5.4梯形 同步练习 2026-2027学年鲁教版（五四制）数学八年级上册

鲁教版八年级上册数学5.4梯形练习（附答案解析） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．如图，在梯形中，，，，则边的长为（     ）． A．6 B．8 C．10 D．12 2．在四边形中，，，，则四边形的面积为（     ） A．9 B．10 C．11 D．12 3．在梯形中，，，，，平分，则梯形的周长是（     ） A．30 B．24 C．18 D．12 4．四边形中，若，则这个四边形是（     ） A．一般梯形 B．等腰梯形 C．直角梯形 D．平行四边形 5．如图四边形是一个等腰梯形，在边上作一个三角形，使四边形成为一个平行四边形，若，，则下面所给的量中可以求的是（     ） A．与的差 B．的长 C．等腰梯形与周长的差 D．的周长 6．已知四边形中，，，下列判断中正确的是（     ） A．如果，那么四边形是平行四边形 B．如果，那么四边形是菱形 C．如果平分，那么四边形是矩形 D．如果，那么四边形是正方形 7．已知命题：①在四边形中，如果，那么四边形是平行四边形；②在四边形中，如果，且，那么四边形是等腰梯形．则下列结论正确的是（     ） A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题 C．①和②都是真命题 D．①和②都是假命题 二、填空题 8．如图，的对角线，交于点O，的平分线与交于点E，与交于点F，连接，，，．则下列结论：①四边形是等腰梯形②③④，其中正确的有________（填写序号）． 9．如图，在长方形中，，，点沿直线以每秒个单位长度的速度向右运动，点沿直线以每秒个单位长度的速度向右运动，点，同时运动秒后，梯形的面积和时间的关系式可表示为________． 10．如图，在等腰梯形中，，，将腰沿方向平移至的位置，则的度数是______． 11．如图，等腰梯形，，，，，则该梯形的周长为________． 12．如图，梯形中，，是梯形的中位线，点是边上一点，联结、分别交于点、，若，，则梯形的面积为________． 三、解答题 13．如图，在等腰梯形中，，过点作交于点，求证：． 14．如图，等腰梯形中，，延长到，使，连接、． (1)求证：； (2)若，，求的大小． 15．如图，在梯形中，，，对角线平分． (1)作，使与关于对称（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)求证：四边形是菱形； (3)若，，求梯形的面积． 16．如图，在等腰梯形中，，，平分，延长到点，连接，． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)若，，求四边形的面积． 17．已知：如图，在中，点在边延长线上，连接，． (1)求证：梯形为等腰梯形； (2)当，，时，求四边形的面积． 18．在矩形纸片中，，． (1)将矩形纸片沿折叠，点A落在点E处(图1)，连接．设与相交于点F，求的长； (2)图（1）中的四边形是怎样的四边形？请说明理由； (3)将矩形纸片折叠，使点B与点D重合(图2)，求折痕的长． 19．如图，在梯形中，，E，F是下底上的两点，．连接．求证：． 20．在矩形纸片中，． (1)如图①，将矩形纸片沿折叠，使点落在点处，连接，和相交于点，求的长； (2)图①中的四边形是怎样的四边形？请说明理由； (3)如图②将矩形纸片折叠，使与重合，求折痕的长． 21．如图，已知在四边形中，，，，，． (1)求证：四边形是等腰梯形； (2)求的长． 22．【阅读与思考】 在《四边形》一章中，我们学习了三角形的中位线定理．类似地，我们把连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线，梯形的中位线平行于底边，并且等于两底和的一半． 下面是小明对这个定理的证明过程． 已知：如图1，在梯形中，，点分别是的中点．   求证： 证明：如图1，连接并延长，交的延长线于点． ．．． (1)请根据小明的思路补全证明过程： 【拓展与应用】 (2)如图1，在梯形中，中位线，若梯形的高是，则梯形的面积是___________（用含有m和n的式子表示） (3)如图2，在梯形中，，和的平分线相交于点，且点在梯形的中位线上，若梯形的周长为，直接写出的长．    23．如图1，已知四边形是由直角三角形和矩形组成的，点B在的延长线上，，，作线段的垂直平分线，交于点E，交边于点F，并交射线于点G． (1)如图2，当点F与点C重合时，求的长； (2)设，，求y与x的函数关系式； (3)如图3，连接，当是等腰三角形时，请直接写出的长． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《鲁教版八年级上册数学5.4梯形练习（附答案解析）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 B A A C D C C 1．B 【分析】先作辅助线，将梯形问题转化为平行四边形和三角形问题，再利用平行四边形的对边相等求出部分线段长，然后利用等边三角形的性质求出另一部分线段长，最后求和即可． 【详解】解：如图，过点A作，交于点H， ，， 四边形是平行四边形， ． ， ． ， 是等边三角形， ， ． 2．A 【分析】由与判定四边形为直角梯形，代入梯形面积公式求解． 【详解】解：如图所示， ，， 四边形是直角梯形，为梯形的高， ． 3．A 【分析】根据等腰梯形的性质及平行线的性质，证出为等腰三角形，从而求出腰的长；再证为含角的直角三角形，求出下底的长，最后计算周长． 【详解】解：在梯形中，，， 四边形是等腰梯形， ， ， ， 平分， ， ， ， ， 在中，，， ， ， 梯形的周长为 ． 4．C 【分析】先根据四边形内角和定理求出四个内角的度数，再利用同旁内角互补判断对边的平行关系，进而确定四边形的形状． 【详解】解：， ，，，， ， ， ， 不平行于， 四边形是梯形， ， 四边形是直角梯形． 5．D 【分析】求出，，得到的周长即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，， ， 四边形是一个等腰梯形， ，， ， ， ∵， ∴， ， 的周长为， 无法求出与的差、等腰梯形与周长的差、的长. 6．C 【分析】根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理，结合已知条件，，逐个判断各选项即可. 【详解】解：A. 若，四边形可能是等腰梯形，不一定是平行四边形，故A错误； B. 若，，则四边形是平行四边形，又，对角线相等的平行四边形是矩形，不是菱形，故B错误； C. 设交于点， ∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵且， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴对角线相等的平行四边形是矩形，故C正确； D. 若，四边形可以是对角线互相垂直的等腰梯形，不一定是正方形，故D错误. 7．C 【分析】根据向量的定义与运算法则，结合平行四边形和等腰梯形的判定定理，分别判断两个命题的真假即可． 【详解】解：①如图， ∵， ∴且，即， ∴四边形是平行四边形，故①是真命题； ②如图， ∵， ∴且，即与平行但长度不相等， ∴四边形是梯形． 又∵，， ∴，即， ∴四边形是等腰梯形，故②是真命题； 因此①和②都是真命题． 8．①②③ 【分析】根据平行四边形的性质可证是等边三角形，得出，结合可得四边形是等腰梯形，即可判断①．根据三角形外角的性质可得，根据角的和差可得，根据勾股定理求出，根据平行四边形的性质得到，再次用勾股定理求出，即可得出的长，从而判断②．根据三角形中位线定理求出，即可判断③；根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形，可推导出与的关系，即可判断④． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，，， ， ， ． 平分， ， ， 是等边三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴与不平行， ∵， ∴四边形是等腰梯形．故①正确． ∵，， ， ， ， ∵ ， ∴， ∴在中，， ∴在中，， ∴在中，， ∴在中，，故②正确． ， 点是的中点， 在中，点是的中点， 是的中位线， ， ∵， ，故③正确． 四边形是平行四边形， ， 点是的中点， ， 点是的中点， ，故④错误． 综上所述，正确的结论是①②③． 9． 【分析】根据长方形的性质得出，，根据点和点的运动速度和时间表示出和的长度，进而表示出梯形的上底和下底的长度，最后利用梯形的面积公式即可得出与的关系式． 【详解】解：由长方形可知，，， ， 根据题意，运动秒后，， ． ，． 四边形是梯形，且高为 ． 故答案为． 10．40 【分析】先利用等腰梯形性质求出，再根据平移性质得，推出，结合等腰梯形两腰相等得，最后用三角形内角和求出． 【详解】解：∵等腰梯形，， ∴，． ∵将腰平移至， ∴，． ，且， 为等腰三角形，． ∴． 11．12 【分析】作，由等腰梯形的性质可证明，且四边形为平行四边形，进而可求，因为，根据直角三角形 的性质可求，则题目可解． 【详解】解：作， 则， 梯形是等腰梯形， ，，， ， ， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， 等腰梯形的周长是． 12． 【分析】设梯形的高为，用表示出的长度，利用三角形面积公式求出与的乘积，最后代入梯形面积公式计算即可求解． 【详解】解：设梯形的高为 是梯形的中位线 ，，与之间的距离为 在中，为中点， 同理可得 梯形的面积为． 13．证明：四边形为等腰梯形，， ， ， 四边形为平行四边形， ． 【分析】利用等腰梯形的定义结合两组对边分别平行的四边形是平行四边形推导即可． 【详解】略 14．(1)证明：在梯形中，，， ，， ， ， ， ，， ； (2) 【分析】（1）根据题目中的条件可以得到，，再根据题目中的条件可以得到和的关系，从而可以解答本题； （2）根据第一问中三角形全等，可以求出的度数． 【详解】（1）略 （2）解：，， ， ， ，， ， ， ． 15．(1)如图，即为所求； (2)证明：由作图可得，， ∵对角线平分． ∴ ∵ ∴ ∴，， ∵ ∴ ∴ ∴， ∴ ∴四边形是菱形； (3) 【分析】（1）根据边角边证明即可； （2）先根据边角边证明，然后根据平行线加角平分线证明，即可得到四边相等，即可证明其为菱形； （3）设，则，然后对运用勾股定理求解，再由梯形面积公式求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：设， ∵，， ∴， ∵ ∴ ∴ 解得 ∴梯形的面积． 16．(1)四边形是平行四边形，理由如下： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； (2) 【分析】（1）通过平行线以及角平分线证明，再由三角形的外角性质证明，即可得到，再由，即可证明四边形是平行四边形； （2）过点作于点，求出，然后根据含角直角三角形的性质求出，，然后由勾股定理求解，而，再由梯形面积公式求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：过点作于点， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是等腰梯形， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（1）知， ∴， ∴四边形的面积． 17．(1)证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， 梯形为等腰梯形； (2) 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，，进而得到，可知梯形为等腰梯形； （2）过点作于点，根据等腰梯形的定义可知，进而证明为等边三角形，得到的长，根据平行四边形的性质得到的长，进而得到的长，根据含度角直角三角形的性质得到的长，根据勾股定理求出的长，根据梯形的面积公式计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图，过点作于点， 四边形为等腰梯形， ， ， 为等边三角形， ， 四边形为平行四边形， ， ， 在中，， ， ， 由勾股定理，得， ． 18．(1)的长为 (2)四边形是等腰梯形，理由如下： 由翻折可得，， 由(1)知， 故，即， ∴，， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴四边形是等腰梯形； (3) 【分析】（1）先由折叠的性质和平行线的性质得出，再设，则，根据勾股定理即可求解； （2）通过折叠的性质和矩形对边相等的性质，得到，再利用（1）中的关系，求出，利用等边对等角和对顶角相等，得到，从而得到，即可得到四边形的形状； （3）连接，由折叠的性质，确定被垂直平分，可得，，由（1）可得，即可判断四边形为菱形，通过勾股定理求得和的长，最后通过菱形的面积求解即可． 【详解】（1）解∶由折叠可知，， 又∵， ∴， ∴，故， 又∵，， 设，则， 在中，由勾股定理可得 解得 即的长为 （2）略 （3）解：如图1所示，连接，则被垂直平分，故，， 又由(1)中同理可证， 故，即四边形为菱形， 设，则， 在中，由勾股定理可得 ， 解得 由勾股定理可得， 根据菱形的面积可得 ， ∴ ． 19． 证明：∵梯形中，， ∴梯形是等腰梯形， ∴， ∵ ∴ ∴． 【分析】先证明梯形是等腰梯形，再证明，即可求证． 【详解】略 20．(1)cm (2) 等腰梯形．理由如下： 由折叠性质，得，， 在矩形中，，， ∴，， 由（1），得， ∴，即， ∴， 又， ∴， ∴， ∴，即， ∴ ∴， 又与不平行， ∴四边形是梯形， 又， ∴四边形是等腰梯形． (3)cm 【分析】（1）通过折叠的性质，和矩形对边平行的性质，得到，从而得到，再设参数，利用勾股定理列方程求解即可； （2）利用（1）中的关系，求出，利用等边对等角和对顶角相等，得到，从而得到，再通过折叠的性质，和矩形对边相等的性质，得到，即可得到四边形的形状； （3）连接，先通过折叠的性质，和矩形的性质，确定和互相垂直平分，利用（1）的结论，通过勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：由折叠性质，得， 在矩形中，，， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得， ∴； （2）解：略； （3）解：如图，连接，设交于点O，则由折叠的性质，得，，且点O为中点， 在矩形中，， ∴， 又，， ∴， ∴，， 由（1），得， ∴， ∴， 同（1）理，得， 在中，， 解得， ∴． 21．(1) 证明：∵， ， ， ∴， ， ， ， ， ∴、不平行， ∵， ∴四边形是梯形， ， 梯形是等腰梯形． (2)25 【分析】（1）证明梯形的两个底角相等，、不平行，即可得到结论； （2）作于点 ，于点，根据直角三角形的性质以及平行四边形的判定与性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：作于点，于点， ∵四边形是等腰梯形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴． 22．(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）连接并延长，交的延长线于点，证明，； （2）过点A作于点H，根据，得出，根据，即可得出答案； （3）先证明，根据等腰三角形的判定得出，同理得出，从而得出，根据梯形的周长为，得出，即可得出答案． 【详解】（1）证明：如图1，连接并延长，交的延长线于点， ∵， ，， ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴是的中点，， 又∵是的中点， ∴为的中位线， ∴，， ∴， 综上所述，，； （2）解：过点A作于点H，如图所示： 则， 根据（1）可得：，，， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ． （3）解：∵是梯形的中位线， ∴，， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理得：， ∵E为的中点，为的中点， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵梯形的周长为， ∴， ∴， ∴． 23．(1)10 (2)， (3)或或 【分析】（1）根据垂直平分线的性质得到；再根据勾股定理建立方程得到，解方程求出，即可求得； （2）连接，得到，根据勾股定理得，，即可得到y与x的函数关系式，再根据即可求出自变量的取值范围； （3）分别根据，和两种情况展开讨论，结合（1），（2）的结论列式，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵四边形是由直角三角形和矩形组成的，点B在的延长线上， ∴，，， ∴四边形是直角梯形， ∵垂直平分，重合， ∴， ∵， ∴， 解方程得， ∴， ∴． （2）解：如图所示，连接，，    ∵垂直平分， ∴， ∵，， ∴， 解得， ∴， ∵ ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，． （3）解：当时，如下图所示，取的中点M，连接， 由（1）得四边形是直角梯形， ∵作线段的垂直平分线，交于点E，交边于点F，并交射线于点G ∴点是的中点， 是的中点， ∴是直角梯形的中位线 ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴此时与点重合， 与（1）同理得； 当时，如下图所示，连接，    ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， 当时，如下图所示，过点E作，垂足为M，作，垂足为N，连接， ∵点是的中点，， ∴， ∴， ∴，， ∴， 而，， ∴四边形是矩形， 设，， ∴ ∴， ∵， ∵ ∴， ∵， ∴， 解方程组得（舍去），或 ∴； 故或或． 答案第1页（共2页） 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