第一章 空间向量与立体几何 单元检测卷（六）-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

人教A版2019高中数学选择性必修一 第一章 空间向量与立体几何　 单元检测卷（六） 学校：＿＿＿＿＿＿　考号：＿＿＿＿＿＿　班级：＿＿＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿＿＿ 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知 ，，，点 为 的中点，点 为 的中点，则 （　　） A．　　　　　B．　　　　　 C．　　　　　D． 2．已知 ，， 与 的夹角为 ，则 （　　） A．　　　　　B．　　　　　C．　　　　　D． 3．已知 ，，则 与 夹角的余弦值为（　　） A．　　　　　B．　　　　　C．　　　　　D． 4．如图，在棱长为 1 的正方体 中，点 为棱 的中点，点 为棱 的中点，则 （　　） A．　　　　　B．　　　　　C．　　　　　D． 5．已知 ，，，点 在平面 内，且 ，则 （　　） A．　　　　　B．　　　　　C．　　　　　D． 6．已知平面 经过 ，， 三点，则平面 的一个法向量为（　　） A．　　　B．　　　C．　　　　　D． 7．如图，在长方体 中，，，则直线 与平面 所成角的正切值为（　　） A．　　　　　B．　　　　　C．　　　　　D． 8．如图，在棱长为 2 的正方体 中，则点 到平面 的距离为（　　） A．　　　　　B．　　　　　C．　　　　　D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．下列结论正确的是（　　） A．向量 在 上的投影向量为 B．若 ，则 或 C．对任意向量 ，，都有 D．若 ，，则 10．如图，在棱长为 2 的正四面体 中，则下列结论正确的是（　　） A． B．异面直线 与 所成角的大小为 C． D．异面直线 与 所成角的余弦值为 11．已知 ， 分别是平面 ， 的法向量，则下列结论正确的是（　　） A． B． 与 夹角的余弦值为 C．若直线 的方向向量为 ，则 D．存在非零向量 同时与 ， 垂直 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知 ，，则 在 上的投影向量为________． 13．在棱长为 2 的正方体 中，点 到平面 的距离为________． 14．已知 ，，且 ，则 与 的夹角为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）如图，在空间四面体 中，点 为棱 的中点，点 为棱 的中点，记 ，，。 （1）用基底 ，， 表示 ； （2）若 ，，且 ，， 两两垂直，求 ，并求异面直线 与 所成角的余弦值。 16．（15分）如图，在正三棱柱 中，底面 是边长为 2 的正三角形，，点 为棱 的中点。 （1）证明： 平面 ； （2）求直线 与平面 所成角的正弦值； （3）求点 到平面 的距离。 17．（15分）如图，在棱长为 2 的正方体 中，点 为棱 的中点，点 为棱 的中点。 （1）证明： 平面 ； （2）求直线 与平面 所成角的正切值； （3）求点 到平面 的距离。 18．（17分）如图，在长方体 中，，。 （1）证明： 平面 ； （2）求直线 与平面 所成角的正弦值； （3）求二面角 的余弦值。 19．（17分）如图，在棱长为 2 的正方体 中，点 为棱 的中点，点 为棱 的中点。 （1）证明： 平面 ； （2）求异面直线 与 所成角的余弦值； （3）求三棱锥 的体积。 学科网（北京）股份有限公司 $人教A版2019高中数学选择性必修一 第一章 空间向量与立体几何　 单元检测卷（六） 学校：＿＿＿＿＿＿　考号：＿＿＿＿＿＿　班级：＿＿＿＿＿＿　姓名：＿＿＿＿＿＿ 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知 ，，，点 为 的中点，点 为 的中点，则 （　　） A．　　　　　B．　　　　　 C．　　　　　D． 2．已知 ，， 与 的夹角为 ，则 （　　） A．　　　　　B．　　　　　C．　　　　　D． 3．已知 ，，则 与 夹角的余弦值为（　　） A．　　　　　B．　　　　　C．　　　　　D． 4．如图，在棱长为 1 的正方体 中，点 为棱 的中点，点 为棱 的中点，则 （　　） A．　　　　　B．　　　　　C．　　　　　D． 5．已知 ，，，点 在平面 内，且 ，则 （　　） A．　　　　　B．　　　　　C．　　　　　D． 6．已知平面 经过 ，， 三点，则平面 的一个法向量为（　　） A．　　　B．　　　C．　　　　　D． 7．如图，在长方体 中，，，则直线 与平面 所成角的正切值为（　　） A．　　　　　B．　　　　　C．　　　　　D． 8．如图，在棱长为 2 的正方体 中，则点 到平面 的距离为（　　） A．　　　　　B．　　　　　C．　　　　　D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．下列结论正确的是（　　） A．向量 在 上的投影向量为 B．若 ，则 或 C．对任意向量 ，，都有 D．若 ，，则 10．如图，在棱长为 2 的正四面体 中，则下列结论正确的是（　　） A． B．异面直线 与 所成角的大小为 C． D．异面直线 与 所成角的余弦值为 11．已知 ， 分别是平面 ， 的法向量，则下列结论正确的是（　　） A． B． 与 夹角的余弦值为 C．若直线 的方向向量为 ，则 D．存在非零向量 同时与 ， 垂直 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知 ，，则 在 上的投影向量为________． 13．在棱长为 2 的正方体 中，点 到平面 的距离为________． 14．已知 ，，且 ，则 与 的夹角为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）如图，在空间四面体 中，点 为棱 的中点，点 为棱 的中点，记 ，，。 （1）用基底 ，， 表示 ； （2）若 ，，且 ，， 两两垂直，求 ，并求异面直线 与 所成角的余弦值。 16．（15分）如图，在正三棱柱 中，底面 是边长为 2 的正三角形，，点 为棱 的中点。 （1）证明： 平面 ； （2）求直线 与平面 所成角的正弦值； （3）求点 到平面 的距离。 17．（15分）如图，在棱长为 2 的正方体 中，点 为棱 的中点，点 为棱 的中点。 （1）证明： 平面 ； （2）求直线 与平面 所成角的正切值； （3）求点 到平面 的距离。 18．（17分）如图，在长方体 中，，。 （1）证明： 平面 ； （2）求直线 与平面 所成角的正弦值； （3）求二面角 的余弦值。 19．（17分）如图，在棱长为 2 的正方体 中，点 为棱 的中点，点 为棱 的中点。 （1）证明： 平面 ； （2）求异面直线 与 所成角的余弦值； （3）求三棱锥 的体积。 参考答案（详细版） 一、单项选择题 1．C　【解析】，，故 ．故选 C。 2．B　【解析】，故 ，即 ．故选 B。 3．A　【解析】，，，故 ．故选 A。 4．B　【解析】以 为原点建系（棱长 1），，，，故 ．故选 B。 5．D　【解析】点 在平面 内的充要条件是 且 ，故 ，解得 ．故选 D。 6．A　【解析】设 ，则 ，，取 ，得 ，故 ，经验证 ，．故选 A。 7．C　【解析】以 为原点，，， 所在直线为 ，， 轴建系，则 ，，，；平面 的法向量 ，故 ，，．故选 C。 8．B　【解析】以 为原点建系（棱长 2），，，设平面 的法向量 ，则 ，取 ，平面方程为 ；故 ．故选 B。 二、多项选择题 9．AC　【解析】A 正确，投影向量为 ；B 错误，如 ， 时 ，但 ， 均非零向量；C 正确，展开得 ，恒成立；D 错误，当 时（零向量与任意向量平行）， 与 未必平行。故选 AC。 10．ABC　【解析】正四面体侧面均为正三角形，A 正确，；B 正确，正四面体的对棱互相垂直，故 与 所成角为 ；C 正确， 且 ，故 ，即 ；D 错误， 与 也是对棱，所成角为 ，余弦值为 。故选 ABC。 11．BD　【解析】A 错误，， 与 不垂直；B 正确，；C 错误， 与 不共线，故 与 不垂直；D 正确，如 满足 ，。故选 BD。 三、填空题 12．　【解析】，，故投影向量为 。 13．　【解析】以 为原点建系（棱长 2），，，平面 的法向量 ，平面方程为 ；故 。 14．　【解析】由 得 ，故 ；，又夹角 ，故 。 四、解答题 15．（1）。 【解析】，由 为 中点得 ，由 为 中点得 ；（3 分） 故 。（3 分） （2）；异面直线 与 所成角的余弦值为 。 【解析】由 ，， 两两垂直得 ，故 ，即 ；（4 分） ，又 ；（3 分） 故 。（3 分） 16．（1）证明：因为 为正三角形， 为 的中点，所以 ；（2 分） 又直三棱柱中 平面 ， 平面 ，所以 ；（1 分） ，， 平面 ，所以 平面 。（1 分） （2）。 【解析】以 为原点，， 所在直线为 轴、底面内垂直于 的直线为 轴， 方向为 轴建系，则 ，，，；（3 分） 平面 的一个法向量为 ，故 。（2 分） （3）。 【解析】接（2）中坐标系，，，，，，设平面 的法向量 ，则 ，取 ，；（3 分） 又 ，，故 。（3 分） 17．（1）证明：以 为原点，，， 所在直线为 ，， 轴建系，则 ，，。（2 分） 平面 过点 ，其一个法向量为 ，，故 平面 或 平面 ；（1 分） 又 的横坐标为 ， 平面 ，所以 平面 。（1 分） （2）。 【解析】，平面 的法向量 ；（3 分） ，故 ，。（2 分） （3）。 【解析】，，，设平面 的法向量 ，则 ，取 ；（3 分） 平面 过点 ，其方程为 ，即 ，故点 到平面 的距离 。（3 分） 18．（1）证明：以 为原点，，， 所在直线为 ，， 轴建系，则 ，，，，，，。（2 分） ，，即 ，；（1 分） 又 ，， 平面 ，所以 平面 。（1 分） （2）。 【解析】，，；（2 分） 平面 过点 ，其一个法向量为 ，故 。（3 分） （3）。 【解析】，，，设平面 的法向量 ，则 ，取 ；（4 分） 平面 即底面 ，其法向量 ，；（2 分） 设 的中点为 ，，，，故二面角 为锐二面角，其余弦值为 。（2 分） 19．（1）证明：以 为原点，，， 所在直线为 ，， 轴建系（棱长 2），则 ，，。（2 分） 由 ， 得平面 的一个法向量 ，且平面 的方程为 ；（2 分） ，且 满足 ，即 平面 ，所以 平面 。（1 分） （2）。 【解析】，，；（2 分） ，故 。（3 分） （3）。 【解析】，，，， 为正三角形，；（3 分） 由（1）知平面 的方程为 ，，故点 到平面 的距离 ；（3 分） 所以 。（1 分） 学科网（北京）股份有限公司 $