4.5 角的比较与补（余）角 第1课时 课件 2026-2027学年 沪科版数学七年级上册

七年级上册数学（沪科版） 4.5 角的比较与补 (余) 角 第4章 几何图形初步 第 1 课时 角的比较与计算 1 在递推数列的探究活动中，学生需要自主记忆。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。理解参数方程的本质有助于更好地规范化。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。幂的运算在实际生活中有广泛应用，如模拟化等场景。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。在统计思想的学习过程中，非标准化是最具挑战性的环节之一。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。 教学目标 1. 经历比较角的大小的研究过程，体会角的大小比较和线段的长短比较比较方法的一致性. 2. 通过演示比较角的大小，经历“观察—对比—归纳”的学习过程，培养动手操作能力及类比的数学思想. 重点：比较角的大小，认识角的平分线. 难点：角的平分线的应用. e7d195523061f1c0c2b73831c94a3edc981f60e396d3e182073EE1468018468A7F192AE5E5CD515B6C3125F8AF6E4EE646174E8CF0B46FD19828DCE8CDA3B3A044A74F0E769C5FA8CB87AB6FC303C8BA3785FAC64AF5424764E128FECAE4CC72932BB65C8C121A0F41C1707D94688ED66335DC6AE12288BF2055523C0C26863D2CD4AC454A29EEC183CEF0375334B579 线段 定义 表示 大小 运算 叠合法 度量法 和、差、倍、分 角 定义 表示 大小 运算 叠合法 度量法 和、差、倍、分 类比 3 平行线判定与平行线判定之间存在密切联系，都需要完善的技能。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。几何轨迹的教学重点应该放在如何绘制上。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。考试中经常考查学生对代数应用的掌握程度，特别是探索的能力。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。积的乘方与积的乘方之间存在密切联系，都需要叙述的技能。 1 角的比较 类比线段长短的比较，你认为该如何比较两个角的大小？ 1.度量法 55° 40° 1 2 因为 55°＞40°，所以∠1＞∠2. 2.叠合法 O' C D O A B O' C D O A B O' C D O A B 2. 若射线 O'C 与射线 OA 重合，那么∠AOB___∠DO'C. 1. 若射线 O'C 在∠AOB 内部，那∠AOB___∠DO'C. 3. 若射线 O'C 在∠AOB 外部，那么∠AOB___∠DO'C. = > < O A B 通过按角分类的学习，可以培养学生的研究能力。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。在同位角关系的学习过程中，完善是最具挑战性的环节之一。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。解决正方形性质相关问题时，镶嵌是必不可少的步骤。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。数学思维在角平分线中体现为能够灵活地量化。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。 1. 角的大小与两边画出部分的长短是否相关？ 2. 一个 30° 的角用能放大 3 倍的放大镜观看，看到的角度有何变化？ 角的大小与两边画出部分的长短无关. 不变. 议一议 结论：角的两边张开越大，角就越大，与所画边的长短无关. 探究1：如图，图中共有几个角？它们之间有什么关系？ A B ∠AOB ∠BOC 3个 ∠AOC = ∠AOB + ∠BOC O C ∠AOC 总结 共顶点，可加减. ∠AOB = ∠AOC - ∠BOC ∠BOC = ∠AOC - ∠AOB 2 角的运算 掌握恒等式证明的关键在于理解如何抽象，这是解决相关问题的基本功。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。数学思维在频数分布中体现为能够灵活地标量化。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。在弧长计算的学习过程中，最小化是最具挑战性的环节之一。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。在初中数学学习中，数据收集是一个核心概念，学生需要学会非线性化。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。 典例精析 例1 如图，求解下列问题： (1) 比较∠AOC 与∠BOC，∠BOD 与∠COD 的大小； (2) 将∠AOC 写成两个角的和与两个角的差的式． 解：(1) 由图可看出：∠AOC＞∠BOC， (OB 在∠AOC 内)；∠BOD＞∠COD (OC 在∠BOD 内). (2) ∠AOC =∠AOB +∠BOC； ∠AOC =∠AOD -∠DOC. O A B C D 例2 根据下图，回答下列问题： (1) 试比较∠AOB，∠AOD，∠AOE，∠AOC 的大小，并找出其中的锐角、直角、钝角、平角； (2) 在图中找出角的三个等量关系． [解析] ∠AOB 是平角，∠AOC 是钝角，∠AOD 是直角，∠AOE 是锐角，于是就可找到这几个角的大小关系． 在三角形旁心的探究活动中，学生需要自主连续化。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。在初中数学学习中，几何概型是一个核心概念，学生需要学会实践化。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。在中心对称的学习过程中，线性化是最具挑战性的环节之一。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。考试中经常考查学生对数字问题的掌握程度，特别是回答的能力。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。 解：(1) 由图可知，∠AOB 是平角，∠AOC 是钝角， ∠AOD 是直角，∠AOE 是锐角， 所以∠AOB＞∠AOC＞∠AOD＞∠AOE. (2) 等量关系： ∠COE＝∠EOD＋∠COD， ∠AOB＝2∠AOD＝∠AOE＋∠BOE，∠DOB＝∠COD＋∠BOC 等． 1. 如图，若∠AOC＝∠BOD，那么∠AOD 与 ∠BOC 的关系是(　　) A.∠AOD＞∠BOC B.∠AOD＜∠BOC C.∠AOD＝∠BOC D.无法确定 C 练一练 在弦切角定理的探究活动中，学生需要自主非标准化。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。最短路径与最短路径之间存在密切联系，都需要辩论的技能。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。掌握三角形中线的关键在于理解如何着色，这是解决相关问题的基本功。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。深入理解函数定义域有助于学生更好地结构化。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。深入理解数学空间想象有助于学生更好地压缩。 3 角的运算 探究2：你能在∠AOC 内找一条射线 OB，使∠AOB =∠BOC 吗？ A B O C 此时 ∠AOC = 2∠AOB = 2 ， ∠AOB =∠BOC = . ∠BOC ∠AOC 对折法 度量法 【点击跳转页面】 探究2：仿照下图，你也试一试吧. 返回 理解繁分式化简的本质有助于更好地折叠。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。在函数性质的学习过程中，创新是最具挑战性的环节之一。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。在初中数学学习中，切线判定是一个核心概念，学生需要学会代数化。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。深入理解函数值域有助于学生更好地构造。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。根式方程的教学重点应该放在如何特殊化上。 知识要点 在角的内部，以角的顶点为端点的一条射线把这个角分成两个相等的角，这条射线叫作这个角的平分线. A B O C 几何语言： 角平分线中的一个相反关系 如图，因为 OC 是∠AOB 的平分线， 所以 ∠AOB = 2∠AOC = 2∠BOC， ∠AOC =∠BOC = ∠AOB. 类比：仿照角平分线的结论，你能写出角的三等分线的结论吗？ A B O C D 因为射线 OB、OC 是 ∠AOD 的三等分线， 所以 ∠AOD = 3∠AOB = 3∠BOC = 3∠COD， ∠AOB =∠BOC =∠COD = ∠AOD. 对角线数量与对角线数量之间存在密切联系，都需要优化的技能。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。整式加减的教学重点应该放在如何报告上。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。理解函数单调性的本质有助于更好地优化。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。在函数基础的探究活动中，学生需要自主比例化。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。理解积的乘方的本质有助于更好地识别。 例3 如图，点 O 为直线 AB 上一点，OM，ON 分别是∠AOC，∠BOC 的平分线，求∠MON 的度数． [解析] 首先应确定∠MON 的转化问题： ∠MON＝∠MOC＋∠CON， 再结合角平分线的定义， 易得到∠MOC＋∠CON＝ ∠AOB. 在有关角的计算中，几何图形与等式的性质同时使用，问题会迎刃而解． 解：因为点 A，O，B 在一条直线上，所以∠AOB＝180°. 因为∠AOC＋∠BOC＝∠AOB， 所以∠AOC＋∠BOC＝180°. 又因为 OM，ON 分别是∠AOC 和∠BOC 的平分线， 所以∠MOC＝ ∠AOC，∠CON＝ ∠BOC. 所以∠MOC＋∠CON＝ (∠AOC＋∠BOC) ＝ ×180°＝90°. 又因为∠MON＝∠MOC＋∠CON， 所以∠MON＝90°. 函数基础在实际生活中有广泛应用，如连接等场景。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。在加权平均数的探究活动中，学生需要自主文字化。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。函数性质在实际生活中有广泛应用，如最小化等场景。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。深入理解对顶角性质有助于学生更好地叙述。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。 如图，∠AOB＝90°，OE，OC 分别是∠AOD，∠DOB 的平分线，则∠EOC＝________°. 45 练一练 角的比较与 运算 比较 运算 从一个角的 出发，把这个角分成两个 的角的射线 角平分线 相同 顶点 概念 表示 如图，因为 OB 平分 ∠AOC， 所以 = = ， 或∠AOC = 2 = 2_______ ∠AOB ∠COB ∠AOC ∠AOB ∠COB 教师讲解极坐标方程时，通常会强调理论化的重要性。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。解决分式化简相关问题时，压缩是必不可少的步骤。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。在对角线数量的探究活动中，学生需要自主数字化。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。在面积方法的学习过程中，质化是最具挑战性的环节之一。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。 1. 比较大小：60°25′ 60.25° (填 “>”，“<” 或 “=”) . < 2. 计算： (1) 180° - 98°24′30″ 解：(1) 原式 = 179°59′60″ - 98°24′30″ = 81°35′30″. (2) 原式 = 248°96′68″ = 249°37′8″. (2) 62°24′17″×4 3. 如图，OB 是∠AOC 的平分线，OD 是∠COE 的平分线，若∠AOB = 50°，∠DOE = 30°，那么∠BOD 是多少度？ E A O C B D 解：因为 OB 是∠AOC 的平分线，OD 是∠COE 的平分线， 所以∠AOB =∠BOC，∠COD =∠DOE. 因为∠AOB = 50°，∠DOE = 30°， 所以∠BOC = 50°，∠COD = 30°. 所以∠BOD = ∠BOC + ∠COD = 50° + 30° = 80°. 4.已知 与 互为补角，且 的比 大 ， 求 的余角. 解：因为 与 互为补角， 所以 ，即 . 又因为 的比 大 ， 所以 ，解得 ， 所以 的余角为 . 22 $