5.2 第3课时二次函数y=a(x-h)2的图象与性质-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(北师大版·新教材)

m+(-)°-翁+受+1.PH=[a-(-2= a+2r=(T-1+2)-%+受+10p=P .OP=PH.(3)①当线段AB不过点O时，如图，分 别过点A,B作直线1的垂线，垂足分别为M,N,连接 OA,OB.由(2)的结论，得AM=OA,BN=OB.在△OAB 中，OA+OB>AB=6,∴.AM+BN>6.②当线段AB过 点O时，AM+BN=OA+OB=AB=6.∴.AM+BN的最 小值为6，即A,B两点到直线1的距离之和的最小值为6. B N-2 M (第11题)》 第3课时二次函数y=a(x-h)2的图象与性质 1.C由图象的性质得，函数y=一2(x+十3)2的图象开口 向下，对称轴是直线x=一3. 2.A:抛物线y=一2(x一3)2，∴.抛物线的对称轴为直 线x=3,且开口向下.·-3一3>1-3|>4-3， y<y<y3. 3.①②④抛物线y=3(x十1)2开口向上，对称轴为直线 x=一1，当x=一1时，y有最小值，当x<-1时，y随x 的增大而减小.故正确的是①②④ 4.2解法一：二次函数y=3(x一2)2的图象的顶点坐标 为(2,0)，将顶点向左平移两个单位长度后顶点在原点上， 故m=2.解法二：将二次函数y=3(x一2)2的图象向左 平移m个单位长度，得抛物线y=3(x一2十m)2,把(0,0) 代入，得m=2. 5.(1)由图象可知，顶点坐标为(2,0)，.二次函数的表达 式为y=a(x-2)2.将(0，-1)代入，得-1=4a,解得a= 二次函数的表达式为y=-一2.(2)把 抛物线y=一子2向右平移2个单位长度即可得到抛物 1 线y=-4x-2).(3)”y=-4x-2)顶点 坐标为(2,0)，对称轴为直线x=2,抛物线开口向下，当 x=2时有最大值0，当x<2时，y随x的增大而增大；当 x>2时，y随x的增大而减小.(4)将(1)中所求的抛物线 绕顶点旋转180°，旋转后的抛物线对应的函数表达式为y= 1(x-2) 6.B选项A,函数y=ax十c中，a>0,c>0,函数y= a(x十c)2中，a<0,c<0,故A错误；选项B,函数y=a.x十c 中，a<0,c>0,函数y=a(x十c)2中，a<0,c>0,故B正 确；选项C,函数y=a.x十c中，a>0,c<0,函数y=a(x十 c)2中，a>0,c>0,故C错误；选项D,函数y=ax十c中， a<0,c>0,函数y=a(x十c)2中，a>0,c<0,故D错误. 7.B,点A(m一1，y1),B(m,y2)都在二次函数y= (x-1)2的图象上，.y=(m-1-1)2=(m-2)2,y2= 3 (m-1)2.:y<y2∴(m-2)2<(m-1),解得m>2 8.答案不唯-，如y=一(x-3)2:当x<3时，y的值 随x值的增大而增大；当x>3时，y的值随x值的增大而 减小，.直线x=3是抛物线的对称轴，且开口向下..函 数表达式可以为y=一(x一3)2. 9.1或6①若h<2,则当x=2时，y有最大值，即 -(2-h)2=-1,解得h1=1,h2=3(不合题意，舍去)： ②若2≤h≤5，则当x=h时，y有最大值，最大值为0，不 合题意；③若h>5,则当x=5时，y有最大值，即-(5 h)2=一1，解得h3=4(不合题意，舍去)，h1=6.综上所述， h的值为1或6. 10.1≤m≤7由题意，得平移后的抛物线对应的函数表 达式为y=(x十2-m)2,将B点坐标代入，得(1十2-m)= 4,解得m=1或5，将D点坐标代入，得(4十2一m)2=1,解 得m=5或7，结合图象可知，抛物线y=(x+2)2向右平 移m个单位长度(m>0)与正方形ABCD的边（包括四个 顶点)有交点，则m的取值范围是1≤m≤7. 11.(1),二次函数y=a(x十m)2的顶点坐标为（一1， 0),∴m=1..二次函数y=a(x+1).把点 A(-2,-号)代入.得-号=aX(-2+1D,解得a 号则该抛物线对应的函数表达式为y=一之一十1片。 (2)把x=2代入y=-号（十1）得y=-号 2 ≠一2， 2 ∴.点B(2,一2)不在这个函数的图象上.(3)能.根据题 意设平移后的图象对应的函数表达式为y=之女十]中 m),把B(2-2)代入.得-2=-号(2+1十m只，解得 m=一1或-5，∴.将抛物线向右平移1个单位长度或平移 5个单位长度，即可过点B. 12.(1):抛物线y=a(x一h)2的顶点为C(-3,0), .h=一3.又抛物线y=a(x一h)与y轴交于点 A(0,14a0+3)2=1,解得a=日此抛物线对应的 1 函数表达式为y=9(x+3).找出函数图象上五个点的 坐标（如下表），画出函数图象如图①所示 -5 -4 -3 -2 -1 4 1 9 0 9 9 (2)将此抛物线向右平移4个单位长度后得到的抛物线对 应的函数表达式为y=号红+3-4)=号(x-1D,当 1 1 x=0时，y=。一将此抛物线向右平移4个单位长度后 与y轴的交点坐标为(o,号).(3)存在.：0C=3· OA=1,.△AQO为直角三角形只有两种情况（如图②）. ①当∠OAQ1=90时，：抛物线的对称轴为直线x=一3， 点A的坐标为(0,1)，线段OA在y轴上，∴.AQ1∥x轴. ∴.点Q的坐标为(-3,1).②当∠AOQ2=90时，抛物 线的对称轴为直线x=一3，点O的坐标为(0,0)，线段OA 在y轴上，.OQ2在x轴上..点Q2的坐标为（一3,0）. 综上所述，在此抛物线的对称轴上存在一点Q(一3,1)或 (一3,0)，使以Q,O,A为顶点的△AQO是直角三角形. ① C(Q2) 0 ② (第12题) 第4课时二次函数y=a(x一h)2+k 和y=ax2十b.x十c的图象与性质 1.B,抛物线对应的函数表达式为y=2(x一1)2十3， .抛物线的开口向上，对称轴为直线x=1,顶点坐标为 (1,3).故选项A,C错误，B正确；，当一3<x<1时，y随 x的增大而减小，故选项D错误. 5 2.A抛物线y=一(x一1)2的顶点坐标是(1,0)，抛物线 y=一(x一2)2十3的顶点坐标是(2,3)，.将顶点(1,0)先 向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度得到顶 点(2,3)，即将函数y=一(x一1)2的图象先向右平移1个 单位长度，再向上平移3个单位长度得到函数y=一(.x 2)2+3的图象. 3.①③抛物线y=-x2+6x-7=-(x-3)2+2, ∴.该函数图象开口向下，故①正确；对称轴为直线x=3, 故②错误；顶点坐标为(3,2)，故③正确；与y轴的交点坐 标为(0，一7)，故④错误. 4.>由条件可知抛物线C对应的函数表达式为y= -(x十2-3)+6=-(x-1)2+6,∴.抛物线C开口向下， 对称轴为直线x=1.∴.当x>1时，y随x的增大而减小 :点P(2y),Q(3y2)在抛物线C上，且1<2<3，∴.y1>y2 5.(1),将二次函数的表达式化为顶点式，可得y= 22+x+4= 1 2x-1)2+9 抛物线的开口方 91 向向下，顶点坐标为(1,2) (2)列表： 0 2 9 0 4 2 0 1 描点画图如图所示，将抛物线y=一2x向右平移1个单位 长度，向上平移》个单位长度即可得到抛物线y=一2十 1 x+4. 10 (第5题)》 方法归纳 二次函数的一般式化为顶点式的方法 将二次函数的一般式y=ax2十bx十c通过配方化 为顶，点式y=a(x一h)2十k,有两种方法：一是利用y +)'+如c进行配方：二是直接配方，其步骤 a(r+2a) 4a 与用配方法解一元二次方程类似，不同的是这里为恒等 变形，解一元二次方程中的配方是同解变形第五章二次函数 第3课时 二次函数y=a(x-h)2的图象与性质 一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基▲ 1.二次函数y=一2(x十3)2的图象大致是 () A. 0 2.[2025兴仁期未]已知点A(-3,y1),B(1,y2),C(4,y3)在抛物线y=-2(x-3)2上，则y1y2, y3的大小关系是 () A.yi<yy3 B.y2<y3<y1 C.y1<y3<y2 D.y3<yy2 3.对于抛物线y=3(x十1)2，有下列说法：①抛物线的开口向上；②对称轴为直线x=一1；③当 x=1时，y有最小值；④当x<一1时，y随x的增大而减小.其中，正确的是 .(填序号) 4,一题多解将二次函数y=3(x一2)2的图象向左平移m(m>0)个单位长度后经过原点，则m的 值为 5.教材变式题如图所示为二次函数y=a(x十m)2的图象 (1)求二次函数的表达式。 (2)物物线y=是x经过怎样的平移才能得到此抛物线？ (3)请指出该抛物线的顶点坐标、对称轴、开口方向及函数具有的性质， (4)将(1)中所求的抛物线绕顶点旋转180°，求旋转后的抛物线对应的函数表达式， (第5题) 刀二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能。 6.[2025云南期末]在同一平面直角坐标系中，一次函数y=a.x十c和二次函数y=a(x十c)2的图 象大致为 D 91 拔尖特训·数学（北师版）九年级上 7.已知点A(m一1，y1),B(m,y2)都在二次函数y=(x一1)2的图象上.若y1<y2,则实数m的取 值范围是 ()》 A.m>2 B.m3 2 C.m<1 n是m2 8.考回条件开放题有下列条件：①当x<3时，y的值随x值的增大而增大；②当x>3时，y的 值随x值的增大而减小.符合以上条件的二次函数的表达式可以为 (写出一 个即可)： 9.已知二次函数y=一(x一h)2(h为常数)，当自变量x的取值范围是2≤x≤5时，与其对应的函 数y的最大值为一1，则h的值为 10.数形结合思想如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD四个顶，点的坐标分 别为A(1,1),B(1,4),C(4,4),D(4,1).若抛物线y=(x+2)2向右平移m 个单位长度(m>0)与正方形ABCD的边（包括四个顶点）有交点，则的 0 取值范围是 (第10题) 1.[2025保定高阳期未]已知抛物线y-ax十m)户的顶点坐标为-1,0》，且经过点A(-2,-号》 (1)求该抛物线对应的函数表达式 (2)点B(2,一2)在这个函数的图象上吗？ (3)你能通过左、右平移函数图象，使它过点B吗？若能，请写出平移方案 ]三阶·思维拓展 深度探究创新，拓展思维▲ 12.已知抛物线y=a(x一h)2的顶点C(-3,0),且与y轴交于点A(0,1). (1)求此抛物线对应的函数表达式并画出它的图象 (2)求将此抛物线向右平移4个单位长度后与y轴的交点坐标， (3)在此抛物线的对称轴上是否存在一点Q,使以Q,O,A为顶，点的△AQO是直角三角形？若 存在，请求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由. 92 “答案与解析”见P53