精品解析：江西省九师联盟2027届高三上学期阶段检测数学试题

高三数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：集合与常用逻辑用语，不等式，函数. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【详解】存在量词命题的否定为全称命题，则“，”的否定为“，”. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题意可得：，所以. 3. 声强级是表示声强度相对大小的物理量．定义为，单位为分贝（），其中为实际声强（单位：），为基准声强．居民区噪音执行《声环境质量标准》（GB 3096—2008）核心限值：纯居住或文教区昼间声强级不超过，夜间不超过；商住混合区昼间声强级不超过，夜间不超过．夜间时段为22：00至次日6：00．按此标准，若某商住混合区在19：00时的噪音不超标，则在此时此地，实际声强的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由 落在昼间确定声强级上限为 ，再按声强级的定义解对数不等式，把声强级限制转化为实际声强的范围. 【详解】 位于 到 之间，属昼间时段，故该商住混合区的声强级应满足 ； 由 得 ，即 ，故 ， 最大值为 ； 4. 若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据一元二次不等式的解集确定的符号以及与的等量关系，再代入所求不等式化简求解即可. 【详解】 因为不等式的解集为， 所以，且方程的两个实根为，， 根据韦达定理得，所以，即， 则不等式，即为，即， 由于，因此，解得， 即不等式的解集为. 5. 已知函数为上的增函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由分段函数在上单调递增，可得两段函数分别单调递增，且分段点处左段函数值不大于右段函数值，列不等式组求解即可. 【详解】由为上的增函数，可得：，即， 解得，即实数的取值范围是. 6. 已知集合，则“”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】若，得，所以，所以或， 故， 又⫋，所以“”是“”的充分不必要条件. 7. 已知，，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】令，将问题转化为已知，求的最值问题，再结合基本不等式求解即可. 【详解】令，则，且， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 8. 已知函数的最大值为，最小值为，若，则（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】D 【解析】 【详解】，，所以的定义域是R， ，令， 则，且， 所以为奇函数，所以， 又，所以，解得. 二､选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知实数，，满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】A、D作差分解后符号不能确定，分别用与的反例否定；B、C直接由同向不等式可加性与不等式两边同加同一个数的不变性证得. 【详解】由得，，，； 对于A，，由知该差的符号由的符号决定， 取，，得，A错误； 对于B，由与相加得，B正确； 对于C，由两边同加得，C正确； 对于D，，由知仅当时才有， 取（此时）得，D错误. 10. 下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【详解】 选项A：对两边平方得 ，得，A正确； 选项B：指数函数为单调递增函数，等价于， 解得，B错误； 选项C：由得，得，故，C正确； 选项D：，D正确. 11. 已知函数满足：，，且，则（ ） A. B. 直线为的图象的一条对称轴 C. 为偶函数 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，先求得，再令即可求得；对于B，令即可得判断；对于C，令得，进而得判断；对于D，先求得为的一个周期，再结合周期性求解即可. 【详解】对于A，令，则，结合，解得； 令，则，故A正确； 对于B，令，则， 所以的图象关于直线对称，故B正确； 对于C，令，则，即， 由题意知不恒为零，所以，即，故为奇函数，且不恒为0，故C错误； 对于D，由，得，即， 所以，所以为的一个周期，所以4也是的一个周期， 所以，， 所以，故D正确. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若函数为奇函数，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】解法1：根据奇函数的定义，求出时的解析式，得到即可；解法2：利用即可求解． 【详解】解法1：当时，， 所以， 又为奇函数，所以，所以， 即当时，，所以，所以． 解法2：由题意得，即，所以． 13. 已知为偶函数，且在上单调递减，则满足不等式的的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用偶函数的性质将不等式转化为，再结合上的单调性脱去函数符号，求解对数不等式即得. 【详解】 因为是偶函数，则原不等式等价于， 又因在上单调递减，则得，即，解得. 故的取值范围为. 14. 表示不超过的最大整数，则集合中的元素个数为______． 【答案】76 【解析】 【分析】根据已知条件建立不等关系式，分两种情况，并进行计算. 【详解】令，当时，可得， 对于，对应的值分别为，且两两互异， 即都是集合的元素，共有个元素， 当时，，，，，， ，，因为，则值每次最多增加， 所以为集合的元素，共个元素， 则共个，所以集合的元素为个. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，． （1）若，求，； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）分别求出集合和集合，再根据集合的交并补运算，即可求解； （2）对的取值进行分类讨论，根据集合的交集为空集，列出不等式，即可求解. 【小问1详解】 当时，解方程得，即集合， 又不等式，即，解得，即集合， 所以， 又，所以，所以； 【小问2详解】 当时，，满足， 当时，解方程得，即集合， 又由（1）得集合， 若，则或， 解得或， 综上所述，的取值范围是. 16. 已知函数. （1）若有一个大于1的零点，求的取值范围； （2）解关于的不等式. 【答案】（1） （2）当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，解集为； 当时，原不等式的解集为. 【解析】 【小问1详解】 当时，，其零点为，不适合题意； 当时，令，解得， 由，解得. 综上，的取值范围为. 【小问2详解】 若，原不等式变为，所以， 即当时，原不等式的解集为. 若，方程的两根分别为， 当时，显然，所以原不等式的解集为； 当，即时，原不等式的解集为； 当，即时，原不等式的解集为； 当，即时，原不等式的解集为. 综上所述，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，解集为； 当时，原不等式的解集为. 17. 已知函数满足：，. （1）求的解析式； （2）设. （i）若，，求实数的取值范围； （ii）是否存在实数，使得关于的方程有个不同的实根？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）（i） （ii）不存在，由，得方程， 等价于，即. 令，要使关于的方程有两个相异实根，必有， 原方程化为，整理得， 要使原方程有个不同的实数根，则关于的方程在内有两个不同的实根， 令，则即 该不等式组无解，故不存在实数满足条件. 【解析】 【分析】（1）用方程组法：将换为得第二式，联立消去，求出； （2）（i）令，转化为含参不等式恒成立，分离参数后求函数最值，得范围；（ii）换元，将四根问题转化为二次方程在内有两根，用二次函数分布列不等式组判断无解. 【小问1详解】 因为，① 用替换，得，② 由②①，得. 【小问2详解】 （i）， 所以，故原不等式变为， 令，则，且，所以， 因为，所以，所以当时，， 所以，即的取值范围为. （ii）略 18. 已知函数，将曲线向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到曲线． （1）判断的奇偶性； （2）求的值； （3）若实数，满足，求的最大值． 【答案】（1）是奇函数 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）使用奇偶性的定义求解； （2）根据图像变化求出的函数解析式，分析的对称性求解； （3）根据的单调性求解. 【小问1详解】 由得，的定义域关于原点对称， ，所以是奇函数. 【小问2详解】 由题意知， ， 则. 【小问3详解】 的定义域为，在上单调递增， 由，，，得， 即，，由，当时等号成立，得，即， 故的最大值为. 19. 已知函数的定义域为，若对任意，且，及中任意两个实数，，恒有，则称函数为“函数”. （1）根据你对“函数”定义的理解完成下列两个小题： （i）判断函数是否为“函数”，并说明理由； （ii）在幂函数､指数函数和对数函数中各写出一个“函数”（不需要证明）； （2）若定义在上的函数是“函数”，求的取值范围； （3）若是定义域为的“函数”，证明：“，”是“，且，”的充要条件. 【答案】（1）（i）不是“函数”. 理由如下：记，若取， 则，而， 即，故不是“函数”. （ii）幂函数中的，指数函数中的，对数函数中的均为“函数”. 下面验证答案中所列三个函数均为“T函数”． 设，且． 对于幂函数，对任意，有，所以，故是“T函数”． 对于指数函数，令． 由，得． 因此，故是“T函数”． 对于对数函数，任取，记． 由得，所以． 因为，两边同除以后不等号方向改变，从而，故是“T函数”． （2） （3）证明：若存在实数，使得，显然是“函数”，且， 所以， 即存在，使得，所以充分性成立. 再证必要性. 若，且. 令，有，所以， 令，得，即， 令，得， 所以对任意整数. 记，则，所以对任意整数， 假设存在实数，使得，显然， 则存在整数，使得， 取， 则， 所以 取，则， 所以， 所以， 所以与假设矛盾， 所以不存在，使得，即对，所以必要性成立. 所以“”是“，且”的充要条件. 【解析】 【分析】（1）（i）按“T函数”的定义选取具体的 构造反例；（ii）分别代入所给幂函数、指数函数和对数函数，直接验证定义中的不等式． （2）按 与 分类．当 时化去绝对值并验证“T函数”定义；当 时选取特殊的 构造反例． （3）充分性直接代入验证；必要性先由函数等式得到 及整数倍点处的函数值，再结合“T函数”不等式对任意实数处的函数值进行夹逼，证明 ． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：， 当时，， 对，则， 所以 ， 所以，所以是“函数”； 当时，取， ， 所以，所以不是“函数”. 综上所述，的取值范围为. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：集合与常用逻辑用语，不等式，函数. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 命题“，”的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 声强级是表示声强度相对大小的物理量．定义为，单位为分贝（），其中为实际声强（单位：），为基准声强．居民区噪音执行《声环境质量标准》（GB 3096—2008）核心限值：纯居住或文教区昼间声强级不超过，夜间不超过；商住混合区昼间声强级不超过，夜间不超过．夜间时段为22：00至次日6：00．按此标准，若某商住混合区在19：00时的噪音不超标，则在此时此地，实际声强的最大值为（ ） A. B. C. D. 4. 若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数为上的增函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知集合，则“”是“”的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知，，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的最大值为，最小值为，若，则（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 二､选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知实数，，满足，则（ ） A. B. C. D. 10. 下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 11. 已知函数满足：，，且，则（ ） A. B. 直线为的图象的一条对称轴 C. 为偶函数 D. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若函数为奇函数，则___________. 13. 已知为偶函数，且在上单调递减，则满足不等式的的取值范围为______． 14. 表示不超过的最大整数，则集合中的元素个数为______． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，． （1）若，求，； （2）若，求的取值范围． 16. 已知函数. （1）若有一个大于1的零点，求的取值范围； （2）解关于的不等式. 17. 已知函数满足：，. （1）求的解析式； （2）设. （i）若，，求实数的取值范围； （ii）是否存在实数，使得关于的方程有个不同的实根？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由. 18. 已知函数，将曲线向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到曲线． （1）判断的奇偶性； （2）求的值； （3）若实数，满足，求的最大值． 19. 已知函数的定义域为，若对任意，且，及中任意两个实数，，恒有，则称函数为“函数”. （1）根据你对“函数”定义的理解完成下列两个小题： （i）判断函数是否为“函数”，并说明理由； （ii）在幂函数､指数函数和对数函数中各写出一个“函数”（不需要证明）； （2）若定义在上的函数是“函数”，求的取值范围； （3）若是定义域为的“函数”，证明：“，”是“，且，”的充要条件. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $