精品解析：山东烟台市莱州市第一中学2023-2024学年高二下学期第三次质量检测数学试题

莱州一中2022级高二第三次质量检测数学3.25(数学) 一、单项选择题：本大题共8小题，共40分. 1. 假设 是两个事件， 且 ， 则下列结论一定成立的是（ ） A. B. C. D. 2. 将英文单词“”中的6个字母重新排列，其中字母b不相邻的排列方法共有（ ） A. 120种 B. 240种 C. 480种 D. 960种 3. 的展开式的中间一项的二项式系数为（ ） A. 15 B. 20 C. D. 4. 在某场新冠肺炎疫情视频会议中，甲､乙､丙､丁､戊五位疫情防控专家轮流发言，其中甲必须排在前两位，丙､丁必须排在一起，则这五位专家的不同发言顺序共有（ ） A. 8种 B. 12种 C. 20种 D. 24种 5. 小陈和小李是某公司的两名员工，在每个工作日小陈和小李加班的概率分别为和，且两人同时加班的概率为，则某个工作日，在小李加班的条件下，小陈也加班的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 设是一个离散型随机变量，其分布列为 则等于（ ） A. 1 B. C. D. 7. 设，若，则（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 8. 设集合，那么集合中满足条件 “”的元素个数为 A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，共18分. 9. 已知，若能被5整除，则的取值可以是（ ） A. 6 B. 7 C. 11 D. 12 10. 已知在的展开式中，前项的系数成等差数列，则下列结论正确的是（ ） A. 展开式中所有项的系数之和为 B. 展开式中系数最大项为第项和第项 C. 展开式中有项有理项 D. 展开式中不含的一次项 11. 一个不透明的箱子中装有5个小球，其中白球3个，红球2个，小球除颜色不同外，材质大小全部相同，现投掷一枚质地均匀的硬币，若硬币正面朝上，则从箱子里抽出一个小球且不再放回；若硬币反面朝上，则不抽取小球；重复该试验，直至小球全部取出，假设试验开始时，试验者手中没有任何小球，下列说法正确的有（ ） A. 经过两次试验后，试验者手中恰有2个白球的概率为 B. 若第一次试验抽到一个白球，则第二次试验后，试验者手有白红球各1个的概率为 C. 经过6次试验后试验停止的概率为 D. 经过6次试验后试验停止的概率最大 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则______. 13. 如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有种___________．（以数字作答） 14. 甲乙二人轮流掷一枚质地均匀的骰子，甲先掷.规定：若甲掷出1点，则由甲继续掷，否则下一次由乙掷；若乙掷出3点，则由乙继续掷，否则下一次由甲掷，两人始终按此规则进行.记第次由甲掷的概率为，则______，______. 四、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 求解下列问题： （1）若正整数满足：，求的值； （2）求的值. 16. 已知的展开式的所有项的二项式系数和为512. （1）若，求； （2）求展开式中系数最大的项. 17. 甲袋中有个红色小球，个白色小球，乙袋中有个红色小球，个白色小球. （1）分别从甲乙两袋中各取一个小球（相互无影响），求两个小球颜色不同的概率； （2）先从两袋中任取一袋，然后在所取袋中任取一球，求取出为白球的概率； 18. 为弘扬体育精神，营造校园体育氛围，某校组织“青春杯”3V3篮球比赛，甲、乙两队进入决赛．规定：先累计胜两场者为冠军，一场比赛中犯规4次以上的球员在该场比赛结束后，将不能参加后面场次的比赛．在规则允许的情况下，甲队中球员都会参赛，他上场与不上场甲队一场比赛获胜的概率分别为和，且每场比赛中犯规4次以上的概率为． （1）求甲队第二场比赛获胜的概率； （2）用表示比赛结束时比赛场数，求的期望； （3）已知球员在第一场比赛中犯规4次以上，求甲队比赛获胜的概率． 19. 某城市为了加快“两型社会”（资源节约型，环境友好型）的建设，本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多，自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元（不足1小时的部分按1小时计算）.有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游（各租一车一次）.设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为，；两人租车时间都不会超过四小时. （1）求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率； （2）设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量X，求X的分布列. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 莱州一中2022级高二第三次质量检测数学3.25(数学) 一、单项选择题：本大题共8小题，共40分. 1. 假设 是两个事件， 且 ， 则下列结论一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用条件概率的概率公式以及相互独立事件的概率公式，对选项逐一分析判断即可. 【详解】对于A选项，由，， 可知，故A正确； 对于B选项，成立的条件为是两个独立事件，故B错误； 对于C选项，由，， 故当时才有，故C错误； 对于D选项，若要成立，需要， 即成立的条件为是两个独立事件，故D错误. 故选：A． 2. 将英文单词“”中的6个字母重新排列，其中字母b不相邻的排列方法共有（ ） A. 120种 B. 240种 C. 480种 D. 960种 【答案】B 【解析】 【分析】先排除b之外的其余四个字母，再从这四个字母排完后的5个空中选2个放入b即可. 【详解】由题意可先排除b之外的其余四个字母，有种排法， 再从这四个字母排完后的5个空中选2个放入b，有种放法， 故字母b不相邻的排列方法共有（种）， 故选：B 3. 的展开式的中间一项的二项式系数为（ ） A. 15 B. 20 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定的二项式，确定展开式的项数即可求出中间一项的二项式系数作答. 【详解】的展开式共7项，中间一项是第4项，其二项式系数是. 故选：B 4. 在某场新冠肺炎疫情视频会议中，甲､乙､丙､丁､戊五位疫情防控专家轮流发言，其中甲必须排在前两位，丙､丁必须排在一起，则这五位专家的不同发言顺序共有（ ） A. 8种 B. 12种 C. 20种 D. 24种 【答案】C 【解析】 【分析】 先排甲，再将丙、丁捆绑在一起当一个元素排，再排乙、戊. 【详解】当甲排在第一位时，共有种发言顺序， 当甲排在第二位时，共有种发言顺序， 所以一共有种不同的发言顺序. 故选：C. 【点睛】方法点睛：本题主要考查排列的应用，属于中档题.常见排列数的求法为： （1）相邻问题采取“捆绑法”； （2）不相邻问题采取“插空法”； （3）有限制元素采取“优先法”； （4）特殊元素顺序确定问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数. 5. 小陈和小李是某公司的两名员工，在每个工作日小陈和小李加班的概率分别为和，且两人同时加班的概率为，则某个工作日，在小李加班的条件下，小陈也加班的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意结合条件概率公式运算求解. 【详解】记“小李加班”为事件A，“小陈加班”为事件B，则， 故在小李加班的条件下，小陈也加班的概率为. 故选：C. 6. 设是一个离散型随机变量，其分布列为 则等于（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分布列的知识列方程来求得. 【详解】依题意，， 解得（大于，舍去）或. 故选：C 7. 设，若，则（ ） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】D 【解析】 【分析】根据二项展开式分别求出的表达式，解方程即可求得结果. 【详解】由题可知，，所以； 同理可得； 由可得，即， 所以，即， 解得. 故选：D 8. 设集合，那么集合中满足条件 “”的元素个数为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：分以下三种情况讨论， （1），则上述五个数中有一个为或，其余四个数为零，此时集合有 个元素； （2），则上述五个数中有两个数为或，其余三个数为零，其中这两个数的所有可能搭配有中，此时集合有个； （3），则上述五个数中有三个数为或，其余两个数为零，其中这两个数的所有可能搭配有中，此时集合有个； 综上所述，集合共有个元素.故选D. 【考点定位】本题考查分类计数原理，属于较难题. 二、多项选择题：本大题共3小题，共18分. 9. 已知，若能被5整除，则的取值可以是（ ） A. 6 B. 7 C. 11 D. 12 【答案】BD 【解析】 【分析】和的展开式类似，易得，能被整除，只需个位数是或即可． 【详解】，所以的个位数是，若能被5整除，则除以余数应该是，故B、D合题． 故选：BD． 10. 已知在的展开式中，前项的系数成等差数列，则下列结论正确的是（ ） A. 展开式中所有项的系数之和为 B. 展开式中系数最大项为第项和第项 C. 展开式中有项有理项 D. 展开式中不含的一次项 【答案】CD 【解析】 【分析】根据二项式定理，由已知求出指数，然后采用赋值法求展开式所有系数之和；写出通项，由展开式的通项求有理项、展开式中含的一次项以及展开式中系数最大项，逐项判断，即可得出结论. 【详解】由题在的展开式中，前3项的系数成等差数列， 所以，解得或舍去，则. 令，得展开式中所有项的系数之和为，故A错误； 展开式的通项为， 由，解得， 所以展开式中第三项和第四项的系数相等且均为最大值，故B错误； 令为整数，则或，则可得展开式中有2项有理项，故C正确； 令，则，所以展开式中不含的一次项，故D正确. 11. 一个不透明的箱子中装有5个小球，其中白球3个，红球2个，小球除颜色不同外，材质大小全部相同，现投掷一枚质地均匀的硬币，若硬币正面朝上，则从箱子里抽出一个小球且不再放回；若硬币反面朝上，则不抽取小球；重复该试验，直至小球全部取出，假设试验开始时，试验者手中没有任何小球，下列说法正确的有（ ） A. 经过两次试验后，试验者手中恰有2个白球的概率为 B. 若第一次试验抽到一个白球，则第二次试验后，试验者手有白红球各1个的概率为 C. 经过6次试验后试验停止的概率为 D. 经过6次试验后试验停止的概率最大 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A、B选项利用条件概率公式计算即可；对于C项，利用二项分布计算；对于D项，设实验次结束的概率为，令，由C项化简得，即得结果. 【详解】记事件“一次实验硬币正面朝上”，则“一次实验硬币反面朝上”，则. 从箱子中不放回地抽球，记“第次抽到白球”，记“第次抽到红球”，“第次硬币正面朝上且抽到白球”，“第次硬币正面朝上且抽到红球”， 对于A项,， 经过两次实验后，实验者手中恰好有2个白球的概率为：，故A正确； 对于B项，已知第一次拿到白球，第二次拿到红球的概率为：,故B正确； 对于C项，实验6次结束，则前5次有4次硬币正面朝上，第6次硬币正面朝上，故其概率为：，故C正确； 对于D项，实验次结束的概率为，则，， 令，得化简可得，解得，即， 所以经过8次或9次实验后小球全部取出的概率最大，故D错误. 故选：ABC 【点睛】关键点睛：本题D选项的解决关键是理解试验停止时的条件，从而求得实验次结束的概率，利用作商法求得中的最大项，从而得解. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则______. 【答案】或 【解析】 【分析】根据组合数的性质得到方程，解得即可； 【详解】因为 所以或, 解得或，经检验成立 故答案为：或 13. 如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有种___________．（以数字作答） 【答案】72 【解析】 【分析】本题考查分类加法计数原理和分步乘法计数原理，按照颜色的种数进行分为3种颜色和四种颜色依次讨论即可. 【详解】按照使用颜色的种类分类， 第一类：使用了4种颜色，2,4同色，或3,5同色，则共有(种)， 第二类：使用了三种颜色，2,4同色且3,5同色，则共有(种) 所以共有48+24=72(种) 故答案为：72 14. 甲乙二人轮流掷一枚质地均匀的骰子，甲先掷.规定：若甲掷出1点，则由甲继续掷，否则下一次由乙掷；若乙掷出3点，则由乙继续掷，否则下一次由甲掷，两人始终按此规则进行.记第次由甲掷的概率为，则______，______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】先求出甲掷到1点（乙掷到3点）的概率为，甲未掷到1点（乙未掷到3点）的概率为，设第次由甲掷的概率为，可得到递推公式，然后用数列的知识即可求出. 【详解】甲掷到1点（乙掷到3点）的概率为， 甲未掷到1点（乙未掷到3点）的概率为， 设第次由甲掷的概率为，则乙掷的概率为 第一次由甲掷，故第二次由甲掷的概率 于是，第次由甲掷的概率为 即，因为， 所以数列是以为首项，以为公比的等比数列（） 所以，适合 从而 所以 故答案为：， 【点睛】本题主要考查递推数列和等比数列的通项，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力. 四、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 求解下列问题： （1）若正整数满足：，求的值； （2）求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题设可得且，求解集即可得结果； （2）利用，且，即可得值. 【小问1详解】 由，即，可得且， 所以，又为正整数，故. 【小问2详解】 由， 而， 所以 16. 已知的展开式的所有项的二项式系数和为512. （1）若，求； （2）求展开式中系数最大的项. 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】（1）由题意，利用二项式系数的性质求得，再利用赋值法求得要求式子的值. （2）设第项系数最大，则，求得的值，可得展开式中系数最大的项. 【小问1详解】 ∵的展开式的所有项的二项式系数和为，∴. ∵， ∴令，可得， ∴再令，可得， 即， ∴. 【小问2详解】 设第项系数最大，则，求得，∴， 故展开式中系数最大的项为. 17. 甲袋中有个红色小球，个白色小球，乙袋中有个红色小球，个白色小球. （1）分别从甲乙两袋中各取一个小球（相互无影响），求两个小球颜色不同的概率； （2）先从两袋中任取一袋，然后在所取袋中任取一球，求取出为白球的概率； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设事件为“从甲袋中取出红球”，事件为“从乙袋中取出红球”，事件为“两球颜色不同”，且事件与事件相互独立，则，利用独立事件和互斥事件的概率公式求解即可； （2）设事件为“取出为白球”，事件为“取到甲袋”，事件为“取到乙袋”，结合全概率公式可求得的值. 【小问1详解】 设事件为“从甲袋中取出红球”，事件为“从乙袋中取出红球”， 事件为“两球颜色不同”， 则，，且事件与事件相互独立，则， 所以 . 【小问2详解】 设事件为“取出为白球”，事件为“取到甲袋”，事件为“取到乙袋”， 则，，， 由全概率公式可知，取出的球为白球的概率为 . 18. 为弘扬体育精神，营造校园体育氛围，某校组织“青春杯”3V3篮球比赛，甲、乙两队进入决赛．规定：先累计胜两场者为冠军，一场比赛中犯规4次以上的球员在该场比赛结束后，将不能参加后面场次的比赛．在规则允许的情况下，甲队中球员都会参赛，他上场与不上场甲队一场比赛获胜的概率分别为和，且每场比赛中犯规4次以上的概率为． （1）求甲队第二场比赛获胜的概率； （2）用表示比赛结束时比赛场数，求的期望； （3）已知球员在第一场比赛中犯规4次以上，求甲队比赛获胜的概率． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设“第i场甲队获胜”，“球员第i场上场比赛”，，2，3． 根据对立事件的概率公式即可求解； （2）由题意知的可能取值为2，3，结合对立事件和独立事件的概率公式和数学期望的计算公式即可求解； （3）根据对立事件、独立事件的概率公式和条件概率公式计算即可求解. 【小问1详解】 设“第i场甲队获胜”，“球员第i场上场比赛”，，2，3． 由全概率公式． 【小问2详解】 的可能取值为2，3． 由题意知，由（1）知， 则，， ， ，． 【小问3详解】 ，此时， ． 19. 某城市为了加快“两型社会”（资源节约型，环境友好型）的建设，本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多，自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元（不足1小时的部分按1小时计算）.有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游（各租一车一次）.设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为，；两人租车时间都不会超过四小时. （1）求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率； （2）设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量X，求X的分布列. 【答案】（1） （2） X 0 2 4 6 8 P 【解析】 【分析】（1）结合相互独立事件概率和互斥事件概率计算公式，计算出所求的概率. （2）求出随机变量取值，并计算对应的概率，列出分布列即可. 【小问1详解】 由题意得，甲、乙在三小时以上且不超过四小时还车的概率分别为，， 租车费相同，即两人都在同一时间段还车， 标记甲、乙两人所付的租车费用相同为事件A， 则， 所以甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为； 【小问2详解】 由题可知，X可能取的值有0，2，4，6，8，且 ； ； ； ； . 所以甲、乙两人所付的租车费用之和X的分布列为 X 0 2 4 6 8 P 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $