第三章 专题07 函数的应用（一）专项训练（7大题型24题）-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

高中数学·题型专项训练系列 专题07 函数的应用（一）（7大题型24题）（解析版） 高一数学上学期 人教A版（2019） 题型归纳 · 内容导航 题型一　一次函数模型与阶梯计费问题（常考点） 题型二　函数图象信息题（常考点） 题型三　二次函数模型与最值（重点） 题型四　分段函数模型（含利润最大问题）（难点） 题型五　对勾函数（基本不等式）型模型（重点） 题型六　函数模型的选择与拟合（常考点） 题型七　方案比较与含参数的恒成立问题（拔高） 题型通关 · 靶向提分 题型一　一次函数模型与阶梯计费问题（共4小题） 【知识积累】 一次函数模型：，增长（减少）的速度保持不变；“与……成正比”“每增加……就增加……”一般用一次函数表示。 阶梯计费（分段计价）：按用量所在区间分段写出解析式，每一段都是一次函数。已知费用求用量时，先算出各分界点处的费用，判断所给费用落在哪一段，再列方程求解。 【典例】 1．为了节约用电，某城市对居民生活用电实行“阶梯电价”，其计费方法如下：每户每月用电量不超过200度时，按0.5元/度计费；超过200度但不超过400度时，超过200度的部分按0.7元/度计费；超过400度时，超过400度的部分按0.9元/度计费.若某户居民本月缴纳电费为元，则该户居民本月用电量为（　　）（25-26高一上·安徽阜阳·期末） A．400度 B．420度 C．440度 D．460度 【答案】C 【分析】根据计费方法，结合已知数据，即可直接求得结果. 【详解】设用电量为度，电费为元. 当时，，该档位下的最大电费为100元； 当时，， 当时，元，即该档位下的最大电费为元； 当时，. ，解得. 故选：C. 【变式训练】 2．某城市居民生活用电实行阶梯电价，计费方法如下表：（25-26高一上·山西长治·期末） 每户每月用电量 电费单价 不超过150度的部分 0.5元/度 超过150度但不超过250度的部分 0.6元/度 超过250度的部分 0.8元/度 若某户居民某月交纳电费145元，则该月用电量为___________度． 【答案】 【分析】根据题意列出分段函数，判断出所交电费对应用电量的范围，列方程求解即可. 【详解】设该月用电量为度，缴纳电费元， 则， 即. 当时，最大值为；当时，最大值为； 因为某户居民某月交纳电费元，所以用电量应满足. 令，解得度. 故该月用电量为度. 3．为了保护水资源，提倡节约用水，某市对居民生活用水实行“阶梯水价”，计费方法如下表：若某户居民某月的用水量为m3，其缴纳的水费为元，则（    ）（25-26高一上·安徽安庆·期末） 每户每月用水量 水价 不超过12m3的部分 3元/ m3 超过12m3但不超过18m3的部分 6元/ m3 超过18m3的部分 9元/ m3 A． B．当时， C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】对A，阶梯水价需累计计算各段费用，计算比较可判断；对B，根据分段函数代入求值判断；对C、D，根据分段函数列出所有可能求解判断. 【详解】对于A：根据题意，当时，水价， 当时，， 所以阶梯水价的正确分段函数应为，A错误； 对于B：当时，，B错误； 对于C：若，则①或②或③， ①③无解，由②解得，C正确； 对于D：若，则④或⑤或⑥， ④⑤无解，由⑥解得，D错误； 故选：C. 4．大气中的温度随着高度的上升而降低，根据实测的结果上升到12km为止，温度的降低大体上与升高的距离成正比，在12km以上温度一定，保持在℃.（26-27高一上·全国·课后作业） (1)当地球表面大气的温度是a℃时，在xkm的上空为y℃，求时，a，x，y间的函数关系式； (2)当地球表面大气的温度是29℃时，3km上空的温度是多少？ 【答案】(1)（）． (2)8℃. 【分析】（1）结合题意，可先设（），即，结合时，，利用待定系数法可求出k，至此可确定温度随高度变化的函数关系式； （2）依题意可得，，代入（1）中得到的函数关系式，计算可得结论. 【详解】（1）由题意，设（） 即. ∵当时，，∴， 解得， ∴当时，， ∴所求的函数关系式为（）． （2）当，时， （℃）， 即当地球表面大气的温度是29℃时，3km上空的温度是8℃. 题型二　函数图象信息题（共3小题） 【知识积累】 读图要点：先看清横轴、纵轴分别表示什么量及单位；图象上升表示该量增加，下降表示减少，水平线段表示保持不变。 路程—时间图象：图象越陡，速度越快；直线段表示匀速运动；多个过程叠加（如进水与出水同时进行）时，用“速度之差”判断蓄水量的变化。 【典例】 5．某市开通“招手即停”公共汽车，票价按下列规则制定：（25-26高一下·湖南长沙·期中） （1）5以内（含5）票价2元， （2）5以上，每增加5，票价增加1元，（不足5的按5计算） 第一期开通的路线为20，请根据题意，选出票价与里程之间的函数图象（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意写出分段函数解析式，从而可选出符合函数的图象. 【详解】依题意可得：  ，做出图象，选D. 【变式训练】 6．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图象可能是（   ）（2026高三·全国·专题练习） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意分析各个阶段的路程与时间之间的关系可排除其它选项． 【详解】由这一过程中汽车的速度变化可知，速度由小变大→保持匀速→由大变小， 速度由小变大时，路程随时间变化的曲线上升得越来越快，曲线显得越来越陡峭； 匀速行驶时，路程随时间变化的曲线上升速度不变； 速度由大变小时，路程随时间变化的曲线上升得越来越慢，曲线显得越来越平缓， 故排除选项B、C、D． 7．一水池有2个进水口，1个出水口，每个进水口的进水速度如图甲所示，出水口的出水速度如图乙所示.某天从到，该水池的蓄水量如图丙所示，则下列说法正确的有（    ）（25-26高一上·陕西汉中·期末） A．到只进水不出水 B．到不进水只出水 C．到有一个进水口关闭 D．到不进水不出水 【答案】AC 【分析】根据图甲、图乙得到进水速度和出水速度，再结合图丙中不同时间段蓄水量的变化情况，对每个选项分析判断. 【详解】由甲、乙两图可得进水速度为1，出水速度为2， 由图丙知到的蓄水量为，即每小时的进水量为， 所以到只进水不出水，A正确； 由图丙知，到蓄水量减少了， 所以有一个进水口进水，同时出水口出水，即有一个进水口关闭，故B错误，C正确； 由图丙知，到蓄水量不变，所以可能是不进水也不出水， 也可能是2个进水口进水，同时1个出水口出水，故D错误. 故选：AC. 题型三　二次函数模型与最值（共5小题） 【知识积累】 建模步骤：设出变量，用题中数量关系写出 ，并根据实际意义写出定义域（如数量为正整数、长度为正数）。 求最值：配方或用对称轴 求最值；对称轴不在定义域内时，用单调性在区间端点处求最值。 常见关系：利润 销售收入 成本；单价每降低（升高）1 元，销量就增加（减少）若干件时，常设降价（涨价） 元。 【典例】 8．企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为（万元），一万件的售价是30万元．若商品能全部卖出，则该企业一个月生产该商品的最大利润为________万元．（26-27高一上·全国·课堂例题） 【答案】159 【详解】由题意得： 利润 故最大利润为159万元. 【变式训练】 9．某型号汽车在某种路面的刹车距离米与汽车车速公里小时的关系式是，若该车在行驶过程中发现前面米处有障碍物，这时为了能在离障碍物不少于米处停车，则该汽车的最大速度为__________．（25-26高一下·安徽滁州·开学考试） 【答案】公里小时 【分析】由题意得到，求解即可. 【详解】若该车在行驶过程中发现前面米处有障碍物，且能在离障碍物不少于米处停车， 则， 解得， 即该汽车的最大速度为公里小时. 10．某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，为了降低消耗，现要从这些边角料上截取矩形铁片（如图所示）．当截取的矩形面积最大时，矩形两边的长x，y应为（　　）（26-27高一上·全国·课后作业） A．x＝15 B．x＝12 C．y＝12 D．y＝14 【答案】AC 【分析】先根据三角形的性质得出关系式，进而得到面积关于的二次函数，再求二次函数的最值即可. 【详解】由三角形相似得，得， 矩形铁片的面积， 所以当时，S最大，此时. 故时，取最大值． 11．某企业生产一种机器的固定成本为万元，但每生产台时又需可变成本万元，市场对此商品的年需求量为台，销售收入函数为(万元) ，其中是产品的年产量单位：百台，则下列说法正确的是（    ）（25-26高一上·河北沧州·期末） A．利润表示为年产量的函数为 B．当年产量为台时企业所得的利润最大，为万元 C．当年产量(单位：百台时，企业不亏本 D．企业不亏本的最大年产量为台 【答案】BC 【分析】根据题意列出分段函数解析式判断A，分段函数分段求最值再比较判断B，令，解分段函数不等式即可判断CD. 【详解】对A，当时，；当时，； 故，A错误； 对B，当时，，故当时，取到最大值； 当时，，故当年产量为475台时年利润最大，最大为万元，B正确； 对C、D，不亏本即，当时，，解得； 当时，，解得； 故时，企业才不亏本，企业不亏本的最大年产量为4800台，故C正确，D错误. 故选：BC. 12．第九届亚洲冬季运动会于2025年2月7日至2月14日在我国哈尔滨举办，此次亚冬会上中国体育代表团获得32枚金牌、85枚奖牌，名列金牌榜和奖牌榜首位．亚冬会结束后，人们对冰雪的热爱不减，亚冬会周边纪念品依然十分畅销．某商家以每套30元的价格购进一批纪念品套件．若该纪念品每套的售价是40元时，每天可售出60套；若每套的售价每降价1元，则每天可以多卖10套．（26-27高一上·全国·课堂例题） (1)设纪念品每套降价元，求该纪念品的销售量与之间的函数解析式． (2)求每套纪念品的售价定为多少元时，每天销售纪念品套件所获的利润W最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1). (2)每套售价定为38元时，每天利润最大，最大利润是640元． 【分析】（1）根据题意，用含有的式子将销售量表示出来，得到函数的解析式，即可求解． （2）根据总利润等于单件利润乘以销售量，可得到函数关系式，再利用二次函数的性质，求得的最值，即可求解， 【详解】（1）解：该纪念品每套的售价是40元时，每天可售出60套， 若每套的售价每降价1元，则每天可以多卖10套， 根据题意，可知当纪念品每套降价元时，每天可以多卖套， 因为商家以每套30元的价格购进，所以且，即， 则销售量与之间的函数解析式为. （2）解：根据题意，可知当纪念品每套降价元时，售价为元， 由（1）可知每天销售量为套， 则， 所以当时，取最大值为，故售价为元， 即每套售价为元时，每天的利润最大，最大利润为元. 题型四　分段函数模型（含利润最大问题）（共4小题） 【知识积累】 建模：不同范围内对应关系不同时，分段写出解析式，各段端点不重不漏；利润 销售收入 固定成本 可变成本，注意单位统一（如万件与元、万元的换算）。 求最值：先分别求出每一段上的最大（小）值：二次函数段配方，含“”的一段用基本不等式或单调性；再比较各段，较大（小）者为所求。自变量只能取正整数（如天数）时，最值在整数点处取得。 【典例】 13．“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明，“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度（单位：千克/年）是养殖密度（单位：尾/立方米）的函数．当时，的值为2千克/年；当时，是的一次函数；当时，因缺氧等原因，的值为0千克/年．（25-26高一上·山东济南·自主招生） (1)当时，求函数关于的函数解析式； (2)当养殖密度为多大时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）可以达到最大？求出最大值． 【答案】(1) (2)当养殖密度为10时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为千克/立方米 【分析】（1）根据给定条件，利用待定系数法求出函数解析式. （2）由（1）求出年生长量函数，再分段求出最大值并比较大小即可. 【详解】（1）依题意，当时，关于的函数解析式为； 当时，设关于的函数解析式为， 将代入，得，解得， 当时，关于的函数解析式为， 所以函数关于的函数解析式为. （2）设年生长量为， 依题意，， 当时，，随的增大而增大， 因此当时，取得最大值，最大值； 当时，， 当且仅当时取等号，而，即的最大值为， 所以当养殖密度为10时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为千克/立方米. 【变式训练】 14．某工艺品销售店为了更好地进行工艺品售卖，进行了销售情况调研，发现销售收入与时间关系因销售方式不同而不同.该工艺品在过去一个月（以30天计）内网上销售日收入（单位：元）与时间（单位：天）满足关系式；线下门店销售日收入（单位：元）与时间t（单位：天）满足关系式：，两种销售方式互不干扰，同时销售.（25-26高一上·湖北十堰·期末） (1)求过去一个月内有多少天销售日收入不低于6000元； (2)求这一个月内该工艺品在哪一天销售日收入最大，最大值是多少? 【答案】(1)27 (2)，最大值为6900元 【分析】（1）由解不等式即可求解； （2）由和分别计算最值即可求解. 【详解】（1）依题意有， ∴ ∴当时，，解得； ∴当时，，即， 又在单调递减，在单调递增， 当时，， 当时，， 即当时，恒成立， ∴. 综上有，共27天高于6000元. （2）由（1）知当时， ∵时取最小值，∴时取最大值，. 当时， 当且仅当时，取得最大值6900， 综上可知：当时有最大值，最大值为6900元. 15．为推动县域经济发展，某县计划建一农产品加工厂．经市场调研，生产需投入年固定成本为10万元，每生产万件产品，需另投入的流动成本为万元，在年产量不足10万件时，（万元），在年产量不小于10万件时，（万元），每件产品的售价为8元，且该厂生产的产品当年能全部售完．（25-26高一上·四川遂宁·期末） (1)写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式； （注：年利润年销售收入-固定成本-流动成本） (2)当年产量为多少万件时，该厂所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)万件，最大利润为万元 【分析】（1）根据题意，分别求得和时，函数的解析式，进而得到函数的解析式； （2）当时，利用二次函数的性质，求得万元；当时，利用基本不等式，求得万元，进而得到答案. 【详解】（1）由题意知，当时，； 当时，， 所以. （2）当时，， 此时是开口向下的二次函数，且对称轴为， 所以在区间单调递增，当时，万元； 当时，， 因为，当且仅当时，即时，等号成立， 所以万元， 所以当年产量为万件时，利润最大，最大利润为万元. 16．某医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品，已知生产该产品的年固定成本为300万元，最大产能为100台，每生产台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完.（25-26高一上·上海·期末） (1)写出年利润万元关于年产量台的函数解析式（利润销售收入-成本）； (2)当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1) (2)该产品的年产量为60台时，公司所获利润最大，最大利润是1680万元 【分析】（1）分和两种情况，结合题意求分段函数解析式； （2）分和两种情况，结合二次函数和基本不等式运算求解. 【详解】（1）当时，可得 ； 当时，可得； 所以. （2）若，则， 所以当时，万元； 若，则， 当且仅当，即台时，等号成立，万元； 因为，所以该产品的年产量为60台时，公司所获利润最大，最大利润是1680万元. 题型五　对勾函数（基本不等式）型模型（共3小题） 【知识积累】 对勾函数型：，当 时 ，当且仅当 时取等号。 取不到等号时：若 不在定义域内，改用单调性：函数在 上单调递减，在 上单调递增。 平均量问题：平均成本、年平均盈利额等，先写出总量，再除以数量，化成对勾函数的形式求最值。 【典例】 17．某建筑公司用8000万元购得一块空地，计划在该地块上建筑一栋至少12层，每层4000平方米的楼房.经初步估计得知，如果将楼房建为层，则每平方米的平均建筑费用为（单位：元）.则楼房每平方米的平均综合费用的最小值是________元.（注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用）（25-26高一上·天津北辰·阶段检测） 【答案】 【分析】根据题意建立楼房每平方米的平均综合费用的函数关系，利用基本不等式求解即可. 【详解】设楼房每平方米的平均综合费用为元，依题意得：，， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以当时，取得最小值（元） 故答案为： 【变式训练】 18．在人工智能分拣系统中，自动化流水线每小时能够处理的快递包裹数量叫作分拣吞吐量．某物流智能分拣线的吞吐量满足关系式：（），其中为传送带的运行速度（单位：），则这条分拣线吞吐量的最大值为（     ）（25-26高二下·河北·期末） A．90 B．110 C．135 D．160 【答案】A 【详解】（）， 因为，当且仅当，即时，等号成立， 所以，. 所以当时，这条分拣线吞吐量取得最大值，最大值为. 19．为实行垃圾分类，节约使用资源，某企业拟新建一座垃圾回收处理站用于垃圾处理.已知该企业原来每年花费36万元用于垃圾处理，而新建的垃圾回收处理站可使用20年.建造垃圾回收处理站的费用（单位：万元）与垃圾回收处理站的面积（单位：）成正比，比例系数约为.已知该企业每年花费的垃圾处理费用（单位：万元）与垃圾回收处理站的面积（单位：）之间的函数关系是（，为常数）.记该企业建造这座垃圾回收处理站的费用与建造后20年所花费的垃圾处理费用之和为（单位：万元）.（26-27高一上·辽宁·期中） (1)写出关于的函数关系式； (2)当为何值时，最小？求出的最小值. 【答案】(1) (2)时，最小，最小值为 万元 【分析】（1）先由时求出，再结合建造费用和20年垃圾处理费用，构建关于的函数即可； （2）利用均值不等式即可求出的最小值及此时的值. 【详解】（1）因为该企业原来每年花费36万元用于垃圾处理， 即时，，所以，即， 由题意，建造垃圾回收处理站的费用为， 因为每年花费的垃圾处理费用为万元， 那么20年所花费的垃圾处理费用为万元， 因此. （2）因为， 当且仅当，即时取等号， 所以时，最小，最小值为万元. 题型六　函数模型的选择与拟合（共2小题） 【知识积累】 选模型：根据数据或图象的变化趋势选择：增长速度不变选一次函数；先增后减（或先减后增）选二次函数或 型；增长越来越慢可选 型。 求解析式：用待定系数法，代入两组（或三组）数据求出参数，再用其余数据检验所选模型是否合适。 【典例】 20．某公司为提高企业经济效益，大力进行新产品研发，现计划投入100万元，全部用于甲、乙两种产品的研发.在对市场进行调研分析后发现，甲产品的利润（单位：万元）与研发投入（单位：万元）之间满足，乙产品的利润（单位：万元）与研发投入（单位：万元）之间的关系如下表所示.（24-25高一上·贵州遵义·阶段检测） （万元） 4 9 16 25 （万元） 26 34 42 50 (1)根据以上表格中的数据判断：与哪一个更适宜作为与的函数模型？（不需要说明理由） (2)请根据表格数据求出所选模型的函数解析式； (3)试问如何安排甲、乙两种产品的研发投入，才能使总利润最大？ 【答案】(1)选用； (2)； (3)甲、乙两种产品的研发投入分别为36（万元），64（万元）. 【分析】（1）将表中前两个点的函数值分别代入函数表达式中求解系数，再利用后两个点的函数值验证即可. （2）直接代入前两个值求解表达式系数即可. （3）设乙产品的研发投入为x万元，列出总利润和x的关系，结合利用换元法转化为一元二次函数即可求解. 【详解】（1）若选，代入，得， 代入，得，联立解得， 而当时，，不符合表格中数据； 若选，代入，得， 代入，得，联立解得， 而当时，，当时，，符合题意， 所以更适宜作为函数模型. （2）由（1）知，在中，， 所以函数表达式为. （3）设乙产品的研发投入为x万元（），则甲产品的研发投入为万元， 总利润 ，当且仅当，即时取等号， 则甲产品的研发投入为（万元）， 所以甲、乙两种产品的研发投入分别为36（万元），64（万元），可使总利润最大. 【变式训练】 21．某工艺品售卖店，为了更好地进行工艺品售卖，进行了销售情况的调查研究.通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去一个月（以30天计），每件的销售价格（单位：元）与时间第天的函数关系近似满足，日销售量（单位：件）与时间第天的部分数据如下表所示：（25-26高一上·辽宁抚顺·期末） 10 15 20 25 30 50 55 60 55 50 已知第20天的日销售收入为603元. (1)求； (2)给出以下两个函数模型：①；②为常数）根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述在过去一个月内日销售量与时间第天的变化关系，并求出该函数解析式及定义域； (3)设在过去一个月内该工艺品的日销售收入为（单位：元），求的最小值. 【答案】(1) (2)且定义域为 (3)441元. 【分析】（1）根据可求的值，从而可求； （2）根据表格中数据的增减性可选择，代入后可求的值，从而可求及其定义域. （3）根据可得分段函数的解析式，结合基本不等式和单调性可求其最小值. 【详解】（1）由题意，，可得， 则. （2）由表格数据知：日销售量随时间先增后减，显然①不符合， 所以，选②， 则，可得，即， 综上，且定义域为 （3）由题意 所以 当， 当且仅当时取等号，此时最小值为441元. 当在上单调递减， 此时最小值为元, 综上，的最小值是441元. 题型七　方案比较与含参数的恒成立问题（共3小题） 【知识积累】 方案比较：分别写出两种方案的函数解析式，作差比较或分别求最值后比较。 恒成立：“无论 取何值，方案二都更优”即 对定义域内的 恒成立，常分离参数化为 恒成立，即 ，再用基本不等式或单调性求 的最小值。 【典例】 22．某校计划利用其一侧原有墙体，建造高为1.5米，底面积为100平方米，且背面靠墙的长方体形状的露天劳动基地，靠墙那面无需建造费用，因此甲工程队给出的报价如下：长方体前面新建墙体的报价为每平方米320元，左、右两面新建墙体的报价为每平方米160元，地面以及其他报价共计9600元.设劳动基地的左、右两面墙的长度均为（）米，原有墙体足够长.（25-26高三上·安徽淮北·期中） (1)当左面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？ (2)现有乙工程队也参与该劳动基地的建造竞标，其给出的整体报价为（）元，若无论左面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功（约定整体报价更低的工程队竞标成功），求的取值范围. 【答案】(1)10米 (2) 【分析】（1）由题意建立甲工程队报价与左面墙的长度间的函数关系，再根据基本不等式求得最低报价及对应的左面墙的长度； （2）利用（1）的结论，列出不等式，分离参数，并根据基本不等式求得的取值范围. 【详解】（1）设甲工程队的总报价为元， 依题意，左、右两面墙的长度均为（）米， 则长方体前面新建墙体的长度为米， 所以， 即， 当且仅当，即时，等号成立. 故当左面墙的长度为10米时，甲工程队的报价最低，且最低报价为19200元. （2）由题意可知，， 即对任意的恒成立， 所以，可得，即. ， 当且仅当，即时，取最小值36. 所以，即的取值范围是. 【变式训练】 23．现在要装修一间高为4米，底面积为30平方米的长方体形状的书房（书房只有一面有窗），有窗的那面长为米（）.现有两支装修队给出了报价，A的报价方案为：有窗的墙体每平方米300元，普通的三面墙体每平方米200元，屋顶和地面以及其他共计18000元；B给出总价为万元（）.若B要确保拿到装修资格，则实数的取值范围是______.（25-26高一上·上海·阶段检测） 【答案】 【分析】先求出的报价，根据的报价低于的报价列式，分离参数，可得，再设，利用函数的单调性求其最小值，进而可得的取值范围. 【详解】若有窗墙体的长为米，则左右宽度为， 则A的报价为 （元）， B给出的总价为元. 由 . 因为，所以函数在上单调递增， 且当时，， 故， 由 ，所以实数的取值范围是. 故答案为： 24．某果园有果农200名，年人均创造利润20万元，为适应水果市场的需求，选出名果农进行新品种果树的嫁接培养，选出的果农平均每人每年创造利润为万元（）；剩余果农对原有的果树进行淘汰和优化，平均每人每年创造的利润可以提高.（25-26高一上·四川绵阳·期末） (1)若剩余果农创造的年总利润不低于原来200名果农创造的年总利润，则最多选出多少名果农进行新品种果树的嫁接培养； (2)若选出的果农创造的年总利润始终不高于剩余果农创造的年总利润，则m的取值范围是多少. 【答案】(1)最多选出100名果农进行新品种果树的嫁接培养. (2) 【分析】（1）根据题意列出不等式，进行求解即可. （2）根据题意列出不等式，然后根据基本不等式的性质计算即可. 【详解】（1）由题意得，解得. 所以最多选出100名果农进行新品种果树的嫁接培养. （2）由题意得，化简得. 因为，当且仅当，即时等号成立. 所以，则. 又因为，所以的取值范围是. 第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 $高中数学·题型专项训练系列 专题07 函数的应用（一）（7大题型24题）（原卷版） 高一数学上学期 人教A版（2019） 题型归纳 · 内容导航 题型一　一次函数模型与阶梯计费问题（常考点） 题型二　函数图象信息题（常考点） 题型三　二次函数模型与最值（重点） 题型四　分段函数模型（含利润最大问题）（难点） 题型五　对勾函数（基本不等式）型模型（重点） 题型六　函数模型的选择与拟合（常考点） 题型七　方案比较与含参数的恒成立问题（拔高） 题型通关 · 靶向提分 题型一　一次函数模型与阶梯计费问题（共4小题） 【知识积累】 一次函数模型：，增长（减少）的速度保持不变；“与……成正比”“每增加……就增加……”一般用一次函数表示。 阶梯计费（分段计价）：按用量所在区间分段写出解析式，每一段都是一次函数。已知费用求用量时，先算出各分界点处的费用，判断所给费用落在哪一段，再列方程求解。 【典例】 1．为了节约用电，某城市对居民生活用电实行“阶梯电价”，其计费方法如下：每户每月用电量不超过200度时，按0.5元/度计费；超过200度但不超过400度时，超过200度的部分按0.7元/度计费；超过400度时，超过400度的部分按0.9元/度计费.若某户居民本月缴纳电费为元，则该户居民本月用电量为（　　）（25-26高一上·安徽阜阳·期末） A．400度 B．420度 C．440度 D．460度 【变式训练】 2．某城市居民生活用电实行阶梯电价，计费方法如下表：（25-26高一上·山西长治·期末） 每户每月用电量 电费单价 不超过150度的部分 0.5元/度 超过150度但不超过250度的部分 0.6元/度 超过250度的部分 0.8元/度 若某户居民某月交纳电费145元，则该月用电量为___________度． 3．为了保护水资源，提倡节约用水，某市对居民生活用水实行“阶梯水价”，计费方法如下表：若某户居民某月的用水量为m3，其缴纳的水费为元，则（    ）（25-26高一上·安徽安庆·期末） 每户每月用水量 水价 不超过12m3的部分 3元/ m3 超过12m3但不超过18m3的部分 6元/ m3 超过18m3的部分 9元/ m3 A． B．当时， C．若，则 D．若，则 4．大气中的温度随着高度的上升而降低，根据实测的结果上升到12km为止，温度的降低大体上与升高的距离成正比，在12km以上温度一定，保持在℃.（26-27高一上·全国·课后作业） (1)当地球表面大气的温度是a℃时，在xkm的上空为y℃，求时，a，x，y间的函数关系式； (2)当地球表面大气的温度是29℃时，3km上空的温度是多少？ 题型二　函数图象信息题（共3小题） 【知识积累】 读图要点：先看清横轴、纵轴分别表示什么量及单位；图象上升表示该量增加，下降表示减少，水平线段表示保持不变。 路程—时间图象：图象越陡，速度越快；直线段表示匀速运动；多个过程叠加（如进水与出水同时进行）时，用“速度之差”判断蓄水量的变化。 【典例】 5．某市开通“招手即停”公共汽车，票价按下列规则制定：（25-26高一下·湖南长沙·期中） （1）5以内（含5）票价2元， （2）5以上，每增加5，票价增加1元，（不足5的按5计算） 第一期开通的路线为20，请根据题意，选出票价与里程之间的函数图象（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 6．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图象可能是（   ）（2026高三·全国·专题练习） A． B． C． D． 7．一水池有2个进水口，1个出水口，每个进水口的进水速度如图甲所示，出水口的出水速度如图乙所示.某天从到，该水池的蓄水量如图丙所示，则下列说法正确的有（    ）（25-26高一上·陕西汉中·期末） A．到只进水不出水 B．到不进水只出水 C．到有一个进水口关闭 D．到不进水不出水 题型三　二次函数模型与最值（共5小题） 【知识积累】 建模步骤：设出变量，用题中数量关系写出 ，并根据实际意义写出定义域（如数量为正整数、长度为正数）。 求最值：配方或用对称轴 求最值；对称轴不在定义域内时，用单调性在区间端点处求最值。 常见关系：利润 销售收入 成本；单价每降低（升高）1 元，销量就增加（减少）若干件时，常设降价（涨价） 元。 【典例】 8．企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为（万元），一万件的售价是30万元．若商品能全部卖出，则该企业一个月生产该商品的最大利润为________万元．（26-27高一上·全国·课堂例题） 【变式训练】 9．某型号汽车在某种路面的刹车距离米与汽车车速公里小时的关系式是，若该车在行驶过程中发现前面米处有障碍物，这时为了能在离障碍物不少于米处停车，则该汽车的最大速度为__________．（25-26高一下·安徽滁州·开学考试） 10．某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，为了降低消耗，现要从这些边角料上截取矩形铁片（如图所示）．当截取的矩形面积最大时，矩形两边的长x，y应为（　　）（26-27高一上·全国·课后作业） A．x＝15 B．x＝12 C．y＝12 D．y＝14 11．某企业生产一种机器的固定成本为万元，但每生产台时又需可变成本万元，市场对此商品的年需求量为台，销售收入函数为(万元) ，其中是产品的年产量单位：百台，则下列说法正确的是（    ）（25-26高一上·河北沧州·期末） A．利润表示为年产量的函数为 B．当年产量为台时企业所得的利润最大，为万元 C．当年产量(单位：百台时，企业不亏本 D．企业不亏本的最大年产量为台 12．第九届亚洲冬季运动会于2025年2月7日至2月14日在我国哈尔滨举办，此次亚冬会上中国体育代表团获得32枚金牌、85枚奖牌，名列金牌榜和奖牌榜首位．亚冬会结束后，人们对冰雪的热爱不减，亚冬会周边纪念品依然十分畅销．某商家以每套30元的价格购进一批纪念品套件．若该纪念品每套的售价是40元时，每天可售出60套；若每套的售价每降价1元，则每天可以多卖10套．（26-27高一上·全国·课堂例题） (1)设纪念品每套降价元，求该纪念品的销售量与之间的函数解析式． (2)求每套纪念品的售价定为多少元时，每天销售纪念品套件所获的利润W最大？最大利润是多少元？ 题型四　分段函数模型（含利润最大问题）（共4小题） 【知识积累】 建模：不同范围内对应关系不同时，分段写出解析式，各段端点不重不漏；利润 销售收入 固定成本 可变成本，注意单位统一（如万件与元、万元的换算）。 求最值：先分别求出每一段上的最大（小）值：二次函数段配方，含“”的一段用基本不等式或单调性；再比较各段，较大（小）者为所求。自变量只能取正整数（如天数）时，最值在整数点处取得。 【典例】 13．“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明，“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度（单位：千克/年）是养殖密度（单位：尾/立方米）的函数．当时，的值为2千克/年；当时，是的一次函数；当时，因缺氧等原因，的值为0千克/年．（25-26高一上·山东济南·自主招生） (1)当时，求函数关于的函数解析式； (2)当养殖密度为多大时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）可以达到最大？求出最大值． 【变式训练】 14．某工艺品销售店为了更好地进行工艺品售卖，进行了销售情况调研，发现销售收入与时间关系因销售方式不同而不同.该工艺品在过去一个月（以30天计）内网上销售日收入（单位：元）与时间（单位：天）满足关系式；线下门店销售日收入（单位：元）与时间t（单位：天）满足关系式：，两种销售方式互不干扰，同时销售.（25-26高一上·湖北十堰·期末） (1)求过去一个月内有多少天销售日收入不低于6000元； (2)求这一个月内该工艺品在哪一天销售日收入最大，最大值是多少? 15．为推动县域经济发展，某县计划建一农产品加工厂．经市场调研，生产需投入年固定成本为10万元，每生产万件产品，需另投入的流动成本为万元，在年产量不足10万件时，（万元），在年产量不小于10万件时，（万元），每件产品的售价为8元，且该厂生产的产品当年能全部售完．（25-26高一上·四川遂宁·期末） (1)写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式； （注：年利润年销售收入-固定成本-流动成本） (2)当年产量为多少万件时，该厂所获利润最大？最大利润是多少？ 16．某医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品，已知生产该产品的年固定成本为300万元，最大产能为100台，每生产台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完.（25-26高一上·上海·期末） (1)写出年利润万元关于年产量台的函数解析式（利润销售收入-成本）； (2)当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？ 题型五　对勾函数（基本不等式）型模型（共3小题） 【知识积累】 对勾函数型：，当 时 ，当且仅当 时取等号。 取不到等号时：若 不在定义域内，改用单调性：函数在 上单调递减，在 上单调递增。 平均量问题：平均成本、年平均盈利额等，先写出总量，再除以数量，化成对勾函数的形式求最值。 【典例】 17．某建筑公司用8000万元购得一块空地，计划在该地块上建筑一栋至少12层，每层4000平方米的楼房.经初步估计得知，如果将楼房建为层，则每平方米的平均建筑费用为（单位：元）.则楼房每平方米的平均综合费用的最小值是________元.（注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用）（25-26高一上·天津北辰·阶段检测） 【变式训练】 18．在人工智能分拣系统中，自动化流水线每小时能够处理的快递包裹数量叫作分拣吞吐量．某物流智能分拣线的吞吐量满足关系式：（），其中为传送带的运行速度（单位：），则这条分拣线吞吐量的最大值为（     ）（25-26高二下·河北·期末） A．90 B．110 C．135 D．160 19．为实行垃圾分类，节约使用资源，某企业拟新建一座垃圾回收处理站用于垃圾处理.已知该企业原来每年花费36万元用于垃圾处理，而新建的垃圾回收处理站可使用20年.建造垃圾回收处理站的费用（单位：万元）与垃圾回收处理站的面积（单位：）成正比，比例系数约为.已知该企业每年花费的垃圾处理费用（单位：万元）与垃圾回收处理站的面积（单位：）之间的函数关系是（，为常数）.记该企业建造这座垃圾回收处理站的费用与建造后20年所花费的垃圾处理费用之和为（单位：万元）.（26-27高一上·辽宁·期中） (1)写出关于的函数关系式； (2)当为何值时，最小？求出的最小值. 题型六　函数模型的选择与拟合（共2小题） 【知识积累】 选模型：根据数据或图象的变化趋势选择：增长速度不变选一次函数；先增后减（或先减后增）选二次函数或 型；增长越来越慢可选 型。 求解析式：用待定系数法，代入两组（或三组）数据求出参数，再用其余数据检验所选模型是否合适。 【典例】 20．某公司为提高企业经济效益，大力进行新产品研发，现计划投入100万元，全部用于甲、乙两种产品的研发.在对市场进行调研分析后发现，甲产品的利润（单位：万元）与研发投入（单位：万元）之间满足，乙产品的利润（单位：万元）与研发投入（单位：万元）之间的关系如下表所示.（24-25高一上·贵州遵义·阶段检测） （万元） 4 9 16 25 （万元） 26 34 42 50 (1)根据以上表格中的数据判断：与哪一个更适宜作为与的函数模型？（不需要说明理由） (2)请根据表格数据求出所选模型的函数解析式； (3)试问如何安排甲、乙两种产品的研发投入，才能使总利润最大？ 【变式训练】 21．某工艺品售卖店，为了更好地进行工艺品售卖，进行了销售情况的调查研究.通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去一个月（以30天计），每件的销售价格（单位：元）与时间第天的函数关系近似满足，日销售量（单位：件）与时间第天的部分数据如下表所示：（25-26高一上·辽宁抚顺·期末） 10 15 20 25 30 50 55 60 55 50 已知第20天的日销售收入为603元. (1)求； (2)给出以下两个函数模型：①；②为常数）根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述在过去一个月内日销售量与时间第天的变化关系，并求出该函数解析式及定义域； (3)设在过去一个月内该工艺品的日销售收入为（单位：元），求的最小值. 题型七　方案比较与含参数的恒成立问题（共3小题） 【知识积累】 方案比较：分别写出两种方案的函数解析式，作差比较或分别求最值后比较。 恒成立：“无论 取何值，方案二都更优”即 对定义域内的 恒成立，常分离参数化为 恒成立，即 ，再用基本不等式或单调性求 的最小值。 【典例】 22．某校计划利用其一侧原有墙体，建造高为1.5米，底面积为100平方米，且背面靠墙的长方体形状的露天劳动基地，靠墙那面无需建造费用，因此甲工程队给出的报价如下：长方体前面新建墙体的报价为每平方米320元，左、右两面新建墙体的报价为每平方米160元，地面以及其他报价共计9600元.设劳动基地的左、右两面墙的长度均为（）米，原有墙体足够长.（25-26高三上·安徽淮北·期中） (1)当左面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？ (2)现有乙工程队也参与该劳动基地的建造竞标，其给出的整体报价为（）元，若无论左面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功（约定整体报价更低的工程队竞标成功），求的取值范围. 【变式训练】 23．现在要装修一间高为4米，底面积为30平方米的长方体形状的书房（书房只有一面有窗），有窗的那面长为米（）.现有两支装修队给出了报价，A的报价方案为：有窗的墙体每平方米300元，普通的三面墙体每平方米200元，屋顶和地面以及其他共计18000元；B给出总价为万元（）.若B要确保拿到装修资格，则实数的取值范围是______.（25-26高一上·上海·阶段检测） 24．某果园有果农200名，年人均创造利润20万元，为适应水果市场的需求，选出名果农进行新品种果树的嫁接培养，选出的果农平均每人每年创造利润为万元（）；剩余果农对原有的果树进行淘汰和优化，平均每人每年创造的利润可以提高.（25-26高一上·四川绵阳·期末） (1)若剩余果农创造的年总利润不低于原来200名果农创造的年总利润，则最多选出多少名果农进行新品种果树的嫁接培养； (2)若选出的果农创造的年总利润始终不高于剩余果农创造的年总利润，则m的取值范围是多少. 第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 $