2.1 认识实数 课件 2025-2026学年北师大版八年级数学上册

目 标 1 2 3 理解无理数的本质特征，掌握实数的定义与分类； 经历在数轴上表示无理数的方法的探索过程，体会数形结合思想； 在观察小数特征的过程中，归纳实数的分类标准，培养抽象概括能力. ※问题1 如何将两个边长为1的小正方形拼成一个大正方形？ 新知探究 探究1.非有理数的引入 可以将这两个正方形沿着对角线平分，再将得到的四个三角形拼成一个大正方形. S1 S1 (1)假设大正方形的边长为a，则a满足什么条件? a满足= (2)a可能是整数或分数吗？请说明理由. 不可能1²=1<2<4=2² ※迁移验证 根据问题1的结论，请你分析以下问题： 新知探究 探究1.非有理数的引入 既不是整数，也不是分数→ 非有理数！ (1)如图，以直角三角形的斜边为边长的正方形的面积是多少？ 正方形的面积等于5 (2)直角三角形的斜边b满足什么条件？ ==5 (3)b是整数或分数吗？ b不是整数也不是分数 新知探究 探究2.无限不循环小数的概念 ※问题2 面积为2的正方形，其边长a为多少？ (1)图中面积为2的正方形面积的范围是怎样的？ 1 < 2 < 4 (2)由此可以推测它的边长a范围是多少？ 1 <a< 2 由此可以发现，a是一个小数，那么它的小数部分是怎样的呢？这需要我们确定该数的十分位、百分位、千分位... 探究 找出数a的十分位、百分位、千分位… 新知探究 探究2.无限不循环小数的概念 我们已经知道1<a<2(整数部分是1），接下来探索a的小数部分 （1）找十分位：尝试1.4和1.5的平方： =_____（计算结果），与2比较： _____ 2； 1.96 < =________，与2比较：_______2 2.25 > 结论：1.4<a<1.5，所以a的十分位是____ 4 （2）找百分位：在1.4和1.5之间，尝试1.41和1.42的平方： =________，与2比较： ____ 2； =________，与2比较： ______ 2; 结论：1.41<a<1.42，所以a的百分位是_______。 1.9881 < 2.0164 > 1 新知探究 探究2.无限不循环小数的概念 用以上方法继续计算下去，得到边长和面积的范围如图.结合刚才的计算过程，回答下列问题： （1）通过以上的结果，你认为该数还可以算下去吗？a可能是有限小数吗？a的小数部分是否循环？ 还可以算下去；但它一定不是有限小数，且小数部分不循环 （2）a是整数吗？是分数吗？为什么？ a不是整数（1 < a < 2），也不是分数（分数的平方不可能是2） 综上可得，像a这样的数的小数部分一定是无限且不循环的，像这样的数就叫无限不循环小数。 ※问题1 观察下列各数： 新知探究 探究3 无理数的概念 以上每个数字转化后的小数都是有限小数和无限循环小数 S1 S1 (1)将以上各数表示为小数： 3=3.0 =0.8 = = =0. (2)在以上的数中，没有一个数是无限不循环小数，而无限不循环小数也不是有理数，那么这种数是什么呢？ 无限不循环小数称为无理数 例题讲解 1、一些数学中我们常见的或者是可能误认为有循环节的小数，如： （1） 的小数部分没有循环节，因此它是无理数 （2）0.585885888588885⋯(相邻两个5之间8的个数逐次加1) 的数很容被认为有循环节，但实际上它的每个5之间间隔的8的个数都不一样，因此它是无理数 ※问题2 下列各数中，哪些是有理数，哪些是无理数？ 新知探究 探究4 实数的意义及表示 3.14， ， 0.57， 0.1010001000001⋯（相邻两个 1 之间 0 的个数逐次加 2） 有理数： 无理数: 3.14， ， 0.57 0.1010001000001⋯（两个 1 之间 0 的个数加 2） 有理数和无理数统称为实数 区分以上数字是按照有理数和无理数区分的，若按照正负来分，那么正数和负数都有哪些？ 正实数： 3.14，0.57，0.1010001000001⋯（相邻两个 1 之间 0 的个数逐次加 2） 负实数： ※问题2 还记得有理数的分类方法吗？你能用类似的方法对实数进行分类吗？ 新知探究 探究4 实数的意义及表示 实数的运算规则和有理数的一致 当所学的数扩充到实数之后，其运算法则是怎样的？ 有理数可分为正有理数、负有理数和0 类似的，可将实数分为正实数、负实数和0 （1）在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义与有理数范围内的完全一样； （2）实数可以进行加、减、乘、除、乘方运算，有理数的运算法则与运算律对实数仍然适用； 拓展提升 前面讨论的两个正方形，边长分别是 a, b，且满足 ; （1）如图，数轴上点 A 对应 a, b 中的哪个数？ 事实上，每一个实数都可以用数轴上的一个点表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。也就是说，实数和数轴上的点是一一对应的． （2），在数轴上找到与b对应的点，并说明你是如何画出来的。 解：① 作直角边长为1和2的直角三角形； ② 以原点O为圆心，以、斜边长度为半径画弧交数轴于E，点E即是数b 通过上面的活动，我们发现了无限不循环小数就是无理数 新知探究 归纳总结 有理数和无理数统称为实数，但实数的分类方式还可以按照正实数，0，负实数来区分 同时我们发现可以用数轴来表示实数，其中数轴表示无理数的步骤如下： 构造直角三角形 →求斜边长 →画弧找对应点（方法） 应用新知 1. 下列各数中，属于无理数的是（ ） A. 4 B. （相邻两个1之间0的个数逐次加1） C. ​ D. 2. 实数的正确分类是（ ） A. 正数、负数和0 B. 有理数和无理数 C. 整数和分数 D. 有限小数和无限小数 B B 应用新知 3. 下列说法正确的是（ ） A. 无理数都是带根号的数 B. 有理数都是有限小数 C. 无限不循环小数是无理数 D. 4. 比较大小 -3.14 . 5.请你列举出一个无理数： 列举出一个实数： C > 答案不唯一 题型总结 类型一：有理数与无理数的识别 1.下列各数中，哪些是有理数，哪些是无理数？ 有理数： 无理数： 2.将下列数分类： 类型二：实数的分类 −0.6，，0，0.121121112⋯（相邻两个2之间1的个数逐次加1） 有理数：−0.6，，0 无理数：0.121121112⋯（相邻两个2之间1的个数逐次加1） 题型总结 类型三：实数性质迁移应用 3.a是一个实数，它的相反数和绝对值如何表示？若 ，则它的倒数如何表示? 解: a的相反数是-a； a的绝对值是|a|; a的倒数是（a 类型四：实数的几何表示 4.请你在方格纸上分别按照如下要求设计一个直角三角形： （1）使它的三边中恰有一边边长是无理数；  （2）使它的三边中恰有两边边长是无理数；  （3）使它的三边边长都是有无理数。 真题感知 1.（2023•北京）下列实数中，是无理数的是（ ） A. B. C. 0.666… D. -2． 2.（2023•南京）请写出一个比2大且比3小的无理数：______． 3.（2023•广东）下列关于实数的分类，正确的是（ ） A. 正实数包括正有理数和正无理数 B. 负数包括负整数和负分数 C. 有理数包括整数、分数和无理数 D. 无理数包括正无理数、0和负无理数 4.（2024•湖北）在实数- 、0、3.14、中，有理数有____个 5.（2024•浙江）估计数轴上的位置介于（ ） A. 2和3之间 B. 3和4之间 C. 4和5之间 D. 5和6之间 A A 3 A 课堂小结 本节课学习内容梳理： $