二次函数与幂函数常见题型及解题策略 讲义-2027届高三数学一轮复习

二次函数与幂函数常见题型及解题策略 2026 高考数学专题突破 【教师版】 二次函数与幂函数常见题型及解题策略 一、知识要点 （一）二次函数的三种解析式与图象特征 1. 一般式：（a≠0），对称轴，顶点纵坐标，与 y 轴交点 (0,c)。 2. 顶点式：，顶点为 (h,k)，对称轴 x=h。已知顶点或最值时用顶点式最省事。 3. 交点式：，、是图象与 x 轴交点的横坐标。已知两零点时用它，两根之和为、之积为（韦达定理）。 4. 开口与最值：a>0 时开口向上，函数有最小值且在顶点处取得；a<0 时开口向下，函数有最大值且在顶点处取得。 （二）二次函数在给定区间上的最值（本册重点） 5. 先看对称轴与区间的相对位置，再分类讨论。设区间为 [m,n]，对称轴为。 6. 轴在区间左侧（）：函数在 [m,n] 上单调，最值在两端点取得。 7. 轴在区间右侧（）：同样单调，最值在两端点取得，只是方向相反。 8. 轴在区间内（）：一个最值是顶点处的，另一个是两端点中离对称轴较远者。 9. 含参时按「轴动区间定」「轴定区间动」两种情形讨论，讨论的标准始终是对称轴与区间端点的大小关系。 （三）含参二次函数与恒成立、幂函数的性质 10. 恒成立：对一切 x∈R 成立，等价于 a>0 且判别式；若改成 <0，则等价于 a<0 且 Δ<0。注意 a=0 时退化为一次不等式，须单独讨论。 11. 区间上恒成立：优先用「分离参数」，把参数与自变量分开；分离不便时用「最值转化」，转化为求函数在区间上的最值，再解关于参数的不等式。 12. 幂函数的定义：形如（a 为常数）的函数。系数必须是 1，指数是常数，底数是自变量。三项有一项不满足就不是幂函数。 13. 幂函数的图象：所有幂函数在 (0,+∞) 上都有定义，图象都过点 (1,1)；α>0 时图象过原点且递增，α<0 时图象在 (0,+∞) 上递减、以两坐标轴为渐近线。第四象限内没有幂函数的图象。 二、方法提炼 方法1　二次函数的解析式与图象变换：已知对称轴或顶点，用顶点式；已知两零点，用交点式；已知三点或求一般关系，用一般式消元。抽象情境下先由对称轴定 b，再由一个已知函数值定出剩下的系数。 方法2　二次函数在区间上的最值与值域：三步走：先定开口方向，再算对称轴，最后比较对称轴与区间端点的位置。轴在区间外则端点取最值，轴在区间内则顶点与较远端点各占一个最值。含参数时围绕「对称轴与端点的大小」分情况列式。 方法3　含参二次函数与恒成立定参：「对任意 x∈I 恒成立」等价于「函数在 I 上的最值满足条件」：f(x)≥m 恒成立即。能分离参数的一律先分离，把问题变成求一个新函数在区间上的最值；不能分离的回到判别式或端点验证。 方法4　二次与幂函数的综合应用：幂函数先由定义定出解析式（系数为 1、指数为常数），再由图象过某点代入求指数。遇到、混合的式子，用换元（注意 t 的范围）转化为二次函数处理；比较幂值大小时，先化成同指数或同底数，再借单调性判断。 三、易错提醒 ◆ 求二次函数在闭区间上的最值时，不看对称轴是否落在区间内就直接代入两端点，漏掉顶点处的那一个最值。 ◆ 含参二次函数的最高次项系数含字母时，忘记讨论 a=0 的退化情形，把一次函数或常函数当成二次函数处理。 ◆ 用判别式判定恒成立时，漏掉开口方向的约束：Δ<0 只在开口向上时保证恒正，开口向下时 Δ<0 保证的是恒负。 ◆ 把形如、、的函数误判为幂函数。幂函数要求系数为 1 且形如，当前两者有系数、后者底数不是自变量时都不是幂函数。 ◆ 换元法求值域时忘记新元的取值范围。令而 x∈(0,2)，则 t∈(1,4) 而不是 t>0，忽略这一点会把值域算大。 ◆ 比较幂值大小时看不出该比指数还是比底数，直接按底数大小下结论。底数相同比指数，指数相同比底数，两者都不同则先插入中间量 1。 四、例题精讲 【例 1】 二次函数的解析式与图象变换 题注：抽象条件先翻译成偶函数与周期，再把「函数值相等」翻译成「对称轴」，最后用一个已知函数值定出常数项。 （2026·天津卷·高考真题）已知函数 f(x) 为偶函数，且满足 f(x)+f(x−2)=0，当时，则（　　） A. a=−2，b=−3　　B. a=−2，b=3 C. a=−4，b=−3　　D. a=−4，b=3 【答案】D 【解析】第一步，把 f(x)+f(x−2)=0 翻译成周期性。 把 x 换成 x+2，得 f(x+2)+f(x)=0，即 f(x+2)=−f(x)；再迭代一次，f(x+4)=−f(x+2)=f(x)，所以 4 是 f(x) 的一个周期。 第二步，由周期与偶函数把区间外的点搬进。 由周期 4，；再由偶函数，。两点都在给定区间内，于是它们的函数值相等。 第三步，用这两个相等点定出对称轴。 二次函数图象关于对称轴对称，而与关于对称，所以对称轴为 x=2。 由，解得 a=−4。 第四步，用 x=1 处的取值定出 b。 在 f(x)+f(x−2)=0 中取 x=1：f(1)+f(−1)=0。又 f 为偶函数，f(−1)=f(1)，故 2f(1)=0，即 f(1)=0。 代入：1−4+b=0，解得 b=3。 所以 a=−4，b=3，选 D。 【点拨】抽象条件多的题目，第一步永远是「翻译」：f(x)+f(x−2)=0 说的是周期，f 为偶函数说的是关于 y 轴对称，而「两点函数值相等」是二次函数对称轴的直接来源。三句话分别翻译完，题目就变成了普通方程组。 【例 2】 二次函数在区间上的最值与值域 题注：把条件化成「两数之和」与「两数之积」的关系，再用韦达定理还原成二次方程，值域问题就变成对称轴与判别式问题。 （2026·安徽合肥·模拟预测）已知不相等的实数 a，b 满足 ab=a+b+3，则下面说法正确的是（　　） A. 存在实数 t 使得 a，b 是方程的两根 B. 若 a，b>0，则 ab 的取值范围是 (9,+∞) C. a+b 的取值范围是 (6,+∞) 的取值范围是 (2,+∞) 【答案】ABD 【解析】先把 ab=a+b+3 化成便于用韦达定理的形式。记 s=a+b，p=ab，则 p=s+3。 判断 A。若 a、b 是方程的两根，由韦达定理应有 s=t、p=t+3，这与 p=s+3 恰好一致。方程有两不等实根当且仅当判别式，即，解得 t>6 或 t<−2。取 t=7（满足 Δ>0），此时方程的判别式为正，确实存在这样的两个不等实根，故 A 正确。 这里需要先说清楚 a、b 的取值范围。因为 a、b 是方程的两不等实根，所以，解得 s>6 或 s<−2。这是全程都要用的范围。 判断 B。若 a>0，b>0，则 p=ab>0，由 p=s+3 得 s=p−3>0，故 s>3。再结合 s>6 或 s<−2，只能取 s>6。 又，即，两边平方：，即，得 s≥6 或 s≤−2。与 s>6 合并得 s≥6。等号在 a=b 时成立，但题目要求 a≠b，故 s>6，从而 p=s+3>9，即 ab∈(9,+∞)，B 正确。 判断 C。上面已得 s 的取值范围是 s>6 或 s<−2。当 s<−2 时，例如取 s=−3，则 p=s+3=0，方程的两根为 0 与 −3，不相等，符合条件，此时 a+b=−3<6。所以 a+b 的取值不限于 (6,+∞)，C 错误。 判断 D。。 这是关于 s 的二次函数，对称轴 s=1，开口向上。 当 s>6 时，函数在 (6,+∞) 上递增，故，即大于 18； 当 s<−2 时，函数在 (−∞,−2) 上递减，故，即大于 2。 两段合并，可以取遍 (2,+∞)（取 s 充分接近 −2 但不等于时，值充分接近 2），所以，D 正确。 故选 ABD。 【点拨】「ab=a+b+3」这类条件要立刻想到用 s=a+b、p=ab 改写，并把 s 或 p 看作变量。判断的范围时，先化成 s 的二次函数，再按 s 的两段取值范围分别求值域，漏掉 s<−2 这一段是最常见的失分点。 【例 3】 二次函数在区间上的最值与值域 题注：根号下是二次式，先定定义域，再看内层二次函数在定义域各段上的单调性，最后按复合函数「同增异减」定外层。 （2026·厦门二外·高三上第一次月考）已知函数，则 f(x) 的单调递减区间为　　　　　　。 【答案】(4,+∞) 【解析】第一步，求定义域。被开方数必须为正（在分母里，不能等于零）： ，即 (x−4)(x+1)>0，解得 x<−1 或 x>4。所以定义域是 (−∞,−1)∪(4,+∞)。 第二步，分解复合结构。记，则。u 是开口向上的二次函数，对称轴，它在上递减、在上递增。 第三步，看外层的单调性。当 u>0 时，递增，取倒数后递减，所以 g 在 (0,+∞) 上是减函数。 第四步，按「同增异减」合成。 在 (−∞,−1) 上，u 递减且 u>0，外层 g 递增（内减外减，复合后为增），所以 f(x) 在 (−∞,−1) 上单调递增； 在 (4,+∞) 上，u 递增且 u>0，外层 g 递减，所以 f(x) 在 (4,+∞) 上单调递减。 所以 f(x) 的单调递减区间为 (4,+∞)。 【点拨】复合函数定单调区间的第一步一定是定义域——本题定义域被拆成两段，正是它把答案限制在 (4,+∞) 而不含 (−∞,−1)。内层是二次函数时，对称轴是判断内层单调性的唯一依据，务必先算准。 【例 4】 含参二次函数与恒成立定参 题注：外层单调性已知，反推内层二次函数在指定区间上的单调性，再由对称轴与区间的位置关系定参数范围。 （2026·常州高级中学·期初调研）设函数在区间 (0,1) 上单调递减，则 a 的取值范围是（　　） A. a≤0　　B. 0<a<2　　C. a<0　　D. a≥2 【答案】D 【解析】是二次函数，二次项系数 1>0，开口向上，对称轴为。 开口向上的二次函数，在对称轴左侧单调递减、右侧单调递增。要让 u(x) 在 (0,1) 上单调递减，就要求整个区间 (0,1) 都落在对称轴的左侧，即区间的右端点不超过对称轴： ，解得 a≥2。 检验临界值：a=2 时对称轴 x=1，(0,1) 上 u 严格递减，符合要求；a>2 时对称轴在 x=1 右侧，(0,1) 上同样递减，也符合要求。 所以 a≥2，选 D。 【点拨】「二次函数在某区间上单调」这类条件的通用翻译是「对称轴落在区间的哪一侧」。开口向上时，区间在对称轴左侧即递减，右侧即递增；开口向下时方向相反。写出这个不等关系，参数范围就出来了。 五、巩固练习 1. 含参二次函数与恒成立定参 1.（2026·厦门二外·高三上第一次月考）已知命题「∃x∈R，」是假命题，则实数 a 的取值范围是（　　） A. −3<a<5　　B. a<−3 或 a>5 C. −3≤a≤5　　D. a≤−3 或 a≥5 【答案】A 【解析】原命题是「存在 x 使不等式成立」，否定后变成「对任意 x 不等式都不成立」。 这是二次不等式在全实数集上恒成立。二次项系数 1>0，开口向上，只要判别式小于零，图象就永远在 x 轴上方： ，即，解得 −4<a−1<4，故 −3<a<5。 所以实数 a 的取值范围是 (−3,5)，选 A。 【点拨】「存在某数使不等式成立」是假命题，先取否定，变成「对任意 x 恒成立」，再用开口方向与判别式处理。开口向上的二次式恒正，条件是 Δ<0，二者缺一不可。 2. 二次与幂函数的综合应用 2.（2026·厦门二外·高三上第一次月考）已知点在幂函数的图象上，设 b=f(−1)，，，则 b，c，d 的大小关系为（　　） A. b>c>d　　B. c>b>d　　C. d>b>c　　D. d>c>b 【答案】C 【解析】第一步，由点在的图象上定出 a。 代入得，所以 a=−1，即。 第二步，逐个求值。 ； ； 。 第三步，比较大小。，即 d>c>b，选 C。 【点拨】幂函数题的第一步永远是用图象上的点定指数。算出解析式后，代值比较即可。注意 f(−1) 是负数，f(8)、是正数，符号先把它们分成两档。 3. 含参二次函数与恒成立定参 3.（2025·天津卷·高考真题）若 a，b∈R，对任意 x∈[−2,2]，均有恒成立，则 2a+b 的最小值为　　　　　　。 【答案】−4 【解析】第一步，把待求的整体记成 t，并把参数 a 换掉。 记 t=2a+b，所求就是这个 t 的最小值。由 2a=t−b 得，代回原不等式，把 a 全部消去： ，即，对一切 x∈[−2,2] 成立。 第二步，在区间内取一个使含 b 的项相消的点，卡出 t 的下界。 取：此时，代入得 ， 含 b 的两项一正一负恰好抵消，剩下，解得 t≥−4。 第三步，验证 t=−4 时等号确实可取。 若 2a+b=−4，取 a=0，则 b=−4。此时不等式左边为 ，对一切实数 x 都成立，当然在 [−2,2] 上也成立。 所以 t=−4 能够取到。 综上，2a+b 的最小值为 −4。 【点拨】「含参二次式在闭区间上恒成立」的破题点是用整体的观点先卡下界：把待求的 2a+b 记成 t，参数 a 用 t 与 b 表示，再在区间内选一个让 b 项自动抵消的点。取不是碰巧——它使，乘以 t 后与同分母，配合相消，只剩下。第三步的取值验证不能省：得到 t≥−4 只说明它是个下界，还要给出一组 a、b 说明等号确实能取到。 4. 二次函数在区间上的最值与值域 4.（2026·厦门二外·高三上第一次月考）已知函数（a,b∈R），当 x=1 时 f(x) 有极小值 0。 (1) 求实数 a，b 的值； (2) 求函数 f(x) 在区间 [−1,3] 上的最值。 【答案】(1) a=0，b=−3；(2) 最大值 20，最小值 0 【解析】(1) 由，得。 x=1 是极小值点，故 f′(1)=0 且 f(1)=0。 f′(1)=3+2a+b=0，f(1)=1+a+b+2=0，即 a+b=−3。 由 a+b=−3 得 b=−3−a，代入 3+2a+b=0：3+2a−3−a=0，解得 a=0，于是 b=−3。 检验：此时。当 x<−1 时 f′(x)>0，当 −1<x<1 时 f′(x)<0，当 x>1 时 f′(x)>0，所以 x=1 处是极小值点，符合题意。故 a=0，b=−3。 (2) 此时，区间为 [−1,3]。 f′(x)=3(x−1)(x+1)，在 [−1,3] 内部 f′(x)=0 的点只有 x=1。 比较各点函数值： ； f(1)=1−3+2=0； f(3)=27−9+2=20。 其中 f(1)=0 最小，f(3)=20 最大。 所以 f(x) 在 [−1,3] 上的最大值为 20，最小值为 0。 【点拨】「x=1 处有极小值」给出两个条件：f′(1)=0 与 f(1)=0，两条方程定两个参数，最后一定要检验求出的参数确实使 x=1 成为极小值点。求闭区间最值时，把区间内的极值点函数值与两个端点函数值全部列出再比较，缺一不可。 5. 二次与幂函数的综合应用 5.（2026·厦门二外·高三上第一次月考）已知函数，则关于 m 的不等式 f(m+2)<f(2m−1) 的解集为　　　　　　。 【答案】 【解析】第一步，观察 f(x) 的对称性。 对这两项：把 x 换成 2−x，，，两项互换，和不变； ，把 x 换成 2−x 也保持不变。所以 f(2−x)=f(x)，即 f(x) 的图象关于直线 x=1 对称。 第二步，判断 f(x) 在 [1,+∞) 上的单调性。令 t=x−1≥0，则，求导得。 记 h(t)=g′(t)，则。由基本不等式，等号仅在 t=0 时成立，所以 t>0 时 h′(t)>0，h(t) 在 [0,+∞) 上递增。 又 h(0)=0，故 t>0 时 g′(t)>0，g(t) 在 [0,+∞) 上单调递增。即 f(x) 在 [1,+∞) 上单调递增，再由对称性，f(x) 在 (−∞,1] 上单调递减。 第三步，把不等式转化为自变量到对称轴的距离关系。 因为 f 关于 x=1 对称且在 x≥1 上递增，所以 f(A)<f(B) 等价于 |A−1|<|B−1|。 令 A=m+2，B=2m−1： |m+2−1|<|2m−1−1|，即 |m+1|<|2m−2|。 第四步，解绝对值不等式。两边平方： ，，，即 (3m−1)(m−3)>0，解得或 m>3。 所以不等式的解集为。 【点拨】含与的函数通常是「轴对称 + 一侧单调」的组合。先证对称（把 x 换成 2a−x 看函数值是否不变），再把函数值不等转化为自变量到轴的距离不等，最后平方去绝对值。这套流程比硬解不等式快得多。 6. 二次函数在区间上的最值与值域 6.（2026·河南开封·模拟预测）设 x∈R，用 [x] 表示不超过 x 的最大整数，称 y=[x] 为高斯函数。已知函数（0<x<2），则函数 y=[f(x)] 的值域为（　　） A. {−1,0,1}　　B. [−1,2)　　C. {0,1,2}　　D. [−1,2] 【答案】A 【解析】第一步，换元。令。 因为 0<x<2，所以，两个端点都取不到。 第二步，把 f(x) 化成 t 的二次函数。 由指数运算，。所以。 第三步，求 f(x) 的值域。抛物线开口向上，对称轴 t=3。 因为 3∈(1,4)，所以最小值在 t=3 处取得：。 再看两端：时（取不到）；时 f→8−12+4=0（取不到）。 所以 f(x) 的值域是。 第四步，逐段求 [f(x)]。 当时，[f(x)]=−1； 当 f(x)∈[0,1) 时，[f(x)]=0； 当时，[f(x)]=1。 所以 y=[f(x)] 的值域为 {−1,0,1}，选 A。 【点拨】换元求值域时，新元的范围必须精确到开闭：0<x<2 给出 t∈(1,4)，两个端点都取不到，这直接决定值域端点的开闭。高斯函数 [f(x)] 的值域要按 f(x) 落在哪些整数区间逐段列出，不能只看最小值。 六、拓展 ① 二次函数的对称性与零点对称：若二次函数的两零点为、，则它们关于对称轴对称，即。由此可在已知一根时直接写出另一根。 ② 幂函数的图象分类：在第一象限内，α>1 时图象下凸且递增较快；0<α<1 时图象上凸；α<0 时图象递减且以两坐标轴为渐近线。所有幂函数图象都过点 (1,1)，且任何幂函数的图象都不经过第四象限。 ③ 二次函数的最值与轴区间关系：求在 [m,n] 上的最值时，比较 h 与 m、n：h<m 时最值在端点 m、n 处（a>0 时为最大值在 n、最小值在 m）；h>n 时相反；m≤h≤n 时顶点值 k 是一个最值，另一个在离 h 较远的端点处取得。 ④ 换元法处理指数型二次式：形如的函数，令（注意 t>0 及其精确范围）化为二次函数处理。同理，令。换元后值域的开闭完全由新元的取值范围决定。 学科网（北京）股份有限公司 $ 二次函数与幂函数常见题型及解题策略 2026 高考数学专题突破 【学生版】 二次函数与幂函数常见题型及解题策略 一、知识要点 （一）二次函数的三种解析式与图象特征 1. 一般式：（a≠0），对称轴，顶点纵坐标，与 y 轴交点 (0,c)。 2. 顶点式：，顶点为 (h,k)，对称轴 x=h。已知顶点或最值时用顶点式最省事。 3. 交点式：，、是图象与 x 轴交点的横坐标。已知两零点时用它，两根之和为、之积为（韦达定理）。 4. 开口与最值：a>0 时开口向上，函数有最小值且在顶点处取得；a<0 时开口向下，函数有最大值且在顶点处取得。 （二）二次函数在给定区间上的最值（本册重点） 5. 先看对称轴与区间的相对位置，再分类讨论。设区间为 [m,n]，对称轴为。 6. 轴在区间左侧（）：函数在 [m,n] 上单调，最值在两端点取得。 7. 轴在区间右侧（）：同样单调，最值在两端点取得，只是方向相反。 8. 轴在区间内（）：一个最值是顶点处的，另一个是两端点中离对称轴较远者。 9. 含参时按「轴动区间定」「轴定区间动」两种情形讨论，讨论的标准始终是对称轴与区间端点的大小关系。 （三）含参二次函数与恒成立、幂函数的性质 10. 恒成立：对一切 x∈R 成立，等价于 a>0 且判别式；若改成 <0，则等价于 a<0 且 Δ<0。注意 a=0 时退化为一次不等式，须单独讨论。 11. 区间上恒成立：优先用「分离参数」，把参数与自变量分开；分离不便时用「最值转化」，转化为求函数在区间上的最值，再解关于参数的不等式。 12. 幂函数的定义：形如（a 为常数）的函数。系数必须是 1，指数是常数，底数是自变量。三项有一项不满足就不是幂函数。 13. 幂函数的图象：所有幂函数在 (0,+∞) 上都有定义，图象都过点 (1,1)；α>0 时图象过原点且递增，α<0 时图象在 (0,+∞) 上递减、以两坐标轴为渐近线。第四象限内没有幂函数的图象。 二、方法提炼 方法1　二次函数的解析式与图象变换：已知对称轴或顶点，用顶点式；已知两零点，用交点式；已知三点或求一般关系，用一般式消元。抽象情境下先由对称轴定 b，再由一个已知函数值定出剩下的系数。 方法2　二次函数在区间上的最值与值域：三步走：先定开口方向，再算对称轴，最后比较对称轴与区间端点的位置。轴在区间外则端点取最值，轴在区间内则顶点与较远端点各占一个最值。含参数时围绕「对称轴与端点的大小」分情况列式。 方法3　含参二次函数与恒成立定参：「对任意 x∈I 恒成立」等价于「函数在 I 上的最值满足条件」：f(x)≥m 恒成立即。能分离参数的一律先分离，把问题变成求一个新函数在区间上的最值；不能分离的回到判别式或端点验证。 方法4　二次与幂函数的综合应用：幂函数先由定义定出解析式（系数为 1、指数为常数），再由图象过某点代入求指数。遇到、混合的式子，用换元（注意 t 的范围）转化为二次函数处理；比较幂值大小时，先化成同指数或同底数，再借单调性判断。 三、易错提醒 ◆ 求二次函数在闭区间上的最值时，不看对称轴是否落在区间内就直接代入两端点，漏掉顶点处的那一个最值。 ◆ 含参二次函数的最高次项系数含字母时，忘记讨论 a=0 的退化情形，把一次函数或常函数当成二次函数处理。 ◆ 用判别式判定恒成立时，漏掉开口方向的约束：Δ<0 只在开口向上时保证恒正，开口向下时 Δ<0 保证的是恒负。 ◆ 把形如、、的函数误判为幂函数。幂函数要求系数为 1 且形如，当前两者有系数、后者底数不是自变量时都不是幂函数。 ◆ 换元法求值域时忘记新元的取值范围。令而 x∈(0,2)，则 t∈(1,4) 而不是 t>0，忽略这一点会把值域算大。 ◆ 比较幂值大小时看不出该比指数还是比底数，直接按底数大小下结论。底数相同比指数，指数相同比底数，两者都不同则先插入中间量 1。 四、例题精讲 【例 1】 二次函数的解析式与图象变换 题注：抽象条件先翻译成偶函数与周期，再把「函数值相等」翻译成「对称轴」，最后用一个已知函数值定出常数项。 （2026·天津卷·高考真题）已知函数 f(x) 为偶函数，且满足 f(x)+f(x−2)=0，当时，则（　　） A. a=−2，b=−3　　B. a=−2，b=3 C. a=−4，b=−3　　D. a=−4，b=3 【例 2】 二次函数在区间上的最值与值域 题注：把条件化成「两数之和」与「两数之积」的关系，再用韦达定理还原成二次方程，值域问题就变成对称轴与判别式问题。 （2026·安徽合肥·模拟预测）已知不相等的实数 a，b 满足 ab=a+b+3，则下面说法正确的是（　　） A. 存在实数 t 使得 a，b 是方程的两根 B. 若 a，b>0，则 ab 的取值范围是 (9,+∞) C. a+b 的取值范围是 (6,+∞) 的取值范围是 (2,+∞) 【例 3】 二次函数在区间上的最值与值域 题注：根号下是二次式，先定定义域，再看内层二次函数在定义域各段上的单调性，最后按复合函数「同增异减」定外层。 （2026·厦门二外·高三上第一次月考）已知函数，则 f(x) 的单调递减区间为　　　　　　。 【例 4】 含参二次函数与恒成立定参 题注：外层单调性已知，反推内层二次函数在指定区间上的单调性，再由对称轴与区间的位置关系定参数范围。 （2026·常州高级中学·期初调研）设函数在区间 (0,1) 上单调递减，则 a 的取值范围是（　　） A. a≤0　　B. 0<a<2　　C. a<0　　D. a≥2 五、巩固练习 1. 含参二次函数与恒成立定参 1.（2026·厦门二外·高三上第一次月考）已知命题「∃x∈R，」是假命题，则实数 a 的取值范围是（　　） A. −3<a<5　　B. a<−3 或 a>5 C. −3≤a≤5　　D. a≤−3 或 a≥5 2. 二次与幂函数的综合应用 2.（2026·厦门二外·高三上第一次月考）已知点在幂函数的图象上，设 b=f(−1)，，，则 b，c，d 的大小关系为（　　） A. b>c>d　　B. c>b>d　　C. d>b>c　　D. d>c>b 3. 含参二次函数与恒成立定参 3.（2025·天津卷·高考真题）若 a，b∈R，对任意 x∈[−2,2]，均有恒成立，则 2a+b 的最小值为　　　　　　。 4. 二次函数在区间上的最值与值域 4.（2026·厦门二外·高三上第一次月考）已知函数（a,b∈R），当 x=1 时 f(x) 有极小值 0。 (1) 求实数 a，b 的值； (2) 求函数 f(x) 在区间 [−1,3] 上的最值。 5. 二次与幂函数的综合应用 5.（2026·厦门二外·高三上第一次月考）已知函数，则关于 m 的不等式 f(m+2)<f(2m−1) 的解集为　　　　　　。 6. 二次函数在区间上的最值与值域 6.（2026·河南开封·模拟预测）设 x∈R，用 [x] 表示不超过 x 的最大整数，称 y=[x] 为高斯函数。已知函数（0<x<2），则函数 y=[f(x)] 的值域为（　　） A. {−1,0,1}　　B. [−1,2)　　C. {0,1,2}　　D. [−1,2] 六、拓展 ① 二次函数的对称性与零点对称：若二次函数的两零点为、，则它们关于对称轴对称，即。由此可在已知一根时直接写出另一根。 ② 幂函数的图象分类：在第一象限内，α>1 时图象下凸且递增较快；0<α<1 时图象上凸；α<0 时图象递减且以两坐标轴为渐近线。所有幂函数图象都过点 (1,1)，且任何幂函数的图象都不经过第四象限。 ③ 二次函数的最值与轴区间关系：求在 [m,n] 上的最值时，比较 h 与 m、n：h<m 时最值在端点 m、n 处（a>0 时为最大值在 n、最小值在 m）；h>n 时相反；m≤h≤n 时顶点值 k 是一个最值，另一个在离 h 较远的端点处取得。 ④ 换元法处理指数型二次式：形如的函数，令（注意 t>0 及其精确范围）化为二次函数处理。同理，令。换元后值域的开闭完全由新元的取值范围决定。 学科网（北京）股份有限公司 $