知，则，导数为. 要使得在上单调递增，需对所有成立. 当时，，而，故不等式成立. 只需考虑，其中. 在处，，得，即. 先考虑区间. 若，则对任意，有，此时，故成立. 若，令，其中. 当时，，； 当时，设， 则，不等式化为， 记，需对恒成立. ，设， 则，因为，故， 故在上递增，，. 若，则在递增， 即时恒成立. 若，则 ，. 存在唯一使 ， 当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增，故 ， 故，整理得，解得， 而，故， 而即， 因为在为减函数，故 ， 故， 结合可得故即， 故， 综上， 结合的周期可得的取值集合为. 82．（26-27高三上·江苏常州·开学考试）已知函数 x∈， 令 其中0<t<1. (1)求不等式f(x)>2f(2x)的解集; (2)求函数f(x)的单调区间； (3)求函数h(x)在上的极值点个数. 【答案】(1)不等式的解集为.(2)的单调递减区间为，无单调递增区间.(3)在上的极值点个数为1. 【分析】（1）根据函数的概念求解定义域，结合二倍角公式和复合函数不等式问题的解法即可求解； （2）对原函数求导，结合函数的导数与函数单调性的关系即可求解； （3）对原函数求导，转化为函数零点问题，结合函数单调性与零点存在定理求解其导数正负，根据极值点处的导数性质即可求解. 【详解】（1）已知，定义域为，因此满足，即， 因此原不等式可化为， 因为，所以原不等式等价于， 由二倍角公式得，， 令，原不等式化为，故不等式的解集为， 结合的取值范围得，不等式的解集为. （2）对原函数求导得，， 设，因此， 故当和时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 因此，故在内恒成立， 因此在内恒成立， 综上，的单调递减区间为，无单调递增区间. （3）因为，故化简得， 对原函数求导得，， 令，即， 令，则问题转化为在内的解的个数， 求导得，分析函数在上的单调性可知函数在此区间上单调递减， 因为，， 故根据零点存在定理和函数单调性，函数在存在唯一零点，使得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 故是的极大值点，对应的极小值点， 同理，在上单调递减，而时，， 故在上恒为负， 在上单调递增，且， 根据零点存在定理，在内有且仅有一个零点，且是唯一的极小值点， 故在上的极值点个数为1. 83．（25-26高三上·四川眉山·期末）已知函数.（ (1)当时，最小正周期为，求函数在处的切线方程. (2)当在上恰好有1351个解，求的取值范围. (3)已知时，满足，若时，，且是的极大值点，求的取值范围. 【答案】(1)；(2)或；(3) 【分析】（1）根据最小正周期求得，得，求导，根据导数的几何意义求解即可； （2）令，由题意可得有1351个实数根，分，，三种情况讨论求解即可； （3）求导，分，两种情况，结合题意讨论求解即可. 【详解】（1），故 ，则，又， 故函数在处的切线方程为，故； （2），令，当，则， 令，则或， 当时，要使得有1351个实数根， 则，解得， 当时，要使得有1351个实数根， 则，解得， 当时，要使得有1351个实数根， 则，无解， 综上可得或； （3）由题得 . ，所以为偶函数 取时，则 由题意得，. ①当，即时 取，则当时，， 因此在上单调递增； 由于是的极大值点，所以不符合题意. ②当，即时 令 ，则在上单调递增 ， 则使得；即； 所以； 因此在上单调递减； 又因为为偶函数，所以在上单调递增. 由于是的极大值点，所以符合题意. 综上所述 题型09 三角函数与立体几何的融合 84．（2026·江苏南京·模拟预测）已知函数 （）的部分图象如下，现将沿OB翻折至，使得二面角为120°，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出函数 的解析式，再求出的值. 【详解】 由图象可知，函数 过点 ，所以，因为 ，所以，此时 在原平面图形中，点 在 轴上，点 在 轴上，故 ，翻折后，, 设点 在 轴上的投影为点 ，由图可知， 点坐标为 ， 因为 在 轴上， 在 轴上，所以 ， 综上， 且 ，因此 即为二面角 的平面角，则， 由翻折性质知，由 知， 在 中，由余弦定理, ，所以， 因为 平行于 轴（ 轴），且 在 轴上，所以 ， 因为 平面 ，所以 平面 ，进而 ， 在 中，，由勾股定理，所以， 因为 在 轴上， 在第四象限，所以点 的横坐标为 ，纵坐标为 ，即， 又,所以的最小正周期是 , 所以，所以, 所以. 85．（25-26高一下·上海·期末）手工制作直角圆管弯头时，需先在图纸上绘出展开的截线以便裁剪．现用与底面成45°角的平面斜截底面直径为4.6cm，高为9.0cm的圆柱形纸筒，测得截线最高点距底面6.8cm．从某条母线l出发，沿圆周按规定的正方向量得弧长4.0cm处，恰好到达最高点所在的母线． 沿母线l将纸筒剪开摊平，以矩形下边缘与剪开的母线所在直线分别为x轴、y轴，圆周正方向为x轴正方向，建立平面直角坐标系（单位：cm）．若摊平后的截线恰为函数（，，）在一个完整周期上的图像，则其解析式为________________（φ写精确式或保留三位小数均可）． 【答案】． 【分析】圆柱侧面展开后，斜截线的高度随圆周方向变化呈正弦型．由圆柱底面直径确定周期，由截平面与底面所成角确定振幅，由最高点高度确定中线，再由最高点所在横坐标确定初相． 【详解】圆柱底面直径为 ，所以侧面展开后一个完整周期的长度为底面周长 ，故 ，得 ． 圆柱半径为 ，截平面与底面成 角，所以截线最高点与最低点的高度差为 ，故振幅 ． 截线最高点距底面 ，所以 ，得 ． 最高点所在母线对应的横坐标为 ，因此 在 处取得最大值，即 ． 又 ，所以 ． 因此摊平后的截线解析式为 ． 题型10 三角函数在生活中的应用 三角函数在生活中的应用主要涵盖工程测量、导航定位、物理波动等等. 86．（25-26高三上·北京顺义·期末）如图，在水平面上有两个单位圆和，在时刻，质点甲从点（与水平面平行）开始按逆时针方向在圆上做匀速圆周运动，质点乙从点（为圆的最低点）开始按逆时针方向在圆上做匀速圆周运动，甲转一周需要秒，乙转一周需要秒.在时刻，设质点甲的竖直高度为，质点乙的竖直高度为，设，给出下列三个结论： ①在上的单调递减； ②若，则的最小值为； ③若，则的最大值为； 其中正确结论的个数为（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】根据题图和旋转周期，可以得出在时甲、乙的运动方向，从而得出、的单调性，从而判断结论①；根据，可以得出此时甲、乙的位置，再代入时刻进行计算即可判断结论②；根据甲、乙的实际旋转，可以得出旋转轨迹，再结合函数的单调性可判断结论③. 【详解】根据题意得甲的角速度，乙的角速度. ①在时：甲从与水平面平行的位置向最低点运动，单调递减； 乙从最低点向最高点运动，单调递增. 由，故单调递减，故①正确； ②要使，需同时满足且. 当时，是甲到最低点的时刻； 当时，是乙到最高点的时刻. 取，两时刻重合，，此时，故②正确； ③由题意得，，则， 代入，化简得. 令，则，对称轴， 此时，所以的最大值不是1，故③错误. 综上，正确结论的个数为2个. 故选：. 87．（25-26高三上·安徽·阶段检测）葫芦曲线在数学中被明确为一种类似横放葫芦轴截面的曲线，其方程通常表示为，其中为不超过的最大整数．该曲线的显著特征是振幅随间隔周期性变化，导致曲线上、下波动的幅度逐渐减小，形成类似葫芦“腰部收窄、两端膨大”的形状．如图，葫芦曲线的底脐、腰、嘴的对应点分别为，其上肚、下肚到轴心线（轴）的距离分别为3，2，若点E，F到轴心线的距离分别为，则点与的横坐标之差为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点在曲线上得出参数进而得出解析式，再代入得出点的坐标计算求解. 【详解】由题意得，点和在曲线上， 则，解得， 所以． 当时，，令，则，得， 则，解得，即； 当时，，令，则，得， 则，解得，即， 所以点与的横坐标之差为． 故选:A． 88．（多选）（2027·湖南衡阳·一模）如图，圆形舞台可视为单位圆，舞者甲、乙从点同时出发，都沿舞台边缘逆时针匀速旋转，角速度分别为与．运动秒后，甲位于点、乙位于点，两人之间的距离为．下列说法正确的是（    ） A． B．对任意，均有 C．两人自出发后第次相遇的时刻为（） D．记的面积为，则的最大值为，且在区间内恰有两个时刻取到该最大值 【答案】ABC 【分析】根据两人的角速度差得到的表达式，推导得出两人距离的函数，再围绕的性质、相遇条件、三角形面积公式逐一分析各选项即可. 【详解】由题意知以为终边的角为，以为终边的角为， 故，A正确． 由，对任意，都有，B正确． 两人相遇即为，解得，且恰好是的第个零点，C正确． ，当时，的最大值为， 此时，，故有四个时刻可以取到最大值，D错误． 89．（多选）（2026·湖南郴州·模拟预测）2026年春晚舞台上的灯光特效呈现出一种独特的动态变化，某处灯光的亮度变化可以近似用三角函数来描述，这个三角函数的图象如图所示，则（    ） A．的最小正周期为 B．是偶函数 C．的图象关于点对称 D．若在上有且仅有两个极值点，则 【答案】BCD 【分析】先根据三角函数图像的最高点位置求出参数得到的解析式，再依次分析各选项的周期、奇偶性、对称性、极值点个数，判断各选项正误. 【详解】由图可知，时取最大值，即， 所以，解得，又， 所以，， 对于A： 的最小正周期，A错误； 对于B ：，是偶函数，B正确； 对于C ：， 当时，，因此函数图象关于对称，C正确； 对于D：，当时，， 函数的极值点满足，要求区间内仅有两个极值点， 则恰有两解， 因为时，，时，，时，， 所以，解得，即，D正确. 90．（2026·陕西西安·模拟预测）声音中也包含着正弦函数，每一个音都是由纯音合成的，纯音的数学模型是函数.像我们平时听到的乐音不只是一个音在响，而是许多个音的结合，称为复合音.复合音的产生是因为发声体在全段振动，产生的频率恰好是全段振动频率的倍数，如，，等.例如某一声音的函数表达式为，关于该函数下列说法正确的是（    ） A．是的一个周期 B．是图象的一条对称轴 C．在上单调递增 D．的最大值为 【答案】ABD 【分析】对于A选项，判断与间的关系即可；对于B选项，判断与间的关系即可；对于C选项，通过和差化积公式，结合导数与函数单调性间关系，判断正负即可；对于D选项，根据函数本身的周期性与单调性，即可求解； 【详解】对于A选项，，因此A选项正确. 对于B选项，，，因此B选项正确. 对于C选项，根据和差化积公式，，当时，， 而对于，当和时，，，单调递减， 当时，，，单调递增，故C选项错误. 对于D选项，因为周期为，故计算上的最大值即可， 则当时，令，得，，和；令，得，和， 即在，，和上单调递增；在，和上单调递减， 而，，，， 因此最大值为，故D选项正确. 91．（多选）（25-26高一上·黑龙江大庆·期末）大庆油田第四届冰雪嘉年华以“逐梦油城情系亚冬”为主题，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转，可以从高处俯瞰油城景色．某摩天轮轮盘直径为124米，设置有36个座舱．游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，当到达最高点距地面145米时大约需要15分钟，当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时经过分钟后游客甲距离地面的高度为米，已知关于的函数关系式满足（其中，，）．下列说法正确的有（    ） A．求摩天轮转动一周的解析式 B．游客甲坐上摩天轮后10分钟，距离地面的高度第一次恰好达到52米 C．游客甲坐上摩天轮后，一段连续的5分钟时间内，高度变化最多可达62米 D．若游客乙在游客甲之后进入座舱，且中间间隔5个座舱，从游客甲坐上摩天轮后开始计时，分钟后游客乙和游客甲距离地面的高度恰好首次相同 【答案】ACD 【分析】理解题意依次求得,由公式计算出，代入点求出，即得判断A，依题意，解三角方程即可判断B，设出高度变化的解析式并利用和差化积进行化简，再利用正弦函数的性质求解最大值判断C，依题意可得，由此解得，，由已知得，即得时，，进而判断D即可. 【详解】对于A，由题意知，，，解得， 又，所以， 时，，解得， 因为，所以， 所以，；故A正确， 对于B，令，得，解得， 即，可得，而，结合题意可得， 当时，即，游客甲距离地面的高度第一次恰好达到52米， 所以游客甲坐上摩天轮后5分钟，距离地面的高度第一次恰好达到52米；故B错误， 对于C，由题意知， 设任意一段连续的5分钟时间内的起始时刻为， 此时， ， 则高度变化为， 由和差化积公式得， 结合正弦函数的性质可得， 则在一段连续的5分钟时间内，高度变化最多可达62米，故C正确， 对于D，由题意知， 因中间间隔5个座舱，从第1个座舱到第6个座舱需要5分钟， 则有， 依题意，即， 即，所以，解得，； 所以，；时，，不合题意；当时，， 即从游客甲坐上摩天轮后开始计时，经过17.5分钟游客乙和游客甲距离地面的高度首次恰好相同，故D正确. 故选：ACD 92．（25-26高一下·辽宁沈阳·阶段检测）音乐喷泉曲线形似藤蔓上挂结的葫芦，也可称为“葫芦曲线”．它的性质是每经过相同的时间间隔，它的振幅就变化一次．如图所示，某一条葫芦曲线的方程为，，其中表示不超过的最大整数．若该条曲线还满足，经过点．则该条葫芦曲线与直线交点的纵坐标为__________． 【答案】 【分析】先利用已知点求出的值，再代入计算纵坐标． 【详解】解：将点代入葫芦曲线的方程可得， 即，由可得，因此曲线方程为， 当时，可得， ∴交点的纵坐标为． 故答案为：. 93．（25-26高一下·北京·阶段检测）如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在t秒时相对于平衡位置的高度h（单位：厘米）由关系式确定，其中，，．小球从最低点出发，2秒后，第一次回到最低点，则下列说法中正确的有_____ ① ②与时小球偏离平衡位置的距离之比为 ③当时，若小球有且只有三次到达最高点，则 ④当时，若，时刻小球偏离平衡位置的距离相同，则 【答案】②③ 【分析】对于①：由题意依次求出，接着由求出即可判断； 对于②：依次求出即可判断； 对于③：由和即可求解判断； 对于④：举反例即可分析判断． 【详解】对于①：由题可知小球运动的最小正周期，又，所以，解得， 当时，，即， 又，所以，则，故①错误； 对于②：因为，， 所以与时小球偏离平衡位置的距离之比为，故②正确； 对于③：若，则， 又当时，小球有且只有三次到达最高点， 所以，解得，即，故③正确； 对于④：，令， 则，， 满足且时刻小球偏离平衡位置的距离相同，此时，故④错误． 故答案为：②③ 94．（2026·福建泉州·模拟预测）低温下的约瑟夫森结可作为超导量子计算电路的基本单元，超导量子器件是量子计算的核心硬件基础，其工作规律可抽象为如下函数模型：已知，电流函数与相位函数满足，其中为常数．当时，相位取值为（ 为常数）．当相位函数形式为三角函数时，电流函数的振幅可化为与贝塞尔函数有关的形式，（为整数）为第一类贝塞尔函数，满足如下性质： (1)若，电压，系数，求的单调递增区间； (2)若，其中，为常数，，调制参数． ①判断函数是否为周期函数，并说明理由； ②已知可展开为形如的形式，其中振幅与成正比，求． 【答案】(1)及，；(2)①答案见解析；②可取，此时 【分析】（1）将相位函数代入电流函数，利用正弦函数的单调递增区间求出相位对应的取值范围，再结合取交集． （2）①利用的周期性验证的周期性；②把化为正弦形式，利用题给贝塞尔函数展开式及，将统一写成按整数求和的正弦形式，再比较相位． 【详解】（1）由，代入，得． 因为，，所以的单调性由的单调性决定． 正弦函数的单调递增区间为． 令，则． 解得． 结合：当时，得到； 当时，令，得到． 因此，的单调递增区间为及，． （2）①由，可得． 取，则，从而． 所以是周期函数，是它的一个周期． ②令． 由及题给展开式，得，． 又． 结合，按正、负下标配对：当时，与两项合并为； 当时，两项合并为； 项为． 因此可统一写成． 代回，得． 取，则，符合题设． 比较相位可得． 题型10 三角函数新定义 95．（26-27高三上·安徽阜阳·阶段检测）在平面直角坐标系中，定义函数的“和谐向量”为非零向量，非零向量的“和谐函数”为．记平面内所有非零向量的“和谐函数”构成的集合为． (1)已知，，若函数为集合中的元素，求其“和谐向量”的模的取值范围； (2)已知，，设，且的“和谐函数”为，其最大值为，求的值； (3)已知，，设（1）中的“和谐向量”的模取得最大值时的“和谐函数”为，设，试问在的图象上是否存在一点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；(2)1；(3)存在，点 【分析】（1）求出函数的“和谐向量”，利用向量的模长公式，结合三角函数的有界性即可求解； （2）利用平面向量的线性运算求得，进而得出“和谐函数”，结合辅助角公式和三角函数的有界性即可求解； （3）结合（1）求出，的解析式，设出点的坐标，再根据数量积的坐标公式，计算分析即可得解． 【详解】（1）， 即， 由题意可知函数的“和谐向量”为， 则． 因为，所以，可得， 所以的取值范围为． （2）因为，所以， 所以，其中． 因为的最大值为，所以， 化简得，解得或（舍去），所以． （3）由（1）知，当时，取得最大值，此时，所以． 设，则． 若存在，则，即， 化简得，所以，(*) 所以，即，而， 所以当且仅当时，等式(*)成立， 所以在的图象上存在点，使得． 96．（2025·陕西·模拟预测）对于定义域为的函数，若存在常数，使得是以为周期的周期函数，则称为“余弦周期函数”，且称为其“余弦周期”．使得是以为周期的周期函数，则称为“正弦周期函数”，且称为其“正弦周期”． (1)判断函数是否为“余弦周期函数”，并说明理由； (2)已知是以为“正弦周期”的“正弦周期函数”，设为连续函数”，若，，求的值； (3)已知是以为一个“余弦周期”的“余弦周期函数”，且，恒成立，若存在和，使得对任意，都有，证明：是周期函数． 【答案】(1)答案见解析；(2)；(3)答案见解析 【分析】（1）利用余弦函数的周期性，检验是否存在常数使得对所有成立，通过选取并利用余弦函数周期为的整数倍的性质进行验证； （2）根据正弦周期函数的定义，由推导出与的关系式，结合已知函数值代入特殊点，通过解整数参数方程确定具体表达式，进而计算函数值； （3）方法一：首先分情况讨论系数的取值，在时直接得出周期函数结论，在时利用迭代关系，并借助余弦函数的单调区间及余弦周期条件，通过选取适当的整数使得函数值落入单调区间，从而由余弦值相等推出自变量相等，最终导出对任意成立； 方法二：假设不是周期函数，则存在使，当时，取适当整数使与均落在内，由余弦周期条件得，利用余弦函数在上的单调性可得，即，矛盾，故必为周期函数. 【详解】（1）是“余弦周期函数”，理由如下： ，则， 故， 所以是“余弦周期函数”； （2）因为是以为“正弦周期”的“正弦周期函数”， 所以对所有成立． 即或． 若， 则， 则，． 则， 所以． 若， 则， 则，，矛盾． 综上，． （3）法一：若，则由可知为周期函数． 若，则对任意，存在正整数，使得且． 由可得， 由是以为一个“余弦周期”的“余弦周期函数”可得， 所以， 因为在上单调递减，所以，即， 所以对，都有，故是周期函数． 若，则同理可证（取为负整数即可）． 综上，是周期函数，得证． 法二：假设不是周期函数，则与均不恒成立． 显然．因为不恒成立， 所以存在，使得， 因为，所以存在，使得且， 其中若，取为负整数； 若，取为正整数．由可得， 由是以为一个“余弦周期”的“余弦周期函数”可得， 所以， 因为在上单调递减， 所以，即，矛盾，假设不成立． 综上，是周期函数，得证． 97．（25-26高一下·上海黄浦·期末）对于函数，若在其定义域内存在，对于常数有成立，则称函数为“跃点”函数，并称为函数的“跃点”． (1)若函数，是“跃点”函数，求实数的取值范围； (2)若，，求证：“”是“对任意，函数为‘跃点’函数”的充要条件； (3)是否同时存在实数和正整数使得函数在上有2025个“跃点”？若存在，请求出所有符合条件的实数和正整数的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；(2)答案见解析；(3)． 【分析】（1）根据跃点函数定义，解得，利用三角化简求值域即可； （2）先将对任意 ， 为 跃点函数等价转化为对于任意实数，关于 的方程都有解，然后利用取特殊值证明“”的必要性，利用三角函数的诱导公式证明充分性； （3）由跃点定义代入函数化简为，问题转化为该方程在上解的个数等于，因函数周期为，结合图象分类讨论即可． 【详解】（1）（1）由已知得存在实数， 使得. 所以. （2）由题意得“对任意，为‘跃点’函数”等价于： 对任意实数，关于的方程都有解， 所以当时，方程有解，即 所以， 反之，当时，， 则, 等价于, 显然，是此方程的解，故此方程对任意实数都有实数解． 综上所述，“”是“对任意， 为‘跃点’函数”的充要条件． （3）令， 由已知得，， 化简得， 函数的最小正周期为， 根据该函数在上的图象分析： ①当时，函数在上有个“”跃点，故不可能有个跃点； ②当时，函数在上有个跃点，此时， ③当或时，函数在上有个跃点，故 综上，所有符合条件的分别为：． 98．（2026·上海杨浦·二模）设函数的定义域为D，值域.若且满足，则称与构成“函数的线性对”. (1)若，判断与π是否构成函数的线性对，并说明理由； (2)若，.若对于任意（常数），都存在，使得与构成函数的线性对，求的取值范围； (3)函数是定义在上的奇函数，且满足：若与构成函数的线性对，则与也构成函数的线性对.求证：对任意，. 【答案】(1)答案见解析；(2)；(3)答案见解析 【详解】（1）是，理由： 因为，， 所以，满足值域且， 即与π是构成函数的线性对； （2）由题意，，需满足， 代入 ​整理得： ， 因为，所以要求， 又，故，由等式可得：， 对任意都存在满足条件的，故， 所以的取值范围； （3）由是上的奇函数，可得，； 则，即是线性对， 由是线性对，则也是线性对，可得也是线性对， 所以有， 因为定义在上，所以通过迭代可得：， 又由题设大前提，的值域， 若值域内存在正数，必存在，使得， 此时，而，显然， 即值域内不存在正数； 若值域内存在负数，必存在，使得， 此时，而，显然， 即值域不存在负数， 因此对任意，，问题得证. 99．（上海市南洋模范中学2025-2026学年第二学期高三阶段练习数学试卷）已知函数的定义域为．若存在常数．使得对任意给定的，当时，总有，则称函数具有性质． (1)设，函数具有性质．若，求函数的表达式； (2)设．若函数具有性质，求的所有可能值； (3)设，已知是定义在上的严格增函数．若，且是非空有限集，试问：是否存在常数，使得函数具有性质？说明理由． 【答案】(1)，；(2)，；(3)答案见解析 【分析】（1）根据函数具有性质，结合已知条件逐步推导函数在不同自变量取值时的函数值，进而得出函数表达式； （2）根据函数具有性质，结合正弦函数的性质求出的所有可能值. （3）假设存在使具有性质，取，可证存在使，进而得，分情况讨论，均会导出与严格递增或有限的矛盾，从而判断不存在满足条件的. 【详解】（1）由题意，函数具有性质，即对任意给定的， 当时，总有. 因为，根据性质可得，即. 又因为，再根据性质可得， 即. 同理，由可得，即. 以此类推，对于任意的，都有. 因为函数的定义域为，且对于任意的，都有， 所以函数的表达式为，. （2）已知函数具有性质，即对任意给定的， 当时，总有. 因为，所以或. 当时，，恒成立. 当时，. 根据正弦函数的性质， 可得恒成立时，. 又因为，所以的所有可能值为，. （3）不存在，理由为： 不存在，理由如下： 设为非空有限集，设中最大元素为， 因是定义在上严格增函数，从而的值域为无限集， 且对任意，存在唯一使. 若存在使具有性质， 即当任意给定，当时，有， 当时，由时， 由的单调性知，不合题意； 不妨设，令， 若所有满足的均在中，则仅在有限集中取到，与的值域是值域（无限集）的子集矛盾， 故存在使； 故，从而（） 存在，使得 则，则，， 由严格递增得，即，矛盾； 综上，不存在满足条件的常数，使具有性质. 100．（2026·山东青岛·二模）已知函数的定义域为.对于正实数，定义集合. (1)若，求集合； (2)若，且集合中有3个元素，求实数的取值范围； (3)是否存在非常数函数，使得？若存在，写出一个符合要求的函数，并给出证明；若不存在，说明理由. 【答案】(1) 或 ；(2) 或 ；(3)答案见解析 【分析】（1）代入计算得，再求解即可； （2）分、和讨论即可； （3）写出，再证明即可. 【详解】（1）由题意，若， 则， 即， 所以或， 所以或， 所以或. （2）设， ①当时，，所以， ， 所以在上无解； ②当时，， 整理得，因为， 所以在实数范围内有两个不相等的实数解为， 又因为， 所以在上最多有两个解. ③当时，，所以， 由得， 令，所以， 令即，解得， 易知在单调递增， 所以当时，单调递减， 所以当时，单调递增， 所以， 而， 此时在上最多有两个解， 为了满足集合中有3个元素， 所以在上有两解且在上有一个解， 或者在上有一个解且在上有两个解， 所以或或， 分别解得或或无解， 综上，的取值范围是或. （3）存在 ， 证明：. 1 / 101 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 重难专题02 三角函数图象和性质的综合应用 题型脑图重难考法归纳 题型1三角函数性质的综合应用 题型7三角函数与数列的融合 题型2根据三角函数性质求参数范围 题型8三角函数与导数的融合 题型3由图象确定三角型函数的解析式 题型9三角函数与立体几何的融合 三角函数图象和性质的综合应用 题型4三角函数图像的综合应用 题型10三角函数在生活中的应用 题型5三角函数中的不等式恒成立问题 题型11三角函数新定义问题 题型6三角函数中任意、存在性问题 )考法深研·解题技能通关 题型01三角函数性质的综合应用 方法技巧 三角函数性质的综合应用核心思路是先把函数画出y=Asin(or+p+k的形式或 y=Acos(r+p)+k的形式，再用整体换元法研究周期性、对称性、单调性和值域 1.（多选)（2627高三上重庆阶段检测)已知函数f()=2sin(@x+p）其中o>0,网<受，(G,0)、 5π (:,0)为y=f()图象上的两点，且-的最小值为2， 是f(x)的一个对称中心，将f(x)图象 上的所有点横坐标缩短为原来的2，纵坐标不变，得到函数8(x)的图象，则下列选项正确的是() A.0=2 B.函数8(~)在不)上有2个极值点 1/35 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ππ 2 C.函数8(x)在区间24上的最大值为V2,最小值为2 D.两数g)在区间0吕)上单调递增 2.《多选)(2627高三上重庆九龙坡阶段检测)已知函数/()=v2cos(ar+po>0,0<0<网，点 2π A(0,)在函数f(x)的图象上，且f()=f(x)=V2,x2-x的最小值为3，则下列说法正确的是 () A.0=3 「元2kmπ2k B.f(x)的单调递减区间是12+3'43」，k∈Z 个 C.将f(x)的图象向右移动4个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称 11π5π D.若()在[0，m]上恰有三个极值点，则实数m的取值范围是12’4 f(x)=sinox+bcosox(@>0) 3.（多选)(25-26高三上江苏泰州阶段检测)已知函数 的最小正周期为元， 且f()≤f受对于xR恒成立，则() π5π ππ A.f(-x)在区间12'12)单调递减 B.fx)在区间3'2有两个零点 。（号0是信筑y=的一个对路中 。D.当一号时，函数了()取得极值 4,（多选)(26-27高三上·安徽六安开学考试)已知函数/冈=5+0 osin ,则下列说法正确 的是() A.()的值域为1川 B.f(W)的最小正周期为不 2/35 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ππ c.f()在4'2上单调递减 D.(x的图象关于直线4对称 5.(多选)(2026四川眉山模拟预测)把函数f(x)=sin@x+V3 coS@x(0<o<3)的图象向左平移3个单 位长度，得到的图象关于原点对称，则() A.f(四的最小正周期为” B.f()的图象关于直线=3对称 11ππ c.f(x)在12,4上单调递减 7π D.当f(x)在区间6 上存在极大值点和极小值点时、实数m的取值范围为2，+” 6.(2026河北张家口三模)已知函数 R-如o+p小4>0o0号引象约米相红对特 间的距离为3，且(x)的最大值为 ,则() A.0=6 「ππ B.f(x)在区间4'12上单调递增 c.f(x)在区间”3」上只有一个极值点 D.八)在区间[02列上的图象与直线"=‘所有交点的横坐标之和为7不 01 辽，(2026天津滨海新区三模)若函数了G)=simx+p)（o>0,o<2)在区间2上单调递增，月 3/35 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 f)0.f孕. 则以下说法中正确的个数是() 7π ®若函数了()在区间4内有5个零点，则在此区间内()有且只有2个极大值点. A.1 B.2 C.3 D.4 [5ππ 8.(25-26高三·全国一轮复习)()=sin(ox+p)ω>0，-π<p<π)，在12'12上单调递增，且 x=2为()图象的一条对称轴. 0 3 是的图象的一个对称中心，当心2时.7田的最尔 为() V3 1 A.2 B.2 C.-1 D.0 9.(2026福建泉州模拟预测)已知2是函数° 引o0台个，当原) f()<0,则方程2(=1-()在区间0,3)内所有根的和为(） A 11π 15π 21π B.2 C.4 D.4 10.(2a265病金月三模)已在商数)-=2 2coder+p0>0响5号分引. 直线=子为y=)图象的 π1lπ 对称轴， )-0,月因行及上单调，则当<x2时，儿付的聚盗弦是（） A.[-2,2] B.2,2] c.（2v2 p.（2,2) 4/35 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1.(2026天津河西一模)已知函数f()=V5sin0rcos@r-cos2o 2(o>0) π3n 在区间48)上单调 递增，x=2为它的一条对称轴，则方程f()+/(x=1在区间(0,4)上所有不相等的实数根之和为 () A.8π B.10元 C.12π D.16元 12.（多选)(26-27高三上·重庆阶段检测)已知函数 r()w) 在 6)内有最大值，没有最小值，则下列结论正确的有(）· A.0=4 ππ B.f(x)在2'2)上有且仅有1个零点 6.若)-f)-引0x引.则m-2) 0.面歌86)-()-nr君xeo2 26 的所有零点之和为3几 日（多）67有上清开学5已知两发=，点后.c传0李化 F(:,少)为田图象上的两动点，则下列结论正确的是（） A.若y-y=2,则k-x的最小值为6 V3-1 B.当C正=EF时，片=2 5/35 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 C.存在x, ∈0，π ”3,使得BEF为等腰直角三角形 0.若方程)在@，利上有唯一实起，则a-1 20261山东模拟预已知函数四)=2sin(ox+)coswx-,O>0叭，满足/K)=-,/0 6 元 且x-x的最小值为2，下列说法正确的是() A.f(x)的最小正周期为π B.fx)在区间23单调递减 2π兀 C.f在区间3,2有两个极值点 D.使得fx+m)为偶函数的最小正实数m为3 f(x)=2sin ox+ (x 15.(多选)(2026河南模拟预测)已知函数 (3-or (⊙>0)，则() A.当f(x)的最小正周期为π时，o=1 B.当f()在(0)上单调时.0<0≤2 CG0a哈百空6D.当2，B的值为】 5 4 16.(多途)(2026陕西榆林三模)已知函数)-n时+5cr,下列结论正确的是（) A.()的图象关于直线x=兀对称 B.f()的最大值为N5 c.)的最小值为5 11π13π7 D当方程f()=1在(0，)上有6个实根时，m的取值范围是2’2」 17.(多选)(2026陕西二模)声音是由物体振动产生的声波.纯音的数学模型是函数，y=Asin,我 们日常听到的声音通常由多个纯音叠加而成，称为复合音，其数学模型为y=sir+2s血2x+?in3x+, 6/35 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 记人)-smx+n2x+5m3x++7 ieN'）,则() A.方()的最小正周期为” B.人(0在区间0,2河上有10个零点 1,2W2 C.(x)的图象关于点（血，0k∈Z)中心对称 D.()的最大值为23 18.(2026江苏模拟预测)已知函数 /)inco r+}写o>0。 的最小正周期为2π，若函数f(x)在 区间X,)上单调递减，且 2f(x)+2f(x2)+V3=0x1+x ,则 的最小值为() 2 2π 4π A.6 B.3 c.3 D.3 题型02 根据三角函数的性质求参数的范围 点 方法技巧 这类题型的核心思路是：先把含参的三角函数看成整体，换元后转化为标准正弦或余弦函数，再利 用图像或性质列不等式.求参数的取值范围，关键是把已知条件（单调性、零点个数、最值、对称轴 等)翻译成关于0，P或参数的不等式（组）。 19.(25-26高三下山西太原·阶段检测)已知函数 (x)=sin) 将f(x)图象上的所有点的横坐标缩 mm∈0， 小为原来的2后，再向右平移”“气" 个单位，得到函数g(x)的图象.若函数g(x)在区间6上 不单调，则m的取值范围为() 0, A 6 B 20.(25-26高一下·辽宁营口·阶段检测)若函数 =m合-君在区间0）上设有是小隆，则的取 值范围为() 7/35 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 。. 8π10元 21.(26-27高三上广东广州阶段检测)已知函数 2 在区间 。3好单润道拍，且在区间0，上只取得一次最大值2，则心的取值范围是〈)》 A5剖 2.（25-26高-下海南省直辖县级单位阶段检测)如图，是函数/（冈=小sin(ox+p）(A>0.®>0. ,m 0<9<2)图象的一部分，函数8因)=了)2在区间6上有且仅有两个零点，实数m的取值范 围 12】 28,(2627有三上安微阶段检测)已知202.眉激J(迎仙>0的图象关于直线x对称 。1 且f)在02)上单调递指，则@=一函数8)-k-c8s+a,若关于x的方程)8)在 8/35 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 xG,2习上有且仅有1个根，则实数”的取值范国为 24.(2026河南濮阳·二模)己知函数 2rs、π G)=c0s( 8是y=f()的零点，直线 37兀 π5π x= 8为y=f()图象的一条对称轴，且函数()在区间1224)上单调，则ω的最大值为 25.(2026山西大同三被)已知函数f0)-[cos(63x)1[sm(cos3x)-1在区间Qa上拾有3个零点， 则a的取值范围是一 26.〔2026湖南长沙一模)已知两数1)=mm-2s:受+1其中实数00 2 回若)的最小正周期为”，求f在1=0处的切线方程 ②若/)在区问0，)上拾有三个极值点、两个零点，求®的取值范围。 f(x)=tan ox+ 27.(25-26高三上·上海杨浦期末)已知 3, 其中@>0. 若0=2，求函数”=闪的最小正周期及严格增区间： ②若关于x的方程(5在a上至少存在2026个解，且0-“的最小值不小于2026，求”的取值范 围 题型03由图象确定正（余）弦型函数解析式 点方法技巧 由图像确定正（余）弦函数的解析式的核心是求三个参数：A(振幅)，0（角频率）、P(初相)， 若图像由上下平移还需加上k，基本思路是：看图定A和周期→0→代入点求P 28.(26-27高三上湖北武汉阶段检测)函数 ()-Jicos(x+ 2的部分图象如图所 9/35 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 示，。4C是等边三角形，其中4,8两点为图象与'销的交点，C为图像的最高点，且O8-204,则 f0)+f)+f(2)++f(2026)=() 5 A.0 B.2 C.1 。 29.（多选)(26-27高三上江苏无锡阶段检测)已知函数 分图象如图所示，则下列结论正确的是() 11匹 Af-2n2+ 8.若f(）=f)=1,≠6，则-骨 c当e网时，若附清城起L2斗，则me后引 D.当xD,2闪时，曲线=i血与有4个交点 10/35 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 30.（多选)(2026河南三模)已知函数 f(x)=4sin(@x+p)4>0.>0. 2的部分图象如图所示， 则下列结论正确的是() A.0=2m,0=- 6 「819 B.f(x)在区间3’6上单调递增 C.将f(x)的图象向右平移3个单位长度后得到函数g(x)=-2cos2x的图象 23 D.直线y=1与 f(-12 12)的图象的所有交点的横坐标之和小于3 31.(多选)(2026湖北式汉摸拟预别）已知匠数)=45(@r+o(1>0,@>0,0<9<刊与因的 部分图象如图所示，名5为两曲线相邻的交点的横坐标，记3()儿☒f代冈，则() 2元 A. 3 B.f(x)的最小正周期为4元 C若（在，可上有9个零点，则n-me4红5）0.co(Bx-)=25t压 10 11/35 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 32.(多选)(2026福建龙岩三模)已知函数 d=sin(ox+儿0>0网<2的部分图象如图所示， 为图象的最高点， 分别为图象与x轴，y轴的交点，则() A.cos∠A0C=-23 13 日号为的一条对称抽 C面数=+引在4利上有以有4个专点 √2 D.若/()在区同la,a+上的最大值为M,则≤M≤1 3。(25,26高三下陕西西安阶度检测)已知函数/)-3sn@r+p0>0),如图，4B是直线=5 与袋-9g写个交点，里4-字0-，者T区园后]f的边版2可，如种空 范围是 12/35 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 34,(2026-上海三模)函数”=ma+V5cos0r(@>0)对应的图象如图，点4为图象与*轴的交点，点8 为图象的最高点，点C为图象的最低点，若正4C=0, ,则的值为 35.(26-27高三·全国·一轮复习)已知函数 (x)=Asin(+>0.k 2)的部分图象如图所示， 5 M ,0 图象与x轴的交点 与y轴的交点为N,最高点P(L,A),且满足M⊥NP.则(w)= y P1,A) 36.(26-27高三上安徽阜阳阶段检测)函数/()=Asn(or+0)4>0,0>0,0<0< )的部分图象如图 所示，B,C是图象与x轴的交点，D,分别为图象的最高点与最低点若(BD+B)(C-丽)小-8，函 (110 数()的图象关于点2)中心对称. 13/35 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3 四求函数6) 的最小正周期： 2)求函数) 的解析式，并写出其函数图象的对称轴方程： (3)求BDBE的值. 37.(2627高三上柴龙江哈尔滨阶假检测已知fW-2smm+(其中o0,p水分)，西数 元2π y=f(x)相邻的极小值点和极大值点分别为3和3，直线1为函数y=fx)在y轴右侧与y轴距离最近的 对称轴，且分别交函数y=f(的图象和x轴于M,N两点，点P为线段MN上一动点. VA (1)求函数y=f()的表达式，并写出其增区间： ②刨设△1BC的内角1，B,C所对的边分别为，b,,若 4=1na=5求b2+c2 ,且 ,求 的取值范围； (3)设∠NOP=6,记L=MP+2OP,请写出L关于0的函数表达式，并求L的最小值 题型04三角函数图像的综合应用 点 方法技巧 三角函数图像的综合应用核心是把图像变换、解析式求法和性质分析三者打通，会看图，会求式，会算 14/35 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 性质。 38.(26-27高三上：内蒙古锡林郭勒开学考试)已知函数 -2snar+写}-ao>0 的最小正周期为 「元π 元，且在12'4内有两个零点，则实数a的最小值是() 1 A.4 B.2 C.1 D.2 39。(2026广东矿广州模拟预测)设函数/儿冈=$rs加3x,若关于'的方程/()=“在0可上有奇数个不 同的实数解，则实数a=() A.-1 B.0 C.1 D.1或-1 40,（26-27高三上黑龙江哈尔滨开学考试)已知函数/()=2-2+2x+3 若 f (sinx+cosx)+f(sinxcosx-m)<6 恒成立，则m的取值范围是() A.（-l,+o) B + c.(-0,-) （+ 4.c206精市你三模)别居数-如2君动0<8<2到在同后)上竿网.白线 π3π 2为f(x)的图象的一条对称轴，则方程f(x)+f(x)=1在区间(0,2π)上所有不相等的实数根之和为 x= () 11π A.4 B.2元 C.4 D.3n 42,(2026天评河西二校)已知函数/()-=2sin(@+p)(0>0,0<0<不)，f图象的两个相都对 个 称中心之间的距离为2，且关于点12)对称，若关于x的方程f(x)=m在区间[0，上有且只有两个 15/35 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 不同的实数根5，，则0s(:+) 的所有可能取值构成的集合为() A 2’2 0. 2 43.(2026天津河东二模)已知0>0，在函数 (x)=sin(ox+p) 的部分图象中（如图），其图象上的点A, B,C是同一直线上的三点，且该直线与'轴交于点D,若D-D-BC-1,则0=() D V5元 5 v5元 A.2 B.2 C.2 D.4 4。(2026湖北模拟预测)记不超过的最大整数为（如2-2，【0，若函数 f)=sn(冈与)-2sn后在@d]上格好有722个解，则a的最小值为(） A.1440 B.1441 C.1445 D.1446 45.（多选)(2026浙江嘉兴·二模)已知函数 6), 关于x的不等式 [f(x)-a[f(x)-a-t]≤0t>0) (0,2026) 在区间 内的整数解的个数为，下列说法正确的是() A.若a=t=1,则n=338 B.若t=1,则n的最小值为338 5 C.若存在实数4，使n=676,则t的最小值为3 16/35 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 5 D.若存在实数t,使n=676,则a的最大值为3 2 46.(2026江苏南京三模)已知0>0，y=5c -coswx 05 与y=tan x在”2o)上有三个交点A,B,C,若 ∠B=90 ,则”=（) A.3π 9 C.3n D.2π 47.(2026辽宁沈阳·三模)己知两函数 =o名菊8问-o(oo>0的图象在区间D上 有三个交点月三个交点构成个正三角胎.若文点长坐标为G=12.则立得)() 3 B.2 C.1 D.2 48.(25-26高一下·湖南长沙开学考试)已知函数f(x)=2sin(ox+p)(o>0,0<p<π)， 副.对 ππ 任意x∈R恒有 且在区间15'5上有且只有一个x使f(:)=2,则o的最大值为() 7 95 105 117 A.4 B.4 C.4 0.4 49.2026四川绵阳模拟预测)已知aeR,不等式气(4厂2a+an4十a+2a<0 在(0,2026) 中的整数解有m个关于m的个数，以下不可能的是() A.1014 B.1013 C.507 D.0 50,(2526有三上云商由清第未)药数f闪=m2x+1与8-。子的图象在[-226,2026时]上有n 17/35 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 个不同的交点(：，)，则名 (x+y)= () A.2026 B.4053 C.8104 D.8105 51.(25-26高三下上海期中)已知函数()=cos2x-msin(m> ,若函数'=f在区间0，m)上拾 有2026个零点，则所有可能的正整数n的值组成的集合是 52.(26-27高三上·山东泰安·阶段检测)如图，已知扇形AOB的圆心 ∠A0B=2a0<a< 4),半径 OA=OB=2.点C为弧AB上的动点，过点C作扇形AOB的内接矩形CDEF,其中点D在半径OB上，点 E、F在半径OA上，且CF⊥OA」 B D E 但当 6时，求扇形AOB的周长： (2)求矩形CDEF面积的最大值M(用表示)，并指出此时点C的位置： a)记扇形A0B的面积为，设8(a)=T M· 0, (i)判断函数8(a)在区间4) 上的单调性，并证明： (ⅱ)若对任意 不等式8(a)≥4恒成立，求实数u的最大值. 题型05 三角函数中的不等式恒成立问题 点方法枝巧 三角函数中的不等式恒成立问题，核心思路是把不等式转化为求函数的最值或值域问题。 18/35 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 w-哥ae+c+o0a0j cos 53.(26-27高三上山东日照·开学考试)已知关于x的不等式 x∈[0,6恒成立.则不等式cr+a+b>0的解集为《) A〔别 a.〔a品r c〔 。（g 54.(26-27高三上广东阶段检测)已知函数 ,若存在a,b∈(，3m)(a≠b)使 得f(a)f(b)=1,则实数o的取值范围为() B. c.g}g。g+w 5。(2026高三下全国专题练习)已知函数/()-x+sim(x+),存在p∈R,使得对任意的x≤2，不 等式()“恒成立，则实数“的取值范围是() C.2 。 56.(25-26高三下山东聊城阶段检测)设“为不等于1的正实数，若不等式 logax>tanx 对任意 xe0, (4)都成立，则a的取值范围为() 19/35 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.(1,+oo) c钊 。利 57.(26-27高三上福建福州开学考试)已知函数f()=c0s(@x+p)(1<0<5,l例<2)的一条对称轴 为，E,都6〔后+小很-0，测9= ；若对于任意的， [0,都有2)≥f)成立，则实数'的最大值是 58,(2526高二下全国课后作业）已知函数/()si血x+cox-a+r),xe(0,若关于x的不等 式f()≥0有解，则实数a的取值范围为 59.(2026上海模拟预测)设b∈R,若存在0∈R使得4 cosx-cos(4K+)b对x∈R恒成立，则实数b 的最小值为—一 60. (2026河南模拟预测)若 +-om子+写引e0对a12到恒废立，则a,=一 题型06三角函数中任意与存在问题 点 方法技巧 一般地，已知函数y=f,xc[a,).y=8(y.xe6,d 若x∈，0，kd,有f)Kg)成立，则f<g(: 2若a.,3ckd有)K8()成立，则f.<8(； 3)若a36c6d,有)Kg)成立，则f<8-。 20/35 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4若xc[a,3c,d,有f)=8(西）成立，则 的值域是8() 的值域的子集， 61. (2026·上海·三模)若对于任意的 使得sin,+2si(3+0)+l=0,则 满足条件的日的一个充分条件是() 1 2 c. 4 5 A.3 B.3 0.3π 62.(25-26高三下·云南楚雄·阶段检测)已知函数 总存在唯一 实数50可，使得)+f)=0 则实数“的取值范围是() ππ ππ π5π [π5π A.4’3 B.4'3 c.4'12 D.412 63.(25-26高三上河南期末)己知 若a∈R, 4」， 使得sinx≥sin0成 立，则日的最大值为() A.6 5π B.4 c.3 D.12 64.(2026上海虹口三模)若对于任意的 总存在 5©0使得9in+2sin(6+841=0 则实数日可以是()· 1 2 5 A.3π C.3 pe0,π 65.(2026海南省直辖县级单位·模拟预测)己知常数(2， 若a∈R, 3rea-π， 3], 使得 sinx 2 coso 成立，则的最小值为() A.2 π c.4 21/35 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 f✉)=si2x- 「5π_π 66.(25-26高三下·云南楚雄·阶段检测)己知函 x124, 6,若 总存在唯一 实数e0,a 使得f()+f)=0 则实数“的取值范围是() ππ π5π 「π5π B.43 c.4'12 D.412 2sinxcosx 67.(25-26高一下·湖北期中)己知函数 ()2sim+cos,g()=ax-2(a>0). x0, 2 3x∈[，2]f(:)=g(x) 则a的取值范围是 题型07 三角函数与数列的融合 点方法技巧 这类题型就是把三角函数的周期、图象、恒等变换和数列的递推、通项、前项和放到一起，核心是用 三角函数的周期判断数列是否重复，再把角看成等差数列去求和或化简。 68.(2026高三全国专题练习)若向量，=(cos2n6,si血n0),5=(,2sinm0a∈N）,则数列a,-6,+2n} 是() A.等差数列 B.既是等差数列又是等比数列 C.等比数列 D.既非等差数列又非等比数列 69,(2026湖南长沙二模)已知nEN,设函数f)=cas子-1bgw*的零点个数为u,则0 () A.4049 B.4050 C.4051 D.4052 70.(25-26高二下安徽阜阳·阶段检测)已知数列{4，}是首项为6，公差为3的等差数列，集合 S={sinN号，则集合S的子集个数为一 71,(2627高三上辽宁开学考试)已知函数f()-sn(e+p)(A>0,0eN,0<0至)，0为坐 22/35 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 标原点，将曲线'=f四与坐标轴的所有交点用点列8，}表示，其中loB<OB,,数列B,B的前三项 分别为6,1：3，则A= 72.(2627高=上山东日照开学考试)已知数列a}为等差数列，么=山，存在正整数'，使得 b:=么(n=N)恒成立，且当m<,m=N时，r=b,acN)不恒成立.若集合=么ueN}有3个 元素，则的可能取值有个. 乃.(526商三上重庆阶段检测已知商数了儿)e叫、女eN,测，8)=csm,若两数 )与8)图象交点的横坐标记为，n∈N,记数列子满足：6=长，则数列c子的所有项之和 为 74.(26-27高三上河北雄安·开学考试)已知函数 024,若函 数=心在区间托D)上的所有零点从小到大孩次为“，设数列子的前”项和为8。 π5π (1)求函数f()在区间66]上的值域： 2求8的最小值： 1 2= (3)记 13π) ,13π X2+ 3 X++ 3 证明：g+%+4+…+a<之 f(x)=sin2xcoso-cos2xsin<< 75.(2026福建泉州模拟预测)己知函数 5π (1)若直线*=12是f(x)的图象的一条对称轴，求f(x)的单调递增区间： 风若通数) 2的所有正零点从小到大排列构成数列代}，且，，1构成等比数列，求 23/35 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 的前20项和。 76.(2026吉林长春模拟预测)已知“，meR,函数)=-cos2x+sin+m,x∈R (2)设a=-1. (1)若)的最大值为1，求m的值： 《ⅱ)将函数（日的所有正实数零点按从小到大的顺序排列后，是香能构成等差数列？若能，求出所有 满足条件的m值；若不能，请说明理由， 7刀.(2026重庆模拟预测)已知函数/()=cc0sar(>0) 当=1时，求)的单调区间。 a设（的极值点从小到大依次为七，，eN 们当a=1时，记数列的前”项和为S,,乃的前”项和为了，证明：S,+n<2工， (间当a>1时，证明： 1)t 78.(25-26高一下·湖北十堰期中)已知函数 )-+os+分2x+ 44 求f(N)的图象的对称中心坐标； 省行-引后+)1对江色恒这.米卖数和的限点。 「ππ B度=传x-香。方程)-4在区刷网作根从小大依次为，宋 24/35 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x+2x2+…+2xm-1+xn 的值 题型08三角函数与导数的融合 点方法技巧 导数与三角函数综合题的核心思路是：先用导数工具分析含三角函数的函数单调性、极值与最值，再结 合三角函数的有界性、周期性进行放缩或分类讨论。 79.（多选)(2026四川二模)已知函数 f()=sin ox+刀 4)两相邻对称中心的距离为4， 8()=(x+1)-1nx x，且H(x)=f()+g(x),则下列说法正确的是() B.H(x)的对称中心为3,0) C.若8'(x) 0有两个零点，，则(0,0) D.当gW=0其中一个零点5+四时，gG)最小值为号-a3 80,(2627有三上江亦开学考试)已知西数)-0上的最小信为1.则a的取信表园是 81.(2026-陕西咸阳二模)已知函数/()-8cos(x+p)+(x-a) 回若曲线"=（是中心对称图形，证明：cos(+)0 2若a+p=0,证明：f在(a,+) 存在极小值： 3若a=0,且f田东0，+o 在 单调递增，求”的取值集合 82.（26-27高三上江苏常州开学考试)已知函数f)=5+c0x, xe(0,2π)，令 25/35 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ha(x)=x[f()sinx-小-5”其中0st1, (1)求不等式fw)>2f2x)的解集； (2)求函数fx)的单调区间： B求函数在(0，)上的极值点个数。 (x)=sin(ox+p)o>0,0≤p<π) 83.(25-26高三上四川眉山期末)己知函数 @四当P一时，f女最小正周期为求函数口在，0处的切线方程 2在x∈[0,2026m)上恰好有1351个解，求P的取值范围. 尼知g0四时，清足子<smc3,若0时g因=-月x-0是g四的极大 点，求0的取值范围。 题型09三角函数与立体几何的融合 84 (2026江苏南京模拟预测)已知西数=s如0r+0)(0>0.0<0<号)的部分图象如下，现将 4OB沿OB翻折至△4OB,使得二面角A-OB-C为120°，老/4C人V9 2,则f0=() 5 A 2 C.2 D.2 85.(25-26高一下·上海期末)手工制作直角圆管弯头时，需先在图纸上绘出展开的截线以便裁剪.现用 与底面成45角的平面斜截底面直径为4.6cm,高为9.0cm的圆柱形纸筒，测得截线最高点距底面6.8cm. 26/35 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 从某条母线I出发，沿圆周按规定的正方向量得弧长4.0cm处，恰好到达最高点所在的母线。 沿母线将纸筒剪开摊平，以矩形下边缘与剪开的母线所在直线分别为x轴、y轴，圆周正方向为x轴正方 向，建立平面直角坐标系（单位：cm)·若摊平后的截线恰为函数y=Asin(wx+p)+k(A>0,w>0, 0≤p<2π )在一个完整周期上的图像，则其解析式为 (p写精确式或保留三位小数 均可)· 线 最高点最高点(4.0,6.8) 6.8 高9.0 4裁剪线 y=Asin(@x+o)+k 4.0 矩形宽=底面周长 底面直径4.6 图1纸筒与45°截线 图2沿母线剪开摊平后的示意图 题型10 三角函数在生活中的应用 点 方法技巧 三角函数在生活中的应用主要涵盖工程测量、导航定位、物理波动等等. 86. (2526高三上北京顺义期未)如图，在水平面上有两个单位圆0和0，在=0时刻，质点甲从点 A (A0 0 02 与水平面平行)开始按逆时针方向在圆上做匀速圆周运动，质点乙从点B(B为圆的最低 点)开始按逆时针方向在圆上做匀速圆周运动，甲转一周需要2π秒，乙转一周需要秒在'时刻，设质 点甲的竖直高度为，质点乙的竖直高度为，设” e h(t)=ha(t)-hz(t ,给出下列三个结论： A甲O B 27/35 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 0π ①(0在2)上的单调递减： ②若1∈[0,2π ,则0的最小值为2， ③若t∈R,则h()的最大值为l; 其中正确结论的个数为() A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 87.(25-26高三上·安徽·阶段检测)葫芦曲线在数学中被明确为一种类似横放葫芦轴截面的曲线，其方程 a- 2x sin2x(x≥0) 2x 2x 通常表示为 其中π」为不超过π的最大整数.该曲线的显著特征是振 幅随间隔周期性变化，导致曲线上、下波动的幅度逐渐减小，形成类似葫芦“腰部收窄、两端膨大”的形 0(0,0),A ,B(π，0) 状.如图，葫芦曲线的底脐、腰、嘴的对应点分别为 ,其上肚、下肚到轴心线(x 3 轴)的距离分别为3,2，若点E,F到轴心线的距离分别为21，则点E与F的横坐标之差为（） A. 2 85 8 ,侣 (1,0) 88.(多选)(2027·湖南衡阳·一模)如图，圆形舞台可视为单位圆，舞者甲、乙从点 同时出发， 都沿舞台边缘逆时针匀速旋转，角速度分别为lrad/s与3rad/s.运动t秒后，甲位于点A、乙位于点B, 两人之间的距离为 .下列说法正确的是() 28/35 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B P A.()=2sin B.对任意>0，均有+)=f回 C.两人自出发后第n次相遇的时刻为t=π(n∈N) D.记△OAB的面积为S,则S的最大值为2，且在区间‘∈(0,2m)内恰有两个时刻取到该最大值 89.(多选)(2026湖南郴州模拟预测)2026年春晚舞台上的灯光特效呈现出一种独特的动态变化，某 处灯光的亮度变化可以近似用三角函数 )=sm2r+写》 +30<w<2 来描述，这个三角函数的图象如图 所示，则() 6 A,f(x)的最小正周期为π ,0 c.y=f(x)+sinx的图象关于点6)对称 29/35 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (713 t∈ D.若y=f(x>0)在[0，)上有且仅有两个极值点，则气6'6」 90.(2026陕西西安·模拟预测)声音中也包含着正弦函数，每一个音都是由纯音合成的，纯音的数学模 型是函数y=Asinat.像我们平时听到的乐音不只是一个音在响，而是许多个音的结合，称为复合音复合音 的产生是因为发声体在全段振动，产生的频率恰好是全段振动频率的倍数，如2∫，3f,4∫等例如某一 声音的函数表达式为f(r)=sinr+,sin2x+?sin3x,关于该函数下列说法正确的是() A.2x是（四）的一个周期 Bx=是f() 图象的一条对称轴 1,2√2 c.f(x)在2'2上单调递增 D.f(x)的最大值为23 91.(多选)(25-26高一上·黑龙江大庆·期末)大庆油田第四届冰雪嘉年华以“逐梦油城情系亚冬”为主 题，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转，可以从高处俯瞰油城景色.某摩天轮轮盘直径为124米，设置 有36个座舱.游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，当到达最高点距地面145米时大约需要15分钟， 当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时经过t分钟后游客甲距离地面的高度为H米，己知H关于t的函数关系 式满足H0=As+p+B(其中4>0,0>0，受).下列说法正确的有() A.求摩天轮转动一周的解析式 0=62sn(-}+83 B.游客甲坐上摩天轮后10分钟，距离地面的高度第一次恰好达到52米 C.游客甲坐上摩天轮后，一段连续的5分钟时间内，高度变化最多可达62米 30/35 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D.若游客乙在游客甲之后进入座舱，且中间间隔5个座舱，从游客甲坐上摩天轮后开始计时，175分 钟后游客乙和游客甲距离地面的高度恰好首次相同 92.(25-26高一下·辽宁沈阳·阶段检测)音乐喷泉曲线形似藤蔓上挂结的葫芦，也可称为“葫芦曲线”， 它的性质是每经过相同的时间间隔，它的振幅就变化一次.如图所示，某一条葫芦曲线的方程为 ,x之0，其中[)表示不超过x的最大整数.若该条曲线还满足@(L3),经过点 7π X= 则该条葫芦曲线与直线6交点的纵坐标为 2 4 93.(25-26高一下·北京·阶段检测)如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在t秒时相对于平衡位置的高 度h(单位：厘米)由关系式h)=Asi(of+p)确定，其中A>0,o>0,|pK元.小球从最低点出发，2 秒后，第一次回到最低点，则下列说法中正确的有 LLLL∠ h>0 h=0 h<0 h(t)=Asin ① t+ ②1=9与1-3时小球偏离平衡位置的距离之比为2：1 0<t<to ③当 时，若小球有且只有三次到达最高点，则∈(5，刀 31/35 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 兀=1 sin- ④当0<4<<2时，若4，时刻小球偏离平衡位置的距离相同，则4+( 94.(2026福建泉州：模拟预测)低温下的约瑟夫森结可作为超导量子计算电路的基本单元，超导量子器 件是量子计算的核心硬件基础，其工作规律可抽象为如下函数模型：已知‘≥0，电流函数 0与相位函数 0满足@-1，smp0,其中，>0为带数.当1=0时，相位取值为(0)=%(%为常数).当相位 函数形式为三角函数时，电流函数的振幅可化为与贝塞尔函数有关的形式，，()(”为整数)为第一类 贝塞尔函数，满足如下性质： cos(ksinx)=J(k)+2J(k)cos(2nx) sin((in)=22人n(ksin[（2n+1)x] J(k)=(-1)J(k) 国考90)=号+04，电压U,>0,系数1>0，求70的单调递塔区间： 2若p(t)=-0 cosot+C,其中C,0为常数，0>0调制参数k=0 1( ①判断函数是否为周期函数，并说明理由： ②已知1)可展开为形如 0）=∑c.sin(nor+8, 的形式，其中振幅C与，(k)成正比，求8. 题型10三角函数新定义 95。（26:27高三上交徽阜阳阶段检)测在平面直角坐标系*0中，定义函数/()=psin+qcosx。 的 “和谐向量”为非琴向蛋m=-(4,非零向量=(，4）的“和谐函数”为F()=Dsn+9osx.记平 面内所有非零向量的“和谐函数”构成的集合为$， 国己知a∈R,f)=3ina-)+cos,者函数f)为米合S中的元素，求其“和谐向量”的模的取值 32/35 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 范围； 2已知=(，2)，6=，设=a+6(2>0),且的“和谐函数”为8(，其最大值为下，求2的 值； B己知P(-2,3),(26,设4)中的“和谐向量”的模取得最大值时的“和谐函数”为()，设 k(x)=h(),试问在y=k)的图象上是否存在一点R,使得P吸-Q=0?若存在，求出点R的坐标： 若不存在，请说明理由. 96。(2025陕西模拟预测)对于定义域为R的函数”=8()，若存在常数T>0,使得'=cos(g(刃是以 T为周期的周期函数，则称”=8（为“余弦周期函数”，且称T为其“余弦周期”.使得》=s加(8（刃 是以T为周期的周期函数，则称”=8()为“正弦周期函数”，且称T为其“正弦周期”， (1)判断函数f(x)=x+cos2是否为“余弦周期函数”，并说明理由： 风已知y8付是以T为“正弦周发”的“3得期面数，设为定续品致，去80=。 g(T)=5πg(2T) ，求 的值： 已知'=h(的是以T为一个“余弦周期”的“余弦周期函数”，且x∈R,h(>0。 恒成立，若存在 a>0和A>0,使得对任意x∈R,都有+a)=h(),证明：y=h(是周期函数。 97.(2526高一下上海黄浦期末)对于函数"=)，若在其定义域内存在，对于常数有 f(xo+t)=f(xo)+f(t) 成立，则称函数=的为'跃点”函数，并称为函数'的‘跃点” ()若函数y=sinx-m,x∈R是“2跃点”函数，求实数m的取值范围： (2)若f(x)=si(x+m),x∈R,求证：“sinm=0”是“对任意t∈R,函数y=f(x)为‘t跃点’函数”的 33/35 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 充要条件： (3)是否同时存在实数m和正整数nm使得函数y=cos2x-m在[0，m]上有2025个“4跃点”？若存在，请求 出所有符合条件的实数m和正整数n的值；若不存在，请说明理由。 98。(2026上海杨浦二模)设函数'=/（的定义域为D,值域1C川若6eD 满足 f(x)+f(x2)=f(x+x2) 则称与构成“函数'=的线性对” ()若f(x)=cosx,判断3与是否构成函数y=f)的线性对，并说明理由： 回若f(-2”-:D=(0)若对于任意5(，）（带数50），都存在5D,使得5与5枸成 函数”=的线性对，求”的取值范国。 B函数"因是定义在R上的奇函数，且满足：若与构成函数=代 的线性对，则与也构成 函数"=的线性对求证：对任意x∈R,()=0. 9。《上海市南洋模范中学20252026学年第二学期商三阶段练习数学试卷)已知西数”=/0的定义诚 为D.若存在衔数>0.使得对任意给定的西∈D,当)=/：)时，总有+)=+），则 称函数’=闪具有性 .P() 仙设D=N,正数”-四具有性质P0.老0=2)=f)1,求函数=/因的表达式。 ②没D=Rf)=s血.若函数”=f四具有性质P0,求'的所有可能值： B设D=R,已知y=8(:)是定义在R上的严格增函数.若=f(xeRc{少=8(，x∈R,且 (✉)≠8()，x∈R是非空有限集，试问：是否存在常数t>0,使得函数y=/)具有性质P0?说明 理由. 34/35 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 10.(2026山东青岛二模)已知函数'=f( 的定义域为R对于正实数，定义集合 M:={f(x)f(x+k)=1 国若f)=2ix,求来合M:. 2著) e2,x≥0 x+4x<0且集合M,中有3个元泰，求实数，的取值范围： B)是否存在非常数函数儿冈，使得M,=R?若存在，写出一个符合要求的函数，并给出证明：若不存在， 说明理由 35/35