29.2.3 圆的有关性质 圆周角（第3课时）教学设计 2026-2027学年人教版九年级数学上册

29.2　圆的有关性质 29.2.3　圆周角 教　学　设　计 教学目标 课题 29.2.3 圆周角 授课人 素养目标 1.知道什么是圆周角，并能从图形中准确识别它. 2.探究并掌握圆周角定理及其推论. 3.体会“由特殊到一般”“分类”“化归”等数学思想. 教学重点 掌握圆周角定义、圆周角定理及其推论，并能进行相关计算与证明。 教学难点 圆周角定理分类讨论的证明思路以及定理推论的灵活运用。 教学步骤 师生活动 教学建议 活动一：类比设疑，导入新课 【情境导入】 如图，把圆心角∠AOB的顶点O拉到圆上，得到∠ACB. 问题1：∠ACB有什么特点？它与∠AOB有何异同？ 组织学生交流辨析，紧扣顶点与边的两个条件夯实圆周角概念。 设计意图 运用类比思想引导学生自主生成圆周角定义. 问题2：你能仿照圆心角的定义给∠ACB取一个名字并下定义吗？ 活动二：探究发现，生成新知 探究点1 圆周角定理 1. 圆心角的定义？ 2. 把圆心角∠AOB 的顶点O 拉到圆上，得到∠ACB. ∠ACB 有 组织学生独立判断、说理辨析，抓住“ 顶点在圆上、两边都与圆相交” 两个关键点，区分易混淆反例。组织学生动手测量猜想，按三种位置分层证明，优先证明圆心在边上的特殊情况，再转化推导另外两类。引导学生先利用半径相等得到等腰三角形，求出圆心角，再套用圆周角定理求值。)先组织学生复述圆心角、弧、弦的等量关系，顺势类比设问，启发学生利用圆周角定理推导推论。组织学生依托圆周角定理独立说理，重点强调推论成立前提，区分两个推论适用场景。带领学生梳理外角与圆周角综合解题思路，鼓励学生利用圆周角定理自主证明直径对应的圆周角为直角。 设计意图 借助圆心角类比引出圆周角，通过辨析练习落实圆周角两大判定条件，巩固概念，夯实新知。通过测量猜想、分类证明，渗透分类讨论与化归思想，引导学生自主推导圆周角定理，发展逻辑推理能力。巩固圆周角定理，训练结合等腰三角形性质进行角度计算。 什么特点？ 练一练 下列各图中的∠BAC 是否为圆周角？简述理由. 交流讨论 测量：如图，连接BO，CO，得圆心角∠BOC.测测看，∠BAC 与 ∠BOC 存在怎样的数量关系. 猜测：圆周角的度数 等于 它所对弧的圆心角度数的一半． 证明猜想 圆心O 在∠BAC 的一边上、在∠BAC 的内部、在∠BAC 的外部 归纳总结 圆周角定理： 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 对应训练 如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠OCB＝50°，则∠A 等于( 【参考答案】 A．∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB=50°，∴∠BOC=180°−2×50°=80°，∴∠A=½∠BOC=40°．故选 A． A.40° B.50° C.60° D.70° 探究点2 同弧等弧圆周角的性质 设计意图 回顾圆心角相关结论，类比迁移提出圆周角猜想，引导学生借助已有知识探究同弧圆周角的性质，建立知识前后联系。通过层层设问引导学生自主推导圆周角定理两条推论，建立弧与圆周角的双向联系，构建完整知识体系。通过习题巩固推论1，再借助直径情境设问引导学生猜想推导推论2，实现知识运用与新知探究融合。 思考 上节课我们学习了一个反映圆心角、圆心角所对的弧、圆心角所对 的弦三个量之间关系的一个结论，这个结论是什么？ 在同圆(或等圆)中，如果圆心角、弧、弦有一组量相等，那么它们 所对应的其余两个量都分别相等. 那么，圆周角与圆周角所对的弧、弦有什么关系吗？ = 如图，若=，∠A 与 ∠B 相等吗？ 如图，若 问题2 = 成立吗？ (1) 反过来，若 ∠A=∠B，那么=成立吗？ 想一想 (2) 若CD 是直径，你能求出∠A 的度数吗？ 圆周角定理的推论 同弧或等弧所对的圆周角相等. 对应训练 如图，⊙O 中，弦AB、CD 相交于E 点，且∠A=40°，∠AED=75°， 则∠B=( 【参考答案】 D．∵∠AEC=180°−∠AED=105°，在 △ACE 中，∠ACE=180°−105°−40°=35°；而 ∠ABD 与 ∠ACD 是同弧所对的圆周角，∴∠B=∠ACD=35°．故选 D． ) A.15° B.40° C.55° D.35° 思考：如图，线段AB 是☉O 的直径，点C 是☉O 上的任意一点（除 点A、B 外），那么，∠ACB 就是直径AB 所对的圆周角，想一想， ∠ACB 会是怎样的角？ 圆周角和直径的关系 半圆或直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径. 典例分析 如图，⊙O 的直径AB 的长为10，弦AC 的长为6。∠ACB 的平 分线交⊙O 于点D，求BC，AD，BD 的长. 【参考答案】 解：∵AB 是直径，∴∠ACB=90°，．∵CD 平分 ∠ACB，∴=，即 D 是弧 AB 的中点，∴OD⊥AB，CD 是直径，且 CD⊥AB 于点 O．∴．∴BC=8，AD=BD=． 活动三：综合运用，巩固深化 1. 判断下列图形中的角是不是圆周角，并说明理由： 【参考答案】 （2）（4）是圆周角——顶点都在圆上，且两边都与圆相交；（1）顶点在圆外，（3）顶点在圆内（是圆心角），（5）有一边未与圆相交，都不是圆周角． 组织学生先自主做题再小组交流，针对易错图形辨析与综合几何题进行思路点拨。 设计意图 通过梯度习题巩固圆周角相关概念、定理与推论，夯实基础并锻炼学生几何推理与知识应用能力。 2. 如图，OA，OB，OC 都是⊙O 的半径，∠AOB = 2∠BOC. 求 证：∠ACB = 2∠BAC. 【参考答案】 证明：∵∠ACB、∠BAC 分别是、所对的圆周角，∴∠ACB=½∠AOB，∠BAC=½∠BOC．∵∠AOB=2∠BOC，∴∠ACB=∠BOC=2∠BAC，∴∠ACB=2∠BAC． 3. 如图，你能用三角尺确定一张圆形纸片的圆心吗？有几种方 法？与同学交流一下. 【参考答案】 能．把三角尺的直角顶点放在圆上某点 P 处，两条直角边与圆分别交于点 M、N，则 MN 就是 ⊙O 的直径（90° 的圆周角所对的弦是直径）；换一个位置再作出另一条直径，两条直径的交点即为圆心．方法不唯一，实质都是利用“90° 的圆周角所对的弦是直径”作出两条直径来定位圆心． 4．如图，已知圆心角∠BOC＝100°，点A 为优弧BAC 上一点， 则圆周角∠BAC 的度数为____． 【参考答案】 50°．∠BAC 是劣弧 BC 所对的圆周角，等于圆心角 ∠BOC 的一半：∠BAC=½×100°=50°． 5．如图，OA 为⊙O 的半径，以OA 为直径的⊙C 与⊙O 的弦AB 相交于点D.若OD＝5 cm，则BE＝_______． 【参考答案】 10cm．连接 OD．∵OA 是 ⊙C 的直径，点 D 在 ⊙C 上，∴∠ADO=90°，即 OD⊥AB，∴D 是弦 AB 的中点（垂径定理）．又 AE 是 ⊙O 的直径，O 是 AE 的中点，∴OD 是 △ABE 的中位线，∴BE=2OD=10cm． 【随堂训练】完成《随堂小练》本节随堂小练题目. 【课堂总结】回顾本节课探究历程，请同学们回答： 1.判断一个角是不是圆周角，需要满足哪两个条件？ 2.圆周角定理的内容是什么，运用定理时要注意什么前提？ 3.半圆（或直径）所对的圆周角有什么特点？90° 的圆周角所对的弦是什么？ 师生共同对照思维导图复盘，提问帮助学生理清脉络： 活动四：随堂反馈，总结回顾 【知识结构】 【作业布置】 1.教材习题 29.2 中本节习题. 2.《同步练习》本节配套训练. 板书设计 29.2.3 圆周角 圆周角定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交。 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 推论：①同弧或等弧所对的圆周角相等；②半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90° 的圆周角所对的弦是直径。 教学反思 本节课通过探究、辨析、练习层层推进，学生基本掌握圆周角概念与定理，但部分学生难以准确识别“同弧”，几何推理书写不够规范。后续教学需强化识图训练，增加定理应用变式练习，引导学生规范写出证明步骤。 学科网（北京）股份有限公司 $