21.3 第2课时平均变化率、营销等问题-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(华东师大版·新教材)

第21章一元二次方程 第2课时平均变化率、营销等问题 自一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基▲ 1.*随着我国新能源汽车的生产技术不断提升，市场上某款新能源汽车的价格由今年3月的27万 元/辆下降到5月的24.3万元/辆.若价格继续下降，且月平均降价的百分率保持不变，则预计到 今年7月该款新能源汽车的价格将会 () A.低于22万元/辆 B.低于21.5万元/辆 C.超过22万元/辆 D.超过23万元/辆 2.随着直播浪潮的袭来，各行业都开始在电商直播市场中尝试并探索更多的方法，其中直播带货就 很受大众欢迎.某电商在网络直播平台上对一款成本价为50元的小商品进行直播销售，如果按 每件70元销售，每天可卖出10件.通过市场调查发现，小商品售价每降低1元，日销售量增加 2件.若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款小商品，每件售价应定为 元 3.舒境生活实际某青年旅社有60间客房供游客居住，在旅游旺季，当每间客房的定价为每天 200元时，所有客房都可以住满.每间客房定价每提高10元，就会有1间客房空闲，对有游客入 住的客房，旅社还需要对每间客房支出20元/天的维护费用，设每间客房的定价提高了x元， (1)填表（不需化简）： 入住的房间数量/间 房间价格/元 总维护费用/元 提价前 60 200 60×20 提价后 (2)若该青年旅社希望每天纯收入为14000元且能吸引更多的游客，则每间客房的定价应为多 少元（纯收入=总收入一维护费用）？ 月二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能 4.对于任意一个四位数，若千位上的数字与个位上的数字之积是百位上的数字与十位上的数字之 和的2倍，则称这个四位数为“共生数”.例如：四位数2156，.2×6=2×(1+5)，∴.2156是“共 生数”.有一个四位数为“共生数”，它的千位上的数字与个位上的数字相等，百位上的数字比千位 上的数字多3，十位上的数字比个位上的数字的一半少1，则这个“共生数”个位上的数字为() A.2 B.4 C.5 D.6 31 拔尖特训·数学（华师版）九年级上 5.某商店代销一批季节性服装，每套代销服装的成本为40元，当第一个月的售价为每套52元时， 可售出180套；根据市场变化提高第一个月的售价作为第二个月的售价，且售价每增加1元，销 售量将减少10套.若该商店预计要在这两个月的代销中获利4160元，则第二个月的售价为每 套 元. 6.舒情境生活实际某商家用1600元购进钥匙扣，800元购进相框，每个钥匙扣和每个相框的进价 之和为10元，且购进相框的数量是钥匙扣的2倍. (1)求每个钥匙扣和每个相框的进价 (2)该商家在销售过程中发现，当相框的售价为每个5元，钥匙扣的售价为每个15元时，平均每 天可售出40个相框，20个钥匙扣.据统计，钥匙扣的售价每降低0.5元，平均每天可多售出 5个，且降价幅度不超过20%.若该商家在保证相框的售价和销量不变且不考虑其他因素的情况 下，想使钥匙扣和相框平均每天的总获利为300元，则每个钥匙扣的售价为多少元？ ]三阶·思维拓展 深度探究创新，拓展思维▲ 7.每年九月是开学季，大多数学生会购买若干笔记本满足日常学习需要，校外某文具店老板开学前 某日去批发市场进货，购进甲、乙、丙三种不同款式的笔记本共950本，已知甲款笔记本的进价为 2元/本，乙款笔记本的进价是4元/本，丙款笔记本的进价是6元/本 (1)本次进货共花费3300元，并且甲款的笔记本数量是乙款笔记本数量的2倍，请问本次购进 丙款笔记本多少本？ (2)经过调研发现，甲款笔记本、乙款笔记本和丙款笔记本的零售价分别定为4元/本、6元/本和 10元/本时，每天可分别售出甲款笔记本30本，乙款笔记本50本和丙款笔记本20本.如果将乙 款笔记本的零售价提高公元（α>25），甲款笔记本和丙款笔记本的零售价均保持不变，那么乙款 笔记本每天的销售量将下降a%,丙款笔记本每天的销售量将上升a,甲款笔记本每天的销 量仍保持不变.若调价后每天销售三款笔记本共可获利260元，求a的值 32 “答案与解析”见PI6根.∴.假设不成立，即在点P、Q的运动过程中，不存在某 个时刻，使得△DPQ的面积是16cm. 4.C设当纸盒的高为xcm时，纸盒的底面积是130cm. 依短意，得2×(16-2)=130，化简，得2-24r+ 63=0,解得x1=3,x2=21.当x=3时，16一2x=10>0, 符合题意：当x=21时，16一2x=一260，不符合题意，舍 去.∴.纸盒的高为3cm. 5 设小路的宽为xm,则小正方形的边长为4xm.由 题意，得(30十4x十24+4x)x=99,解得x1=号，2 -（不合题意舍去.1小路的定为m 6.(1)(30一2x);(30一x).收纳盒底面ABCD的边 BC=(30-2)cm,AB=0,2=(30-x)cm.(2)根 2 据题意，得(30一2x)(30-x)=500,整理，得x2-45x十 200=0,解得x1=5,x2=40(不合题意，舍去).∴.该收纳 盒的高为5cm.(3)收纳盒底面ABCD的面积不可以是 900cm.理由：假设收纳盒底面ABCD的面积可以是 900cm,根据题意，得(30一2x)(30一x)=900,整理，得 x2-45x=0,解得x1=0,x2=45,x>0,30-2x>0, .0<x<15..x1=0,x2=45都不符合题意，舍去.∴收 纳盒底面ABCD的面积不可以是900cm 7.,在等腰直角三角形ABC中，AC=BC=6cm, ∴.∠A=45°，AB=6√2cm.(1)当点P在边AC上时，0≤ t≤3.由题意，得AP=2tcm,AQ=(6√2-√2t)cm.①当 ∠APQ=90时，易得AQ=√2AP.∴.6√2-√2t=2√2t, 解得t=2.②当∠AQP=90时，易得AP=√2AQ.∴.2t= √2(6√2-√2t),解得t=3.∴.当t=2或t=3时，△APQ 是直角三角形.(2)存在.①如图①，当点P在AC边上 时，0≤t≤3，过点P作PH⊥AB于点H.由题意，得AP= 2tcm,AQ=(6√2-√2t)cm.∴.易得PH=√2tcm Sm-A0,P明.（62-2)·212=8，解得 2 t=2或t=4(不合题意，舍去).②如图②，当点P在BC 边上时，连结AP,过点P作PH⊥AB于点H.由题意，得 3<t≤6，PB=(12-2t)cm,AQ=(6√2-√2t)cm.∴.易得 PH=（62-E)cmSA心=AQ;PH .2 :62,E=8,解得=6-22或4=6+2反（不合 2 题意，舍去).∴.当t=2或t=6-2√2时，△APQ的面积为 8 cm. ① ② (第7题) 第2课时平均变化率、营销等问题 1.A设月平均降价的百分率为x.根据题意，得27(1一 x)2=24.3..(1-x)2=0.9..今年7月该款新能源汽 车的价格为24.3(1一x)2=24.3×0.9=21.87(万元/辆). 方法归纳 增长率（或降低率）问题的规律 (1)增长率问题：设某数为a,平均增长率为x,则一 次增长后的值为a(1十x),两次增长后的值为a(1十 x)2,以此类推，n次增长后的值为a(1十x)”. (2)降低率问题：设某数为a,平均降低率为x,则一 次降低后的值为a(1一x),两次降低后的值为a(1一 x)2,以此类推，n次降低后的值为a(1一x)"。 2.55设每件售价应定为x元.根据题意，得(x一50)· [10+2(70-x)]=(70-50)×10,解得x1=55,x2=70. :商家想尽快销售完该款小商品，∴.x=55.∴.若日利润 保持不变，商家想尽快销售完该款小商品，每件售价应定 为55元. 3(1①60-：20+x:(60-0)×20.:每间容房定 价每提高10元，就会有1间客房空闲，∴·入住的房间数量 为(60-局)间，房间价格是(200+x)元，总维护费用是 [(60-0)×20]元 ,(2)依题意，得(200+x)（60- )-(60-0)×20=1400,整理，得x2-420x+ 32000=0,解得x1=320,x2=100.当x=320时，60一 =28当x=100时，60-。=50.当x=10时，能吸 10 引更多的游客，则每间客房的定价为200十100=300（元）. ,∴，每间客房的定价应为300元. 4.B设个位上的数字为x.根据题意，可得千位上的数字 为x,百位上的数字为x十3，十位上的数字为2x一1， :这个四位数是“共生数”，x2=2(x十3十号x-1小， 解得x,=4,x2=一1（不合题意，舍去）.∴.个位上的数字 为4. 5.60设第二个月的售价为每套x元(x>52),则销售量 为[180-10(x-52)]套.由题意，得180×(52-40)+(x 40)·[180-10(x-52)]=4160,解得x1=50(不合题意， 舍去)，x2=60.∴.第二个月的售价为每套60元. 6.(1)设每个钥匙扣的进价是x元，则每个相框的进价是 （10一元根据题意，得0×29第得=8经 检验，x=8是原分式方程的解，且符合题意.∴.10一x=2. ∴·每个钥匙扣的进价是8元，每个相框的进价是2元. (2)设每个钥匙扣的售价为m元.根据题意，得(m一8)· (20+5g×5）+40×6-2)=30整是，得m2 25m+154=0,解得m1=11,m2=14.:降价幅度不超过 20%,.15m≤20%..m≥12.m=14每个钥匙 15 扣的售价为14元. 7.(1)设购进乙款笔记本x本，则购进甲款笔记本2x本， 购进丙款笔记本(950一3x)本.根据题意，得2×2x十4x十 6(950一3x)=3300,解得x=240..950一3x=230..本 次购进丙款笔记本230本.(2)根据题意，得(4一2)× 30+(6+会-4)×50(1-a%)+(10-6)×20(1+ 7a%)]-260,整理，得a2-70u+100=0,解得a, 50,a2=20(不合题意，舍去).∴.a的值为50. 综合与实践2运用化归的思想方法 解决问题 1.0< 2x2-3x=x(2x-3),.2x2-3x<0 可化为x(2x一3)<0.由有理数的乘法法则“两数相乘，异 x0, x0, 号得负”，得① ② 解不等式组①， 2x-3<<0. 2x-3>0 得0<<号，解不等式组②，无解“不等式2x-3<0 的解集为0K<号 2.(1)x3+x2-2x=x(x2+x-2)=x(x+2)(x- 1)=0,∴.x=0或x十2=0或x-1=0.∴.x1=0,x2=一2， x3=1.(2)方程的两边平方，得2x十3=x2,即x2 2x-3=(x-3)(x十1)=0.∴.x-3=0或x+1=0. ∴.x1=3,x2=-1.当x=-1时，√2x+3=√=1≠ 一1，∴.x=一1不是原方程的解.∴.方程√2x+3=x的 解是x=3.(3):四边形ABCD是矩形，.∠A= ∠D=90°，AB=CD=3m.设AP=xm,则PD=(8 x)m..BP +CP=10 m,BP VAP2+ABZ,CP= √PD+CD,∴.wW9+x+√(8-x)+9=10. ∴.√(8-x)2十9=10一√9+x.两边平方，得(8一 x)+9=100-20√9+x2+9+x2.整理，得5√9十x2= 4x十9，两边平方并整理，得x2一8x十16=0，即(x一4)2= 0..x1=x2=4.经检验，x=4是方程的解..AP的长为 4m. 第21章拔尖自主测评 1.B设另一个根为n.:关于x的一元二次方程a.x2+ bx十c=0的两个根分别是1和-3，.-台-1-3=-2 a 关于x的方程a.x2+bx十c十m=0(m>0)有两个根，其 中一个根是4,4什m=一么=一2.1=一6，即另一个 根是-6. 2.A由题意，可得三个白色矩形的长为(80一x)米，三个 白色矩形的宽之和为(200一4x)米，三个白色矩形的面积 之和为(80X200×70%)平方米，∴.(80-x)(200-4x)= 80×200×70%. 3.Da=2x十1，b=2x-3,且1>-3，∴.a>b. .(2x+1)★(2x-3)=(2x-3)2-(2x+1)=4x2- 12x+9-2x-1=4x2-14x+8..4x2-14x十8=t,即 4x2一14x十(8一t)=0.·方程有两个不相等的实数根， ∴.△=(-14)2-4×4×(8-t)=196-128+16t=68+ 16>0,解得1>-17 41 4.B由题意，得△=(2m)2-4(m2-m)≥0.∴.m≥0. :关于x的一元二次方程x2十2mx十m2一m=0的两个 实数根为x1、x2,∴.x1十x2=一2m,x12=m2一m.又 x1x2=2,∴m2-m=2,即m2-m-2=0,解得m=