3.2.1 配方法 第2课时 课件 2026-2027学年湘教版数学九年级上册

湘教·九年级上册 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程 复习导入 解下列方程 (1) 4x2－16 = 0； (3) 2x2 + 24 = 0. 解：(1) 原方程经过移项，左右两边同时除以4，得 x2 = 4 因此，原方程的根为 x1 = 2， x2 = －2. (1) 4x2－16 = 0； (3) 2x2 + 24 = 0. (2) 原方程左右两边同时乘3，得 (3x－6) 2 = 0 因此，原方程的根为 x1 = x2 = 2. 根据平方根的意义，得 3x－6 = 0 (1) 4x2－16 = 0； (3) 2x2 + 24 = 0. (3)原方程经过移项，左右两边同时除以2，得 x 2 = －12 因为－12<0，所以原方程无实数根. 新课探究 在下列各题中填上适当的数，使等式成立. 做一做 (1) x2 + 6x +_____= (x + _____ )2. (2) x2 + 6x + 5 = x2 + 6x+____－_____+5 =(x + ___ )2－________. (3) x2 － 6x +_____= (x － _____ )2. (4) x2－6x +1 = x2－6x + ____－___+1 =(x － ___ )2－____. (a±b)2=a2 ± 2ab+b2 9 3 32 32 3 4 9 3 32 32 3 8 (2) x2 + 6x + 5 = x2 + 6x+____－_____+5 =(x + ___ )2－________. (4) x2－6x +1 = x2－6x + ____－___+1 =(x － ___ )2－____. 32 32 3 4 32 32 3 8 观察 (2)(4) 可以发现，为使含未知数的项在一个完全平方式里，我们需要加上一次项系数绝对值的一半的平方，再减去这个加上的数. (6÷2)2 (2) x2 + 6x + 5 = x2 + 6x+____－_____+5 =(x + ___ )2－________. (4) x2－6x +1 = x2－6x + ____－___+1 =(x － ___ )2－____. 32 32 3 4 32 32 3 8 (6÷2)2 一般地，像上面这样，将多项式 x2±6x 加上一次项系数绝对值的一半的平方，再减去这个数，使得含未知数的项在一个完全平方式里，这种做法称为配方. 探究 如何解方程 x2+4x = 12？ 分析：前面我们已经知道，如果能这个方程 x2+4x = 12写成(x+n)2=d(d≥0)的形式，那么就可以根据平方根的意义来求解. 为此，我们需要将方程 x2+4x = 12 的左边进行配方，即加上 ；再减22. 如何解方程 x2+4x = 12？ x2+ 4x + 22－22 = 12, 由此，得 x2 + 4x +22 = 22+12. 即 (x＋2)2 = 16. 根据平方根的意义，得 x +2=4或x +2=－4. 解得 x1 = 2，x2=－6. 可以将“22”换成其他数的平方吗？ 方程经配方、整理后就可以直接根据平方根的意义来解，这种解一元二次方程的方法叫作配方法. x2+4x = 12 (x＋2)2 = 16. x1 = 2，x2=－6. 利用配方法解一元二次方程，实际上是利用平方根的意义，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解. 例3 用配方法解下列方程: (1) x2 + 10x + 9=0； (2) x2 － 12x = 13. 解：(1) 配方，得 x2 + 10x +52 － 52 + 9=0, 因此 (x＋5)2 = 16. 由此得 x + 5 =4 或 x + 5 =－4. 解得 x1= － 1，x2 = － 9. (2) 配方，得 x2－12x ＋62 － 62 =13， 因此 (x－6)2 = 49. 由此得 x－6 =7 或 x－6 =－7. 解得 x1= 13，x2 = － 1. 例3 用配方法解下列方程: (1) x2 + 10x + 9=0； (2) x2 － 12x = 13. 用配方法解一元二次方程的一般步骤 一般步骤 方法 示例x2－2x－3=0 一移 移项 将常数项移到方程的右边，含未知数的项移到方程的左边 x2－2x=3 二配 配方 方程左、右两边同时加上一次项系数一半的平方 x2－2x+1=3+1 即(x－1)2=4 一般步骤 方法 示例x2－2x－3=0 三开 开平方 利用平方根的意义直接开平方 x－1=2或x－1=－2 四解 解两个一元一次方程 移项、合并同类项 x1=3或x2=－1 随堂诊断 1. 利用配方法解下列方程： (1) x2+8x = 1 (2) x2－5x+2 = 0 解：(1) 配方，得 x2 + 8x ＋42 － 42 =1， 因此 (x + 4)2 = 17. 由此得 x + 4 = 或 x + 4 = . 解得 x1= ，x2 = . 1. 利用配方法解下列方程： (1) x2+8x = 1 (2) x2－5x+2 = 0 解：(2) 配方，得 因此 由此得 解得 2. 用配方法将方程x2－4x－4=0化成 (x+m)2=n的形式，则m，n的值分别是( ). A. －2，0 B. 2，0 C.－2，8 D. 2，8 解析： x2－4x－4 = 0 (x－2) 2 = 8 (x + m) 2 = n C 3. 已知等腰三角形的两边长分别是一元二 次方程 x2－6x+8=0 的两根，则该等腰三角形的底边长为 ( ). A. 2 B. 4 C.8 C. 2或4 解析： x2－4x－4 = 0 解得 x1=4，x2=2. ①当三边长为 2，2，4时，无法构成三角形 ②当三边长为 2，4，4时，可以构成等腰三角形，此时底边长为 2. A (1) x2+4x+1 = x2+4x +___－___+1 = ( x +___)2－___； (2) x2－8x－9= x2－8x+___－___－9 = (x－___)2－___； (3) x2+ 3x－4= x2+3x +___－___－4 = (x +___)2 －___. 练习 1. 填空: 4 4 2 3 16 16 4 25 2.用配方法解下列方程: (1) x2 + 4x ＋ 3 = 0； (2) x2+8x － 9=0； (3) x2 + 8x =2 ； (4) x2－5x =6. 解：(1)配方，得 x2+ 4x ＋22－22 + 3=0, 因此 (x＋2)2= 1. 由此得 x +2 =1 或 x＋2 = －1. 解得 x1 = －1，x2 = －3. 2.用配方法解下列方程: 解：(2) 配方，得 x2 + 8x ＋42－42 － 9=0, 因此 (x＋4)2= 25. 由此得 x +4 = 5或x＋4 = － 5. 解得 x1= 1，x2 = － 9. (1) x2 + 4x ＋ 3 = 0； (2) x2+8x － 9=0； (3) x2 + 8x =2 ； (4) x2－5x =6. 2.用配方法解下列方程: 解：(3) 配方，得 x2+ 8x ＋42－42 =2， 因此 (x＋4)2 = 18. 由此得 解得 (1) x2 + 4x ＋ 3 = 0； (2) x2+8x － 9=0； (3) x2 + 8x =2 ； (4) x2－5x =6. 2.用配方法解下列方程: 解得 x1= 6，x2 = －1. 解：(4) 配方，得 因此 由此得 (1) x2 + 4x ＋ 3 = 0； (2) x2+8x － 9=0； (3) x2 + 8x =2 ； (4) x2－5x =6. 课堂小结 方程经配方、整理后就可以直接根据平方根的意义来解，这种解一元二次方程的方法叫作配方法. x2+4x = 12 (x＋2)2 = 16. x1 = 2，x2=－6. 利用配方法解一元二次方程，实际上是利用平方根的意义，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解. $