主题2 方程与不等式-【初中五大科核心考点一本全】2026年初中数学考点练习

主题二 方程与不等式 方程与不等式 元一次 二元一次 不等式与 元二次 方程与分 方程组 不等式组 方程 式方程 00 「7x+3z=10, -2=0 解 解方程 的实际应用 二元一次方程（组 二元一次方程组 不等式 一元一次不等式 实际问题与 次不等式（组 解二次方程 数 方程的相关概念 元一次方程 或分式方程 学 组 第7节 一元一次方程与分式方程 核心考点 考点]方程的相关概念 3年358考 考点2 解方程③年527考 名称 定义 1.解一元一次方程的一般步骤 先设出字母表示未知数，然后根据 问题中的相等关系，列出一个含有 藁 具体做法 注意事项 方程 未知数的等式，这样的等式叫作 方程 在方程两边都乘各分 不要漏乘不含分 方程的解 一般地，使方程左、右两边的值相等 去分母 母的最小公倍数 母的项 的未知数的值，叫作方程的解 解方程 求方程的解的过程，叫作解方程 先去小括号，再去中括 (1)不要漏乘括 一般地，如果方程中只含有一个未 去括号 号，最后去大括号（也 号里的任何一项. 可以先去大括号，再去 (2)不要弄错 元一次 知数（元），且含有未知数的式子都 方程 是整式，未知数的次数都是1，这样 中括号，最后去小括号) 符号 的方程叫作一元一次方程 把含有未知数的项移 分母中含未知数的方程叫作分式 (1)移项要变号. 分式方程 项 到方程的一边，常数项 方程 (2)不要丢项 移到方程的另一边 07m 初中五大科核心考点一本全 续表 情况：一是求出的这个解是由分式方程化 步 具体做法 注意事项 成的整式方程的解，但是这个解使最简公 分母的值为0；二是所化成的整式方程无 (1)系数合并时要 解，所以原分式方程无解。 合并 把方程化成ax=b(a 连同前面的符号. 同 ·考点3 类 0)的形式 (2)字母及其指数 一元一次方程（或分式方 不变 程)的实际应用③年485考 1.利用一元一次方程（或分式方程）解决 系 在方程两边都除以未 不要把分子、分母 实际问题 知数的系数a,得到方 为 程的解x=。(a≠0) 的位置颠倒 理解题意，弄清具体情境中的已知 审 量与未知量，以及它们之间的基本 a 关系 学 找 找出等量关系 速记口决已知未知要分离，分离方法 设未知数，用x(或其他字母)表示 就是移.加减移项要变号，乘除移了要 设 某个未知量，由该未知量与其他量 颠倒。 的关系写出表示相关量的式子 列 根据题目中的等量关系列出方程 2.解分式方程 解 解所列出的方程，求出未知数的值 (1)解分式方程的一般步骤 检验方程的解是否符合问题的实际 去分母，即在方程两边同乘最简公分 验 意义（分式方程要先检验是否为 去 母（产生增根的过程），把分式方程 增根) 化为整式方程 答 写出答语 解这个整式方程（去括号、移项、合 解 并同类项、系数化为1) 2.列一元一次方程解决实际问题的常见 把整式方程的解代入最简公分母： 类型 ①最简公分母的值≠0→整式方程的 验 解是原分式方程的解 问题类型 相等关系 ②最简公分母的值=0→整式方程的 相遇、追及 解不是原分式方程的解 相对路程=相对速度×时间 问题 工速记口诀同乘最简公分母，化成整式 顺水速度=静水速度+水流速度 写清楚.求得解后需验根，增根舍去别 含糊 逆水速度=静水速度一水流速度 航行问题 (2)增根：如果去分母后得到的整式方程 的根使所乘的最简公分母的值为0，那么 水流速度=分×（顺水选度-逆 我们把这样的根叫作分式方程的增根， 水速度) (3)无解：“原分式方程无解”隐含了两种 078 主题方程与不等式 3.列分式方程解决实际问题的常见类型 后的量，原量×(1-降低率)=降低后的量 (1)行程问题：有路程、时间和速度三个 (4)利润问题：商品利润=商品售价-商 量，其等量关系是路程=速度×时间！ 品进价；商品利润率=商品利润÷商品进 (2)工程问题：有工作效率、工作时间和工 价×100%；售价=进价×(1+利润率)； 作总量三个量，其等量关系是工作总量= 售价=标价×折扣数 10 工作效率×工作时间. (5)储蓄问题：本息和=本金+利息；利 (3)增长率问题：原量×(1+增长率)=增长 息=本金×利率×存款期限， 高频考法 华一以二写 数 考法①已知方程的解求参数 考法③ 一元一次方程（或分式方程） 学 中考母题12025·贵州中考 已知x=2是 的实际应用 关于x的方程x+m=7的解，则m的值为 中考母题12024·枣庄中考 为提高生产 （) 效率，某工厂将生产线进行升级改造.改造后 A.3 B.4 C.5 D.6 比改造前每天多生产100件，改造后生产 中考母题22024·齐齐哈尔中考 如果关 600件的时间与改造前生产400件的时间相 于x的分式方程年=0的解是负数。 同，则改造后每天生产的产品件数为( 那么实数m的取值范围是() A.200 B.300 A.m<1且m≠0 C.400 D.500 B.m<1 中考母题22025·长春中考 小吉和小林 C.m>1 从同一地点出发跑800m,小吉的平均速度 D.m<1且m≠-1 是小林的1.25倍，结果小吉比小林少用40s 考法②分式方程有增根及无解问题 到达终点.求小林跑步的平均速度， 中考母题12025·齐齐哈尔中考 如果关 于x的分式方程+1=2无解，那么 【解析】设小林跑步的平均速度为xm/s,则 小吉跑步的平均速度为1.25xm/s. 实数m的值是() 2+40=80 A.m=1 B.m=-1 由意意，牌 , C.m=1或m=-1D.m≠1或m≠-1 解得x=4. 中考母题22023·巴中中考 关于x的分 经检验，x=4是原方程的解，且符合 式方程+四+，1=3有增根，则m 题意 x-2+2-x 答：小林跑步的平均速度为4m/s. 【答案】考法1：CA考法2：C-1考法3：B /079 初中五大科核心考点一本全 第8节 二元一次方程组 核心考点 考点1 二元一次方程（组） 3年383考 工名师点拨代入消元法的关键是先把 方程（或方程组）》 系数较简单的方程变形为用含一个未 定义 的解 知数的式子表示另一个未知数的 方程含有两个未知 一般地，使二元 形式。 数，且含有未知数的 一次方程两边的 2.加减消元法 元 式子都是整式，含有 值相等的两个未 用加减消元法解二元一次方程组的一般 数 次方程 未知数的项的次数都 知数的值，叫作 是1，像这样的方程叫 二元一次方程 步骤如下 作二元一次方程 的解 先观察未知数系数的特点，将同 变形 一个未知数的系数化成互为相反 方程组中含有两个未 数或相等的数 知数，且含有未知数 一般地，二元一 用加减法消去系数互为相反数或 元 的式子都是整式，含 次方程组的两个 加减 相等的同一未知数，把二元一次 有未知数的项的次数 方程的公共解， 方程组转化为一元一次方程 方程组 都是1，一共有两个方 叫作二元一次方 解元 解这个一元一次方程，求出一 个未知数的值 程，像这样的方程组 程组的解 将求得的未知数的值代入原方程 叫作二元一次方程组 宋值 组中任意一个方程，求出另一个 未知数的值，从而得到方程组 的解 ·考点2 解二元一次方程组3车427考 1.代入消元法 考点3 实际问题中找相等关系的基 用代入消元法解二元一次方程组的一般 本方法 3年377考 步骤如下 (1)抓住题目中的关键词，常见的关键词有 从方程组中选一个未知数的系数比较简 “比”“是”“等于”等 变形 单的方程，将这个方程中的一个未知数 (2)根据常见的数量关系（如路程与时间、速 用含有另一个未知数的式子表示出来 度的关系等)，基本图形的计算公式（如体积 代入 将变形后的方程代入没变形的方程，得 到一个一元一次方程 公式、面积公式等)，销售问题中的数量关系 解兄 解这个一元一次方程，求出一个未知数 等列式 的值 (3)挖掘题目中的隐含条件. 将求得的未知数的值代入变形后的方程， 求值 (4)借助列表格、画线段示意图等方法找相 求出另一个未知数的值，从而得到方程 组的解 等关系 080 主题方程与不等式 高频考法 考法①解二元一次方程组 间传统手工艺，湘绣作为中国四大刺绣之一， 中考母题2024·浙江中考 解方程组： 闻名中外，在巴黎奥运会倒计时50天之际， 某国际旅游公司计划购买A,B两种奥运主 2x-y=5, 题的湘绣作品作为纪念品.已知购买1件A 4x+3y=-10, 种湘绣作品与2件B种湘绣作品共需要700 2x-y=5,① 元，购买2件A种湘绣作品与3件B种湘绣 【解析】 14x+3y=-10,② 作品共需要1200元.A种湘绣作品和B种 ①×3+②，得10x=5, 湘绣作品的单价分别为多少元？ 解得玉=子 数 【解析】设A种湘绣作品的单价为x元，B 把x=代入①，得1-y=5, 种湘绣作品的单价为y元 根据题意， 解得y=-4, 得[+2y=70, 1 X= 2x+3y=1200, 所以这个方程组的解是 2, y=-4. 解得/=300， ly=200. 考法② 二元一次方程组的实际应用 答：A种湘绣作品的单价为300元，B种 湘绣作品的单价为200元. 中考母题新材料·湘绣 刺绣是我国民 第9节 不等式与不等式组 核心考点 ·考点①不等式 3年312考 续表 1.不等式 性质1：不等式两边加（或减）同一个 用符号“<”或“>”表示不等关系的 数（或式子），不等号的方向不变： 定义 式子，叫作不等式 不等式的 性质2：不等式两边乘（或除以）同一 性质 个正数，不等号的方向不变， 不等式 使不等式成立的未知数的值叫作不 的解 等式的解 性质3：不等式两边乘（或除以）同一 个负数，不等号的方向改变 不等式 一般地，一个含有未知数的不等式的 的解集 所有的解，组成这个不等式的解集 注意：不等式的解是一个具体的值，不等式的 解集是一个范围 /081 初中五大科核心考点一本全 2.不等式的性质与等式的性质的相同点 【速记口陕同大取大，同小取小，大大 和不同点 小小无处找，大小小大中间找。 类别 相同点 不同点 3.解一元一次不等式组的步骤 (1)两边加（或减） 两边乘（或除 (1)分别求出不等式组中各不等式的 不等式 同一个数（或式 以)同一个负 解集 子)，不等式和等 数，不等号的 (2)利用数轴或“口诀”求出这些不等式 式仍成立 方向要改变 解集的公共部分，即为这个不等式组的 (2)两边乘（或除 两边乘（或除 解集 以)同一个正数， 以)同一个负 ·考点3 等式 实际问题与一元一次不等式 不等式和等式仍 数，等式仍然 成立 (组)③车475考 成立 学 列不等式（组）解决实际问题的一般步骤 考点2 一元一次不等式（组） 3年389考 如下 1.解一元一 次不等式的步骤 审 认真审题，分析已知量和未知量，并 找出它们之间的不等关系 去分母 不等式两边同时乘各分母的最小 公倍数 设 设出适当的未知数 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去 列 根据题中的不等关系，列出不等式（组） 大括号 把含未知数的项都移到不等号的左 解不等式（组），求出其解集 移项 边，常数项都移到不等号的右边 验 检验所求出的解集是否符合题意 合并 系数相加减，字母及字母的指数 答写出答案 同类项 不变 注意：列不等式（组）解决实际问题的常用关 不等式的两边都除以未知数的系 系数 键词及对应符号如下 化为1 数，将不等式化为x>a（x≥a 或x<a(x≤a)的形式 常用关键词 符号 2.一元一次不等式组的解集的四种情况 大于、多于、超过、高于 > 不等式组 不等式组的 不等式组的解集 小于、少于、不足、低于 (a>b) 解集 在数轴上的表示 最少、不低于、不小于、不少于 「x>a, x>a a 最多、不超过、不高于、不大于 [x<a, x<b 易错警示 lx<b 列不等式（组）解决实际问题 a 要先结合问题的实际背景，再从求出的 「x>a, 无解 lx<b 解集中找出符合题意的答案，如求人数、 物品的数目、产品的件数等只能取非负 x<a, b<x<a lx>b 整数 082 主题方程与不等式 高频考法 考法①不等式的性质 大的抹茶单体生产车间.为满足市场需求，某 中考母题2024·苏州中考 若a>b-1, 抹茶车间准备安装A,B两种型号生产线.已 则下列结论一定正确的是( 知同时开启一条A型和一条B型生产线每 A.a+1<b B.a-1<b 月可以生产抹茶共200t,同时开启一条A型 C.a>b D.a+1>b 和两条B型生产线每月可以生产抹茶共 考法②解一元一次不等式（组） 280t. (1)一条A型和一条B型生产线每月各生产 中考母题)2024·河南中考 下列不等式 抹茶多少吨？ 中，与-x>1组成的不等式组无解的是 (2)为扩大生产规模，若另一车间准备同时 数 安装相同型号的A,B两种生产线共5条，该 学 A.x>2 B.x<0 车间接到一个订单，要求4个月生产抹茶不 C.x<-2 D.x>-3 少于2000t,至少需要安装多少条A型生 中考母题22024·福建中考 不等式3x 产线？ 2<1的解集是 中考母题32024·武汉中考 求不等式组 【解析】(1)设一条A型生产线每月生产 「x+3>1,① 抹茶xt,一条B型生产线每月生产抹茶 的整数解 12x-1≤x② yt. 【解析】解不等式①，得x>-2, 根据题意，得+y=200, x+2y=280, 解不等式②，得x≤1， ∴.不等式组的解集为-2<x≤1， 解得x=120, ly=80. ∴.其整数解为-1,0,1. 答：一条A型生产线每月生产抹茶120t, 考法③一元一次不等式（组）的 一条B型生产线每月生产抹茶80t. 实际应用 (2)设需要安装m条A型生产线，则需要 安装(5-m)条B型生产线. 中考母题12025·宜宾中考 某校举办“科 根据题意， 学与艺术”主题知识竞赛，共有20道题，对每 得4×120m+4×80(5-m)≥2000， 一道题，答对得10分，答错或不答扣5分.若 小明同学想要在这次竞赛中得分不低于80 解得m宁》 分，则他至少要答对的题数是() ,m为正整数， A.14道B.13道C.12道D.11道 .m的最小值为3， 仲考母题22025·贵州中考贵州省江口 答：至少需要安装3条A型生产线. 县被誉为“中国抹茶之都”，这里拥有全球最 【答案】考法1：D考法2：Ax<1考法3：C /083 初中五大科核心考点一本全 第10节 一元二次方程 核心考点 ·考点解一元二次方程3年58考 2.解一元二次方程的一般步骤 1.一元二次方程的解法 (1)配方法解一元二次方程的一般步骤 移项 将常数项移到右边，含未知数的 方法 定义 项移到左边 直接 利用平方根的意义直接开平方求一 如果二次项系数不是1，将方程两 边同时除以二次项系数 开平 元二次方程的解的方法称为直接开 方程两边同时加上一次项系数 方法 平方法 配方 学 半的平方，左边写成完全平方形式 通过配成完全平方形式来解一元二 开平方 利用平方根的意义直接开平方 配方法 次方程的方法，叫作配方法 解 移项、合并同类项 解一个具体的一元二次方程时，把各 (2)公式法解一元二次方程的一般步骤 系数直接代入求根公式，可以避免配 化 把一元二次方程化为一般形式 方过程而直接得出根，这种解一元二次 定 确定a,b,c的值 公式法 方程的方法叫作公式法.一元二次方程 计算B-4ac的值 ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式为 x=-b±-4c(8-4c≥0) 在b2-4ac≥0的前提下，将a,b, 求 c的值代入求根公式求解（若b2 2a 4ac<0,则方程无实数根) 先因式分解，使方程化为两个一次因 易错警示 先将一元二次方程化为一般 式的乘积等于0的形式，再使这两个 形式，再确定a,b,c的值，注意不要漏掉 一次式分别等于0，从而实现降次， 它们的符号。 因式 这种解一元二次方程的方法叫作因 分解法 式分解法.其中方程ax2+bx+c=0 (3)因式分解法解一元二次方程的一般步骤 (a≠0)的两个根x1,x2和系数a,b,c 化 将方程右边化为0 的关系为：高+，=-占 0 将方程左边分解为两个一次式 的乘积 注意：判别式△与一元二次方程根的情况的 令 令这两个一次式分别等于0， 关系如下表 得到两个一元一次方程 4>0 方程有两个不等的实数根 廨 解这两个一元一次方程，它 们的解就是原方程的解 4=0 方程有两个相等的实数根 注意：因式分解法只适用于部分一元二次 4<0 方程无实数根 方程 084 主题方程与不等式 高频考法 考法① 一元二次方程根的判别式的 A.8000(1+2x)=1200 应用 B.8000(1+x)2=12000 中考母题12025·广州中考 C.8000+8000(1+x)+8000(1+x)2= 关于x的方 12000 程x2-x+2+2=0的根的情况为( D.8000×2(1+x)=12000 A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 中考母题22023·东营中考如图，老李想 用长为70m的栅栏，再借助房屋的外墙（外 C.无实数根 墙足够长)围成一个矩形羊圈ABCD,并在边 D.只有一个实数根 BC上留一个2m宽的门（建在EF处，另用 中考母题22025·北京中考 若关于x的 数 其他材料). 一元二次方程ax2+2x+1=0有两个相等的 学 (1)当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围 实数根，则实数a的值为( 成一个面积为640m2的羊圈？ A.-4B.-1 C.1 D.4 (2)羊圈的面积能达到650m2吗？如果能， 中考母题32024·连云港中考若关于x 请你给出设计方案；如果不能，请说明理由. 的一元二次方程x2-x+c=0有两个相等的 实数根，则c的值为 A 考法② 解一元二次方程 B E 中考母题2024·攀枝花中考 解方程： (x+1)2-4=0. 【解析】(1)设矩形ABCD的边AB=xm, 则边BC=70-2x+2,即(72-2x)m. 【解析】(x+1)2-4=0, 根据题意，得x(72-2x)=640, (x+1)2=4, 解得x1=16,x2=20. x+1=2或x+1=-2, 当x=16时，72-2x=72-32=40, 解得x1=1,x2=-3, 当x=20时，72-2x=72-40=32. ∴.原方程的根为x1=1,x2=-3. 答：当羊圈的长为40m、宽为16m或长 为32m、宽为20m时，能围成一个面积 考法③一元二次方程的实际应用 为640m2的羊圈， 中考母题]新材料·新能源汽车随着 (2)不能，理由如下： “低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源 由题意，得x(72-2x)=650, 汽车已经逐渐成为人们喜爱的交通工具.某 化简，得x2-36x+325=0, 品牌新能源汽车的月销售量由一月份的 .4=(-36)2-4×325=-4<0, 8000辆增加到三月份的12000辆，设该汽车 ·该一元二次方程没有实数根， 一月至三月销售量平均每月增长率为x,则 .羊圈的面积不能达到650m2. 可列方程为( 【答案】考法1：CC 考法3：B /085