5.5.2 简单的三角恒等变换 知识点梳理-2026-2027学年高一上学期人教A版数学必修第一册

5.5.2 简单的三角恒等变换 知识点梳理 · 人教A版 必修第一册 第五章 四术通变 · 恒等变形版式 对应教材 5.5.2（P226–228）：把刚学过的和差倍角公式，反过来用或组合起来用——得到半角、积化和差、和差化积、辅助角四组变形术。 ★ 四组变形都「不发明新公式」，只是把 5.5.1 的九条公式换着方向用：二倍角开方得半角，和差角相加相减消元得积化和差，把四个和差积公式当二元式反解得和差化积，提取系数合成得辅助角。记住「四术归一」：根是和差倍角，术是变形方向。 ★ 半角公式与和差化积不要求记忆，但必须会推导——半角的根号前 ± 由 所在象限决定；和差化积四个公式左右两边的角分别是 (α+β)/2 与 (α−β)/2，不要搞反。 ★ 辅助角公式 最实用也最易错：先算 ，再令 、（或 （a ≠ 0）），φ 的象限看 a、b 符号。 本课地图 · 四术一览 四术是一条「变形链」：术一（半角）由二倍角开方；术二（积化和差）由和差角相加相减；术三（和差化积）把术二反解；术四（辅助角）把 a sin + b cos 合成一个角。 四术一览：根都是 5.5.1 的和差倍角公式，术是变形方向 术次 名字（记法） 由何而来 一句话记法 术一 半角公式 二倍角余弦降幂公式开方 平方不加根号，开方加 ± 术二 积化和差（4 式） 和差角公式相加、相减消元 系数 ，角是 α±β 术三 和差化积（4 式） 把积化和差当作二元式反解 角是 (α±β)/2 的两半 术四 辅助角公式 提取 合成一个角 术一 · 半角公式：二倍角余弦开方即得 由降幂公式 、 两边开方，就得到半角的正弦、余弦；正切由 sin/cos 相除。 半角公式：先得平方（无根号），再开方（加 ±）；正切还有无根号有理式 函数 平方形式（不加根号） 开方形式（带根号，符号由 所在象限定） 正弦 余弦 正切 开方时符号怎么定：看半角 落在第几象限，正弦、余弦、正切就取那一个象限的正负。无根号的「有理式」 不带 ±，但要求分母不为零（cos α ≠ −1 与 sin α ≠ 0）。 术一落定：半角公式由二倍角降幂开方得到；平方无根号、开方加 ±，符号随 象限。正切另有无根号有理式 。 术二 · 积化和差：两个积变两个和差 把 sin(α ± β)、cos(α ± β) 的展开式两两相加或相减，乘积项就消掉，得到「积 → 和差」。 积化和差 4 式：系数是 ，中括号内两角是 α+β 与 α−β，各项是同名函数 名称 公式（右端系数都是 ） 正弦·余弦 余弦·正弦 余弦·余弦 正弦·正弦 记忆窍门：右端系数一律 ；中括号里前后两角恒为 α+β 与 α−β；每个式子的右边分别是这两个角的同名函数（正弦积配正弦、余弦积配余弦）。带减号的项注意是 cos(α − β) − cos(α + β)，不是反过来。 术二落定：积化和差把「乘积」拆成「和差」；系数 ，角是 α±β，同名函数配同名。最常用的是 。 术三 · 和差化积：两个和差变两个积 把术二的四式看作关于 sin α cos β 等的「二元一次式」，反过来解出 sin α + sin β 等，得到「和差 → 积」。 和差化积 4 式：系数是 2，角是 (α+β)/2 与 (α−β)/2 两半，余弦差带负号 名称 公式（左右两半角都是 (α±β)/2） 正弦和 正弦差 余弦和 余弦差 记忆窍门：外面系数一律是 2；两个角永远是 (α+β)/2 与 (α−β)/2（先凑「和的一半」「差的一半」）；正弦和配「正弦·余弦」、余弦和配「余弦·余弦」、余弦差配「负正弦·正弦」，只有余弦差带负号。 术三落定：和差化积把「和差」合成「积」；系数 2，角是 (α±β)/2，余弦差带负号。常用 。 术四 · 辅助角公式：把 a sin α + b cos α 合成一个角 引入辅助角 φ，把系数 a、b 收进 里，原式化成单个角的正弦。 辅助角公式：提取 后，原式 = 内容 式子 化一结果 （a、b 不全为 0） 辅助角 φ 的确定 、、（a ≠ 0） φ 所在象限 由 a、b 的符号共同确定（cos φ 与 sin φ 的正负已定象限） 推导三步：① 提取 ，得 ；② 令 、，括号内变成 cos φ sin α + sin φ cos α；③ 用和角正弦化简为 。（也可写成 形式，思路相同。） 术四落定：辅助角公式 ；先算 ，再令 、，φ 的象限由 a、b 符号定。 课本一角 · a sin α + b cos α 怎样合成一个角 课本在 5.5.2 用「提取系数 + 引入辅助角」完成化一，不借助向量（向量属必修第二册，本章未学）。核心是把 a、b 看成某个角 φ 的余弦、正弦的「放大版」。 取 作放大倍数，则 、 是一对满足平方和为 1 的数，必是某个角 φ 的余弦与正弦。于是 。当 a、b 不全为 0 时，这一化一总是可行的——它把两个同频振荡合成一个。后来人们用同样的「拼角、合成」思路处理波的叠加、交流电的合成；它和前面九条公式、四组变形，是同一棵三角函数大树上的枝。 回到四组变形：半角由倍角开方，积化和差由和差角消元，和差化积把积化和差反解，辅助角给 a sin + b cos 化一。四术归一——根都在 5.5.1 的九条公式。 收束 · 四术归一速查卡 四组变形收在一张表里，考前翻一眼就够。方向比死记更重要。 四术总表：半角开方、积化和差、和差化积、辅助角，根都是和差倍角公式 术 名字 核心公式（一句话） 术一 半角公式 、（开方加 ±） 术二 积化和差 等 4 式，系数 术三 和差化积 等 4 式，系数 2 术四 辅助角 （） 四术归一：半角由二倍角开方（平方无根号、开方加 ±）；积化和差把乘积拆成 α±β 的同名函数和（系数 ）；和差化积把和差合成 (α±β)/2 的积（系数 2，余弦差带负号）；辅助角公式 ，先算 再定 φ 的象限。四术都从 5.5.1 的九条公式变出来——根在手中，变形自来。 过关自测 满分 100 分：选择题 6 题，每题 5 分，共 30 分；填空题 4 题，每题 5 分，共 20 分；解答题 3 题，共 50 分。答案与解析在文末。 一、选择题（每题 5 分，共 30 分） 1. 用 cos α 表示 ，结果应为（ ） A. B. C. D. 2. 化简 sin α cos β，结果应为（ ） A. B. C. D. 3. 把 a sin α + b cos α（a、b 不全为 0）化成 后，系数应为（ ） A.a + b B.|a| + |b| C. D. 4. 和差化积 sin α + sin β 等于（ ） A. B. C. D. 5. 化简 ，结果为（ ） A. B. C. D. 6. 求值 cos 75° cos 15°，结果为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题 5 分，共 20 分） 7. 积化和差：。 8. 和差化积：。 9. 辅助角公式中，若 a > 0，则 tan φ = ＿＿＿＿。 10. 用 表示 sin α = ＿＿＿＿。 三、解答题（共 50 分） 11.（14 分）把 3 sin x + 4 cos x 化成 A sin(x + φ) 的形式（A > 0）。 12.（18 分）不求具体角，化简 sin 75° + sin 15°，并求其值。 13.（18 分）用二倍角余弦公式推导半角公式 。 参考答案与解析 一、选择题答案：1～6 依次为 A、A、C、A、A、A 1. A。半角余弦平方 （加号）；B 是正弦平方。 2. A。正弦·余弦的积化和差 ；B 是余弦·正弦，C、D 是余弦积。 3. C。辅助角公式的系数是 ；A、B 不是平方和，D 少了开方。 4. A。和差化积 ；B 是正弦差，D 是余弦和。 5. A。。 6. A。用余弦积化和差：。 二、填空题答案 7. cos(α + β) + cos(α − β)。 8. 。 9. 。 10. 。 三、解答题解析 11.（14 分） 令 、（φ 在第一象限，），则上式 = 5(cos φ sin x + sin φ cos x) = 5 sin(x + φ)，。 12.（18 分） 。 13.（18 分） 由二倍角余弦第三形 ，移项得 ， 两边同除以 2 得 。 学科网（北京）股份有限公司 $