培优课2 函数性质的综合应用 [讲义]-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

培优课2　函数性质的综合应用 　1.理解和掌握对称轴和对称中心满足的条件.　2.掌握函数性质的综合应用问题.　　　　　　　　　　　　　　　　 一、函数的对称性 1.函数图象关于直线对称 y=f(x)在定义域内恒满足的条件 y=f(x)的图象的对称轴 f(a+x)=f(a-x) 直线x=a f(x)=f(a-x) 直线x= f(a+x)=f(b-x) 直线x= 2.函数图象关于点对称 y=f(x)在定义域内恒满足的条件 y=f(x)的图象的对称中心 f(a-x)=-f(a+x) (a,0) f(x)=-f(a-x) f(a+x)=-f(b-x) f(a+x)+f(b-x)=c [例1]　(1)(多选)对于定义在R上的函数f(x),下列说法正确的是(　　) A.若f(x)是奇函数,则f(x-1)的图象关于点(1,0)对称 B.若对x∈R,有f(x+1)=f(x-1),则f(x)的图象关于直线x=1对称 C.若函数f(x+1)的图象关于直线x=-1对称,则f(x)为偶函数 D.若f(1+x)+f(1-x)=2,则f(x)的图象关于点(1,1)对称 课堂笔记： (2)设函数f(x)= 在区间[-2,2]上的最大值为M,最小值为N,则(M+N-1)2 026的值为　　　.  课堂笔记： 函数的奇偶性反映定义域上的整体性质,揭示函数图象特殊的对称性,进一步拓展有两个结论: (1)若函数f(x)的定义域为D,对∀x∈D都有f(T+x)=f(T-x)(T为常数),则直线 x=T是f(x)的对称轴. (2)若函数f(x)的定义域为D,对∀x∈D都有f(a+x)+f(a-x)=2b(a,b为常数),则(a,b)是f(x)的对称中心. 1.已知定义在R上的函数f(x)满足f(1-x)=f(3+x),且在(-∞,2]上单调递增,a=f(π),b=f(),c=f(0),则(　　) A.a<b<c B.c<b<a C.b<c<a D.c<a<b 2.(多选)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,对任意实数x,恒有f(2-x)=f(x)成立,且f(1)=1,则下列说法正确的是(　　) A.(1,0)是函数f(x)的一个对称中心 B.f(x)=f(x+4) C.f(3)=-1 D.f(2)=0 二、函数性质的综合应用 [例2]　已知函数f(x)=为偶函数,且f(1)=3. (1)求a,b; (2)判断并证明f(x)在[0,+∞)上的单调性; (3)我们定义:满足f(x)+f=6的函数叫做“合六函数”,请判断f(x)是否为“合六函数”,并解不等式f(x+3)+f≥6. 　函数的奇偶性、单调性的综合应用 利用函数的奇偶性将函数解析式转化,利用单调性解决常见不等式问题,在综合性题目中,要熟练掌握奇偶性、单调性的性质及变形,适当应用解题技巧,化简求值,解题时,一定要特别注意函数的定义域. 3.已知f(x)=是偶函数. (1)求m的值. (2)证明:0≤f(x)<2. (3)判断f(x)在(0,+∞)上的单调性,并用函数单调性的定义加以证明. 1.二次函数f(x)=4x2-mx+5,对称轴x=-2,则f(1)的值为(　　) A.-7 B.17 C.1 D.25 2.已知函数y=f(x)的图象经过点P(1,-2),则函数y=-f(-x)的图象必过点(　　) A.(-1,2) B.(1,2) C.(-1,-2) D.(-2,1) 3.已知函数f(x)(x∈R)满足f(x)=f(4-x),若函数y=|x2-4x|与y=f(x)的图象有6个交点,交点横坐标为xi(i=1,2,3,4,5,6),则xi=(　　) A.4 B.6 C.8 D.12 4.设函数f(x)的定义域为[0,4],若f(x)在[0,2]上单调递减,且关于x=2对称,则下列结论正确的是(　　) A.f(1)<f<f B.f<f<f(1) C.f<f(1)<f D.f(1)<f<f 5.已知函数y=f(x+1)是定义域为R的偶函数,且f(x)在[1,+∞)上单调递减,则不等式f(2x-1)>f(x+2)的解集为(　　) A. B. C. D.∪(3,+∞) 6.已知函数f(x)在区间(0,2)上是减函数,又函数y=f(x+2)是偶函数,那么f(x)(　　) A.在区间(2,4)上是减函数 B.在区间(2,4)上是增函数 C.在区间(-2,0)上是减函数 D.在区间(-2,0)上是增函数 7.奇函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称,f(3)=3,则f(-1)+f(0)=　　　　.  8.写出一个图象关于x=2对称的函数:　　　　　　　　.  9.已知函数f(x)是定义域为R的奇函数,当x<0时,f(x)=1+. (1)求f(2)的值; (2)用定义法判断y=f(x)在区间(-∞,0)上的单调性; (3)求当x>0时,f(x)的解析式. 10.求证:二次函数f(x)=-x2-2x+1的图象关于x=-1对称. 11.定义在R上的偶函数f(x)的部分图象如图,则下列函数在(-2,0)上与f(x)的单调性不同的是(　　) A.y=x2+1 B.y=|x|+1 C.y= D.y= 12.若定义在R上的函数f(x)满足:对任意x1,x2∈R,有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1,则下列说法一定正确的是(　　) A.f(x)-1为奇函数 B.f(x)-1为偶函数 C.f(x)+1为奇函数 D.f(x)+1为偶函数 13.函数y=的图象关于点(3,c)中心对称,则b+c=　　　　　.  14.已知函数f(x)=的定义域为集合A,且∀x∈A,f(-x)+f(x-4)=4. (1)求m,n的值; (2)判断f(x)在(-2,+∞)上的单调性,并用定义证明; (3)若∃x∈[1,3],f(x)+x2-2x-k≤0,求k的取值范围. 15.(多选)函数f(x)的定义域为R,且f(x)在[0,+∞)上单调递减,f(1)=1,若函数y=f(x-1)的图象关于直线x=1对称,则下列结论正确的是(　　) A.y=f(x)的图象关于直线x=2对称 B.f(x)为偶函数 C.∀x∈R,f(x)≤f(0)恒成立 D.f(x)>1的解集为(-1,1) 16.已知函数f(x)(x∈R)满足f(-x)=6-f(x).若函数y=与y=f(x)图象的交点为(x1,y1),(x2,y2),…,(xm,ym),则(x1+y1)+(x2+y2)+…+(xm+ym)等于(　　) A.3m B.6m C.9m D.12m 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优课2　函数性质的综合应用 　1.理解和掌握对称轴和对称中心满足的条件.　2.掌握函数性质的综合应用问题.　　　　　　　　　　　　　　　　 一、函数的对称性 1.函数图象关于直线对称 y=f(x)在定义域内恒满足的条件 y=f(x)的图象的对称轴 f(a+x)=f(a-x) 直线x=a f(x)=f(a-x) 直线x= f(a+x)=f(b-x) 直线x= 2.函数图象关于点对称 y=f(x)在定义域内恒满足的条件 y=f(x)的图象的对称中心 f(a-x)=-f(a+x) (a,0) f(x)=-f(a-x) f(a+x)=-f(b-x) f(a+x)+f(b-x)=c [例1]　(1)(多选)对于定义在R上的函数f(x),下列说法正确的是(　　) A.若f(x)是奇函数,则f(x-1)的图象关于点(1,0)对称 B.若对x∈R,有f(x+1)=f(x-1),则f(x)的图象关于直线x=1对称 C.若函数f(x+1)的图象关于直线x=-1对称,则f(x)为偶函数 D.若f(1+x)+f(1-x)=2,则f(x)的图象关于点(1,1)对称 (2)设函数f(x)= 在区间[-2,2]上的最大值为M,最小值为N,则(M+N-1)2 026的值为　　　.  　(1)根据函数f(x)若满足f(a+x)=f(b-x),则其图象关于直线x=对称,若满足f(a+x)+f(b-x)=c,则其图象关于点对称进行判断. (2)将f(x)拆为奇函数加常数形式f(x)=g(x)+1,利用奇函数在对称区间上最值和为0,得f(x)最值和为2. 答案　(1)ACD　(2)1 解析　(1)f(x)是奇函数,故图象关于原点对称,将f(x)的图象向右平移1个单位长度得f(x-1)的图象,故f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,故A正确;若对x∈R,有f(x+1)=f(x-1),得f(x+2)=f(x),不能说明其图象关于直线x=1对称,故B错误;若函数f(x+1)的图象关于直线x=-1对称,则f(x)的图象关于y轴对称,故f(x)为偶函数,故C正确;由f(1+x)+f(1-x)=2,知f(x)的图象关于点(1,1)对称,故D正确. (2)由题意知,f(x)=+1(x∈[-2,2]),设g(x)= ,则f(x)=g(x)+1,因为g(-x)= =-g(x),所以g(x)为奇函数,g(x)在区间[-2,2]上的最大值与最小值的和为0,故M+N=2,所以(M+N-1)2 026=(2-1)2 026=1. 函数的奇偶性反映定义域上的整体性质,揭示函数图象特殊的对称性,进一步拓展有两个结论: (1)若函数f(x)的定义域为D,对∀x∈D都有f(T+x)=f(T-x)(T为常数),则直线 x=T是f(x)的对称轴. (2)若函数f(x)的定义域为D,对∀x∈D都有f(a+x)+f(a-x)=2b(a,b为常数),则(a,b)是f(x)的对称中心. 1.已知定义在R上的函数f(x)满足f(1-x)=f(3+x),且在(-∞,2]上单调递增,a=f(π),b=f(),c=f(0),则(　　) A.a<b<c B.c<b<a C.b<c<a D.c<a<b 解析　D　由已知得函数f(x)的图象关于直线x=2对称,又f(x)在(-∞,2]上单调递增,所以f(x)在[2,+∞)上单调递减,所以f(0)<f().又2<π<4,所以f(π)>f(4)=f(0). 因为π-2>2-,所以f(π)<f(). 故f(0)<f(π)<f(),即c<a<b. 2.(多选)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,对任意实数x,恒有f(2-x)=f(x)成立,且f(1)=1,则下列说法正确的是(　　) A.(1,0)是函数f(x)的一个对称中心 B.f(x)=f(x+4) C.f(3)=-1 D.f(2)=0 解析　BCD　选项A,因为函数f(x)满足f(2-x)=f(x),所以函数f(x)关于直线x=1对称,A错误;选项B,因为函数f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(x)=-f(-x),f(0)=0,即f(2-x)=-f(-x),所以f(2+x)=-f(x),故f(4+x)=-f(x+2)=f(x),B正确;选项C,f(3)=f(-1)=-f(1)=-1,C正确;选项D,f(2)=f(0)=0,D正确. 二、函数性质的综合应用 [例2]　已知函数f(x)=为偶函数,且f(1)=3. (1)求a,b; (2)判断并证明f(x)在[0,+∞)上的单调性; (3)我们定义:满足f(x)+f=6的函数叫做“合六函数”,请判断f(x)是否为“合六函数”,并解不等式f(x+3)+f≥6. 　(1)根据偶函数的定义求出b,再根据f(1)=3求出a. (2)根据单调性的定义求证. (3)根据“合六函数”的定义化简,再结合奇偶性和单调性求解不等式. 解　(1)因为f(x)为偶函数, 则f(-x)=f(x), 即==,即bx=0恒成立,得b=0, 又因为f(1)=3,有f(1)==3,得a=6, 所以a=6,b=0. (2)由(1)可知,f(x)=, f(x)=在[0,+∞)上单调递增,证明如下: 对∀x1,x2∈[0,+∞),且x1<x2, 有f(x1)-f(x2)=- = ==, 根据x2>x1≥0,有x2+x1,1+,1+均大于0,x1-x2<0, 则f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2), ∴f(x)在[0,+∞)上单调递增. (3)f(x)是“合六函数”,理由如下: f==,有f(x)+f=+==6, 根据f(x)+f=6,可知f(2x-1)+f=6, 所以f(x+3)+f≥6可改为f(x+3)≥6-f=f(2x-1), 又f(x)为偶函数,且在[0,+∞)上单调递增,则|x+3|≥|2x-1|, 则(x+3)2≥(2x-1)2,3x2-10x-8≤0, (x-4)(3x+2)≤0,得-≤x≤4, 又根据定义域要求,x≠,得到不等式解集为∪. 　函数的奇偶性、单调性的综合应用 利用函数的奇偶性将函数解析式转化,利用单调性解决常见不等式问题,在综合性题目中,要熟练掌握奇偶性、单调性的性质及变形,适当应用解题技巧,化简求值,解题时,一定要特别注意函数的定义域. 3.已知f(x)=是偶函数. (1)求m的值. (2)证明:0≤f(x)<2. (3)判断f(x)在(0,+∞)上的单调性,并用函数单调性的定义加以证明. (1)解　因为f(x)是偶函数, 所以f(-x)=f(x), 则=,化简得3mx3-8mx=-3mx3+8mx, 则m(3x3-8x)=0对x∈R恒成立,因为3x3-8x不恒为0, 所以m=0,此时f(x)=的定义域为R,符合题意. (2)证明　由(1)知f(x)=≥0, 则f(x)==2-, 因为>0,所以f(x)<2, 故0≤f(x)<2. (3)解　f(x)在(0,+∞)上单调递增. 证明如下:设∀x1,x2∈(0,+∞),且x1<x2, 则f(x1)-f(x2)=2--2+=, 当x1,x2∈(0,+∞)时,+8>0,+8>0,x1+x2>0,x1-x2<0, 所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2),所以f(x)在(0,+∞)上单调递增. 1.二次函数f(x)=4x2-mx+5,对称轴x=-2,则f(1)的值为(　　) A.-7 B.17 C.1 D.25 解析　D　函数f(x)=4x2-mx+5的图象的对称轴为x=-2,可得=-2,解得m=-16,则f(1)=4+16+5=25. 2.已知函数y=f(x)的图象经过点P(1,-2),则函数y=-f(-x)的图象必过点(　　) A.(-1,2) B.(1,2) C.(-1,-2) D.(-2,1) 解析　A　y=f(x)与y=-f(-x)函数图象关于原点对称,y=f(x)的图象经过点P(1,-2),则函数y=-f(-x)的图象必过点(-1,2),正确答案为A. 3.已知函数f(x)(x∈R)满足f(x)=f(4-x),若函数y=|x2-4x|与y=f(x)的图象有6个交点,交点横坐标为xi(i=1,2,3,4,5,6),则xi=(　　) A.4 B.6 C.8 D.12 解析　D　由f(x)=f(4-x)知f(x)的图象关于直线x=2对称,又y=|x2-4x|的图象也关于直线x=2对称,所以函数y=|x2-4x|与y=f(x)的图象有6个交点,分3对分别关于直线x=2对称,每对交点的横坐标之和为4,所以xi=12. 4.设函数f(x)的定义域为[0,4],若f(x)在[0,2]上单调递减,且关于x=2对称,则下列结论正确的是(　　) A.f(1)<f<f B.f<f<f(1) C.f<f(1)<f D.f(1)<f<f 解析　C　∵函数f(x)的图象关于直线x=2对称,则f(1)=f(3),又f(x)在[0,2]上单调递减,故f(x)在[2,4]上单调递增,∵2<<3<<4,∴f<f(3)<f,即f<f(1)<f. 5.已知函数y=f(x+1)是定义域为R的偶函数,且f(x)在[1,+∞)上单调递减,则不等式f(2x-1)>f(x+2)的解集为(　　) A. B. C. D.∪(3,+∞) 解析　A　因为函数y=f(x+1)是定义域为R的偶函数,则函数y=f(x+1)关于y轴对称,所以函数y=f(x)关于x=1对称,又因为函数f(x)在[1,+∞)上单调递减,所以函数 f(x)在(-∞,1)上单调递增,因为f(2x-1)>f(x+2),所以|2x-1-1|<|x+2-1|,即(2x-2)2<(x+1)2,化简得3x2-10x+3<0,(3x-1)(x-3)<0,解得<x<3. 6.已知函数f(x)在区间(0,2)上是减函数,又函数y=f(x+2)是偶函数,那么f(x)(　　) A.在区间(2,4)上是减函数 B.在区间(2,4)上是增函数 C.在区间(-2,0)上是减函数 D.在区间(-2,0)上是增函数 解析　B　∵函数y=f(x+2)是偶函数,∴函数y=f(x+2)关于y轴对称,即函数y=f(x)关于x=2对称,∵函数f(x)在(0,2)上是减函数,∴函数f(x)在(2,4)上是增函数. 7.奇函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称,f(3)=3,则f(-1)+f(0)=　　　　.  答案　-3 解析　因为函数是奇函数,所以f(0)=0, 因为函数关于直线x=2对称,f(4-x)=f(x),则f(1)=f(3), f(-1)=-f(1)=-f(3)=-3,所以f(-1)+f(0)=-3. 8.写出一个图象关于x=2对称的函数:　　　　　　　　.  答案　f(x)=x2-4x(答案不唯一) 解析　根据函数图象关于x=2对称,则这个函数可以是f(x)=x2-4x, 二次函数的对称轴为直线x=2,符合题意. 9.已知函数f(x)是定义域为R的奇函数,当x<0时,f(x)=1+. (1)求f(2)的值; (2)用定义法判断y=f(x)在区间(-∞,0)上的单调性; (3)求当x>0时,f(x)的解析式. 解　(1)根据题意,得函数f(x)为奇函数, 当x<0时,f(x)=1+, 则f(2)=-f(-2)=-=-. (2)根据题意,当x<0时,f(x)=1+. 在(-∞,0)上任取x1,x2,且x1<x2, 则f(x1)-f(x2)=-=-=. 又由x1-1<0,x2-1<0,x2-x1>0,可得f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2). 由定义可知,函数y=f(x)在区间(-∞,0)上单调递减. (3)当x>0时,-x<0,则f(-x)=1-,由函数f(x)为奇函数知f(x)=-f(-x), 所以f(x)=-1+=-. 故当x>0时,f(x)的解析式为f(x)=-. 10.求证:二次函数f(x)=-x2-2x+1的图象关于x=-1对称. 证明　任取h∈R,∵f(-1+h)=-(-1+h)2-2(-1+h)+1=-h2+2, f(-1-h)=-(-1-h)2-2(-1-h)+1=-h2+2, ∴f(-1+h)=f(-1-h), ∴f(x)的图象关于x=-1对称. 11.定义在R上的偶函数f(x)的部分图象如图,则下列函数在(-2,0)上与f(x)的单调性不同的是(　　) A.y=x2+1 B.y=|x|+1 C.y= D.y= 解析　D　易知f(x)在(-2,0)上单调递减,A,B,C选项中函数在(-∞,0)上单调递减;D选项中,函数在(-∞,0)上单调递增. 12.若定义在R上的函数f(x)满足:对任意x1,x2∈R,有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1,则下列说法一定正确的是(　　) A.f(x)-1为奇函数 B.f(x)-1为偶函数 C.f(x)+1为奇函数 D.f(x)+1为偶函数 解析　C　∵对任意x1,x2∈R,有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1, 令x1=x2=0,得f(0)=-1. 令x1=x,x2=-x, 得f(0)=f(x)+f(-x)+1. ∴f(x)+1=-f(-x)-1=-[f(-x)+1],∴f(x)+1为奇函数. 13.函数y=的图象关于点(3,c)中心对称,则b+c=　　　　　.  答案　4 解析　函数y===1+的图象关于点(3,c)中心对称, 所以解得所以b+c=4. 14.已知函数f(x)=的定义域为集合A,且∀x∈A,f(-x)+f(x-4)=4. (1)求m,n的值; (2)判断f(x)在(-2,+∞)上的单调性,并用定义证明; (3)若∃x∈[1,3],f(x)+x2-2x-k≤0,求k的取值范围. 解　(1)由题意得f(x)的定义域为(-∞,-n)∪(-n,+∞), f(x)==m-, 因为x+n≠0,所以y≠m,所以f(x)的图象的对称中心为(-n,m), 因为∀x∈A,f(-x)+f(x-4)=4,所以f(x)的图象关于点(-2,2)对称, 所以所以 (2)f(x)在(-2,+∞)上单调递增. 证明如下: 由(1)知,f(x)=,取∀x1,x2∈(-2,+∞),且x1<x2,则f(x1)-f(x2)=-=, 由-2<x1<x2,得x1-x2<0,(x1+2)·(x2+2)>0, 所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2). 故f(x)在(-2,+∞)上单调递增. (3)由(2)可得f(x)在[1,3]上单调递增, 令g(x)=f(x)+x2-2x,因为二次函数y=x2-2x在[1,3]上单调递增, 所以g(x)在[1,3]上单调递增, 所以g(x)min=g(1)=f(1)+1-2=-, 又∃x∈[1,3],f(x)+x2-2x-k≤0, 所以k≥g(x)min=-, 即k的取值范围为. 15.(多选)函数f(x)的定义域为R,且f(x)在[0,+∞)上单调递减,f(1)=1,若函数y=f(x-1)的图象关于直线x=1对称,则下列结论正确的是(　　) A.y=f(x)的图象关于直线x=2对称 B.f(x)为偶函数 C.∀x∈R,f(x)≤f(0)恒成立 D.f(x)>1的解集为(-1,1) 解析　BCD　若函数y=f(x-1)的图象关于直线x=1对称,则f(x)的图象关于y轴对称,即f(x)为偶函数,故B正确;又f(x)在[0,+∞)上单调递减,所以f(x)在(-∞,0]上单调递增,故A错误;所以∀x∈R,f(x)≤f(0)恒成立,故C正确;因为f(1)=1,所以f(-1)=1,所以f(x)>1的解集为(-1,1),故D正确. 16.已知函数f(x)(x∈R)满足f(-x)=6-f(x).若函数y=与y=f(x)图象的交点为(x1,y1),(x2,y2),…,(xm,ym),则(x1+y1)+(x2+y2)+…+(xm+ym)等于(　　) A.3m B.6m C.9m D.12m 解析　A　由函数f(x)(x∈R)满足f(-x)=6-f(x),可得f(-x)+f(x)=6,即函数f(x)(x∈R)的图象关于点(0,3)成中心对称.由函数y==3+,其图象可由y=向上平移3个单位长度得到,故y=关于点(0,3)成中心对称,则函数y=与y=f(x)图象的交点(x1,y1),(x2,y2),…,(xm,ym)必关于点(0,3)对称,不妨设x1<x2<…<xm,(x1,y1)和(xm,ym)关于点(0,3)对称,以此类推. 设S1=x1+x2+…+xm,则S1=xm+…+x2+x1, 故2S1=m(x1+xm)=0,∴S1=0, 同理令S2=y1+y2+…+ym,可得2S2=m(y1+ym)=6m,∴S2=3m, 故(x1+y1)+(x2+y2)+…+(xm+ym)=S1+S2=3m,故选A. 学科网（北京）股份有限公司 $