3.2.3 因式分解法 第1课时 课件 2026-2027学年湘教版数学九年级上册

湘教·九年级上册 用因式分解法解一元二次方程 复习导入 问题：一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果能，这个数是几？你是怎样求出来的？ 设这个数为 x ， x2 = 3x 如何解这个方程 你觉得那种方法简单？有没有更简便的方法？ 新课探究 像上面这样，利用因式分解来解一元二次方程的方法叫作因式分解法. 做一做 解方程：x2－3x = 0. 原方程可写成 x (x－3) = 0 由此得 x = 0 或 x－3=0 即 x1 = 0，x2 = 3. 因式分解 若ab=0，则a= 0或 b = 0 例7 用因式分解法解下列方程： (1) x ( x－5 ) = 3x； (2) 2x ( 5x－1 ) = 3 ( 5x－1)；(3) ( 35－2x )2－900=0. 解：(1) 原方程可化为 x2－ 8x =0. 把方程左边的多项式因式分解，得 x (x －8)=0, 由此得 x = 0 或 x －8=0. 解得 x1 = 0 ，x2 = 8. 解：(2)原方程可化为 2x ( 5x －1 )－3 ( 5x － 1 )=0. 把方程左边的多项式因式分解，得 (5x － 1 )(2x － 3 ) =0， 由此得 5x －1 =0 或 2x－3 =0. 解得 例7 用因式分解法解下列方程： (1) x ( x－5 ) = 3x； (2) 2x ( 5x－1 ) = 3 ( 5x－1)；(3) ( 35－2x )2－900=0. 解：(3) 原方程可化为 ( 35 －2x )2－302=0. 把方程左边的多项式因式分解，得 由此得 65－2x = 0或5－2x = 0. (35－2x +30 )(35－2x －30 ) =0. 解得 利用因式分解法解一元二次方程的实质也是通过“降次”，将一个一元二次方程转化为两个一元一次方程. 例7 用因式分解法解下列方程： (1) x ( x－5 ) = 3x； (2) 2x ( 5x－1 ) = 3 ( 5x－1)；(3) ( 35－2x )2－900=0. 例8 用因式分解法解方程：x2－10x＋24=0. 解 配方，得 x2 － 10x + 52－52 ＋ 24 =0， 把方程左边的多项式因式分解，得 (x－5 + 1 )(x － 5 －1 ) =0, 由此得 x －4 = 0 或 x－6 =0. 解得 x1=4，x2 =6. 因而 (x － 5)2－12=0. 即 (x－4 ) (x－6)=0, 由例 8 可以看出，若能把方程 x2+bx +c =0左边的多项式分解为 x2 + bx +c = ( x －d ) ( x－h)=0， 则 d 和 h 就是方程 x2 + bx + c = 0 的根. 反过来，可以证明：若 d 和 h 是方程 x2 + bx +c =0 的根，则方程左边的多项式能够分解成 x2 + bx +c = ( x －d ) ( x－h)=0， 随堂诊断 用因式分解法解下列方程 (2) 5x (x－3)= x－3； (3) 8x2 + 8x =－2； (4) (2x－1) 2 － 9x2 =0； (2) 5x (x－3)= x－3； (3) 8x2 + 8x =－2； (4) (2x－1) 2 － 9x2 =0； 解：(1)把方程左边的多项式因式分解，得 由此得 x = 0 或 . 解得 x1 = 0 ，x2 = . (2) 5x (x－3)= x－3； (3) 8x2 + 8x =－2； (4) (2x－1) 2 － 9x2 =0； 解：(2)原方程可化为 5x (x－3)－(x－3)=0 把方程左边的多项式因式分解，得 (5x －1 ) (x－3) =0 由此得 5x －1 = 0或 x －3 = 0. 解得 x1= ，x2 =3. (2) 5x (x－3)= x－3； (3) 8x2 + 8x =－2； (4) (2x－1) 2 － 9x2 =0； 解：(3)移项，得 8x2 + 8x +2 =0； 把方程左边的多项式因式分解，得 2(2x +1 )2 =0 由此得 2x +1 = 0. 解得 (2) 5x (x－3)= x－3； (3) 8x2 + 8x =－2； (4) (2x－1) 2 － 9x2 =0； 解得 x1 = ，x2 =－1. 解：(4) 把方程左边的多项式因式分解，得 (2x－1 + 3x) (2x－1 － 3x) = 0 即 (5x－1 ) (－x－1) =0 由此得 5x－1 =0 或 －x－1 =0 用因式分解法解一元二次方程的一般步骤 1 移项使方程的右边为0，即化为一般形式 2 将方程的左边因式分解为两个一次式的乘积 3 令两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程 4 解这个两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解 可以用因式分解法求解的方程的类型(a，b为常数) 常见类型 因式分解 方程的解 x2+bx=0 x2－a2=0 x2±2ax+a2=0 x2+(a+b)x+ab=0 x ( x +b) =0 x1=0，x2=－b (x+a) ( x－a) =0 x1=－a，x2=a (x+a)2 = 0 x1=x2=－a (x－a)2 = 0 x1=x2=a (x+a) ( x+b) =0 x1=－a，x2=－b 练习 1.用因式分解法解下列方程： (1) x2－7x =0； (2) x ( x－3 ) =5x； (3) 4x2－20x+25=0； (4) ( x+1)2－4=0. 解：(1)把方程左边的多项式因式分解，得 x (x －7)=0, 由此得 x = 0 或 x －7 = 0. 解得 x1 = 0 ，x2 = 7. (1) x2－7x =0； (2) x ( x－3 ) =5x； (3) 4x2－20x+25=0； (4) ( x+1)2－4=0. (1) x2－7x =0； (2) x ( x－3 ) =5x； (3) 4x2－20x+25=0； (4) ( x+1)2－4=0. 解：(2)原方程可化为 x2－8x =0. 把方程左边的多项式因式分解，得 x (x －8)=0, 由此得 x = 0或 x －8 = 0. 解得 x1=0 ，x2 =8. (1) x2－7x =0； (2) x ( x－3 ) =5x； (3) 4x2－20x+25=0； (4) ( x+1)2－4=0. 解：(3)将二次项系数化为1，得 把方程左边因式分解，得 由此得 解得 (1) x2－7x =0； (2) x ( x－3 ) =5x； (3) 4x2－20x+25=0； (4) ( x+1)2－4=0. 解：(4) 原方程可化为 (x+1)2－22 = 0. 把方程左边因式分解，得 (x +1－2 )(x +1+2 ) =0, 由此得 x －1=0 或 x+3=0. 解得 x1=1，x2 =－3. 2.用因式分解法解下列方程: 2x ( x －1) = 1－x； (2) 5x ( x+2 ) = 4x +8； (3) ( x－3 )2－2 = 0； (4) x2+6x＋8 = 0. 解：(1) 原方程可化为 2x ( x －1 )+ ( x －1 )=0. 把方程左边的多项式因式分解，得 (2x +1 )(x －1) =0, 由此得 2x +1 = 0或x－1 =0. 2x ( x －1) = 1－x； (2) 5x ( x+2 ) = 4x +8； (3) ( x－3 )2－2 = 0； (4) x2+6x＋8 = 0. 解得 2x ( x －1) = 1－x； (2) 5x ( x+2 ) = 4x +8； (3) ( x－3 )2－2 = 0； (4) x2+6x＋8 = 0. 解：(2)原方程可化为 5x ( x+2 )－4( x +2 )=0. 把方程左边因式分解，得 (x +2 )(5x －4) =0, 由此得 x +2 =0或5x －4 =0. 解得 2x ( x －1) = 1－x； (2) 5x ( x+2 ) = 4x +8； (3) ( x－3 )2－2 = 0； (4) x2+6x＋8 = 0. 解：(3) 把方程左边的多项式因式分解，得 解得 由此得 2x ( x －1) = 1－x； (2) 5x ( x+2 ) = 4x +8； (3) ( x－3 )2－2 = 0； (4) x2+6x＋8 = 0. 解：(4) 配方，得 x2 +6x + 32－32＋8=0, 把方程左边的多项式因式分解，得 (x+3+1 )(x+3－1 ) =0， 由此得 x +4=0 或 x+2 =0. 解得 x1=－4，x2 =－2. 因而 (x +3)2－12=0. 即 (x+4 ) (x+2)=0, 课堂小结 先利用因式分解，将方程化为两个一次因式的乘积等于 0 的形式，再使这两个一次因式分别等于 0，从而实现降次，这种解一元二次方程的方法叫作因式分解法。 用因式分解法解一元二次方程的一般步骤 1 移项使方程的右边为0，即化为一般形式 2 将方程的左边因式分解为两个一次式的乘积 3 令两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程 4 解这个两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解 $