专练03 勾股定理与方程思想&专练04 勾股定理与分类讨论-【高效课堂】2026-2027学年八年级上册数学同步导学案（北师大版·新教材）

3 专练03勾股定理与方程思想 【方法规律】当几个直角三角形出现共边时，常考虑连环使用勾股定理. ⑦典例导练 模型双求法构建方程 示范题在△ABC中，AB=13,BC=14,AC=15,AD为BC边上的 高，求AD的长， 【思路点拨】在Rt△ABD和Rt△ADC中运用勾股定理求出AD,列B 出方程求解即可.（本题用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称 之为“双求法”) 【自主解答】 心知能检测 1.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D,BD=2,CD=4,求AD的长， 2.如图，已知等腰△ABC中，AB=AC,BC=20cm,D是边AB上一点，且CD=16cm, BD=12cm.求AD的长. C4 专练04勾股定理与分类讨论 【方法规律】当问题中的条件不明，有可能出现几种情况时，需分类讨论. ⑦典例导练 分类角度一当三角形形状不明时要分类讨论 示范题△ABC中，AB=15,AC=20,BC边上的高为12，则BC边的长为 【思路点拨】分BC边上的高在三角形内部和外部两种情况讨论， √知能检测 分类角度二直角不明时要分类讨论 1.已知Rt△ABC中，AC=4,BC=3,∠ACB=90°，以AC为一边在Rt△ABC外部作等 腰直角三角形ACD,求线段BD的长的平方 分类角度三当等腰三角形的腰不明时要分类讨论 2.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10cm,AC=6cm,动点P从点B出发沿射线 BC以2cm/s的速度移动，设运动的时间为ts,当△ABP为等腰三角形时，求t的值. B∴.∠D+50°+∠D=180°， 章末核心考点与素养提升 ∠D=65. 1.B 专题十二平行线中的辅助线 2.同一平面内，如果两条直线垂直于 1.延长NM交直线AB于G,.AB∥ 同一条直线，那么这两条直线平行 CD,∴.∠AGN+∠2=180°，∠13.D4.B5.平行.理由略. +∠2=180°，∴.∠1=∠AGN, 6.B ∴.EF∥MN,∴.∠EFM=∠NMF 7.两直线平行，同位角相等∠CAE 2.延长AD,GF交于点M ∠CAE∠1∠1BC内错角 AD⊥BC,EF⊥BC,∴.∠ADC 相等，两直线平行两直线平行，内 ∠EFC=90°， 错角相等 .AD∥EF,.∠EFG=∠M, 8.∠AED=∠C.理由如下： 又∠BAD=∠EFG,∴∠BAD= ∠1+∠2=180°， ∠M,∴.AB∥FG. ∠1+∠4=180°， 3.过E作EF∥AB,:AB∥CD, ∠2=∠4，∴AB∥EF .AB∥CD∥EF,.∠C=∠FEC, ∴∠3=∠ADE ∠BAE=∠FEA,∠C=44° 又∠3=∠B,∴∠ADE=∠B. ∠AEC为直角，.∠FEC=44°， .DE∥BC,∴.∠AED=∠C. ∴.∠BAE=∠AEF=90°-44°= 9.C10.B11.160° 46°，∴.∠1=180°-∠BAE=180° 12.(1)∠A=∠D=78°，∠C=47°， 46°=134° ∴.∠BFD=∠D+∠C=78°+47° 4.(1)过点A向右作AM∥GF, =125° ∴.AM∥GF∥BC,∴.∠F=∠FAM, (2)证明：，∠AEB+∠BFD= ∠C=∠MAC,∴.∠F+∠C= 180°，∠CFD+∠BFD=180°， ∠FAM+∠MAC=∠FAC; .∠AEB=∠CFD, (2)过点A向右作AM∥GF,∴.AM '∠AEB+∠A+∠B=∠CFD+ ∥GF∥BQ,∴.∠FAM=∠F=50°， ∠C+∠D=180°， ∠MAQ=∠Q=15°，∴.∠FAQ .∠B=∠C,∴.AB∥CD ∠FAM+∠MAQ=50°+15°=65°. 13.(1),∠ABC=90°， :AQ平分∠FAC,.∠FAC= .∠2+∠3=180°-∠ABC=90°， 2∠FAQ=130°，由(1)知∠F+ :∠1=∠2，∠3=∠4， ∠ACB=∠FAC,∴.∠ACB= ∴.∠1+∠4=90， ∠FAC-∠F=130°-50°=80°. .∠DEF+∠EFG=180°-∠1 专题十三平行线与翻折 ∠2+180°-∠3-∠4=180°， 1.D2.100°3.64°4.124°5.50° .DE∥FG: 6.67.5 (2):∠ABC=75°， 7.AE∥BD,∴.∠EAD=∠ADB= .∠2+∠3=180°-∠ABC= 28°，，∴.∠BAE=90°+∠EAD= 105°， 118°， :∠1=∠2，∠3=∠4， ∠EAF=∠BAF, .∠1+∠4=105， ∠EAF-3∠BAE=59 ∴.∠HEF+∠EFH=180°-∠1 -∠2+180°-∠3-∠4=150°， ∠DAF=∠EAF-∠EAD, .∠EHF=180°-（∠HEF+ ∴.∠DAF=59°-28°=31°」 ∠EFD=30° (3)409 67 夹册《提分专练》参考答案 第一章勾股定理 (2)设EB=ED=x,则AE=AD 专练01勾股定理与面积问题 -ED=8-x,在Rt△ABE中， 典例导练 AB2+AE2=EB2,即42+(8 A x)2=x2,解得x=5,∴.△EBD的面 知能检测 积=2ED.AB=2X5X4=10 1.连接AC,在Rt△ABC中，ABLBC, AB=9cm,BC=12cm,.'.ACe=AB 专练03勾股定理与方程思想 +BC=225=15.:CD+ACe= 典例导练 82+152=172=AD, 设BD=x,则DC=14一x, .∠ACD=90°，.四边形纸片AB 在Rt△ABD中，AB=AD+BD2, CD的面积=S十Sm=AB 即13=AD+x2,在Rt△ACD中 AC=AD2+CD2,152=AD2+ ·BC+2AC.CD-X9X12+ (14-x)2,则225-(14-x)2=169 -x2,解得x=5,∴.AD=12. 号×15×8=54+60=14(cm). 知能检测 2.过点C作CDLBA的延长线于点1.设AD=x,在R△ACD中，AC D,:CDLAB,∴∠CDB=90°， =AD2+CD2=x2+42 设AD为x,DB=(x十11)，由勾 在Rt△BCD中，BC=CD+ 股定理得：CD=AC-AD,CD BD2=42+22. =BC-DB2,即AC-AD2= 在Rt△ABC中，AC+BC= BC-DB2,则132-x2=202-(x AB,x2+42+42+22=(x+2)2, +11)2,解得：x=5,.CD=AC 解得x=8,∴AD=8 -AD=144,解得CD=12, 2..'BC=20cm,CD=16cm,BD A△ABC的面积=专·AB,CD -12cm,.'BD2+CD2=BC2, .∠BDC=90°，.∠ADC=90°， 2×11×12=6. = 设AD=xcm,则AC=AB=(x +12)cm,在Rt△ADC中，由勾 专练02勾股定理与折叠问题 典例导练 股定理得：AD+CD=AC,即 x2+162=(x+12)2,解得：x= 24 知能检测 是即AD- 3cm. 1.(1)16 专练04 勾股定理与分类讨论 (2)由题意，得AB'=AB=20, 典例导练 .CB=AB-AC=8,设CD= 25或7 x,则BD=16-x=B'D, 知能检测 在Rt△B'CD中，CD+CB2= 1.(1)以点C所在顶点为直角时， B'D2,.x2+82=(16-x)2,解得 .'AC=CD=4,BC=3, x=6,.CD=6,重叠部分（阴 ∴.BD=CD+BC=7,BD=49. 影部分)的面积为2CD·AC (2)以点D所在顶点为直角时， 作DE⊥BC于E,连接BD. ×6×12=36. 2 在Rt△BDE中DE=2,BE=5, 2.(1)等腰 .BD=DE2+BE2=29. 68 (3)如图3中，以点A所在顶点为 ∴.1-2a=3a-4,或1-2a+(3a 直角时，作DE⊥BC于E, -4)=0得a=1,或a=3,(1- 在Rt△BDE中，DE=4.BE=7, 2a)2=(1-2)2=1或(1-2a)2= ..BD=DE+BE=65. (1-6)2=25. 综上所述：BD为49或29或65. 答：这个数是1或25. 2.在Rt△ABC中，∠ACB=90°， 专练06无理数的估算与应用 AB=10cm,AC=6cm,由勾股定 :典例导练 理得：BC=8(cm). (1)9<15<16,.3<15<4, (1)当AB=AP时， ∴.√I5的整数部分是3，小数部分是 ∠ACB=90°，ACLBP, √15-3. ∴.PC=BC=8(cm), (2)由题意，得5a十2=33=27,3a十b .BP=16(cm), -1=42=16,c=3,∴.a=5,b=2,c= ∴.t=16÷2=8(s); 3,∴.3a-b+c=15-2+3=16,.∴.3a- (2)当BP=BA=10cm时， b十c的平方根是±4. .t=10÷2=5(s); 知能检测 (3)当PA=PB时，设BP=xcm, 1.B 则PC=(8-x)cm,在Rt△ACP 2.(1)设长方形信封的长为3xcm,宽 中，由勾股定理得：(8一x)2+62 为2xcm,由题意得3x·2x=420, =x2,x= 即B即- 4cm, x=√70， .3x=3√/70,2x=2√/70. 答：长方形信封的长为3√/70cm, 综上所述，1的值为8或5或要 宽为2√70cm. 第二章实数 (2)面积为256cm的正方形贺卡 专练05平方根和立方根的 的边长是16cm, 求值问题 70>64,.√/70>8， 典例导练 .2√70>16，即信封的宽大于 (1)由题意得，2x-2+6-3x=0,解 正方形贺卡的边长，·小明能将 得x=4,..2x-2=6,..a=62=36, 这张贺卡不折叠就放人此信封. .a一4b的算术平方根是4， 专练07二次根式的双重非负性 .a-4b=16,.b=5. 典例导练 (2):2a-b+17=2×36-52+17 由题意得，y-3≥0,3-y≥0，∴y =64,.2a-b+17的立方根为4. 3=3-y=0,解得y=3,.x2=64, 知能检测 解得x=士8，∴x+y=11或-5. 1.(1)原方程整理得： 知能检测 r=,则x=±号 12m-4=0 1.由题意得， (2)原方程整理得：(x十1)3=一8， 2n+6=0 则x+1=一2，解得：x=一3. m=2 解得{ 2.(1):x的算术平方根是3，∴.1 n=-3 2a=9,解得a=-4.故a的值是 √m+n=13. -4. 2.由题意，得(m一3)n≥0，.m≥3， (2)x,y都是同一个数的平方根， ∴.2m-4>0, 69