3.2.1 配方法 第1课时 课件 2026-2027学年湘教版数学九年级上册

湘教·九年级上册 根据平方根的意义解一元二次方程 复习导入 前面我们已经学了一元一次方程和二元一次方程组的解法，想一想我们是如何计算的？ 对于一元二次方程，我们该如何解呢？ x2 + 6x + 9 = 0 x2－8x + 16 = 0 新课探究 将上述方程移项得 x2 = 2500. 这表明 x 是 2 500 的平方根，根据平方根的意义，得 即 x1=50，x2 =－50. 思考 将本章 3.1节“思考”栏目列出的方程整理得 x2－2500 = 0，如何求出此方程中未知数的值呢？ 使一元二次方程左右两边的值相等的未知数的值叫作一元二次方程的解.一元二次方程的解也叫作一元二次方程的根． x1 = 50 和 x2 = －50 就是方程 x2－2500的根. 把一元二次方程的所有根都求出来，叫作解一元二次方程. 解一元二次方程，实质上是求 x 用哪个数代入，能够使得方程左边的值与右边的值相等。 已知数 代入方程 左边=右边 左边≠右边 是方程的解 不是方程的解 随堂诊断 1. 解方程若x = 1是方程 x2－4x + c = 0的一个根， 则 c =________. 解析：x = 1代入方程 x2－4x + c = 0，得 12－4×1+ c = 0， 所以 c = 3， 3 2. 已知 a 是方程 x2－2x － 1 = 0的一个根，则代数式2a2－4a － 1的值为( ) A. 1 B. －2 C. －2或1 D. 2 解析：因为 a 是方程 x2－2x － 1 = 0的一个根， 所以 a2－2a = 1， 所以 2a2－4a－1= 2(a2－2a ) －1 = 2×1－1=1 A 3. 已知 a 是方程 x2 + x － 1 = 0的一个根，则代数式a3+2a2 + 20的值为________. 解析：因为 a 是方程 x2 + x － 1 = 0的一个根， 所以 a2 + a－ 1= 0， 所以 a2 + a = 1 所以 a3 + 2a2 + 20 = a3 + a2 + a2 + 20 = a(a2 +a) + a2 + 20 = a + a2 + 20=1 + 20 = 21. 21 例1. 解方程：4x2－25 = 0. 解：原方程经过移项，左右两边同时除以4，得 根据平方根的意义，得 因此，原方程的根为 直接开平方法 方程：x2 = p的解 (根) 的情况. P 的大小 根的情况 P > 0 P = 0 P < 0 方程有两个不相等的实数根： 方程有两个相等的实数根：x1=x2=0 方程没有实数根 说一说 如何解方程：(1+ x ) 2 = 81. 解：根据平方根的定义，得 即 1 + x = 9 或 1 + x =－9 因此，原方程的根为 x1= 8，x2= －10. 例2. 解方程：( 2x +1 )2 = 2. 解：根据平方根的意义，得 因此，原方程的根为 通过“降次”，将一个一元二次方程转化为两个一元一次方程. 解：原方程可化为 因此，原方程的根为 根据平方根的意义，得 [2(x+1)]2=25 做一做 解方程：4 (x+1)2－25 = 0.你的结果正确吗？检验一下. 用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤 (1) 移项，将方程变成左边是完全平方式，右边是非负数的形式(x2 = p 或 (mx+p)2 = p(m≠0，p≥0))； (2) 开平方，将方程化为两个一元一次方程； (3) 解这两个一元一次方程，得一元二次方程的两个根. 练习 1.解下列方程: (1) 9x2－49 = 0. (2) 18－ x2= 0. (3) (x+3)2－36= 0. (4) 9(1－2x)2－16= 0. 解：(1) 原方程经过移项，左右两边同时除以9，得 因此，原方程的根为 (1) 9x2－49 = 0. (2) 18－ x2= 0. (3) (x+3)2－36= 0. (4) 9(1－2x)2－16= 0. (2) 原方程经过移项，得 x2= 18. 因此，原方程的根为 (1) 9x2－49 = 0. (2) 18－ x2= 0. (3) (x+3)2－36= 0. (4) 9(1－2x)2－16= 0. (3) 原方程经过移项，得 (x+3)2 = 36. 因此，原方程的根为 根据平方根的意义，得 x + 3 = 6或 x + 3 = －6. x1 =3 ， x2 = －9. (1) 9x2－49 = 0. (2) 18－ x2= 0. (3) (x+3)2－36= 0. (4) 9(1－2x)2－16= 0. 因此，原方程的根为 根据平方根的意义，得 (4) 原方程经过移项，左右两边同时除以9，得 2.(古代数学问题) 直田七亩半，忘了长和短. 记得立契时，长阔争一半. 今特问高明，此法如何算. ——程大位《算法统宗》 意思是：有一块面积为七亩半的矩形田，忘了长与宽各是多少.只记得在立契约的时候说过，宽是长的一半.现在请你帮他算出这块田的长和宽各是多少步 (步，古代的一种长度单位，1步约等于1.67m.1亩=240平方步). 直田七亩半，忘了长和短. 记得立契时，长阔争一半. 今特问高明，此法如何算. 解：设这块田的宽为x步，则长为 2x 步. 7亩半 = 7.5×240 =1800 (平方步)2 可列方程为 x·2x=1800 解得 x1=30，x2=－30(舍去). 答：这块田的长为 60 步，宽为 30 步. 所以 2x = 2×30 = 60. 课堂小结 使一元二次方程左右两边的值相等的未知数的值叫作一元二次方程的解.一元二次方程的解也叫作一元二次方程的根． 已知数 代入方程 左边=右边 左边≠右边 是方程的解 不是方程的解 用直接开平方法解一元二次方程的一般步骤 (1) 移项，将方程变成左边是完全平方式，右边是非负数的形式(x2 = p 或 (mx+p)2 = p(m≠0，p≥0))； (2) 开平方，将方程化为两个一元一次方程； (3) 解这两个一元一次方程，得一元二次方程的两个根. $