21.3 第1课时图形面积问题-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(华东师大版·新教材)

第21章一元二次方程 21.3实践与探索 第1课时 图形面积问题 山一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基▲ 1.教材变式题社区利用一块矩形空地ABCD修建了一个小型停车场，其布局如图所示，已知AD= 52m,AB=28m,涂色部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为xm的道路.若铺花 砖的面积为640m,则道路的宽是 () A.3m B.4m C.5m D.6m xm A fxm B (第1题) (第2题) 2.舒青境生活实际如图，小程的爸爸用一段10m长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长5.5m)的矩 形鸭舍，其面积为15m2,在鸭舍侧面中间位置留一个1m宽的门（由其他材料制成），则BC的长 为 m. 3.如图，在矩形ABCD中，AB=10cm,AD=8cm,点P从点A出发沿AB以2cm/s的速度向终 点B运动，同时点Q从点B出发沿BC以Icm/s的速度向终点C运动，当点P到达点B时，点 Q也停止运动. (1)出发几秒时，点P、D之间的距离是点P、Q之间的距离的2倍？ (2)连结DQ.在点P、Q的运动过程中，是否存在某个时刻，使得△DPQ的面积是16cm?若 存在，请求出运动时间；若不存在，请说明理由. (第3题) 刀二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能 4.如图①，有一张长32cm、宽16cm的矩形硬纸片，裁去角上2个小正方形和2个小矩形（图中涂色部 分)之后，恰好折成如图②所示的有盖纸盒.若纸盒的底面积是 单位：cm 130cm,则纸盒的高为 A.2 cm B.2.5 cm C.3 cm ① ② (第4题) D.4cm 29 拔尖特训·数学（华师版）九年级上 5.如图，准备在一个长30m、宽24m的矩形花圃内修建四条宽度相等且与各 30m 边垂直的小路，四条小路围成的中间部分恰好是一个小正方形，且边长是小 路宽的4倍.若四条小路所占的面积为99m,则小路的宽为 m. 24m 6.问题情境：在数学实践课上，老师让同学们就长方体收纳盒的制作展开了 讨论 (第5题) 如图①，矩形纸板的长为60cm,宽为30cm,将其纸板的四角剪去四个相同的小矩形，折叠成一 个如图②所示的有盖的长方体收纳盒，EF和HG恰好重合且无重叠部分： 解决问题：设收纳盒的高为xcm, (1)收纳盒底面ABCD的边BC= cm,AB= cm(用含x的代数式表示). (2)若收纳盒底面ABCD的面积为500cm2,求该收纳盒的高 (3)收纳盒底面ABCD的面积可以是900c吗？若可以，求出收纳盒的高；若不可以，请说明 理由. fG D E(H) B 4 ① ② (第6题) ]三阶·思维拓展 深度探究创新，拓展思维▲ 7.如图，在等腰直角三角形ABC中，AC=BC=6cm,点P从点A出发，沿A→C→B的方向以 2cm/s的速度向终点B运动，同时点Q从点B出发，沿B→A的方向以√2cm/s的速度向终点 A运动，连结PQ.当点P运动到点B时，两点均停止运动.运动时间记为ts,请解决下列问题： (1)若点P在边AC上，当t为何值时，△APQ为直角三角形？ (2)是否存在这样的t值，使△APQ的面积为8cm？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明 理由. (第7题) 30 >“答案与解析”见P153.(1)'关于x的一元二次方程x2-4x十(m-1)=0有 实数根，∴.△=（一4）2-4×1×(m一1)≥0，解得m≤5，即 m的取值范围是m≤5.(2)设该方程的另一个根为x2, 则(2-√5)十x2=4,解得x2=2+5.(2-5)(2+ √5)=m-1,∴.一1=m一1，解得m=0.∴.该方程的另一 个根是2十√5，m的值是0. 4.(1)根据题意，得△=(-2)2一4(m一2)≥0，解得m≤ 3.(2)根据题意，得x1十x2=2,x1x2=m一2，∴.3x1十 3x2一x1x2=3(x1十x2）-x1x2=6-(m-2)=-m+8. m≤3，∴.当m=3时，3x1十3.x2一x1x2的值最小，最小 值为-3+8=5. 5.(1)△=m2-4(m-2)=m2-4m+8=(m-2)2+ 4>0,∴.无论m取任何实数，此方程总有两个不相等的实 数根.(2)由根与系数的关系，得x,十x2=一m,x1x2= m-2.x十x2十m(x1十x2)=m2十1，∴.(x1+x2)2 2x1x2+m(x1+x2)=m2+1..∴.m2-2(m-2)-m2= m2+1.整理，得m2+2m-3=0,解得m=-3或m=1. 6.A四边形ABCD是矩形，∴.AC=BD.AC、BD 的长是关于x的方程x2一2m.x+1=0的两个实数根， ∴.方程x2一2mx十1=0有两个相等的实数根.∴.△= (一2m)2一4×1×1=0，即4m2一4=0，解得m=士1. AC=BD>0,即AC+BD=2m>0,∴.m>0.∴.m=1. 7.(1):关于x的一元二次方程2x2-(2k十1)x十 2k2=0(k为常数)有两个实数根，∴.△=[一(2k+1)门 4X2×2≥0，解得≥-子“k的取值范围是≥ -子(2)：方程2x-(2k+1Dx+2k=0的两个实 数根x1、x2是一个矩形的一组邻边的长，且矩形的面积为 8x1·x2= 2k2 =4k2=8,解得k,=√2，k2=-√2. 1 :k≥-子…6=厄 8.(1).△=[-(2k+1)]2一4(k2+k)=4k2+4k+1- 4k2一4=1>0，∴.方程有两个不相等的实数根 (2):'△ABC的两边AB、AC的长是这个方程的两个实 数根，∴.AB十AC=2k+1,AB·AC=+k.∠BAC 90°，BC=5,∴.AB+AC2=52,即(AB+AC)2-2AB· AC=25.∴.(2k+1)2-2(k2+k)=25,解得k1=-4,k2= 3.当k=一4时，AB+AC=2×(一4)+1=-7，不合题意， 舍去；当k=3时，AB十AC=2×3+1=7,符合题意.∴.k 的值为3. 9.(1),'m、n分别是等腰三角形ABC的腰长和底边长， .2m>n,且m>0,n>0..4m2>n2.又b2-4ac= (-2m)2-4X1×子n2=4m2-n2,6-4ac>0..这 个方程有两个不相等的实数根.(2)设x1、x2是方程的 两个实数根.由题意，得引x1一x2|=8.(x1一x2)2=64. .(x1十x2)2一4x1x2=64.由根与系数的关系，得x1十 0(2m)P-4×号2=64，即 1 x2=2m,x1x2= √m-一子=4设等腰三角无ABC底边上的高为A.根 据题意，由勾股定理易得h=√m一子=4.：Sm 2nh=号X4=16n=8(2m)2-4X是×8= 1 64,解得m1=4√2，m2=一4W2.当m=一4√2时，x1十 x2=2m=-8√2，不合题意，舍去.∴.m=4√2，n=8. 21.3实践与探索 第1课时图形面积问题 1.D由题意，得(52-2x)(28-2x)=640,整理，得x2- 40x十204=0，解得x1=34(不合题意，舍去)，x2=6.∴.道 路的宽是6m 25设BC的长为xm,则AB的长为2(10+1-x)m 根据题意，得2(10十1一x)x=15,解得x1=5,x2=6(不 合题意，舍去)..BC的长为5m. 3.(1)10÷2=5(s).设运动时间为t(0≤t≤5)s,则AP= 2tcm,BQ=tcm,PB=(10-2t)cm,CQ=(8-t)cm.根据 题意，得√AD2十AP2=2√PB2+BQ,整理得t一 10t十21=0，解得t1=3,t2=7.经检验，t,=3,t2=7均为 所列方程的解，t1=3符合题意，t2=7不符合题意，舍去. ∴出发3s时，点P、D之间的距离是点P、Q之间的距离 的2倍.(2)不存在.理由：假设存在，设此时运动时间为 x根据题意，得10X8-专×8·2x-号·(10-2)· ×10·(8-x)=16,整理，得x2-8x+24=0, x-2 :△=（一8）2一4×1×24=一32<0，.原方程没有实数 根.∴.假设不成立，即在点P、Q的运动过程中，不存在某 个时刻，使得△DPQ的面积是16cm. 4.C设当纸盒的高为xcm时，纸盒的底面积是130cm. 依短意，得2×(16-2)=130，化简，得2-24r+ 63=0,解得x1=3,x2=21.当x=3时，16一2x=10>0, 符合题意：当x=21时，16一2x=一260，不符合题意，舍 去.∴.纸盒的高为3cm. 5 设小路的宽为xm,则小正方形的边长为4xm.由 题意，得(30十4x十24+4x)x=99,解得x1=号，2 -（不合题意舍去.1小路的定为m 6.(1)(30一2x);(30一x).收纳盒底面ABCD的边 BC=(30-2)cm,AB=0,2=(30-x)cm.(2)根 2 据题意，得(30一2x)(30-x)=500,整理，得x2-45x十 200=0,解得x1=5,x2=40(不合题意，舍去).∴.该收纳 盒的高为5cm.(3)收纳盒底面ABCD的面积不可以是 900cm.理由：假设收纳盒底面ABCD的面积可以是 900cm,根据题意，得(30一2x)(30一x)=900,整理，得 x2-45x=0,解得x1=0,x2=45,x>0,30-2x>0, .0<x<15..x1=0,x2=45都不符合题意，舍去.∴收 纳盒底面ABCD的面积不可以是900cm 7.,在等腰直角三角形ABC中，AC=BC=6cm, ∴.∠A=45°，AB=6√2cm.(1)当点P在边AC上时，0≤ t≤3.由题意，得AP=2tcm,AQ=(6√2-√2t)cm.①当 ∠APQ=90时，易得AQ=√2AP.∴.6√2-√2t=2√2t, 解得t=2.②当∠AQP=90时，易得AP=√2AQ.∴.2t= √2(6√2-√2t),解得t=3.∴.当t=2或t=3时，△APQ 是直角三角形.(2)存在.①如图①，当点P在AC边上 时，0≤t≤3，过点P作PH⊥AB于点H.由题意，得AP= 2tcm,AQ=(6√2-√2t)cm.∴.易得PH=√2tcm Sm-A0,P明.（62-2)·212=8，解得 2 t=2或t=4(不合题意，舍去).②如图②，当点P在BC 边上时，连结AP,过点P作PH⊥AB于点H.由题意，得 3<t≤6，PB=(12-2t)cm,AQ=(6√2-√2t)cm.∴.易得 PH=（62-E)cmSA心=AQ;PH .2 :62,E=8,解得=6-22或4=6+2反（不合 2 题意，舍去).∴.当t=2或t=6-2√2时，△APQ的面积为 8 cm. ① ② (第7题) 第2课时平均变化率、营销等问题 1.A设月平均降价的百分率为x.根据题意，得27(1一 x)2=24.3..(1-x)2=0.9..今年7月该款新能源汽 车的价格为24.3(1一x)2=24.3×0.9=21.87(万元/辆). 方法归纳 增长率（或降低率）问题的规律 (1)增长率问题：设某数为a,平均增长率为x,则一 次增长后的值为a(1十x),两次增长后的值为a(1十 x)2,以此类推，n次增长后的值为a(1十x)”. (2)降低率问题：设某数为a,平均降低率为x,则一 次降低后的值为a(1一x),两次降低后的值为a(1一 x)2,以此类推，n次降低后的值为a(1一x)"。 2.55设每件售价应定为x元.根据题意，得(x一50)· [10+2(70-x)]=(70-50)×10,解得x1=55,x2=70. :商家想尽快销售完该款小商品，∴.x=55.∴.若日利润 保持不变，商家想尽快销售完该款小商品，每件售价应定 为55元. 3(1①60-：20+x:(60-0)×20.:每间容房定 价每提高10元，就会有1间客房空闲，∴·入住的房间数量 为(60-局)间，房间价格是(200+x)元，总维护费用是 [(60-0)×20]元 ,(2)依题意，得(200+x)（60- )-(60-0)×20=1400,整理，得x2-420x+ 32000=0,解得x1=320,x2=100.当x=320时，60一 =28当x=100时，60-。=50.当x=10时，能吸 10 引更多的游客，则每间客房的定价为200十100=300（元）. ,∴，每间客房的定价应为300元.