精品解析：山东临沂第四中学2026-2027学年高一上学期10月月考数学试题

临沂四中2026-2027学年上学期高一上学期10月月考 一、单选题 1. 已知命题，，则为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 设集合，集合，则（ ） A. ⫋ B. C. ⫋ D. 3. 已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 4. 已知条件，条件，且满足是的必要不充分条件，则（ ） A. B. C. D. 5. 若“”是假命题，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 关于的不等式的解集中恰有2个整数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 若正实数满足，不等式有解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 对于实数，，，下列命题是真命题的为（ ） A. 若且，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 下列说法错误的是（ ） A. 已知集合，且，则实数为或 B. 当时，的最小值是 C. 不等式解集为或 D. 命题“”的否定是 11. 已知，为正实数，且，则（ ） A. 的最大值为8 B. 的最小值为8 C. 的最小值为 D. 的最小值为 三、填空题 12. 设集合，，且，则________. 13. 满足条件的集合A的个数是__________. 14. 当时，的最小值为______． 四、解答题 15. 已知集合，集合． （1）若，求； （2）若，求实数m的取值范围． 16. 已知，. （1）若，求的最大值； （2）若，若恒成立，求实数m的取值范围. 17. 某洗发水厂商为扩大销量，拟开展广告促销活动．根据前期调研，该款洗发水的月销售量a万瓶与投入的广告费用x万元满足关系式（k为常数），若不进行广告宣传，该产品的月销售量为16万瓶．已知该产品每一万瓶需要投入成本30万元，厂商将每瓶洗发水的销售价格定为元，且每月该产品都能销售完．设该产品的月销售利润为y万元．（注：销售利润＝销售收入－投入成本－广告费用） （1）求出k的值，并将y表示为x的函数； （2）求投入的广告费用为多少万元时，该产品的月销售利润最大？最大为多少？ 18. 已知关于的不等式． （1）若，解这个关于的不等式； （2），恒成立，求的范围． 19. 已知函数． （1）解关于的不等式； （2）若命题“存在，成立”为假命题，求实数的取值范围； （3）已知．若对任意的，总存在，使成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 临沂四中2026-2027学年上学期高一上学期10月月考 一、单选题 1. 已知命题，，则为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据全称命题的否定的定义判断. 【详解】全称命题的否定是特称命题，所以为：，. 2. 设集合，集合，则（ ） A. ⫋ B. C. ⫋ D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，，所以是任意奇数，所以集合是所有奇数构成的集合. 同理，当，时，表示的是所有比4的整数倍多1的数，即①， 当时，表示的是所有比4的整数倍少1的数，即②， 所以①②合起来也是全部奇数，所以集合也是所有奇数构成的集合， 所以，故A，C错误，B正确； 因为集合是所有奇数构成的集合，所以是所有偶数构成的集合， 所以，故D错误. 3. 已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据一元二次不等式的解集结合韦达定理求出参数的值，再代入分式不等式，移项通分转化为整式不等式求解，注意排除分母为0的情况。 【详解】由不等式的解集为，可知，且、是方程的两个实根， 根据韦达定理：，解得，，代入得，解得， 将、代入，得 ， 移项通分： ， 该不等式等价于，即，解二次不等式，得或， 结合，最终解集为. 4. 已知条件，条件，且满足是的必要不充分条件，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解不等式，根据充分必要性列出不等式，进而得解. 【详解】，即， 又是的必要不充分条件， 所以， 故选：D. 5. 若“”是假命题，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先把命题进行否定，根据题意命题的否定为真命题，再分两种情况讨论即可. 【详解】是假命题，那么它的否定是真命题， 当时，恒成立； 当时，对任意，恒成立，则开口向上且判别式，即，解得， 综上所述，的取值范围为. 故选：. 6. 关于的不等式的解集中恰有2个整数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分类讨论，确定不等式的解集，根据不等式解集中恰有2个整数，即可求得实数的取值范围. 【详解】由可得； 若，则不等式解集为空集； 若，则不等式的解集为，此时要使不等式解集中恰有2个整数， 则这两个整数为2、3，则； 若，则不等式的解集为，此时要使不等式解集中恰有2个整数， 则这两个整数为；所以； 综上或， 故选：A 7. 已知，，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解法一：由已知等式得出，结合基本不等式可得出的最小值； 解法二：由已知等式得出，可得出，结合基本不等式可得出的最小值. 【详解】解法一：由得， ，，，. ，当且仅当， 即，时等号成立. 的最小值为； 解法二：由得，得， ，， 当且仅当，即时等号成立，此时， 故的最小值为. 故选：A. 8. 若正实数满足，不等式有解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据基本不等式“1”的代换求最小值，再由不等式有解得，即可求参数范围. 【详解】由， 仅当，即时等号成立， 要使不等式有解，只需， 所以. 故选：B 二、多选题 9. 对于实数，，，下列命题是真命题的为（ ） A. 若且，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】CD 【解析】 【详解】因为，所以，故A错误； 因为，，所以，故B错误； 因为，所以，，所以，故C正确； 因为，所以，所以， 又因为，所以，所以， 又因为，所以，故D正确. 10. 下列说法错误的是（ ） A. 已知集合，且，则实数为或 B. 当时，的最小值是 C. 不等式解集为或 D. 命题“”的否定是 【答案】ACD 【解析】 【详解】对选项A：∵ ，∴ 或 ， 解得 或 或 . 根据集合元素的互异性， 若 ，则 ，元素重复，舍去； 若 ，则 ，元素重复，舍去； 若 ，则 ，满足互异性，故 ，选项A错误. 对选项B：∵ ，∴ ， 则 ， 当且仅当 ，即 时等号成立，故 的最小值为，选项B正确. 对选项C：不等式 等价于 ， 解得 或 ，选项C中将 纳入解集，忽略分母不为的要求，错误. 对选项D：全称命题的否定为特称命题，仅否定结论，不改变量词的限定范围， 故命题“”的否定为“”， 选项D中错误修改了限定范围为 ，错误. 11. 已知，为正实数，且，则（ ） A. 的最大值为8 B. 的最小值为8 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】对A，直接使用基本不等式，构造出关于的基本不等式，解出即可即可判断；对BC，用表示出，从而减少变量，再结合基本不等式即可判断；对D，直接使用基本不等式，再整体代入即可判断. 【详解】对A，因为，当且仅当时取等号， 则， 解不等式得，即， 当且仅当时等号成立，故的最大值为8，A正确； 对B，由得， 所以， 当且仅当，即时取等号，此时取得最小值，B正确； 对C，，结合，解得，则， ， 当且仅当时等号成立，即时等号成立，故C正确； 对D，， 当且仅当时取等号，即时等号成立， 此时取得最小值，D错误． 故选：ABC. 三、填空题 12. 设集合，，且，则________. 【答案】 【解析】 【分析】利用集合的性质求解即可. 【详解】由集合中元素的互异性，可知， 因为，所以，或， 解得，所以. 13. 满足条件的集合A的个数是__________. 【答案】7 【解析】 【分析】根据子集的概念写出符合条件的集合后可得. 【详解】因为集合，所以集合A可以是，，共7个. 故答案为：7． 14. 当时，的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】因为 ，将原式乘以 （乘 1 法）展开，凑出可用基本不等式求和的最小值的结构，最后检验取等条件. 【详解】. 因为 ，所以 ，，由基本不等式得 ，当且仅当 ，即 ， 时取等号，. 所以 ，即原式的最小值为 . 四、解答题 15. 已知集合，集合． （1）若，求； （2）若，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）根据集合的交、并运算，由可得m的值，进而得到集合B，利用交集的定义运算即可； （2）根据集合的包含关系求参数，对是否为空集讨论即可. 【小问1详解】 由可知且， 解得，所以， 所以； 【小问2详解】 由，得， ①若，则，解得； ②若，因为，所以，解得． 综上可知的取值范围为． 16. 已知，. （1）若，求的最大值； （2）若，若恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）依题意利用基本不等式可得，令，再解关于的一元二次不等式，即可求出的最大值，即可得解； （2）利用乘“1”法及基本不等式求出的最小值，依题意可得，再转化为关于的一元二次不等式，解得即可. 【小问1详解】 解：因为，，， 所以，当且仅当时取等号， 令，则，即，解得， 又，所以，即，从而， 由及，，解得，， 故当，时，的最大值为，所以的最大值为． 【小问2详解】 解：因为，，， 所以，当且仅当，即时取等号, 因为恒成立，即， 所以，所以，解得，即. 17. 某洗发水厂商为扩大销量，拟开展广告促销活动．根据前期调研，该款洗发水的月销售量a万瓶与投入的广告费用x万元满足关系式（k为常数），若不进行广告宣传，该产品的月销售量为16万瓶．已知该产品每一万瓶需要投入成本30万元，厂商将每瓶洗发水的销售价格定为元，且每月该产品都能销售完．设该产品的月销售利润为y万元．（注：销售利润＝销售收入－投入成本－广告费用） （1）求出k的值，并将y表示为x的函数； （2）求投入的广告费用为多少万元时，该产品的月销售利润最大？最大为多少？ 【答案】（1）， （2）所以当投入广告的费用为6万元时，该产品的月利润最大，最大利润为162万元. 【解析】 【分析】（1）先由已知条件求出待定系数，写出促销费用关系式，计算销售收入、投入成本，再表达利润即可； （2）将函数关系式作配凑变形，利用基本不等式求最值. 【小问1详解】 由题知，时，， 于是，，解得. 所以，.根据题意， 即 所以 【小问2详解】 ， 当且仅当，即时，等号成立. 所以当促销费用为6万元时，该产品的利润最大，最大利润为162万元. 18. 已知关于的不等式． （1）若，解这个关于的不等式； （2），恒成立，求的范围． 【答案】（1）时，解集为； 时，解集为； 时，解集为； 时，解集为； 时，解集为； （2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式的解法，分别根据二次项系数与的关系，对应方程零点的大小进行讨论，即可求解； （2）根据分离参数思想，求出对应函数最大值即可. 【小问1详解】 当时，原不等式即为，解得，此时原不等式的解集为； 当时，， 当时，有，则此时不等式解集为： ； 当，． 若，即时，不等式解集为：； 若，即时，不等式解集为：； 若，即时，不等式解集为空集． 综上，时，解集为 ； 时，解集为；时，解集为； 时，解集为； 时，解集为 【小问2详解】 ， 因，则． 则题目等价于， 令，则，因，则． 则， 当且仅当，即时等号成立，所以， 即的取值范围为． 19. 已知函数． （1）解关于的不等式； （2）若命题“存在，成立”为假命题，求实数的取值范围； （3）已知．若对任意的，总存在，使成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） ①当时，不等式的解集为或， ②当时，不等式的解集为， ③当时，不等式的解集为或． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式求解集，讨论与的大小得解集即可； （2）根据存在命题的真假可得对任意的恒成立，利用参变分离结合对勾函数的性质求最值即可得实数的取值范围； （3）根据双变量不等式求解可转化为，分别求函数最值即可得实数的取值范围． 【小问1详解】 因为函数， 所以，即为， 所以， 当时，解得或， 当时，解得， 当时，解得或； 综上：①当时，不等式的解集为或， ②当时，不等式的解集为， ③当时，不等式的解集为或． 【小问2详解】 因为命题“存在成立”为假命题， 所以对任意的为真命题， 即对任意的恒成立， 所以对任意的恒成立， ①当时，恒成立， ②当时，恒成立， 所以的最小值， 令， 令，所以， 由对勾函数性质知，在时单调递减， 所以当时，，所以． 【小问3详解】 因为，易知函数在上单调递增， 所以， 对任意，总存在，使得成立， 即， 因为的对称轴为，开口向上， ①当时，即时，， 得，得； ②当时，即时，， 得，解得，又因为，所以； 综上的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $