28.2 中心对称 基础夯实练 2026-2027学年人教版九年级数学上册

28.2 中心对称 基础夯实练2026-2027学年人教版 九年级数学上册 一、单选题 1．若两个图形关于某一点成中心对称，那么下列说法．正确的是（    ） ①对称点的连线必过对称中心； ②这两个图形一定全等； ③对应线段一定平行（或在一条直线上）且相等； ④将一个图形绕对称中心旋转必定与另一个图形重合． A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④ 2．如图，已知与成中心对称，的面积是，，则中边上的高是（    ） A．3 B．6 C．8 D．12 3．在平面直角坐标系中，若点关于原点的对称点是，则的值是（    ） A．1 B． C．3 D． 4．下列图形，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（     ）    A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 5．如图，在平面直角坐标系中，画关于点O成中心对称的图形时，由于紧张对称中心选错，画出的图形是，请你找出此时的对称中心是（　　） A． B． C． D． 6．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，已有两个小正方形被涂黑，再将图中剩余的编号的小正方形中任意一个涂黑，则所得图案是中心对称图形的概率是（    ） A． B． C． D． 7．如图，的对角线交点是平面直角坐标系的原点，轴，若顶点C坐标是，，则顶点D的坐标是（   ） A． B． C． D． 8．已知两点，若，则点与（    ） A．关于y轴对称 B．关于x轴对称 C．关于原点对称 D．以上均不对 9．如图，与关于点成中心对称，则下列结论不一定成立的是（    ） A．点与点是对称点 B． C． D． 10．下列命题：①分式一定有意义；②的算术平方根是3；③平行四边形既是中心对称图形又是轴对称图形；④若，则．其中正确的命题个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 11．如图，正方形和正方形的对称中心都是点，其边长分别是8和6，则图中阴影部分的面积是______． 12．若点与点关于原点对称，则______． 13．在等腰直角三角形、等边三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形中，是轴对称图形有__________个，是中心对称图形的有__________个 14．平面直角坐标系中，与抛物线关于原点成中心对称的抛物线的解析式为________． 15．如图，一段抛物线记为，它与x轴的交点为O，，顶点为；将绕点旋转得，交x轴于点，顶点为；将绕点旋转得，交x轴于点，顶点为，…，如此进行下去，直至得到．当n为偶数时，抛物线的表达式为______． 三、解答题 16．如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点都在格点上，O为格点．请用无刻度直尺完成以下作图： (1)在网格中画出关于O点的中心对称图形； (2)以B点为旋转中心将顺时针旋转，请在网格中画出旋转后的． 17．如图，与关于原点成中心对称，已知，，求的值． 18．如图，线段、相交于点O，，．线段上的两点E、F关于点O对称．求证：． 19．已知点，解答下列问题： (1)若点与关于原点对称，求点的值； (2)若点，且直线平行于轴，求点的坐标． 20．探究：用一条直线将一个中心对称图形分成面积相等的两部分． 我们知道圆和平行四边形都是中心对称图形，由图1可总结规律：一个中心对称图形， 的直线将它分成面积相等的两部分． 应用1 ：如图2，若矩形 是老林家的一块田地，P为水井，现要把这块田地平均分给两个儿子，为了用水方便，要求分给两个儿子的田地都与水井 P 相邻． 请你帮老林家设计一下，画出图形，并说明理由． 应用2 ：图3是一个由正方形和圆构成的“组合图形”，用一条直线 将图3的阴影部分分成面积相等的两部分． （不写作图过程，保留作图痕迹） 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C B B B D A C C A 1．【答案】D 【知识点】图形的全等、成中心对称 【分析】根据（1）中心对称的定义：把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．（2）中心对称的性质①关于中心对称的两个图形能够完全重合；②关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分，判断各选项即可得出答案． 【详解】解：根据题意得：①对称点的连线必过对称中心，正确； ②中心对称的两个图形一定全等，正确； ③对应线段一定平行（或在一条直线上）且相等，正确； ④将一个图形绕对称中心旋转必定与另一个图形重合，正确； ①②③④均符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查中心对称的定义及性质，属于基础题，要在熟练掌握的基础上理解定义的内容及性质． 2．【答案】C 【知识点】与三角形的高有关的计算问题、根据中心对称的性质求面积、长度、角度 【分析】本题考查了中心对称的性质，成中心对称的两个图形全等以及成中心对称的两个图形的对应边相等． 根据中心对称的性质可得的面积等于12，．根据三角形的面积公式即可求中边上的高． 【详解】根据中心对称的性质可得：的面积等于的面积是12，． 根据三角形的面积公式，则边上的高是． 故选：C． 3．【答案】B 【知识点】已知两点关于原点对称求参数 【分析】本题主要考查了关于原点对称点的性质； 直接利用两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即可得出答案． 【详解】解：∵点关于原点的对称点为， 又∵对称点为， ∴，， ∴，， ∴， 故选：B． 4．【答案】B 【知识点】轴对称图形的识别、中心对称图形的识别 【分析】轴对称图形，是指在平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；中心对称图形，是指在平面内，把一个图形绕着某一点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形完全重合，那么这个图形叫做中心对称图形 ． 【详解】 第一个图形：  是轴对称图形，不是中心对称图形； 第二个图形：  是轴对称图形，也是中心对称图形； 第三个图形：  是轴对称图形，也是中心对称图形； 第四个图形：  是轴对称图形，也是中心对称图形； 所以，既是轴对称图形又是中心对称图形的有3个． 5．【答案】B 【知识点】坐标与图形、画两个图形的对称中心 【分析】分别求出点的坐标，从而可得的中点坐标，由此即可得． 【详解】解：由图可知，， 的中点坐标为，即为， 的中点坐标为，即为， 的中点坐标为，即为， 的中点坐标均为， 与的对称中心是， 故选：B． 【点睛】本题考查了求对称中心，正确找出两个三角形旋转后的对应点是解题关键． 6．【答案】D 【知识点】在方格纸中补画图形使之成为中心对称图形、列举法求概率 【分析】根据中心对称图形的特点进行判断即可； 【详解】选择一个正方形涂黑，使得3个涂黑的正方形组成中心对称图形， 选择的位置只有在标号2的位置，所以选择的位置共有1处， 其概率=， 故选：D． 【点睛】考查了概率公式的知识，解题的关键是了解中心对称图形的定义及概率的求法，难度不大． 7．【答案】A 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、利用平行四边形的性质求解、求关于原点对称的点的坐标 【分析】先结合平行四边形的性质得点与点C关于原点对称，，又因为顶点C坐标是，故，即可作答． 【详解】解：∵的对角线交点是平面直角坐标系的原点，轴， ， ∴点与点C关于原点对称，， ∵顶点C坐标是， 则， 故， 即 顶点D的坐标是． 8．【答案】C 【知识点】判断两个点是否关于原点对称 【分析】首先利用等式求出 然后可以根据横纵坐标的关系得出结果． 【详解】 ， 两点， 点与关于原点对称， 故选：C． 【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中关于原点对称的点，属于基础题，利用等式找到点与横纵坐标的关系是解题关键． 9．【答案】C 【知识点】根据中心对称的性质求面积、长度、角度 【分析】本题考查了中心对称的性质，根据中心对称的性质逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：∵与关于点成中心对称， ∴点与点是对称点，，，， ∴结论错误． 故选：C． 10．【答案】A 【知识点】分式有意义的条件、利用平行四边形的性质求解、判断命题真假、中心对称图形的识别 【分析】本题主要考查了分式、算术平方根的定义、平行四边形的性质、绝对值，掌握相关知识是解题的关键．依次判断四个命题的真假：①分式分母可能为零；②的算术平方根不是3；③平行四边形不一定是轴对称图形；④在给定范围内化简表达式成立． 【详解】解：①当时，分母，分式无意义，故 ①错误； ②的算术平方根是，故②错误； ③平行四边形是中心对称图形，但一般不是轴对称图形，故③错误； ④当时，，，因此原式，故④正确. 正确的命题有1个， 故选：A． 11．【答案】7 【知识点】根据正方形的性质求面积、根据中心对称的性质求面积、长度、角度 【分析】本题考查了中心对称，正方形的性质，掌握关于中心对称图形的性质是解题的关键．连接，根据中心对称的定义可知，阴影的面积等于两个正方形面积差的四分之一． 【详解】解：连接，， ∵正方形的边长为8和正方形的边长为6， ∴正方形的面积为64，正方形的面积为36， ∵正方形和正方形的对称中心都是点， ∴． 故答案为：7． 12．【答案】 【知识点】已知两点关于原点对称求参数 【分析】本题主要考查了关于原点对称点的性质．直接利用关于原点对称点的性质（横坐标、纵坐标均互为相反数）得出m，n的值，进而得出答案． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 13．【答案】 5 4 【知识点】轴对称图形的识别、中心对称图形的识别 【分析】一个图形绕着某固定点旋转180度后能够与原来的图形重合，则称这个图形是中心对称图形，这个固定点叫做对称中心；如果一个图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够重合，则称这个图形是轴对称图形，这条直线叫做对称轴；根据这两个概念判断即可． 【详解】等腰直角三角形、等边三角形、矩形、菱形、正方形是轴对称图形，因而有5个轴对称图形；而平行四边形、矩形、菱形、正方形则是中心对称图形，因而有4个中心对称图形； 故答案为：5，4． 【点睛】本题考查轴对称图形与中心对称图形的识别，掌握这两个概念，并知道一些常见图形是轴对称图形还是中心对称图形是解题的关键． 14．【答案】 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、把y=ax²+bx+c化成顶点式、求关于原点对称的点的坐标 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，熟练掌握利用顶点坐标求抛物线解析式是解题的关键．先求出抛物线的顶点坐标，再利用关于原点对称的点的坐标特征得到点关于原点的对称点，然后再利用顶点式写出对称后的抛物线解析式． 【详解】解： ， 抛物线的顶点为， 点关于原点的对称点为， 抛物线关于原点对称所得新抛物线的解析式为， 故答案为：． 15．【答案】 【知识点】根据旋转的性质求解、中心对称图形规律问题、其他问题(二次函数综合) 【分析】本题主要考查二次函数的图象及其性质，中心对称的性质，先求出抛物线与x轴的交点的坐标及两交点的距离，再根据轴对称和中心对称找顶点坐标的规律，得到抛物线与x轴的交点的坐标及开口方向，即可得到答案； 【详解】解：当时，， 解得：，， ∴抛物线与x轴的交点的坐标为和，且开口方向向下，且抛物线与x轴两交点的距离为：； ∵将绕点旋转得，将绕点旋转得， ∴抛物线与x轴的交点的坐标为和，且开口方向向上； ∴抛物线与x轴的交点的坐标为和，且开口方向向下； 同理：当n为偶数时，抛物线与x轴的交点的坐标为和，且开口方向向上； ∴抛物线的表达式为： 故答案为：． 16．【答案】(1) 如图所示，即为所求， (2) 如图所示，即为所求． 【知识点】画旋转图形、画已知图形关于某点对称的图形 【分析】本题考查了中心对称，旋转作图，掌握中心对称，旋转的性质是解题的关键． （1）连接，并延长使，连接，并延长使，连接，并延长使，得出点的位置，然后顺次连接即可； （2）先根据旋转的性质得出点的位置，然后顺次连接即可． 【详解】（1）略 （2）略 17．【答案】2 【知识点】根据等角对等边求边长、根据中心对称的性质求面积、长度、角度 【分析】本题主要考查了等角对等边，中心对称图形的性质，根据等角对等边得到，再根据中心对称图形的性质可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵与关于原点成中心对称， ∴． 18．【答案】见解析 【知识点】利用平行四边形性质和判定证明、根据中心对称的性质求面积、长度、角度 【分析】本题考查了中心对称的性质，平行四边形的判定与性质，作辅助线构造出平行四边形，然后根据点E、F关于点O中心对称，证明得到是解决问题的关键． 【详解】证明：如图，连接、， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵点E、F关于点O中心对称， ∴， ∴， ∴． 19．【答案】(1) (2) 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、已知两点关于原点对称求参数 【分析】本题考查直角坐标系中点的特征，关于原点对称的点坐标特征； （1）根据原点对称的两点横纵坐标都互为相反数求解即可； （2）根据直线平行于轴可得、两点纵坐标相等列方程计算即可． 【详解】（1）∵点与关于原点对称， ∴， 解得； （2）∵点，且直线平行于轴， ∴点纵坐标为9， ∴，解得， ∴． 20．【答案】探究：经过对称中心； 应用1：如图： 理由：矩形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点O，过O、P的直线满足把矩形面积等分，且都与水井P相邻； 应用2： 理由：正方形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点，过O、的直线满足把正方形面积和圆面积等分，直线 将图3的阴影部分分成面积相等的两部分． 【知识点】矩形性质理解、正方形性质理解、中心对称图形的识别 【分析】本题考查作图中心对称设计图案，中心对称图形的性质，正方形和矩形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 探究：根据中心对称图形的性质解答即可； 应用1：连接，交于点，作直线即可； 应用2：连接，交于点，作直线分别交于点即可； 【详解】解：探究：根据图1可总结规律：一个中心对称图形，经过对称中心的直线将它分成面积相等的两部分． 故答案为：经过对称中心； 应用1： 略 应用2：略 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 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