专题03 空间向量的应用11大题型（期中专项训练）高二数学上学期人教A版选择性必修第一册

专题03 空间向量的应用 基础·固本强基 题型1 平面法向量的概念及表示 题型2 直线方向向量的概念及表示 提升·进阶突破 题型3 空间直线、平面的位置关系表示 题型4 空间直线、平面的位置关系证明 题型5 空间向量求点到平面距离（重点） 题型6 空间向量求点到直线距离（重点） 题型7 空间向量求平行平面距离（重点） 题型8 空间向量求异面直线距离（重点） 拔高·压轴破难 题型9 空间向量求异面直线夹角（难点） 题型10 空间向量求线面角（难点） 题型11 空间向量求面面角（难点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 基础·固本强基 题型1平面法向量的概念及表示 【方法总结】与平面垂直的非零向量。一个平面的法向量不唯一，与它共线的任意非零向量都可作为法向量。求法向量时，先找平面内两个不共线向量，再设法向量与它们都垂直，列方程求解即可。 1．（25-26高二上·云南昆明·期末）在平行六面体中，所有棱长都为2，且，为线段的中点，设，则平面的一个法向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，利用题设条件和法向量定义计算求出即可得解. 【详解】由题可得， ， 且 设平面的一个法向量，则， 所以， 所以， 所以，取，则. 故选：A 2．（25-26高二上·广东广州·期末）已知正方体的棱长为1，以A为原点，为单位正交基底，建立空间直角坐标系，则平面的一个法向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，求出点坐标，然后方程组求出平面的一个法向量. 【详解】建立坐标系并确定点坐标，如图 以为原点，为单位正交基底，正方体棱长为1，则各点坐标为：，，， ， 设平面的法向量为，则 且， 即 化简得，， 令，则，，即法向量为. 故选：A. 3．（25-26高二上·北京西城·期中）空间直角坐标系中，已知，，，则“”是“为平面的法向量”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据平面的法向量定义，利用充分条件和必要条件的判断方法即可推得． 【详解】因为，，， 所以. 当时，， ，， 所以是平面的一个法向量； 当是平面的一个法向量时， ，解得. 所以“”是“为平面的法向量”的充分不必要条件. 故选：A. 4．（25-26高二上·安徽阜阳·阶段检测）（多选）小强同学在学习平面的法向量的过程中，发现了一种求解已知平面的法向量的快速方法：在空间直角坐标系中，平面α内两个不共线的向量分别为则平面α的一个法向量为.若已知在平面ABO中，O为原点，点，小强选取点O，A，B三点中的两点，用他的方法计算平面ABO的法向量，下列结论正确的是（    ） A．是其中一个解 B．是其中一个解 C．用上述条件在该方法下得到的法向量是唯一的 D．用上述条件在该方法下得到的法向量的模长是唯一的 【答案】BD 【分析】利用法向量求法求解. 【详解】由题意，若取， 则由计算规则得出. 若取， 则由计算规则得出. 无论法向量方向如何，模长均为：， 故选：BD 5．（25-26高二上·四川成都·阶段检测）在长方体中，．以为原点，以为空间的一个单位正交基底，建立空间直角坐标系，则平面的一个法向量为_____（用向量的坐标表示）． 【答案】 【分析】求得点的坐标，进而根据设平面的法向量为，根据，可求法向量的一个坐标. 【详解】以为空间的一个单位正交基底，空间直角坐标系如图所示： 又因为， 则， 则， 设平面的法向量为， ， 令，则， 所以平面的一个法向量为. 故答案为：（不唯一）. 题型2直线方向向量的概念及表示 【方法总结】与直线平行的非零向量。一条直线的方向向量不唯一，与它共线的任意非零向量都可作为方向向量。求方向向量时，可直接取直线上两点坐标相减得到。 1．（25-26高二下·湖南衡阳·开学考试）已知直线经过点，，下列向量不是该直线的方向向量的为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出直线所在向量，则与向量共线的非零向量均为该直线的方向向量，利用共线向量的概念逐一计算判断选项． 【详解】直线经过点，，， 与向量共线的非零向量均为该直线的方向向量， 选项A：假设向量与共线，则， 由得，得，故不存在唯一的，使得成立， 故向量不是该直线的方向向量； 选项B：假设向量与共线，则，解得， 故向量是该直线的方向向量； 选项C：假设向量与共线，则，解得， 故向量是该直线的方向向量； 选项D：假设向量与共线，则，解得， 故向量是该直线的方向向量． 故选：A． 2．（25-26高二上·山东济宁·期中）阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：直线是两平面与的交线，则下列向量可以为直线的方向向量的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意求平面的法向量，再由垂直关系即可求直线的方向向量． 【详解】由题意有：平面的法向量为， 平面的法向量为， 设直线的方向向量为， 所以，令，得， 而ACD中的向量与该向量均不共线， 故选：B 3．（25-26高二上·福建福州·期中）（多选）已知，分别为直线，的方向向量（，不重合），，分别为平面，的法向量（，不重合），则下列说法中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据直线的方向向量与平面的法向量的性质，以及直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的位置关系判定. 【详解】对于A：直线的方向向量，说明两条不重合的直线的“方向”相同或相反，因此可以推出； 反之，若，它们的方向向量也必然平行，因此，所以A正确； 对于B：平面的法向量垂直于平面内的所有直线，若，说明直线的方向向量与 平面的法向量垂直，此时平行于平面或在平面内，而非“”，所以B错误； 对于C：平面的法向量，说明两个不重合的平面垂直于平面的方向相同或相反， 因此可以推出；反之，若，它们的法向量也必然平行，因此，所以C正确； 对于D：若，说明直线的方向向量与平面的法向量垂直，此时平行于平面或在平面内， 不能直接推出“”因为可能在平面内，所以D错误. 故选：AC. 4．（25-26高二下·江苏淮安·阶段检测）若，在直线上，则直线的一个方向向量是______ 【答案】（答案不唯一，只要与向量共线即可） 【详解】因为，在直线上， 所以可以是直线的一个方向向量. 5．（25-26高二上·广东广州·期末）如图，在三棱锥中，是的中点，点在上，且．设，，，则直线的一个方向向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据几何图形和向量基本定理以及方向向量的定义进行求解即可. 【详解】根据题意可得，. 所以直线的一个方向向量为. 故选：D. 提升·进阶突破 题型3 空间直线、平面的位置关系表示 【方法总结】判断时先看方向向量与法向量的关系，再结合是否重合、是否在面内确定具体位置。 线线关系：平行、相交、异面。方向向量共线则平行或重合；方向向量不共线则相交或异面。 线面关系：平行、相交、线在面内。方向向量与法向量垂直则平行或线在面内；不垂直则相交。 面面关系：平行、相交。法向量共线则平行或重合；不共线则相交。 1．（26-27高二上·宁夏银川·阶段检测）（多选）若为平面的法向量，为平面的法向量，为直线的方向向量，则（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则或 【答案】ACD 【详解】对于A，由题意可知，则，存在实数，使得， 所以，解得，选项A正确； 对于B，若，则，存在实数，使得， 所以，解得，选项B错误； 对于C，若，则， 所以，选项C正确； 对于D，若，则， 所以，所以或者，选项D正确. 2．（26-27高二上·河南平顶山·阶段检测）在空间直角坐标系中，已知，点，点，若平面经过点，且为平面的法向量，是平面内的任意一点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，，且在平面内， 又为平面的一个法向量， 所以， 整理得：. 3．（26-27高二上·全国·课后作业）（多选）已知空间三点，，，设，．则下列结论正确的是（   ） A．若，且，则 B．和的夹角的余弦值 C．若与互相垂直，则的值为2 D．若与轴垂直，则，应满足 【答案】BD 【分析】根据给定条件，利用空间向量的坐标运算逐项求解判断. 【详解】由，得，，， 对于A，由，设，则， 解得，则或，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，，， 由，解得，C错误； 对于D，， 由与轴垂直，得，即，D正确． 4．（26-27高二上·辽宁营口·开学考试）（多选）已知空间非零向量，，，则（    ） A．，可以相互垂直 B．，为平面的共面向量 C．是平面的一个法向量 D．，不能作为其确定平面内的一组基底 【答案】BC 【分析】根据空间向量平行垂直的坐标运算和平面向量基本定理逐个判断选项正误. 【详解】若，相互垂直，则，解得， 与题意为非零向量矛盾，所以，不可以相互垂直，所以选项A错误； ，的竖坐标均为0，所以，均在平面内， 所以，为平面的共面向量，所以选项B正确； ，非零向量，则，所以是非零向量，且平行于竖轴， 是平面的一个法向量，所以选项C正确； 因为，是非零向量，所以，所以，不共线， 所以，可以作为其确定平面内的一组基底，选项D错误. 5．（25-26高二下·福建龙岩·期末）（多选）若为平面的法向量，为平面的法向量，为直线l的方向向量，则（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AC 【详解】由题意可知若，则，存在实数，使得， 所以，解得，选项A正确； 若，则，存在实数，使得， 所以，解得，选项B错误； 若，则，所以，选项C正确. 若，则，所以，所以或者，选项D错误. 题型4 空间直线、平面的位置关系证明 【方法总结】空间直线、平面位置关系证明： 线线平行：证两直线方向向量共线。线线垂直：证两直线方向向量数量积为零。线面平行：证直线方向向量与平面法向量垂直，且直线不在平面内。线面垂直：证直线方向向量与平面法向量共线。面面平行：证两平面法向量共线，且不重合。面面垂直：证两平面法向量数量积为零。四点共面：取其中两点确定一条直线，求其方向向量；再取另外两点确定另一条直线，求其方向向量。若两方向向量共线且有公共点，则四点共面；若两方向向量不共线，再看第三条连线向量是否与这两个方向向量共面。 1．（26-27高三·全国·一轮复习）如图，在棱长为的正方体中，，分别为，的中点，点在棱上，且.证明：四点共面； 【答案】解法一：在正方体中，以点为坐标原点，以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 于是，且向量不共线， 所以向量共面，又向量有公共点， 所以四点共面. 解法二：延长交于点，连接交于点； 因为，所以； 又，所以，而，所以点与点重合， 故四点共面. 【分析】解法一：建立空间直角坐标系，用基底向量表示向量，进而可得四点共面； 解法二：延长交于点，连接交于点，再通过比例关系证明点与点P重合，进而可得四点共面. 【详解】略 2．（26-27高二上·青海海东·阶段检测）如图，在棱长为2的正方体中，，、分别是棱、、的中点． (1)求平面的法向量； (2)证明：平面． 【答案】(1) (2)由（1）得. 则. 所以. 所以，即. 又因为，平面， 所以平面. 【分析】（1）以为原点，分别以为轴，轴，轴建立空间直角坐标系即可求平面的法向量. （2）利用空间向量可证明，再利用线面垂直的判定定理即可. 【详解】（1）如图，以为原点，分别以为轴，轴，轴建立空间直角坐标系. 则， 则. 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，所以. 平面的法向量. （2）略 3．（26-27高三·全国·一轮复习）如图，在边长为的正方体中，点分别在，上，，求证：平面平面． 【答案】证明: 在边长为的正方体中，， 因此，， 因为且，所以四边形是平行四边形，故. 又平面，平面，所以平面. 因为且，所以四边形是平行四边形，故， 同理可知平面. 因为，且都在平面内， 所以平面平面. 【分析】结合正方体棱长与已知的，根据线面平行判定定理证明平面，同理证明平面，再结合面面平行判定定理证明即可. 【详解】略. 4．（25-26高二下·江苏泰州·期末）在长方体中，已知，，点在平面上的射影为． (1)设，求，的值； (2)已知，，其中．若平面，求的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，根据题意得到垂直关系，从而得到方程组，求出答案； （2）求出平面的法向量，根据平行关系得到，从而得到方程，结合（1）中结论得到方程，求出答案 【详解】（1）以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， ， 设，则， 点在平面上的射影为，所以⊥平面， 因为平面，所以⊥，⊥， ， 由得 ， 即， ， 由得， 故，则， 将其代入中，可得， 整理得，解得， （2）， 设，， 因为，，所以， 所以，， 所以，， 所以， 则， 设平面的法向量为， 则， 令，则，，其中． 故， 若平面，则，即， 故， 其中，故， 上式可化简得， 若，此时，故，即两点重合，不合要求，舍去， 故，解得 5．（2026·江苏南京·三模）如图，在四棱锥中，，，15，25. (1)求证：面； (2)求证：二面角是直二面角； (3)在平面上求点，使面. 【答案】(1)如图所示： 连接BD，取BD的中点O，连接PO，因为，， 所以的外接圆的圆心为BD的中点，即点O，也为点P在底面ABCD上的射影，则平面ABCD， 因为平面ABCD，所以，又因为，满足所以， 又，所以面； (2)以A为原点，以AB，AD分别为x，y轴，建立空间直角坐标系：则 易得，则，设，则， 因为，所以，解得，则 所以， 设平面PBC的一个法向量为则，即， 令，则，所以， 设平面PCD的一个法向量为则，即， 令，则，所以， 因为，所以，则平面平面PDC，所以二面角是直二面角； (3). 【分析】（1）连接BD，取BD的中点O，连接PO，易得平面ABCD，从而，再由得到，然后利用线面垂直的判定定理证明； （2）以A为原点，以AB，AD分别为x，y轴，建立空间直角坐标系，分别求得平面PBC和平面PDC，利用向量法求解； （3）根据面，得到，设，由求解. 【详解】（1）如图所示： 连接BD，取BD的中点O，连接PO， 因为，， 所以的外接圆的圆心为BD的中点，即点O， 也为点P在底面ABCD上的射影，则平面ABCD， 因为平面ABCD,所以， 又因为，满足 所以，又， 所以面； （2）以A为原点，以AB，AD分别为x，y轴，建立空间直角坐标系： 则 易得，则， 设，则 ，因为， 所以，解得， 则 所以， 设平面PBC的一个法向量为 则，即 令，则， 所以， 设平面PCD的一个法向量为 则，即 令，则， 所以， 因为，所以， 则平面平面PDC，所以二面角是直二面角； （3）因为面，所以，设， 则， 因为， 所以， 解得， 则. 题型5 空间向量求点到平面距离 【方法总结】先求平面的法向量，再取平面内一点与目标点构成向量，该向量在法向量方向上的投影长度就是点到平面的距离。即用数量积绝对值除以法向量模长。 1．（26-27高二上·河南平顶山·阶段检测）如图，在直三棱柱中，，，为棱的中点，是棱上的异于端点的一点. (1)求证：； (2)若是棱的中点，求平面与平面的夹角的余弦值； (3)记点，到平面的距离分别为，，求的最小值. 【答案】(1)取和的中点和，连接， 则，因为，可得， 在直三棱柱中，可得底面，且底面， 所以，所以，可得， 又因为，且，可得， 以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，可得， 因为为的中点，所以 ， 所以， 可得， 所以，所以. (2) (3) 【分析】（1）取的中点，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得向量和，结合，即可证得； （2）分别求得平面和平面的法向量和，结合向量的夹角公式，即可求解； （3）设，求得平面的法向量为，结合向量的距离公式，求得，结合基本不等式，即可求解. 【详解】（1）略 （2）因为是棱的中点，可得，所以， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 又由， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 设平面与平面的夹角为， 可得， 所以平面与平面的夹角的余弦值. （3）因为是棱上的异于端点的一点，令，其中， 由，可得，所以点， 即平面的三点为， 可得， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 又由， 则点到平面的距离为，则 点到平面的距离为，则， 所以 ， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为. 2．（26-27高二上·河南·期中）已知点，点在平面内，若平面的法向量，则点到平面的距离为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】由题设，应用向量法求点到平面的距离即可. 【详解】由题意得，所以点到平面的距离. 故选：B 3．（26-27高二上·江苏无锡·阶段检测）如图，点为正方形所在平面外一点，为中点，.若平面平面，，. (1)求证： (2)若点到平面的距离为，求的值. 【答案】(1) 因为为正方形，所以 因为平面平面，且平面平面， 所以平面，且平面， 所以； (2) 【分析】（1）根据面面垂直，转化为线面垂直和线线垂直； （2）以点为原点建立空间直角坐标系，首先求平面的法向量，再代入点到平面距离的向量法，即可求解. 【详解】（1）略. （2）如图，以点为原点，以为轴的正方向建立空间直角坐标系， ，，，，， 设平面的法向量为， 则，， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为， 因为，点到平面的距离为， 所以，解得：. 4．（26-27高二上·黑龙江吉林·期中）如图，在三棱柱中，平面平面为中点，，，. (1)求证：平面； (2)在线段上是否存在一点，使点到平面的距离为？若存在，请求出四面体FABC的体积；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)取中点，连接，如图： ，. 又平面平面，平面平面平面， 平面. 又平面. 又与相交，且平面， 平面. (2)存在， 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理证明线面垂直. （2）方法一：以中点为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量求点到平面的距离，确定点的位置，再利用锥体的体积公式求锥体体积， 方法二：以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用空间向量求点到平面的距离，确定点的位置，再利用锥体的体积公式求锥体体积， 方法三，利用等体积法求解点到平面的距离，进而确定的位置，后续求解与方法一相同. 【详解】（1）略 （2）（法一）线段上存在点，使点到平面的距离为. 取中点，连接. 由（1）知，平面平面. 又分别为中点，. 平面，.. 以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系. ，，，，,, ，，. 设. 设平面的一个法向量为，则. 则，取，则， . 设点到平面的距离， ，又. 即线段上存在点，当时，点到平面的距离为. .点到平面的距离为， 点到平面的距离为. 四面体的体积为. （法二）平面，而平面，， 取的中点，中点. 又易知，四边形是平行四边形，. 又由（1）知，平面，则平面. 以为原点，所在直线分别为轴、轴，轴，如图建系. 则，，，， ，，， ，，. 设， . 设平面的一个法向量为，则. 则，取，则. 设点到平面的距离， 即线段上存在点，当时，点到平面的距离为. 四面体的体积为. （法三）设点到平面的距离为， ， 利用等积法可得故， 又，则，， 即线段上存在点，当时，点到平面的距离为. .点到平面的距离为， 点到平面的距离为. 四面体的体积为. 5．（26-27高二上·云南玉溪·阶段检测）如图，在直三棱柱中，，是棱的中点，且，则直线到平面的距离为  （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查利用坐标法求线面距，以为原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，通过计算，从而得出平面，将直线到平面的距离转化为点到平面的距离，利用点面距的公式计算得出答案 【详解】在直三棱柱中，平面， 又， 以为原点，分别以、、所在的直线为轴、轴、轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， ，，，，， ，，，， 设平面的法向量为，则 ，即，令，， 所以平面的法向量为， ，， 又平面，平面 设直线到平面的距离为，则 . 题型6 空间向量求点到直线距离 【方法总结】先取直线上一点与目标点构成向量，再求直线方向向量的单位向量，用该向量减去它在方向向量上的投影向量，所得向量的模长即为点到直线的距离。 1．（26-27高二上·福建·期中）已知直线的方向向量为，点在直线l上，则点到直线的距离为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用空间中点到直线的距离公式求解即可. 【详解】由已知得，则， 因为直线的方向向量为， 则，， 所以点到直线的距离为： . 2．（26-27高二上·河北沧州·阶段检测）如图，在长方体中，，，． (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)求点到直线的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立空间坐标系，求出异面直线与的点的坐标，利用异面直线之间夹角公式求解两条异面直线所成角的余弦值. (2)先求出与两条直线之间的夹角，再利用向量法求解点到直线的距离. 【详解】（1）以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，由题意得，，，，. ， 所以异面直线与所成角的余弦值为. （2）由（1）知，，，又， 所以，， 设点到直线的距离为，则 . 3．（26-27高二上·宁夏吴忠·阶段检测）已知空间中的点，且，则点到的距离为______ 【答案】 【分析】通过向量的运算求出向量在直线方向向量上的投影，然后利用勾股定理求出点到直线的距离. 【详解】已知点和，，则. 向量在上的投影长度. 根据勾股定理，点到直线的距离. 4．（26-27高二上·宁夏银川·阶段检测）如图，是棱长为1的正方体，若点在平面内，且满足，则点到直线的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以为原点建立空间直角坐标系，利用四点共面的充要条件求出，进而得到点坐标，最后利用点到直线的距离公式求解. 【详解】如图，以点为原点，分别为轴建立空间坐标系， 所以，，，， 则，故， 因为点在平面内，所以四点共面. 由空间向量共面定理可知，解得，所以， 直线的方向向量为，，， 所以点到直线的距离. 5．（26-27高三上·湖北·阶段检测）边长为的正方形，为中点，将沿翻折得到，记为线段上一点，且满足，若在翻折过程中，记二面角为，，则点到直线的距离的范围是__________． 【答案】 【分析】过作于，以为坐标原点，为轴，在平面内过作垂直于的直线为轴，垂直于平面的方向为轴，求出、、的坐标，可求得、的值，根据，可得为线段的中点，求出其坐标，由空间中点到线的距离公式求解即可. 【详解】由题意可得, 过作于，则在翻折过程中， 过作于，作交的其延长线于, 过作交的延长线于，作于， 在中，，， 所以，所以， 因为，，， 所以，所以， 因为，所以， 因为，所以， 所以，所以， 因为，，，故四边形为矩形， 所以， 以为坐标原点，为轴，在平面内过作垂直于的直线为轴， 过点且垂直于平面的直线为轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则，因为，， 所以二面角的平面角为， 则、、， 又因为，且， ， 所以， 所以为线段的中点，所以， 所以， 取的一个方向向量， 因此点到直线的距离. 又因为，所以， 所以. 题型7 空间向量求平行平面距离 【方法总结】先求两平面的法向量，再取其中一个平面内一点，求该点到另一个平面的距离，即为两平行平面的距离。本质转化为点到平面的距离。 1．（2026高三·全国·专题练习）如图所示，正方体的棱长为1，，，，分别为棱，，，的中点．则平面与平面间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用面面平行的判定定理证明平面平面，从而面面距离转化为点面距离，然后建立空间直角坐标系，利用空间向量求点到面的距离公式进行求解. 【详解】连接，因为，，，分别为棱，，，的中点． 则，又平面平面， 所以平面， 连接，则． 所以四边形为平行四边形，所以． 又平面平面，所以平面， 又，平面，所以平面平面. 所以平面与平面间的距离为点到平面的距离. 以为坐标原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， 则，，，， 设平面的法向量，，， 则有，令得， 故，其中， 则点到平面的距离为. 2．（25-26高二上·辽宁大连·期中）两平行平面，分别经过坐标原点和点，且两平面的一个法向量，则两平面间的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】两平行平面间的距离可转化为点到平面的距离，结合点到平面距离的向量公式求结论. 【详解】两平行平面，分别经过坐标原点和点，，且两平面的一个法向量，两平面间的距离. 故选：B. 3．（2026高三·全国·专题练习）（多选）在棱长为1的正方体中，下列结论正确的是（    ） A．点到的距离为 B．面与面的距离为 C．直线与平面所成的角为 D．点到平面的距离为 【答案】AB 【分析】以为原点，所在的直线分别为正方向建立空间直角坐标系，利用点到直线的向量求法可判断A；求出平面、平面的一个法向量，可得平面平面，转化为点到平面的距离，利用点到平面的距离向量求法可判断B；求出平面的一个法向量，利用线面角的向量求法可判断C；利用点到平面的距离的向量求法可判断D. 【详解】以为原点，所在的直线分别为正方向建立空间直角坐标系， 对于A，，， 所以点到的距离，故A正确； 对于B，， ，， 设分别为平面、平面的一个法向量， 所以，令，可得，所以， ，令，可得，所以， 所以，所以平面平面， 可得点到平面的距离即为所求，， 所以点到平面的距离为，故B正确； 对于C，，， 设为平面的一个法向量， 所以，令，可得，所以， 设直线与平面所成的角为， 所以， 因为，所以，故C错误； 对于D，因为平面的一个法向量为，， 所以点到平面的距离为，故D错误. 故选：AB. 4．（26-27高二上·广西柳州·阶段检测）（多选）已知正方体的棱长为，点、分别是、的中点，在正方体内部且满足，则下列说法正确的是（    ） A．点到直线的距离是 B．点到直线的距离为 C．平面与平面间的距离为 D．点到平面的距离为 【答案】ACD 【分析】根据正方体的特征建立如图所示的空间直角坐标系，利用距离公式可求各选项中距离，故可得正确的选项. 【详解】 根据正方体可建立如图所示的空间直角坐标系， 则， . 则，. 又，故. 对于A，，， 故点到直线的距离为，故A正确. 对于B，，， 故点到直线的距离为， 故B错误. 对于C，，，故， 而不共线，故， 因平面，平面，故平面， 同理平面，而平面， 所以平面平面， 故平面与平面的距离即为到平面的距离. 又，，设平面的法向量为， 则即，取，则， 故到平面的距离为，故C正确. 对于D，，， 设平面的法向量为， 则即，取，则， 故到平面的距离为，故D正确. 5．（25-26高二上·贵州贵阳·阶段检测）如图，在棱长为的正方体中，平面与平面的距离为__________. 【答案】2 【分析】先由题设求证平面平面得到平面与平面的距离即为点C到平面的距离，接着建立适当空间直角坐标系求出和平面的一个法向量，再由向量法距离公式即可求解. 【详解】由正方体结构性质可知且，且， 所以四边形和四边形均为平行四边形， 所以，又在平面外，平面， 所以平面，平面， 又，平面， 所以平面平面， 所以平面与平面的距离即为点C到平面的距离， 由题可建立如图所示空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，所以，取，则， 所以平面与平面的距离即点C到平面的距离为. 故答案为：2 题型8 空间向量求异面直线距离 【方法总结】先求两直线的方向向量，再求同时垂直于这两个方向向量的公共法向量；然后在两直线上各取一点构成向量，求该向量在公共法向量方向上的投影长度，即为异面直线距离。 1．（26-27高三上·广西来宾·阶段检测）已知，，，，则异面直线与之间的距离是_____． 【答案】/ 【分析】先求异面直线与公垂线的方向向量，再求在上投影的绝对值即可. 【详解】因为，， 设异面直线与公垂线的方向向量， 则，令，可得. 又，所以在上投影的绝对值为：. 即异面直线与之间的距离是. 2．（2026高三·全国·专题练习）一副三角板如图拼接，使两个三角板所在的平面互相垂直．如果公共边，则异面直线与的距离是（   ） A． B．a C． D． 【答案】C 【分析】利用面面垂直的性质建立空间直角坐标系，通过异面直线方向向量的公垂线方向向量与两直线上点连线的投影计算距离. 【详解】∵ 平面平面，平面平面，平面，， ∴ 以为坐标原点，分别以的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，在平面内以过且垂直于的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系. 由，为等腰直角三角形，，可得各点坐标： . ∴ 直线的方向向量，简化为. 直线的方向向量，简化为. 设异面直线与的公垂线的方向向量为， 则，即. 令，则，得，其模长. 取直线上一点，直线上一点，得向量. ∴ 异面直线与的距离. 【点睛】方法归纳：利用空间向量求异面直线距离的步骤：1. 建立合适的空间直角坐标系，写出对应点坐标；2. 求出两条异面直线的方向向量；3. 求出与两个方向向量都垂直的公垂线方向向量；4. 取两直线上任意两点的连线向量，计算该向量在公垂线方向向量上的投影的绝对值，即为异面直线的距离. 3．（26-27高三·全国·一轮复习）已知两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线，公垂线与两条直线相交的点所形成的线段，叫做这两条异面直线的公垂线段．两条异面直线的公垂线段的长度，叫做这两条异面直线的距离．在四棱锥中，底面是边长为3的正方形，底面，，点在侧棱上，且满足，则异面直线和的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题关键在于：建立空间直角坐标系，写出点的坐标，利用向量方法求解即可. 【详解】如图，以点为原点，，，的方向分别为，，轴正方向，建立空间直角坐标系， 则，，，，． 所以，，， 设为直线和的公垂线的方向向量， 则有可取， 所以异面直线和的距离为． 故选：. 4．（26-27高三·全国·一轮复习）（多选）如图，在棱长为1的正方体中，点在上，且；点在上，且．则下列结论正确的是（     ） A．线段是异面直线与的公垂线段 B．异面直线与的距离为 C．点到直线的距离为 D．点到平面的距离为 【答案】ACD 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量运算可得，即可对A判断求解；由题可得异面直线与的公垂线的一个方向向量为从而可对B求解判断；利用点到直线的向量法即可对C、D求解判断；利用点到平面的向量法即可对D求解判断. 【详解】以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 则，，，，，，， 则，，所以，． A：，，， 所以，， 即，，所以线段是异面直线与的公垂线段，故A正确； B：由正方体的性质可得异面直线与的公垂线的一个方向向量为，又， 所以异面直线与的距离为，故B错误； C：，， 所以在方向上的投影向量的长度为， 所以点到直线的距离为，故C正确； D：设平面的一个法向量为，， 则，即，令，得，， 所以，又， 所以点到平面的距离，故D正确. 故选：ACD. 5．（25-26高二上·河南新乡·阶段检测）正四棱锥中，O为底面ABCD的中心，P为侧棱SD的中点，且，则异面直线BD与PC的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合正四棱锥的几何特征建系，再应用空间向量法求与的公垂线方向向量为，最后应用异面直线距离公式计算求解. 【详解】因为为正四棱锥且是在底面内的正投影，所以面， 连接，，则且交于． 因为，面，所以，，所以以，，为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系． 因为，则，，，，， 所以，． 设异面直线与的公垂线方向向量为， 则有，即，取． 又因为， 所以异面直线与的距离． 所以异面直线与的距离是． 故选：C. 拔高·压轴破难 题型9 空间向量求异面直线夹角 【方法总结】求异面直线夹角常用的方法有几何法跟建系法跟向量法，若空间直线容易平移构建平面直线夹角时，可以考虑用几何法，常出现在小题中，若题目建系方便可以考虑用建系方式，一般用在大题中，建系容易计算量较大，向量法则在特殊情况下适用。 1．（26-27高二上·广东惠州·阶段检测）在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，平面，，则异面直线与所成角的余弦值为______． 【答案】 【分析】以A为原点建立空间直角坐标系，求出向量和的坐标，利用向量夹角公式计算异面直线所成角的余弦值. 【详解】 由题意知平面，，故以为坐标原点，分别以、、的方向为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系： 则各点坐标为，，，. 因此，，则有， ，， 设异面直线与所成角为，其中， 则， 即异面直线与所成角的余弦值为. 2．（26-27高二上·重庆九龙坡·阶段检测）在直三棱柱中，分别是棱的中点，且.若，则与所成角的余弦值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由直三棱柱顶点建立空间直角坐标系，得到点坐标和向量坐标，由空间向量的数量积求得线线所成角的余弦值. 【详解】在直三棱柱中，平面，平面， 所以且， 所以如图，以为顶点建立空间直角坐标系， 设， 所以， 所以， 所以， 设与所成角为，则. 3．（26-27高三上·辽宁·期中）在平行六面体中，，， ，， ．则与所成角的余弦值为______． 【答案】/ 【详解】因为，，， 所以． 由已知条件，，， 因为， 故． 设直线与所成角为，则． 4．（26-27高二上·河北·阶段检测）如图，在平行六面体中，底面为正方形，，棱，，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设正方形的边长为1，则侧棱,利用余弦定理及勾股定理可得，，由向量的线性运算可得,,求出两向量的数量积，再由向量的夹角公式求解即可. 【详解】设正方形的边长为1，则侧棱， 在中，由余弦定理可得: ， 所以， 在中，， 又因为，, 所以 ， 设异面直线与所成角为， 则. 5．（26-27高三上·广东·阶段检测）三棱锥中，，且，则当三棱锥的体积最大时，直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由△ABC面积为定值，得体积最大时点P到平面ABC的距离最大，即PC⊥平面ABC，再通过空间向量求异面直线所成角的余弦值. 【详解】由，，得的面积，为定值 ， 三棱锥体积，其中为点到平面的距离， 已知，故，当且仅当平面时，取最大值1，此时三棱锥体积最大， 以为原点，方向为轴正方向，方向为轴正方向，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，由平面且，得, 则，, 设异面直线与所成角为，，，，， 所以 ，所以直线与所成角的余弦值为. 题型10 空间向量求线面角 【方法总结】在用空间向量求线面角的时候，是由直线的方向向量与平面的法向量计算它们夹角的余弦值，要弄清这个夹角与我们所求的线面角还需要转换。 1．（26-27高二上·河北·阶段检测）如图，平行六面体的底面是菱形，，，． (1)当，，时，求的长； (2)当，平面时， ①求的长； ②当时，求直线与平面所成的角的正弦值的取值范围． 【答案】(1) (2)①1 ；② 【分析】（1）根据空间向量的数量积、数量积运算律及向量的模求解即可. （2）①根据垂直关系的向量表示、空间向量的数量积、数量积运算律求解即可. ②根据线面角的向量求法求解即可. 【详解】（1）如图，连接BD，， 设，，，由题易得，， 依题意，，，， 而． 所以 ，即． （2）①由（1）知，令， 因为， 所以，，， 易知，，， 因为平面，平面，所以，， 即． 整理得， 而，解得，所以的长为1． ②当时，由①得，， ，则，， ， 而为平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为，则 ， 而，即，则， ，即， 所以直线与平面所成的角的正弦值的取值范围是． 2．（26-27高二上·河北沧州·阶段检测）如图，在直三棱柱中，，且．点为棱的中点，点在线段上，且（）. (1)证明：； (2)若直线与平面所成角的正弦值为，求的值． 【答案】(1)连接，因为，点D为棱的中点，所以， 因为是直三棱柱，所以平面， 因为平面，所以， 因为，平面， 所以平面， 因为面，所以. (2) 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理求出平面，利用线面垂直的定义得到结论. （2）利用空间向量法求解，求出平面的法向量，利用向量的数量积公式求解. 【详解】（1）略 （2）在直三棱柱中，， 以为原点，为轴正方向，为轴正方向，为轴正方向，建立空间直角坐标系， 因为， 所以， 因为是中点，所以， 因为，，所以， ，， 设平面的法向量， 则， 令，解得，则， 设直线与平面所成角为， 则， 解得， 因为直线与平面所成角正弦值为， 所以， 因为，所以， 则转化为， 解得，即， 即，即， 解得，即， 解得， 因为，所以. 3．（26-27高三上·山东滨州·开学考试）如图，在三棱锥中，侧面底面，侧面是边长为2的等边三角形，是中点，是棱上的一点，已知． (1)证明：； (2)求直线与平面所成角的正弦的最大值． 【答案】(1)是等边三角形，是中点，则， 又因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，而平面，所以， 因为，是等边三角形，所以，又，所以， 而，所以，所以，即， 因为，平面，所以平面， 又因为平面，所以； (2) 【分析】（1）由面面垂直的性质定理得平面，从而得，计算出的长后由勾股定理的逆定理得，再由线面垂直判定定理得证平面，从而可证得线线垂直； （2）分别以为轴建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，设，再求出，由直线与平面所成角正弦值等于与夹角的余弦值的绝对值求得正弦值，然后结合函数性质得最大值. 【详解】（1）略 （2）分别以为轴建立空间直角坐标系，如图， 则， ， 设平面的一个法向量是， 则，取得， 设，则， 记直线与平面所成角为，则，当且仅当时取等号， 所以直线与平面所成角的正弦值的最大值为. 4．（26-27高二上·天津津南·阶段检测）如图所示，已知三角形为正三角形，且三角形与菱形所在的平面互相垂直，，是的中点． (1)求证：； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)在线段上是否存在点，使得直线与平面所成的角为45°，若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明：因为为正三角形，为的中点，所以， 因为平面平面，平面平面， 且平面，所以平面， 又因为平面，所以. (2) (3)存在点，使得直线与平面所成的角为，且. 【分析】（1）根据题意，证得，结合面面垂直的性质定理，得到平面，进而证得； （2）以为原点，建立空间直角坐标系，求得平面和平面的法向量和，结合向量的夹角公式，即可求解； （3）设，求得，利用向量的夹角公式，列出方程求得，进而得到答案. 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知：平面， 在菱形中，，，则为正三角形， 因为是的中点，所以， 以为原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，则, 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 又由平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为，则， 所以平面与平面所成的角的余弦值为. （3）解：假设存在点在线段上，设， 由，则，可得， 又由平面的法向量为， 因为直线与平面所成的角为，所以， 可得， 化简得，平方得，解得， 因为，所以存在满足条件的点，使得直线与平面所成的角为且. 5．（25-26高一下·湖南长沙·期末）在梯形中，，为的中点，线段与交于点（如图1）.将沿折起到的位置，使得平面平面（如图2）. (1)求证:平面 ; (2)求二面角的余弦值； (3)线段上是否存在点，使得与平面所成角的余弦值为 若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)因为在梯形中，，为的中点， 所以， 所以四边形为平行四边形， 因为线段与交于点，所以为线段的中点， 所以中， 因为平面，平面， 所以平面. (2) (3)存在，. 【分析】（1）推导出，从而四边形为平行四边形，推导出，由此能证明平面； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求得二面角的余弦值. （3）设，求得及平面的一个法向量的坐标，根据与平面所成角的余弦值列方程，求得，进而求得正确答案. 【详解】（1）略. （2）平行四边形中，， 所以四边形是菱形，，垂足为， 所以， 因为平面，平面， 所以是二面角的平面角， 因为平面平面， 所以，即. 可以如图建立空间直角坐标系，其中， 因为在图1菱形中，， 所以， 则， ，， 设平面的一个法向量为， 则取，得， 平面的一个法向量为， 由图得二面角为锐角，设二面角为， 故， （3）假设线段上存在点使得与平面所成角的余弦值为，则与平面所成角的正弦值为. 设， 因为， 所以， 设平面的一个法向量为， 则取，得， ， 所以， 因为，所以， 故线段上存在点，且，使得与平面所成角的余弦值为. 题型11 空间向量求面面角 【方法总结】先求两平面的法向量，再求两法向量的夹角余弦值。面面角取两法向量夹角的绝对值，范围是0到90度。 1．（26-27高三上·湖南长沙·阶段检测）如图，在三棱柱中，平面平面，，，，四棱锥的体积为，． (1)求证：平面； (2)是否存在点，使平面与平面所成的角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)在三棱柱中，上底面下底面，因此， 已知，根据平行线的性质，可得， 又因为平面平面，且它们的交线为，， 且在平面内， 根据面面垂直的性质定理，可得平面， 因为直线在平面内，所以， 直线和是平面内的两条相交直线（交于点 ）， 因此，根据线面垂直的判定定理，平面. (2)存在满足条件的点，此时或 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理，证明垂直于平面内的两条相交直线即可； （2）通过建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可. 【详解】（1）略. （2）由（1）可知平面，平面， 所以 且，又由题设，因此，两两垂直， 以为原点，分别以的方向为轴的正方向， 以过点且平行于的直线为轴的正方向，建立空间直角坐标系， 如图所示， 已知，则，所以，，， 设的坐标为（）， 由于， ， 所以，解得 ， 所以，则， 所以，，， 点满足，其中，，所以， 设平面的法向量为，，， 则，令，则，所以 ， 设平面的法向量，，， 则， 令，则， 所以 ， 设平面与平面所成角为，为锐角， 则， 因为，所以，所以， 两边平方得 ， 化简得， 解得或， 这两个解都在范围内， 因此存在满足条件的点，此时或. 2．（26-27高二上·湖北襄阳·阶段检测）如图所示，在直三棱柱中，，，为棱的中点． (1)求点到平面的距离； (2)若点在上，且平面． ①求的值； ②求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1) (2)①；②. 【分析】（1）以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得向量和平面的法向量，结合向量的距离公式，即可求解； 如图所示，可得，则， （2）①设，求得，结合，求得，即可求解；②由平面和平面的法向量和，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】（1）解：在直三棱柱中，因为，可得两两垂直， 以点为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，可得，则， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 又由，可得 所以点到平面的距离为. （2）解：①由（1）中的空间直角坐标系，可得，则， 设， 则， 因为平面，所以，即， 可得，解得，所以. ②平面的一个法向量， 又因为，， 平面的法向量为， 设平面与平面所成角为， 则． 所以平面与平面夹角的余弦值为. 3．（26-27高二上·河南周口·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面，，，． (1)若平面．证明：； (2)若平面平面， （i）证明：； （ii）若，求平面与平面夹角的正弦值的取值范围． 【答案】(1)在中，由余弦定理得， 即，所以， 因为，所以， 因为底面，平面，所以， 因为，，平面，所以平面， 因为平面，平面，平面平面， 所以，所以平面， 因为平面，所以． (2)（i）如图：过点作于点， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 又因为平面，平面，所以， 因为，，平面， 所以平面， 因为平面，所以． （ii） 【分析】（1）在中利用余弦定理求得，由勾股定理逆定理得关系，由线面垂直的性质得到线线垂直，由线面垂直的判定得证； （2）（i）由面面垂直的性质得到线面垂直，由此得到线线垂直，再由线面垂直的判定得到线面垂直，从而得到线面垂直； （ii）由三线两两垂直，即可建立空间直角坐标系，设线段长即可写出点坐标，由空间向量的数量积求得平面和平面的法向量，再由空间向量的数量积求得平面和平面夹角的正弦值，由函数的单调性求得平面与平面夹角的正弦值的取值范围. 【详解】（1）略. （2）（i）略. （ii）由（i）知，所以，设，则， 过点作轴平行于，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 则，，，， 设平面的法向量为， 则，即，令，可得， 设平面的法向量为，则 ，即，令，可得， 所以， 设平面与平面夹角为， 则， 又，所以随着的增大而增大， 当时，，当时，， 所以，平面与平面夹角正弦值的取值范围为． 4．（26-27高三上·广东广州·阶段检测）如图，在三棱锥中，平面，平面平面，为中点． (1)求证：平面； (2)若，，，且与平面所成角为． ①当时，求三棱锥的体积； ②当取最大值时，求二面角的正弦值． 【答案】(1)已知平面，且平面，因此； 已知平面平面，且平面平面， 在平面内作于， 根据面面垂直的性质定理，可得平面，结合平面， 可得； 由于，且平面，根据线面垂直的判定定理，可得平面． (2)①② 【分析】（1）由线面垂直的定义先得到，在平面内作于，根据面面垂直的性质定理和线面垂直的定义，得到后利用线面垂直的判定定理和定义即可证得结论； （2）①找出与平面所成角，通过其正弦值求出，再利用锥体体积公式求解；②建立空间直角坐标系表示与平面所成角，通过条件求出与的关系，利用基本不等式求的最大值后再利用公式求解. 【详解】（1）略. （2）①取的中点，连接， 因为是的中点，所以， 由（1）平面，可得平面，， 平面，所以， 由，为等腰直角三角形， 因此， 又因为平面，， 所以平面， 则就是与平面所成的角， 已知与平面所成角为，所以. 在等腰中，，所以； 在中，，代入得，所以， 所以， 所以三棱锥体积为. ②过点作平面，垂足为，以为原点，以所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 则. 故，直线的方向向量. 设平面的法向量，故，即， 令，则，所以. 由直线与平面的夹角为， 得， 整理得 ， 交叉相乘同时平方得， 进而有， 由基本不等式得，，所以 ， 当且仅当 时，即时等号成立， 所以，即的最大值为. 此时， ，， 设平面的法向量，则， 即， 令，则，所以. 平面的一个法向量. 设二面角为， 则， 所以. 5．（26-27高三上·江苏常州·阶段检测）如图1，在平面五边形中，四边形是边长为1的菱形，，，．将沿翻折至，如图2．点在线段上运动． (1)若，证明：平面； (2)若，且，证明：平面平面； (3)求二面角的余弦值的最小值． 【答案】(1)如图，作出符合题意的图形， 连接，相交于点，连接， 四边形为菱形，所以为中点， 又为中点，所以， 又平面，平面，所以平面． (2)如图，作出符合题意的图形， 因为，有， 所以，得， 有是靠近的三等分点，则， 又，，，所以， ，， 则，即，， 又，，，平面， 所以平面，又平面，所以平面平面； (3) 【分析】（1）利用三角形中位线得到线线平行，依据线面平行判定定理完成证明； （2）利用等体积转化由体积比确定点的位置，通过勾股定理证线线垂直，推证线面垂直，进而证面面垂直； （3）建立空间直角坐标系，设出动点坐标，求解平面法向量，得到二面角的余弦表达式，结合三角函数有界性求出二面角余弦的最小值． 【详解】（1）略 （2）略 （3）由，以点为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示． 可得，，，， 由题意得平面的一个法向量为 设平面的一个法向量为，，， 由，得，令，则解得，， ，令， 因为，所以，令，， 则有，得， 有，得， 即 即二面角的余弦值的最小值为． $可学科网·上好课 www.zxxk.com 专题03空间向量的应用 题型图谱·导航总览 题型1平面法向量的概念及表示 基础固本强基 题型2直线方向向量的概念及表示 题型3空间直线、平面的位置关系表示 题型4空间直线、平面的位置关系证明 题型5空间向量求点到平面距离（重点） 提升进阶突破 题型6空间向量求点到直线距离（重点） 题型7空间向量求平行平面距离（重点） 题型8空间向量求异面直线距离（重点） 题型9空间向量求异面直线夹角（难点） 拔高·压轴破难 题型10空间向量求线面角（难点） 题型11空间向量求面面角（难点） 题型精练·靶向突破 基础固本强基 题型1平面法向量的概念及表示 【方法总结】与平面垂直的非零向量。一个平面的法向量不唯一，与它共线 向量。求法向量时，先找平面内两个不共线向量，再设法向量与它们都垂直， 1/24 上好每一堂课 任意非零向量都可作为法 列方程求解即可。 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1.(25-26高二上云南昆明期末)在平行六面 ABCD-ABCD中，所有棱长都为2，且 ∠AAB=∠AAD=∠DAB= 3,E为线段AB的中点，设AB=ā，AD=b,A4=c,则平面B,D,E的一个法向 量n为() A.atb-7e 5 B.atb+7d 5 C.a-B+7c D.a-B-]c 5 2.(25-26高二上广东广州期末)己知正方体ABCD-AB,CD的棱长为1，以A为原点， AB,AD,44 为单位正交鞋底，建立空间直角坐标系，则平面MBD 的一个法向量是() A.(,1) B(1-) c.-,) D.（11) 3.(2526高=上北京西城期中)空间直角坐标系中，已知4L00),B(Ql,0).C(0,04,则“a=1 ”是。i=1@)为平面48C的法向量”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 4.(25-26高二上·安徽阜阳阶段检测)（多选)小强同学在学习平面的法向量的过程中，发现了一种求 解已知平面的法向量的快速方法：在空间直角坐标系中，平面α内两个不共线的向量分别为 =(,水)，6=(，为小则平面a的一-个法向量为万=（以3-3,2-，%-）若己知在平面 ABO中，O为原点，点 A(1,2,1),B(2,0,-) ,小强选取点O,A,B三点中的两点，用他的方法计算平面 ABO的法向量n,下列结论正确的是() A.万=(2,3-4 是其中一个解 2/24 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B.万=(-2,34 是其中一个解 C.用上述条件在该方法下得到的法向量是唯一的 D.用上述条件在该方法下得到的法向量的模长是唯一的 5.(25-26高二上·四川成都阶段检测)在长方体 BCD-ACD中，4B=2BC=3,CC=4.以D为原 点，以3 '为空间的一个单位正交基底，建立空间直角坐标系，则平面ACD的一个法向 量为一（用向量的坐标表示）· 题型2直线方向向量的概念及表示 【方法总结】与直线平行的非零向量。一条直线的方向向量不唯一，与它共线的任意非零向量都可作为 方向向量。求方向向量时，可直接取直线上两点坐标相减得到。 1.(25-26高二下湖南衡阳开学考试)己知直线经过点42,3,2)，B(-1,0,5),下列向量不是该直线的方 向向量的为() A.ā=(1，l,1) B.a=(-1,-1,1) C.ā=(-3，-3,3) D.a=(1,l,-l) 2。(25-26高二上山东济宁期中)阅读材料：空间直角坐标系0-02中，过点 (,o2o） 且一个法向量 为i=(a6,c)的平面a的方程为a(x-)+by-%)+c(z-)=0 ，阅读上面材料，解决下面问题：直线 是两平面x-y+2=0与2x+z+1=0的交线，则下列向量可以为直线I的方向向量的是（) A.(3,12) B.(（4,1-2) c.(21,3) D.(21,-4) 3.(25-26高二上福建福州期中)（多选）已知”，片分别为直线，的方向向量人，不重合)， 3/24 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ?,历分别为平面4，B的法向量(“，B不重合)，则下列说法中，正确的是() A可Iga4%B.可1%⊙4LBC.万∥%台a∥B D.1%台B 4.(2526高二下江苏淮安阶段检测)若40-)，B(2L,2)在直线上，则直线'的-个方向向量是 5.(25-26高二上：广东广州期末)如图，在三棱锥A-BCD中，E是CD的中点，点F在AE上，且 EF=2FA,设A B=ā，AC=6,D=,则直线BF的一个方向向量为() 1.1 A.a+36+3 3 a-5- 1.1 C.a+-b+-c 11 D.a-b-c 66 66 提升进阶突破 题型3空间直线、平面的位置关系表示 【方法总结】判断时先看方向向量与法向量的关系，再结合是否重合、是否在面内确定具体位置。 线线关系：平行、相交、异面。方向向量共线则平行或重合：方向向量不共线则相交或异面。 线面关系：平行、相交、线在面内。方向向量与法向量垂直则平行或线在面内；不垂直则相交。 面面关系：平行、相交。法向量共线则平行或重合；不共线则相交。 4/24 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1.(2627高二上宁夏银川阶段检测）《多选)若i=(23-少为平面“的法向量，m=(4a2列为平面 的法向量，=2)为直线'的方向向量，则() B A.若lp,则a=6 B.若I1B,则b=-2 10 C.若a=3,则a1B D.若b=8,则Ica或llla 2.(2627高二上河南平顶山阶段检测)在空间直角坐标系中，已知=642)，点B-1.63》,点 P(列，若平面“经过点B,且”为平面“的法向量，P是平面“内的任态一点，则（） A.3x-4y-2z=-33 B.3x+4y+2z=27 C.3x-4y+2z=-21 D.3x+4y-2z=15 3.(2627商=上全国课后作业y(多选)已知空间三点4(-2,02)，B(-L2),C(3,04),设 ā=ABb=AC .则下列结论正确的是(） A.若同=3，且1/Bc,则=(21-2) V10 B.ā和b的夹角的余弦值10 C.若a+6与-b互相垂直，则的值为2 D.若2a+b)+4(a-b)与轴垂直，则元，“应满足无-u=0 5/24 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4.(26-27高二上辽宁营口开学考试)（多选）已知空间非零向量 a=(1,m,0）b=(m,m2,0) c=(m,m,m）,则() A.ā，c可以相互垂直 B.d b xOv “,为平面的共面向量 C.6-6 xOy 是平面 的一个法向量 D.6 a ”，“不能作为其确定平面内的一组基底 5.(25-26高二下福建龙岩期末)（多选)若=(23，)为 为平面“的法向量，m=(4,a2)为平面P的 法向量， =(2,)为直线1的方向向量，则（） A.若ap,则a=6 B.若I1B,则b=-2 10 C.若a=3,则a1B D.若b=8,则1ca 题型4空间直线、平面的位置关系证明 【方法总结】空间直线、平面位置关系证明： 线线平行：证两直线方向向量共线。线线垂直：证两直线方向向量数量积为零。线面平行：证直线方向向 量与平面法向量垂直，且直线不在平面内。线面垂直：证直线方向向量与平面法向量共线。面面平行： 两平面法向量共线，且不重合。面面垂直：证两平面法向量数量积为零。四点共面：取其中两点确定一条 直线，求其方向向量；再取另外两点确定另一条直线，求其方向向量。若两方向向量共线且有公共点，则 四点共面；若两方向向量不共线，再看第三条连线向量是否与这两个方向向量共面。 1.(26-27高三全国一轮复习)如图，在棱长为的正方体 本ABCD-ABCD中，M,N分别为B, 6/24 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BC的中点，点P在楼CG上，且9 C=2PC证明：D,M,N,P 点共面： D A B D N M B 2.(26-27高二上·青海海东·阶段检测)如图，在棱长为2的正方体 BCD-ABGD中，E,F、G分别 是棱AD、CDDD 的中点 D C A B G E的 C A B EFC (1)求平面 的法向量： (2)证明： DB,⊥xEFG 一平面 ABCD-ABCD E,F 3.(26-27高三全国一轮复习)如图，在边长为的正方体 中，点，分别在1B CA上，E=CF=l CED,∥BAF ,求证：平面 平面 7/24 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D F C 、 A ABCD-ABCD 中，已知D=AB=2.A4=1 C 4.(25-26高二下·江苏泰州期末)在长方体 ,点在平 AB D 面 H 上的射影为 B D (1) B=xRA+BD,求，y的值： (a记知P=BD.B0=R 4,其中0<元<1.若C7∥平面CP№，求2的值. 5.(2026江苏南京·三模)如图，在四棱锥 P-ABCD PA=PB=PD=AB=AD=10N2∠A=90° 中， BC=15,CD=25 ò A B C (I)求证：BC⊥面PBD: (2)求证：二面角D-PC-B是直二面角： (3)在平面PBC上求点M,使AM⊥面PBC ”· 8/24 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型5空间向量求点到平面距离 【方法总结】先求平面的法向量，再取平面内一点与目标点构成向量，该向量在法向量方向上的投影长度 就是点到平面的距离。即用数量积绝对值除以法向量模长。 ABC-ABC AB=AA=4 1.(26-27高二上河南平顶山阶段检测)如图，在直三棱柱 中， AC=BC=25,E为楼1A的中点，F是棱AC上的异于端点的一点， AA B A AC⊥EB (1)求证： ②若F是楼1C的中点，求平面48与平面 BC 的夹角的余弦值： ③)记点4，C到平面4的距离分别为，4，求+巧 的最小值， 2.(26-27高二上河南期中)已知点 P1,-2,),2,3列，点P在平面“内，若平面“的法向量 n=(1,0,1 ,则点P到平面“的距离为（） A.1 B.V② C v3 D.2 3.(26-27高二上江苏无锡阶段检测)如图，点P为正方形ABCD所在平面外一点，M为PA中点， DE-=ADP(0<元<若平面ABCD L平面ABP,MB=BP=2,AB⊥BP. 9/24 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B M (I)求证：CB⊥AP 45 (2②)若点E到平面BDM的距离为9，求的值. .AACC⊥，ABC,E,CC 4.(26-27高二上黑龙江吉林·期中)如图，在三棱柱 ABC-AB中，平面平面为 中点，BC⊥AE,∠BAC=30°.AA=4C=AC=25 B B BC上平面 ACC (1)求证： 3 (2)在线段AE上是否存在一点F,使点F到平面4AB的距离为13？若存在，请求出四面体ABC的体积， 若不存在，请说明理由. .（26:27商二上云南玉溪阶段检测)如图，在直三枝挂ABC-4BG中，∠ABC=及， 2,D是棱AC的中 AB=BC=BB=1 AB BCD 点，且 ,则直线到平面的距离为() 10/24 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B A B N2 A.2 B.3 3 C.4 D 3 题型6空间向量求点到直线距离 【方法总结】先取直线上一点与目标点构成向量，再求直线方向向量的单位向量，用该向量减去它在方向 向量上的投影向量，所得向量的模长即为点到直线的距离 1.(26-27高二上福建期中)已知直线的方向向量为 =(,02）,点40， 在直线1上，则点 P(1,2,2) 到直线的距离为( A.230 B.V30 V30 V30 C.10 D.5 2.(26-27高二上河北沧州阶段检测)如图，在长方体 BCD-ACD中，4B=l,BC=2,M=2 11/24 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B A D B C AC (1)求异面直线 与BD 所成角的余弦值： AC (②)求点B到直线的距离。 3.(26-27高二上·宁夏吴忠·阶段检测)已知空间中的点 (2,3，且BL.0),则点P4,32)到4B的距 离为 4.(26-27高二上·宁夏银川阶段检测)如图，ABCD-EFGH是棱长为1的正方体，若点P在平面BDE内， 且满足护-写B+2D+石正，则点P到直线仍的距离为() 6 E H G P D B 5 13 V10 5 A. 6 B.6 C.6 D.4 5.(26-27高三上·湖北阶段检测)边长为2的正方形ABCD,E为AB中点，将△ADE沿DE翻折得到 △ADE, 记M为线段4C上一点，且满足4B=V2MC 若在翻折过程中，记二面角 4-DE-B为9， 33」 则点M到直线DE的距离的范围是 12/24 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型7空间向量求平行平面距离 【方法总结】先求两平面的法向量，再取其中一个平面内一点，求该点到另一个平面的距离，即为两平行 平面的距离。本质转化为点到平面的距离。 1.(2026高三全国专题练习)如图所示，正方体的棱长为1，E,F,M,N分别为棱AD,AB, DC BC AEF BNMD 的中点.则平面 ”与平面 间的距离为() D E N B B 2W2 8 3w5 A.3 C.3 D.3 2.（25-26高二上辽宁大连期中)两平行平面“，B分别经过坐标原点0和点4(2， ,且两平面的一 n=（-1,0,1 个法向量 ,则两平面间的距离是() A.√2 B.3√2 C.5 D.2 ABCD-ABCD 3.(2026高三全国专题练习)（多选）在棱长为1的正方体 中，下列结论正确的是 () 6 3 A.点4到DC的距离为2 B.面BCD与面ABD的距离为3 2 C.直线4C与平面ABCD,所成的角为3 D.点A到平面BCD的距离为2 13/24 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ABCD-ABCD 4.(26-27高二上广西柳州阶段检测)（多选)已知正方体 的棱长为，点E、O分别 是4B、4G的中点，P在正方体内部且满足严-+号D+号瓜，则下列说法正确的是() 4 2 3 25 25 A.点A到直线BE的距离是5 B.点P到直线AB的距离为36 3 2 C.平面ABD与平面B,CD间的距离为3 D.点O到平面ABCD的距离为4 A B 根据正方体可建立如图所示的空间直角坐标系， B 则4100,0，B1Q,0,CL1.0),D0,10) A(0,0,1),B(1,0,1),C(1,1,1),D(0,r,1) 则.o BA=(-1,0,0) 14/24 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2 1 BA-BE 25 BA 4= 故点到直线的距离为1 =1 BE 5 ，故A正确 A BE AP= 312 对于B, 42’3 AB=(1,0,0) AP AP.AB 9,1,495 故点到直线，的距离为1 AB V1649166, D AB 故B错误 对于C.4=,00,C西=(10，故BMCD, B,A,CD不共线，故 BA IICD 因B￠平面BCD.CDC平面BCD,放B4∥平面CD, 平面 故 平面 同理BD/￥面BCD,而BDOBA=-RBD,BMC平面DBA. ,而 DBAI∥B,CD 所以平面 ·平面 面DBA与平面BCD的距离即为B到平面 B DBA 故平面 的距离 D=(-,1L,0）,BA=(仁，0,0)，设平面DBA的法向量为 又 =(x2,y2,22) [方-BD=0∫-x+y2=0 则nBA=0即-x2+2=0,取为2=1，则万=(1,1，) BA 故B到平面DBA的距离为团=3，故C正确， 对灯D,m-0.o-(分0 15/24 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 设平面MBCD的法向量为 =(x,,) m-AD=0y+2=0 则m.BA=0即x=0,取y=1,则m=(0,1-1) 故到平面 的距离为 ABC D 风子-普D降 5.(25-26高二上贵州费阳阶段检测)如图，在校长为25 ADB 的正方体 BCD-ABCD中，平面 与 DCB 平面 的距离为， D B D B 题型8空间向量求异面直线距离 【方法总结】先求两直线的方向向量，再求同时垂直于这两个方向向量的公共法向量；然后在两直线上各 取一点构成向量，求该向量在公共法向量方向上的投影长度，即为异面直线距离。 1.(26-27高三上广西来宾阶段枚测)已知1(0,1.0)，B21,0C0,0D0,-, 则异面直线 AB与CD之间的距离是一· 2.(2026高三·全国·专题练习)一副三角板如图拼接，使两个三角板所在的平面互相垂直.如果公共边 AC=a,则异面直线AB与CD的距离是() 16/24 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 609 A女450 B a 2 V30 A.2 a a B.a C.2 D.6 3.(26-27高三·全国一轮复习)已知两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线，公垂 线与两条直线相交的点所形成的线段，叫做这两条异面直线的公垂线段.两条异面直线的公垂线段的长度， 叫做这两条异面直线的距离.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为3的正方形，PA⊥底面ABCD, PA=6,点G在侧棱PB上，且满足2PG=GB,则异面直线PC和DG的距离为() 3V14 3V15 3W21 3V77 A.14 B.15 C.7 D.77 4.(26-27高三·全国一轮复习)（多选）如图，在棱长为1的正方体 BCD-ABCD中，点E在BD上 且BE=写D,点F在CB上，且-CB.则下列结论正稀的是() C A B D A.线段乐是异面直线BD与CB 的公垂线段 B.异面直线A4与BD的距离为2 17/24 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4 C.点D到直线EF的距离为3 6 D.点D到平面DEF的距离为3 5.(25-26高二上·河南新乡·阶段检测)正四棱锥S-ABCD中，O为底面ABCD的中心，P为侧棱SD的 中点，且SO=OD=2,则异面直线BD与PC的距离是() V10 2W10 2W5 A.10 B.5 C.5 D.5 拔高压轴破难 题型9空问向量求异面直线夹角 【方法总结】求异面直线夹角常用的方法有几何法跟建系法跟向量法，若空间直线容易平移构建平面直线 夹角时，可以考虑用几何法，常出现在小题中，若题目建系方便可以考虑用建系方式，一般用在大题中， 建系容易计算量较大，向量法则在特殊情况下适用。 1. (26-27高二上广东惠州阶段检测)在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AB1CD AB⊥AD,AD=CD=1,AB=2PA⊥平面ABCD,PA=1,则异面直线AC与PB所成角的余弦值为 2.(26-27高二上重庆九龙坡阶段检测)在直三棱柱 BC-ABG中，D,5分别是 AB,AC的中点， Bc=4C=CG若<BC4=90°，则BD与F4 所成角的余弦值是() V30 15 √30 V15 A.10 B.5 C.10 D.5 3.(26-27高三上辽宁期中)在平行六面体ABCD-A'B'C"D'中，AB=4,AD=3,AM=5, ∠BAD=90°，∠BAA=∠DAA=60°.则AA与BD所成角的余弦值为一 18/24 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ABCD-ABCD ABCD 4.(26-27高二上河北阶段检测)如图，在平行六面体 中，底面 为正方形， 44B=∠44D=子，棱M=2B,AE=BG,则异面直线BM与DE所成角的余弦值为() 3 D 9 A 2v39 C.-239 39 B.39 39 39 D.39 13 5.(26-27高三上广东阶段检测)三棱锥P-ABC中，AB⊥AC,且AB=AC=PC=1,则当三棱锥 P-ABC的体积最大时，直线PA与BC所成角的余弦值为() 1 A.-2 B.Z 1 c.3 1 D. 3 题型10空间向量求线面角 【方法总结】在用空间向量求线面角的时候，是由直线的方向向量与平面的法向量计算它们夹角的余弦 值，要弄清这个夹角与我们所求的线面角还需要转换。 ABCD-ABCD 1.(26-27高二上河北阶段检测)如图，平行六面体 的底面 ABCD 是菱形，AB=I ∠CCB=∠CCD=0∠BCD=P B D 19/24 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3,9=I ()当0=元 =2,A4=2时，求BD的长； B=PAC⊥BCD (2)当 平面时， AA ①求的长： ②当L3'2时，求直线CB与平面BCD所成的角的正弦值的取值范围. 2.(26-27高二上·河北沧州阶段检测)如图，在直三棱柱 ABC-ABG中，AB LAC,且 48=4=M=2.点D为按BC的中点，点5在线段OG上，且CF=ACG0<2<1) : B BL AD⊥BC (1)证明： √2 (2)若直线AC与平面ABE所成角的正弦值为4，求入的值. 3.(26-27高三上山东滨州开学考试)如图，在三棱锥D-ABC中，侧面DAC⊥底面ABC,侧面DAC 是边长为2的等边三角形，E是1C中点，F是枝D上的一点，已知MB=0,BD=25 D B 20/24 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)证明：AC⊥BD: (2)求直线AF与平面BCD所成角的正弦的最大值. 4.(26-27高二上·天津津南阶段检测)如图所示，已知三角形ABE为正三角形，且三角形ABE与菱形 ABCD 所在的平面互相垂直， AB=2,∠ABC=60,M是MB的中点. E (I)求证：EM⊥AD: (2)求平面ABE与平面CBE夹角的余弦值： EP (3)在线段EC上是否存在点P,使得直线AP与平面ABE所成的角为45°，若存在，求出EC的值：若不存 在，说明理由. 5.(2526病-下湖南长沙期末)在梯形ABCD中，MB/1CD,∠BD-行B=24D=2CD=4,p为 B的中点，线段1C与D A 交于点（如图1）将1CD沿4C △ACD' DAC⊥ 沿折起到 的位置，使得平面 平面BAC(如图2)· D 图1 图2 (1)求证：BC/1平面POD'; (2)求二面角C-AB-D的余弦值： 582 PO (3)线段PD'上是否存在点Q,使得CQ与平面BCD'所成角的余弦值为8·若存在，求出PD'的值；若 不存在，请说明理由· 21/24 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型11空间向量求面面角 【方法总结】先求两平面的法向量，再求两法向量的夹角余弦值。面面角取两法向量夹角的绝对值，范围 是0到90度。 ABC-ABC ACCAL 1. (26-27高三上湖南长沙阶段检测)如图，在三棱柱 中，平面 平面ABC 4 AC⊥AB,AB=2AC=2,4C⊥BC,四棱锥A-CCBB的体积为3，CP=CA(0≤≤) C A B D A B AC⊥ (1)求证： 平面 ABC V30 ②是否存在点p'使平面APB与平面CCBB所成的角的余弦值为6？若存在，求出元的值：若不存在， 说明理由， 2. (26-27高二上湖北襄阳阶段检测)如图所示，在直三棱柱M8C-48G中，AC=2CG=45,BC=4 AC⊥BC,D为 AC 的中点， D E 22/24 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B BCD (1)求点到平面的距离； (②若点E在AB上，且 平面CD AE/I AE ①求AB的值： AEC BCCB ②求平面 与平面 夹角的余弦值. 3.(26-27高二上河南周口·阶段检测)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD,PA=AC=2, BC=1,∠BAC=30° D B (I)若AD∥平面PBC.证明：AD⊥PB: (2)若平面PAD⊥平面PCD, (i)证明：CD⊥AD: (i)若≤Ds5,求平面APC与平面PCD夹角的正弦值的取值范围。 4.(26-27高三上广东广州阶段检测)如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC,平面PAC⊥平面 PBC,M为PB中点. (1)求证：BC⊥平面PAC: (2)若PA=2,AC=m,BC=n,且AM与平面PBC所成角为30°. 23/24 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ①当m=2时，求三棱锥P-ABC的体积： ②当BC取最大值时，求二面角M-AC-B的正弦值 5.(26-27高三上·江苏常州阶段检测)如图1，在平面五边形ABCDE中，四边形ABCD是边长为1的菱 ∠BCD=60°AD⊥AEAE=V2 形， AD .将△ADE 翻折至△MDP,如图2.点M在线段PD上运动. P(E) B - C 0 (I)若PM=MD,证明：PB∥平面MAC: 回考4M1CD,且w=2m,证明：平面PMD上平面CD。 (3)求二面角P-CD-A的余弦值的最小值. 24/24