3.3 一元二次方程根的判别式 课件 2026-2027学年湘教版数学九年级上册

湘教·九年级上册 3.3 一元二次方程根的判别式 复习总结 用公式法解决下列方程： (1) x2 + x－ 1 =0； (2) 4x2 +4x－1=－10－ 8x； (3) 3x2+2(2x+1) = 0； 因而 b2－4ac = 12－4×1×(－1) = 5 > 0， 所以 解：这里 a = 1，b = 1，c = －1. 因此，原方程的根为 (1) x2 + x－ 1 =0； (2) 4x2 +4x－1=－10－ 8x； 因而 b2 － 4ac = 122 －4×4× 9 = 0， 所以 这里 a = 4，b =12，c =9. 解：(2) 将原方程整理为一般式，得 4x2 +12x + 9 = 0 因此，原方程的根为 (3) 3x2+2(2x+1) = 0； 因而 b2 － 4ac = 42 －4×3× 2 = －8<0， 所以该方程无实数根. 这里 a = 3，b = 4，c = 2. 解：(3) 将原方程整理为一般式，得 3x2 + 4x + 2=0 分析解答过程，为什么会出现三种情况？ 新课探究 在运用公式法解一元二次方程 ax2+bx +c =0 (a≠0)时，总是要求b2－4ac ≥ 0.为什么？ 思考 将方程 ax2 + bx +c=0 (a≠0) 配方后得到 由于 a ≠ 0，所以4a2 >0，因此我们不难发现： (1) 当b2－4ac > 0时， 由于正数有两个平方根，所以原方程的根为 此时，原方程有两个不相等的实数根. (2)当 b2－4ac =0时， 由于 0 的平方根为0，所以原方程的根为 此时，原方程有两个相等的实数根. (3) 当b2－4ac < 0时， 由于负数在实数范围内没有平方根，所以原方程没有实数根. b2－4ac 叫作一元二次方程 ax2+bx +c = 0 (a ≠ 0) 的根的判别式，记作“Δ”，即Δ = b2－4ac . 因此，若要方程 ax2+bx+c=0 (a ≠0)有实数根，则b2－4ac必须为非负数. 当Δ >0 时，方程有两个不相等的实数根，其根为 当Δ =0 时，方程有两个相等的实数根，其根为 当Δ < 0 时，方程没有的实数根. 综上可知，一元二次方程ax2+bx +c = 0 ( a ≠ 0)的根的情况可由 Δ = b2－4ac 来判断： 1 2 3 例 不解方程，利用判别式判断下列方程根的情况： (1) 3x2+4x －3=0； (2) 4x2= 12x －9；(3) 7y = 5(y2 + 1 ) . 解：(1) 因为Δ = b2－4ac = 42－4×3×( －3 ) = 16 + 36 = 52 > 0， 所以，原方程有两个不相等的实数根. (1) 3x2+4x －3=0； (2) 4x2= 12x －9；(3) 7y = 5(y2 + 1 ) . (2) 将原方程化为一般形式，得 4x2 － 12x + 9=0. 所以，原方程有两个相等的实数根. 因为Δ = b2－4ac = (－12 )2－4×4×9 = 144－144 = 0， 若方程不是一般形式，则要先将其化为一般形式，才能确定a，b，c的值 (1) 3x2+4x －3=0； (2) 4x2= 12x －9；(3) 7y = 5(y2 + 1 ) . ( 3 )将原方程化为一般形式，得 5y2－7y + 5=0. 因为 Δ = b2－4ac = (－7 )2－4×5×5 = 49－100 =－51<0， 所以，原方程没有实数根. 随堂诊断 1. 一元二次方程(x+1)(x－1)=2x+3的根的情况是 ( ) (A) 有两个相等的实数根 (B) 有两个不相等的实数根 (C) 只有一个实数根 (D) 没有实数根 解： 将原方程化为一般形式，得 x2－2x－4 = 0 因为Δ = b2－4ac = (－2)2－4×1×(－4)= 20 > 0 所以，原方程有两个不相等的实数根. B 2. 不解方程，判别下列方程根的情况： (1) 5x2+1= 4x； (2) 3(y2 － 1 ) － 5y = 0； 解：(1) 将原方程化为一般形式，得 5x2－4x+1= 0. 因为Δ = b2－4ac = (－4)2－4×5×1 = 16 － 20 = －4 < 0， 所以，原方程没有实数根. 2. 不解方程，判别下列方程根的情况： (1) 5x2+1= 4x； (2) 3(y2 － 1 ) － 5y = 0； 解：(2) 将原方程化为一般形式，得 3y2－5y－3= 0. 因为Δ = b2－4ac = (－5)2－4×3×(－3) = 25 + 36 = 61 > 0， 所以，原方程有两个不相等的实数根. 3. 若关于 x 的一元二次方程 (k－1)x2+x+1 = 0 有两个实数根，则 k 的取值范围是 ( ) 思路分析： (k－1)x2+x+1= 0 一元二次方程 两个实数根 k－1 ≠ 0 Δ=12－4(k－1)≥0 k ≠ 1 所以 D 练习 1. 一元二次方程 x2－x+1=0 的根的情况为 ( ) (A) 有两个相等的实数根 (B) 有两个不相等的实数根 (C) 只有一个实数根 (D) 没有实数根 因为Δ =b2－4ac = (－1)2－4×1×1 = 1－4 = －3 < 0， x2－x+1=0 所以，原方程没有实数根. D 2. 不解方程，利用判别式判断下列方程根的情况： 解：(1) 因为Δ = b2－4ac = 32－4×1×( －1 ) = 9+ 4 = 13>0， 所以，原方程有两个不相等的实数根. (1) x2+3x－1=0； (2) x2－6x+9=0； (3) 2y2 － 3y + 4 = 0； (1) x2+3x－1=0； (2) x2－6x+9=0； (3) 2y2 － 3y + 4 = 0； 解：(2)因为Δ = b2－4ac = (－6)2－4×1×9 = 36－36 = 0， 所以，原方程有两个相等的实数根. (1) x2+3x－1=0； (2) x2－6x+9=0； (3) 2y2 － 3y + 4 = 0； 解：(3)因为Δ = b2－4ac = (－3)2－4×2×4 = 9－32 = －23<0， 所以，原方程没有实数根. (1) x2+3x－1=0； (2) x2－6x+9=0； (3) 2y2 － 3y + 4 = 0； 所以，原方程有两个相等的实数根. = 20－20 = 0 解：(4) 将原方程化为一般形式，得 3. 若关于x的一元二次方程(a－2)x2－2ax + a +1=0没有实数解，求ax+3>0的解集(用含a的式子表示)． 解：因为关于 x 的一元二次方程 (a－2)x2－2ax+a+1=0没有实数解． 所以 (－2a)2 － 4(a－2)(a+1)=4a2－4a2+4a+8 < 0 所以 a <－2 因为 ax+3 > 0 又因为 a <－2 4. 已知一元二次方程 x2+px+q+1=0的一根为2． (1)求 q 关于 p 的关系式； (2)求证：抛物线y=x2+px+q与x轴有两个交点． 解：(1) 因为一元二次方程x2+px+q+1= 0的一根为2， 所以 22+2p+q+1=0， 即 q=－2p－5. (2) 证明：令 x2+px+q = 0． 则Δ=p2－4q=p2－4(－2p－ 5) = (p+4)2+4＞0，即Δ＞0， 所以，关于x的方程x2+px+q=0有两个不相等的实数根． 即抛物线y = x2 + px + q与x轴有两个交点． 4. 已知一元二次方程 x2+px+q+1=0的一根为2． (1)求 q 关于 p 的关系式； (2)求证：抛物线y=x2+px+q与x轴有两个交点． 课堂小结 当Δ >0 时，方程有两个不相等的实数根，其根为 当Δ =0 时，方程有两个相等的实数根，其根为 当Δ < 0 时，方程没有的实数根. 1 2 3 $