3.1 一元二次方程的概念 课件 2026-2027学年湘教版数学九年级上册

湘教·九年级上册 3.1一元二次方程的概念 情境导入 已知一矩形的长为200cm，宽为150cm，从中挖去一个圆，使剩余部分的面积为原矩形的 ，如图3.1-1所示.若挖去的圆的半径为xcm，如何列出x应满足的方程(其中圆周率π取3)? 图3.1-1 150cm 200cm 200cm 150cm x cm 150cm 200cm 200cm 150cm x cm 列出等量关系： 原矩形的面积－挖去圆的面积=原矩形的面积的 . 列出方程： 移项，整理得 ① 新课探究 方程①中含有几个未知数，未知数的最高次是多少？ 议一议 ① 方程①中含有 1 个未知数 x，未知数的最高次是 2. 如果一个方程只含有一个未知数，经过整理后含未知数的项的最高次数是2，那么这样的方程称为一元二次方程，一般地，关于 x 的一元二次方程通过整理可以使右边为 0，它的一般形式是 ax2+bx +c=0 (a，b，c是已知数，a≠0)， 对于一元二次方程 ax2 + bx + c=0 (a，b，c是已知数，a≠0) ，其中a， b，c分别叫作二次项系数、一次项系数、常数项. 例如，方程 3x2－7500 = 0中二次项系数是3，一次项系数是0，常数项是－7500. 确定一元二次方程的各项和各项系数时不要漏掉各项前面的符号. 例 方程3x(1－x)+10=2(x+2)是否为一元二次 方程？若是，指出其中的二次项系数、一次项系数和常数项 解：将原方程去括号，得 3x －3x2 + 10 = 2x + 4， 移项、合并同类项，得 －3x2 + x + 6 = 0. 这是一元二次方程，其中二次项系数是－3，一次项系数是 1，常数项是 6. －3x2 + x + 6 = 0. 可以写成 3x2－x－6=0 吗？ 随堂诊断 1. 将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项： (1) x2 +2x =1. (2) x(2x－1)2 = 2x. (3) (1－2x) (1+2x) = 2x2－4. 解：(1) 将原方程移项，得 x2 +2x－1 = 0. 它的二次项系数是1，一次项系数是 2，常数项是 －1. (2) x(2x－1)2 = 2x. (3) (1－2x) (1+2x) = 2x2－4. (2) 将原方程去括号，得 2x2 －x = 2x. 移项、合并同类项，得 2x2 －3x = 0. 它的二次项系数是2，一次项系数是 －3，常数项是 0. (3) 将原方程去括号，得 1－4x2 = 2x2－4. 移项、合并同类项，得 6x2 －5 = 0. 它的二次项系数是6，一次项系数是 0，常数项是 －5. 一元二次方程的特殊形式 特殊形式 二次项系数 一次项系数 常数项 ax2+bx=0(a≠0，b≠0) ax2+c=0(a≠0，b≠0) ax2=0(a≠0，b≠0) a b 0 a 0 c a 0 0 做一做 若关于x的方程ax2－x=2x2－ax－3是一元二次方程，求常数a应满足的条件.你的结果与其他同学相同吗？ 解：将原方程移项、合并同类项，得 (a－2) x2 － (a－1) x +3= 0. 因为将该方程为一元二次方程， 所以 a－2 ≠ 0， 所以 a ≠ 2， 随堂诊断 2. 若关于 x 的方程 是一元二次方程，则 m 的值为_____________. 思路分析： 二次项系数不为0 m－3 ≠ 0 最高次数是2 m2－7 = 2 m = －3 －3 确定一元二次方程中所含字母的值时，既要考虑未知数的最高次数是2，也要考虑二次项的系数不等于0. 3.当常数a，b，c满足什么条件时，方程 (a－1)x2－bx+c=0是一元二次方程?这时方程的二次项系数、一次项系数分别是什么?当常数a，b，c 满足什么条件时，方程(a－1)x2－bx+c=0是一元一次方程? 解：当a≠1时是一元二次方程，这时方程的二次项系数是a－1，一次项系数是－ b；当a=1，b≠0时是一元一次方程. 练习 1.请用线把左边的方程与右边所对应的方程类型连接起来: 2x2+ 5x =x2－3 (x＋1)2－1 = x2+4 3x＋5=2x －1 一元一次方程 一元二次方程 分式方程 2.下列方程是否为一元二次方程？若是， 指出其中的二次项系数、一次项系数和常数项. (1) 4x2 = 49 ； (2) 5x2－2=3x ； (3) 0.01t2 = 2t ； (4) ( 9y－1 ) ( 2y +3 )=18y2+1. 解：(1)将原方程移项、合并同类项，得 4x2－49=0 这是一元二次方程，二次项系数是4，一次项系数是0，常数项是－49. (1) 4x2 = 49 ； (2) 5x2－2=3x ； (3) 0.01t2 = 2t ； (4) ( 9y－1 ) ( 2y +3 )=18y2+1. (2) 将原方程移项、合并同类项，得 5x2－3x－2=0 这是一元二次方程，二次项系数是5，一次项系数是－3，常数项是－2. (1) 4x2 = 49 ； (2) 5x2－2=3x ； (3) 0.01t2 = 2t ； (4) ( 9y－1 ) ( 2y +3 )=18y2+1. (3) 将原方程移项、合并同类项，得 0.01t2－2t =0 这是一元二次方程，二次项系数是0.01，一次项系数是－2，常数项是0. (1) 4x2 = 49 ； (2) 5x2－2=3x ； (3) 0.01t2 = 2t ； (4) ( 9y－1 ) ( 2y +3 )=18y2+1. (4) 将原方程去括号，得 18y2+27y－2y－3=18y2+1 这不是一元二次方程. 移项、合并同类项，得 25y－4 = 0 3. 已知一个数 x 与比它大 2 的数的积等于 35.试根据题意列出方程，这个方程式是一元二次方程吗？ 解： x(x+2) = 35 化简后得： x2 + 2x－35 =0 答：这个方程式是一元二次方程. 4. 如图，在一块边长为x cm的正方形铁皮的四角 各截去一边长为 5 cm的小正方形，折成一个无盖的长方体形盒子，它的容积是2000 cm3.请根据题意，列出关于x的方程. x cm 长(a)×宽(b) ×高(h) a b a = b = (x －10) cm，h = 5cm 则可列方程 (x－10)×(x－10)×5 = 2000 解：长方体体积 = 整理得 x2－20x－300 = 0 h 课堂小结 如果一个方程只含有一个未知数，进过整理后含未知数的项的最高次数是2，那么这样的方程称为一元二次方程，一般地，关于 x 的一元二次方程通过整理可以使右边为 0，它的一般形式是 ax2+bx +c=0 (a，b，c是已知数，a≠0)， 其中a， b，c分别叫作二次项系数、一次项系数、常数项. $