专题05 椭圆16大重点题型（举一反三期中专项训练）高二数学上学期人教A版选择性必修第一册

专题05 椭圆16大重点题型（期中专项训练） 【人教A版】 题型归纳 题型1 椭圆的定义及辨析 1．（25-26高二上·湖南衡阳·期中）椭圆上的一点到两个焦点的距离之和为（    ） A．5 B．7 C． D． 【答案】D 【解题思路】利用椭圆的定义得出椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于2倍长半轴长，再利用椭圆的标准方程求出，进而求解． 【解答过程】    椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于2倍长半轴长，即， 又，焦点在轴上， ，故长半轴长， 椭圆上的一点到两个焦点的距离之和为，故D正确． 故选：D． 2．（25-26高二上·山东临沂·期中）已知椭圆的左、右焦点分别是，且是椭圆上的一点．若，则（　　） A． B．1 C． D．5 【答案】D 【解题思路】根据椭圆的定义即可求解. 【解答过程】由椭圆的方程及题意知，，所以， 所以．由椭圆的定义，得，又， 所以． 故选：D． 3．（25-26高二上·河北邢台·期中）椭圆上一点到该椭圆的一个焦点的距离为3，则到另一个焦点的距离为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】B 【解题思路】由椭圆的定义即可求解. 【解答过程】由椭圆方程可得， 由椭圆的定义得到另一个焦点的距离为. 故选：B. 4．（25-26高二上·天津西青·期中）如果椭圆上一点与焦点的距离等于2，那么点与另一个焦点的距离为__________. 【答案】8 【解题思路】根据椭圆方程可知，再结合椭圆的定义运算求解即可. 【解答过程】设椭圆的长轴长为， 由题意可知：，且， 因为，可得， 所以点与另一个焦点的距离为8. 故答案为：8. 5．（25-26高二上·江西景德镇·期中）已知椭圆的焦点分别是、，点、分别为椭圆的长轴端点，点为椭圆的短轴端点，且. (1)求椭圆的方程； (2)设点在这个椭圆上，且，求的长. 【答案】(1)； (2). 【解题思路】（1）由焦点得到，再由，即可求出、，从而求出椭圆方程； （2）根据椭圆的定义得到，解得即可. 【解答过程】（1）因为椭圆的焦点分别是、，所以， 又因为，即，联立可得， 所以椭圆的方程为； （2）因为点在这个椭圆上，所以，由小问（1）知， 所以，又，联立可得. 题型2 椭圆标准方程的求解 6．（25-26高二上·山西·期中）椭圆的短轴长为2，焦距为，则椭圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用已知椭圆标准方程确定椭圆的焦点位置，再根据短轴长和焦距得出，进而求出，得出椭圆的标准方程． 【解答过程】椭圆的短轴长为，焦距为， ， ， 椭圆的标准方程为， 故选：A． 7．（25-26高二上·江苏无锡·期中）过点，且与椭圆有相同的焦点的椭圆标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】将与椭圆焦点相同的椭圆的方程设为，再将点代入，求得的值，即可得出椭圆标准方程. 【解答过程】设所求椭圆方程为， 将点代入，可得，解得（舍去）， 故所求椭圆的标准方程为． 故选：D. 8．（25-26高二上·广东清远·期中）与椭圆有相同焦点，且满足短半轴长为的椭圆方程是__________． 【答案】 【解题思路】由题知，，进而求得可得答案. 【解答过程】因为椭圆的焦点坐标为， 所以所求椭圆的焦点坐标为，即， 因为所求椭圆的短半轴长为， 所以， 所以， 所以所求椭圆的方程为：. 故答案为：. 9．（25-26高二上·江苏苏州·期中）求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)两个焦点坐标分别是，，并且经过点； (2)经过两点，. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据焦点坐标得到，根据点坐标得到，然后解方程即可； （2）设椭圆方程，然后将点坐标带入，解方程即可. 【解答过程】（1）设椭圆的标准方程为，则①， 将带入椭圆方程得到②， 联立①②解得，， 所以椭圆的标准方程为. （2）设椭圆的标准方程为，则，解得， 所以椭圆的标准方程为. 10．（25-26高二上·广东深圳·期中）椭圆的中心为原点，左顶点为，左、右焦点分别为，，短轴长为6，且． (1)求椭圆的标准方程； (2)若点在椭圆上，，求的面积． 【答案】(1)； (2). 【解题思路】（1）根据已知条件求得，从而求得椭圆的方程. （2）由（1）和结论，利用椭圆的定义、余弦定理、三角形的面积公式求解. 【解答过程】（1）设椭圆的半焦距为c，依题意，，而， 解得， 所以椭圆的标准方程为. （2）设，由（1）及椭圆的定义，得， 由余弦定理得， 因此， 所以的面积. 题型3 曲线方程与椭圆 11．（25-26高二上·安徽合肥·期中）已知方程表示的曲线是椭圆，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用椭圆的标准方程，即可确定参数的范围. 【解答过程】由方程表示的曲线是椭圆，则且， 故选：D. 12．（25-26高二上·贵州贵阳·期中）已知曲线：，则“”是“曲线是椭圆”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解题思路】根据已知曲线方程和椭圆方程的特点，结合充分条件和必要条件进行判定即可. 【解答过程】曲线：为椭圆，则，解得且， 可知是“曲线是椭圆”的必要不充分条件. 故选：C. 13．（25-26高二上·陕西宝鸡·期中）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据焦点在轴上的椭圆列出关于的不等式组，解之即可. 【解答过程】椭圆方程表示焦点在轴上的椭圆，则，所以. 故选：A. 14．（25-26高二上·湖南永州·期中）若方程所表示的曲线为椭圆，且焦点在轴上，则的取值范围是___________． 【答案】 【解题思路】根据椭圆的标准方程列出条件求解. 【解答过程】若曲线为椭圆，且焦点在轴上， 则，解得， 所以的取值范围为， 故答案为：． 15．（25-26高二上·江西·期中）已知曲线经过点． (1)若经过点，求的离心率； (2)若表示焦点在轴上的椭圆，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）把两点代入曲线方程，求出，得到标准方程后可求离心率； （2）把曲线方程化为椭圆标准方程，由焦点在轴上，列不等式求的取值范围． 【解答过程】（1）因为点在上，所以，， 因为经过点，所以，， 代入得， 所以的标准方程为， ，，， 所以的离心率． （2）的方程可化为， 因为表示焦点在轴上的椭圆，所以，即， 因为，所以， 解得，所以的取值范围是． 题型4 轨迹问题——椭圆 16．（25-26高二上·吉林长春·期中）一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据动圆与已知两圆位置关系，求得动圆圆心满足的关系式，利用椭圆定义进行判断，并求出，得到轨迹方程. 【解答过程】设圆圆心为，半径为， 圆圆心为，半径为，动圆圆心为，半径为 则， 由圆与圆外切可得， 由圆与圆内切可得， 所以，所以点的轨迹是以为焦点的椭圆， 设为 则，所以， 所以轨迹方程为， 故选：B. 17．（25-26高二上·甘肃兰州·期中）平面内动点满足方程，则动点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用椭圆的定义求解即可. 【解答过程】由题意，点到两点，的距离之和为， 所以点的轨迹是以，为焦点的椭圆， 且，，， 所以点P的轨迹方程为. 故选：B. 18．（25-26高二上·福建·期中）在平面直角坐标系中，点在轴上运动，点在轴上运动，，且满足，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】设，故，再根据向量关系整理代换即可得答案. 【解答过程】由题，设， 因为，所以， 因为，， 所以，即，代入得. 所以点的轨迹方程为. 故选：D. 19．（25-26高二上·福建福州·期中）已知的周长为24，且顶点，则顶点的轨迹方程是___________. 【答案】 【解题思路】由题意可得动点到两定点的距离之和大于两定点，结合椭圆的定义与标准方程，可得答案. 【解答过程】由题意可得，且， 易知顶点的轨迹为去掉与轴上的交点的椭圆，可得其方程为， 可得，，则，所以轨迹方程为. 故答案为：. 20．（25-26高二上·湖北襄阳·期中）动圆与圆外切，同时与圆内切，为圆的任意一条直径. (1)求动圆圆心的轨迹方程； (2)已知点为圆心的轨迹上任意一点，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据圆与圆的内切与外切可得圆心间距离与半径的关系，结合椭圆定义可得轨迹方程； （2）设点，利用转化法及坐标法表示向量数量积，结合点在椭圆上，根据椭圆上的点的坐标取值范围可得数量积范围. 【解答过程】（1）设圆心的坐标为，半径为. 由圆方程知圆心，半径， 由圆方程知圆心，半径， 由圆与圆外切可知由圆与圆内切，可知， 故， 由椭圆定义可知，圆心的轨迹是以，为焦点的椭圆(除去点)， 其中，且，即， 又， 故轨迹方程为； （2）由题知圆心，半径为， 设且满足，则， ， 又，故，. 题型5 椭圆中的焦点三角形问题 21．（25-26高二上·江苏淮安·期中）已知椭圆的左、右焦点为、，为上任意一点（不含顶点），则的周长为（   ） A．4 B． C．5 D．6 【答案】D 【解题思路】根据椭圆的定义即可求得答案. 【解答过程】由椭圆方程知，，， 所以， 根据椭圆的定义可知，，又， 所以的周长为. 故选：D. 22．（25-26高二上·河南新乡·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，P为椭圆C上一点，若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由椭圆的定义及余弦定理进行求解． 【解答过程】在椭圆C中，，，所以. 由椭圆的定义，得. 在中，由余弦定理，得. 因为，所以， 即，所以. 所以的面积. 故选：D. 23．（25-26高二上·安徽合肥·期中）经过椭圆的右焦点作斜率不为0的直线，交椭圆于、两点，是椭圆的左焦点，则的周长为（    ） A．10 B．16 C．20 D．26 【答案】C 【解题思路】椭圆方程，左、右焦点分别为，，利用椭圆的定义求解． 【解答过程】椭圆方程，设椭圆的左、右焦点分别为，，椭圆长轴长， ，，得的周长为． 故选：C. 24．（25-26高二上·吉林长春·期中）已知为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，，则的面积等于__________. 【答案】 【解题思路】根据椭圆的定义和完全平方公式的应用，结合余弦定理和三角形面积公式计算即可求解. 【解答过程】由题意知，，所以， 如图，设，则， 所以，得； 在中，由余弦定理得， 即，解得， 所以. 故答案为：. 25．（25-26高二上·陕西西安·期中）已知椭圆左右焦点分别为，，P为C上的动点，且. (1)求； (2)求的面积. 【答案】(1) (2)4 【解题思路】（1）根据椭圆的定义，解得即可； （2）首先求出，从而得到，结合（1）、，利用余弦定理求出，即可求出，再由面积公式计算可得. 【解答过程】（1）椭圆，则， 所以，又， 所以. （2）由，得，所以. 如下图所示： 由（1）可知，， 所以. 则， 故的面积为. 题型6 椭圆上点到焦点的距离及最值 26．（25-26高二上·广东深圳·期中）已知椭圆上的动点到右焦点距离的最小值为2，则（    ） A．8 B．4 C． D．2 【答案】C 【解题思路】根据题意，由条件可得，再由的关系，即可得到结果. 【解答过程】因为椭圆上的动点到右焦点距离的最小值为2， 即，又，则，所以. 故选：C. 27．（25-26高二上·四川眉山·期中）椭圆的焦点为，点P在此椭圆上，如果线段的中点在y轴上，那么的值为（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【解题思路】根据线段的中点M在y轴上，推出轴，由此可设，代入椭圆方程求出即，再由椭圆定义可得． 【解答过程】由可知，即， 所以，故不妨设， 因为线段的中点M在轴上，且原点为线段的中点， 所以，所以轴， 设，将代入椭圆方程，得，得， 所以，∴． 故选：D. 28．（25-26高二上·吉林·期中）已知动点在椭圆上，若点，点满足，且，则的最小值为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【解题思路】由得，，问题转化为求，结合图象可知当点为椭圆的右顶点时，有最小值，计算，得到. 【解答过程】椭圆中，.    如图，由得， ∴， ∴当取最小值时，最小. 由题意得，点A为椭圆右焦点，当点为椭圆的右顶点时，， ∴. 故选：C. 29．（25-26高二上·浙江嘉兴·期中）点在椭圆上，是椭圆的一个焦点，为的中点，若，则_________． 【答案】2 【解题思路】由椭圆的定义结合中位线性质即可求解. 【解答过程】 如图，设椭圆的另一焦点为，则， 由中位线可知：， 所以， 所以， 故答案为：2. 30．（25-26高二上·河北保定·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，且为上的动点. (1)若，求； (2)设点，求的最小值与最大值. 【答案】(1)； (2)最小值为，最大值为. 【解题思路】（1）根据椭圆的定义求解； （2）利用椭圆定义将进行转化，再结合三角形三边关系求解. 【解答过程】（1）依题意得：， 根据椭圆定义可得：， 已知，联立以下两个方程：， 将两式相加，得，因此； （2）椭圆右焦点的坐标为，左焦点； 根据椭圆定义，，因此， 代入，得：， 对任意点，有，当且仅当、、共线时取等号； 因为， 所以，代入， 得：最小值：，当在的延长线与椭圆的交点时取得； 最大值：，当在的延长线与椭圆的交点时取得. 题型7 椭圆中距离的和、差最值问题 31．（25-26高二上·山东枣庄·期中）设是椭圆的右焦点，是椭圆上的动点，是直线上的动点，则的最小值为（   ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【解题思路】根据椭圆的定义可知，则，则求的最小值，即求的最小值，再结合点到直线的距离公式即可得解. 【解答过程】根据题意知椭圆的右焦点坐标为，左焦点坐标为， 根据椭圆的定义可知，所以， 则， 所以最小时，即最小， 即定点到直线距离最小即可， 根据点到直线的距离公式可得， 所以. 故选：C. 32．（25-26高二上·广西柳州·期中）已知为椭圆的右焦点，为椭圆上的动点，设点，则的最小值为（   ） A．2 B． C．0 D． 【答案】A 【解题思路】利用椭圆的定义可得出，分析可知当点为射线与椭圆的交点时，取最小值，即可得解. 【解答过程】由椭圆方程可知， 且焦点在x轴上，则，    因为，可知点在椭圆内， 又因为，即， 则， 当且仅当点为射线与椭圆的交点时，等号成立， 所以的最小值为2． 故选：A． 33．（25-26高二上·广东深圳·期中）已知为椭圆的一个焦点，为椭圆上一点，为圆上一点，则的最大值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【解题思路】根据椭圆的定义和圆上点的位置关系确定最值即可. 【解答过程】由题可知，圆的圆心坐标为，半径为1， 设椭圆的上焦点为，下焦点为， 则， 故要求的最大值，即求的最小值， 所以的最小值等于：， 即的最大值为：. 故选：B.    34．（25-26高二上·山西·期中）椭圆：的左、右焦点分别为，，P为椭圆上的动点，Q为圆：上的动点，则的最大值为_________. 【答案】 【解题思路】将圆的方程化为圆的标准方程，进而得圆心的坐标和半径，利用椭圆的方程得左右焦点的坐标，利用椭圆的定义得，进而得，当直线过圆心时，得，进而求解. 【解答过程】由圆：有：，所以圆心，半径， 又因为椭圆：，所以，所以， 由椭圆的定义有：，所以， 所以， 当直线过圆心时，， 所以， 故答案为：.    35．（25-26高二上·湖南·期中）已知椭圆：＋＝1内有一点，，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的一点，求： (1)的最大值与最小值； (2)的最小值． 【答案】(1)，－ (2)10－ 【解题思路】（1）连接并延长交椭圆于点，结合平面几何结论可得是使取得最大值的点，由此可得的最大值，延长交椭圆于点，可得是使取得最小值的点，由此可得结论； （2）结合椭圆的定义可得，连接，并延长交椭圆于点，，结合平面几何结论可得是使取得最小值的点，由此可求结论． 【解答过程】（1）由椭圆可知，，， 则，， 如图所示，连接并延长交椭圆于点， 则是使取得最大值的点， 于是， 因为， 则求的最小值，即求的最大值， 延长交椭圆于点，则是使取得最大值的点，即取得最小值的点， 于是 所以的最大值与最小值分别为和；    （2）连接，由椭圆的定义知， 则， 所以， 如图，连接，并延长交椭圆于点，， 则是使取得最小值的点， 于是. 题型8 利用椭圆的几何性质求标准方程 36．（25-26高二上·江苏·期中）已知椭圆经过点，离心率为，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】代入点的坐标可得，利用离心率的公式可得，从而可得答案. 【解答过程】因为椭圆经过点，所以，即； 离心率，所以，所以方程为. 故选：D. 37．（25-26高二上·广西南宁·阶段检测）中心为原点，焦点在x轴上，且长轴长与短轴长之比为2：1，焦距为4的椭圆方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据长短轴的比值可得，再由以及，可求得椭圆方程. 【解答过程】由题意可得，即， 又，即， 联立并代入可得， 解得 所以椭圆方程为. 故选：B. 38．（25-26高二上·内蒙古呼和浩特·期中）已知椭圆C：的两个焦点分别为，，P是椭圆上一点，，且离心率为，则椭圆C的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据椭圆定义、离心率和椭圆关系可直接求得椭圆方程； 【解答过程】由椭圆定义知：，解得， 又离心率，，， 所以椭圆的标准方程为：. 故选：A. 39．（25-26高二上·广东·期中）中心为坐标原点的椭圆，焦点在x轴上，焦距为4，离心率为，则椭圆的标准方程为___________. 【答案】 【解题思路】由焦距为4得到，由离心率为得到，由计算出，由中心为坐标原点的椭圆，焦点在x轴上，得到椭圆的标准方程. 【解答过程】焦距为4，，， 离心率为，，，， ， 焦点在x轴上，椭圆的标准方程为. 故答案为：. 40．（25-26高二上·甘肃兰州·期中）分别求适合下列条件的椭圆的标准方程. (1)离心率是，长轴长是12； (2)过点和； (3)焦点在x轴上，焦距等于6，并且经过点. 【答案】(1)或； (2)； (3). 【解题思路】（1）由椭圆的性质分焦点在x轴上和在y轴上可求； （2）设椭圆的标准方程，代入点坐标可得； （3）设椭圆方程为，由可解. 【解答过程】（1）由题意可得，又，则， 当焦点在x轴上时，椭圆方程为， 当焦点在y轴上时，椭圆方程为. （2）设椭圆的标准方程， 由于椭圆过点和， 代入可得，解得， 所以椭圆的方程为：. （3）设椭圆方程为， 则，，解得， 所以椭圆方程为. 题型9 求椭圆的焦点、焦距与长短轴 41．（25-26高二上·贵州遵义·期中）椭圆的焦距为（   ） A．8 B．6 C．5 D．10 【答案】A 【解题思路】根据椭圆方程可得和的值，利用可求出，进而求解. 【解答过程】由椭圆可得：，， 所以， 则椭圆的焦距为， 故选：A. 42．（25-26高二上·河北邢台·期中）已知，椭圆：的长轴长是短轴长的倍，则（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【解题思路】根据椭圆方程求得长轴长和短轴长，由题意列方程求解即可. 【解答过程】椭圆：的长轴长为，短轴长为， 由题意，平方化简得，又，解得． 故选：B. 43．（25-26高二上·北京·期中）椭圆的焦点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用椭圆方程求得半焦距c，进而可求得焦点坐标. 【解答过程】因为，所以椭圆是焦点在轴上的椭圆， 且，所以，解得， 所以椭圆的焦点坐标是. 故选：B. 44．（25-26高二上·江苏淮安·期中）已知、是椭圆的左、右焦点，点在上，若的最大值为9，则椭圆的长轴长为___________． 【答案】 【解题思路】利用基本不等式和椭圆的定义求得正确答案. 【解答过程】由椭圆的定义及基本不等式得， 当且仅当时等号成立， 由于，所以，长轴长. 故答案为：. 45．（25-26高二上·浙江金华·期中）如图所示，椭圆的左、右焦点分别为，一条直线经过与椭圆交于A，B两点. (1)求椭圆的焦距、短轴长和离心率； (2)若直线的倾斜角为，求的面积. 【答案】(1)焦距为，短轴长为6，离心率为 (2) 【解题思路】（1）求出，，根据焦距，短轴长和离心率的定义求出答案； （2）求出直线方程为，联立椭圆方程，得到两根之和，两根之积，由求出面积. 【解答过程】（1）由已知方程得到，所以，， 由得， 故焦距为，短轴长为，离心率. （2）由（1）知焦点坐标为，设， 由已知得直线的方程为，即， 与联立消去得， 则， 故， 所以的面积为. 题型10 求椭圆的离心率或其取值范围 46．（25-26高二上·重庆·期中）设椭圆C：的左、右焦点分别为、，P是C上的点，轴，，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由含有度角的直角三角形中，用焦距表示出与，再根据椭圆的定义建立起与的等式，即可求出离心率. 【解答过程】 由题可知，， 又因为，，故， 又因为，故. 故选：B. 47．（25-26高二上·重庆渝北·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，点是以为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长与椭圆交于点，若，则该椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用椭圆的定义，结合在圆中直径所对的圆周角为直角、勾股定理、椭圆离心率公式进行求解即可. 【解答过程】设，则，于是有， 由椭圆的定义可知：， ， 在圆中，是直径，所以， 由勾股定理可得：， ，代入中，得 ， 故选：B. 48．（25-26高二上·天津·期中）设椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆的外部，点是椭圆上的动点，满足恒成立，则椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由N在椭圆外部，则，根据椭圆的离心率公式，即可求得 ，根据椭圆的定义及三角形的性质结合，则 ，即可求得椭圆的离心率的取值范围． 【解答过程】因为点在椭圆的外部，所以，可得 ， 由椭圆的离心率， 又因为，且，， 要恒成立，即， 则椭圆离心率的取值范围是． 故选：D． 49．（25-26高二上·山东济南·期中）已知椭圆的两个焦点为，过作直线交椭圆于，若，且，则椭圆的离心率为___________． 【答案】/ 【解题思路】先设，再由椭圆的定义及在直角三角形的勾股定理得，最后在直角三角形中由勾股定理可得. 【解答过程】设，因为，所以，如图： 再由椭圆的定义得：，. 又因为，所以在直角三角形中，， 所以，，解得. 同理在直角三角形中，，， 所以，，即. 故答案为：. 50．（25-26高二上·内蒙古包头·期中）已知点在椭圆上，与椭圆的上，下顶点的连线的斜率之积为． (1)求椭圆的离心率； (2)若直线与椭圆相交于、两点，且的面积为（为坐标原点），求椭圆的标准方程． 【答案】(1) (2)． 【解题思路】（1）由题意推理可得，利用点在椭圆上，代入消元后可得，结合即可求得离心率； （2）设、，由直线与椭圆方程联立，写出韦达定理，求出弦长和点 到直线的距离，由三角形面积列出方程，求出参数值即得椭圆方程. 【解答过程】（1）因椭圆上、下顶点的坐标分别为、， 依题意，整理得（*）， 因点在椭圆上，则，即， 代入（*），化简得： ，又，所以， 则椭圆的离心率； （2）    如图，设、，由（1）已得， 则由，消去并整理得， 此时，解得， 由韦达定理得，， 所以， 又原点到直线的距离， 所以的面积，解得， 故椭圆的方程为． 题型11 椭圆的应用 51．（25-26高二上·江苏泰州·期中）如图，某颗人工智能卫星的运行轨道近似可看作以地心为一个焦点且离心率为的椭圆，地球可看作半径为的球体，近地点离地面的距离为，则远地点离地面的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据椭圆离心率以及卫星近地点离地面的距离列方程，求解得出椭圆的长半轴和半焦距，即可求得答案. 【解答过程】由题意，不妨以椭圆中心为坐标原点，建立如图所示坐标系，    则椭圆方程为， 则，且，解得，， 故该卫星远地点离地面的距离为 ， 又，所以. 故选：A. 52．（25-26高二上·江苏苏州·期中）已知某太阳系行星运行的轨道是长轴长为，离心率为的椭圆，且太阳在这个椭圆的一个焦点上，则该行星到太阳的最大距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先由椭圆的定义得到，再由椭圆的性质得到最大距离即可. 【解答过程】由椭圆的定义可知， 离心率， 因为太阳在这个椭圆的一个焦点上， 则该行星到太阳的最大距离是. 故选：B. 53．（25-26高二上·广西·期中）2024年10月22日，我国在太原卫星发射中心使用长征六号运载火箭，成功将天平三号卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功.该卫星主要用于地面雷达设备标校和测量，为地面光学设备成像试验和低轨空间环境探测监视试验提供支持，为大气空间环境测量和轨道预报模型修正提供服务.假设天平三号卫星运动的轨道是以地球的球心为一个焦点的椭圆，已知地球的直径约为1.3万千米，卫星运动至近地点距离地球表面高度约1.35万千米，运动至远地点距离地球表面高度约3.35万千米，求天平三号卫星运行的轨迹方程可为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据题意可得，，进而可求，即可得椭圆方程. 【解答过程】根据椭圆的定义，设长轴长为2a，焦距为2c， 由题可知，，即万千米， 因为天平三号卫星，运动至近地点距离地球表面高度约1.35万千米，地球半径为0.65万千米， 则，可得万千米，因此， 所以椭圆的方程为. 故选：A. 54．（25-26高二上·山东·期中）嫁接是一种营养生殖方式，是植物的人工繁殖方法之一，即把一株植物的枝或芽接在另一株植物的茎或根上，使接在一起的两个部分长成一个完整的植株.已知某段圆柱形的树枝通过利用刀具进行斜辟，形成两个椭圆形截面，如图所示，其中，分别为两个微面椭圆的长轴，且A，C，B，D都位于圆柱的同一个轴微面上，是圆柱微面圆的一条直径，设上、下两个截面椭圆的离心率分别为，，若，，则的值是________. 【答案】 【解题思路】根据题意由已知条件根据勾股定理即可分别计算得出两离心率的大小，可得结果. 【解答过程】由题意可知，， 不妨设，则，，，如下图所示： 所以上、下截面椭圆的离心率分别为，， 所以. 故答案为：. 55．（25-26高二下·上海·期中）如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽20米，要求通行车辆限高5米，隧道全长2500米．隧道的两侧是与地面垂直的墙，高度为3米，隧道上部拱线近似地看成半个椭圆． (1)若最大拱高为6米，则隧道设计的拱宽是多少?（结果精确到0.1米） (2)若要使隧道上方半椭圆部分的土方工程量最小，则应如何设计拱高和拱宽?（结果精确到0.1米） 以下结论可以直接使用：①椭圆的面积公式． ②柱体的体积为底面积乘以高，，． 【答案】(1) (2)拱高、拱宽 【解题思路】（1）建立直角坐标系，设椭圆方程为，依题意可得，将点代入椭圆方程，即可求解； （2）由点在椭圆上或在椭圆内得，利用基本不等式即可求出半椭圆的面积的最小值，从而得解. 【解答过程】（1）如图建立平面直角坐标系， 依题意可得点在椭圆上， 又，将点代入椭圆方程得，解得， 此时， 因此隧道设计的拱宽约为米； （2）设隧道上方半椭圆部分的面积为， 由椭圆方程且点在椭圆上或椭圆内部，得， 因为，即，当且仅当时取等号， 所以， 由于隧道长度为米，故隧道上方半椭圆部分的土方工程量， 当取得最小值时，有且，得，， 此时，， 即拱高和拱宽，隧道上方半椭圆部分的土方工程量最小. 题型12 直线与椭圆的位置关系 56．（25-26高二上·辽宁大连·期中）已知椭圆，直线，则与的位置关系为（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．以上选项都不对 【答案】A 【解题思路】根据给定条件，联立方程并借助一元二次方程判别式判断得解. 【解答过程】由消去y并整理得：，显然， 因此方程组有两个不同的解， 所以与相交. 故选：A. 57．（25-26高二上·河南郑州·期中）直线与椭圆的公共点个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 【答案】C 【解题思路】分析可知直线和均过，结合图象即可判断. 【解答过程】直线和均过， 结合图象可知直线与椭圆的公共点个数为2个. 故选：C. 58．（25-26高二上·河南·期中）已知，若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据直线和椭圆的位置关系，结合图象求得的取值范围. 【解答过程】由两边平方得，对应图象是椭圆的上半部分， 画出半椭圆和的图象如下图所示， 设半椭圆的左右顶点为， 由两边平方并化简得， 由，解得（负根舍去）， 当过点时，， 结合图象可知，要使关于的方程有两个不相等的实数根， 则需， 故选：A. 59．（25-26高二上·江苏无锡·期中）已知直线与曲线有两个公共点，则的取值范围是___________． 【答案】 【解题思路】根据直线方程与曲线具有两个公共点，联立方程进行求解. 【解答过程】直线过点，， 联立方程 则 ， 即，故， 根据图象的交点，可得， 故. 故答案为：. 60．（25-26高二上·江苏扬州·期中）在平面直角坐标系中，椭圆的两个焦点分别是，，并且经过点. (1)求椭圆的离心率； (2)直线：与椭圆交于不同的两点. （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）若，求的值. 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ） 【解题思路】（1）由条件确定，再由椭圆的定义求得，即可求解； （2）设，，（ⅰ）联立直线与椭圆的方程，由判别式大于0即可求解； （ⅱ）由，借助于韦达定理代入计算即得. 【解答过程】（1）因为椭圆的焦点在轴上，所以设椭圆的标准方程为. 依题意可得，又， 所以，则. 故椭圆的标准方程为，则椭圆的离心率 （2）（ⅰ）设，. 联立，整理得. 由，解得或. 即的取值范围为. （ⅱ）由（ⅰ）可得，，，（*） 则. 因为，所以， 则得， 将（*）代入，可得. 解得，满足. 所以的值为. 题型13 椭圆的弦长与“中点弦”问题 61．（25-26高二上·江苏扬州·期中）已知椭圆，直线与椭圆交于两点，则线段长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】将直线方程与椭圆方程联立，求出两点的坐标，利用两点间的距离公式求线段的长度. 【解答过程】将代入椭圆方程， 得： 或. 当时，；当时，. 所以点的坐标分别为和. 所以. 故选：A. 62．（25-26高二上·江苏盐城·期中）已知直线l与椭圆相交于A，B两点，若弦AB的中点坐标为，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用点差法即可求解. 【解答过程】设， 则，两式相减可得， 即. 因为弦AB的中点坐标为，所以， 所以. 易知，所以， 所以直线l的方程为，化简得. 经验证满足题意，故直线l的方程为. 故选：A. 63．（25-26高二上·上海·期中）若椭圆的弦被点平分，则这条弦所在的直线方程是___________. 【答案】 【解题思路】设出弦的两个端点坐标，代入椭圆方程，作差可得斜率，再由直线方程的点斜式得答案． 【解答过程】设弦的两个端点分别为，， 则，， 两式相减可得， 所以， 所以弦所在的直线方程为，即. 故答案为：. 64．（25-26高二上·安徽·期中）已知椭圆的长轴长与焦距的比为，且点在椭圆上． (1)求的方程； (2)若直线与交于两点，且线段的中点坐标为，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）设半焦距为，根据题意，再待定系数求解即可； （2）设，，根据点差法求解即可. 【解答过程】（1）解：设半焦距为， 因为椭圆的长轴长与焦距的比为，且点在椭圆上， 所以，解得． 所以的方程为. （2）解：设，，    代入椭圆方程得， 两式相减可得，即. 由点为线段的中点得， 则的斜率， 所以的方程为，即. 所以直线的方程为. 65．（25-26高二上·天津宁河·期中）已知椭圆的焦距为，且过点. (1)求椭圆的方程； (2)过定点的直线与椭圆交于，两点，若的面积为，求直线的方程及的长. 【答案】(1) (2)直线的方程为， 【解题思路】（1）由题意可得，，可求得，进而可求得椭圆方程； （2）由题意可得直线的斜率存在，设直线的方程为，，与椭圆方程联立，可得，，进而求得弦长与点到直线的距离，结合题意可得，求解即可. 【解答过程】（1）因为点在椭圆上，所以， 又椭圆的焦距为，所以，即. 又因为，所以，解得或（舍去）； 所以椭圆的方程. （2）当直线的斜率不存在时，直线方程为，此时，，三点共线，不符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，， 与椭圆方程联立，消去得， 展开并整理得， 则，所以或， 所以，， 所以 ， 点到直线的距离， 所以， 所以，所以，所以， 所以，即， 所以直线方程为， 所以弦长.    题型14 椭圆中的面积问题 66．（25-26高二上·江西抚州·期中）已知直线与椭圆相交于A，B两点，椭圆的两个焦点是，，线段AB的中点为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】运用点差法求得的值，进而求得的值，结合求解即可. 【解答过程】如图所示， 由直线可知，直线斜率， 设，，则①，②， 又因为为线段的中点，则，， 由①②可得，即， 又因为，所以解得， 所以椭圆方程为，经检验点C在椭圆内， 所以，解得，则， 所以. 故选：C. 67．（25-26高二上·江苏南京·期中）已知椭圆的左、右顶点分别为．若过点且斜率为的直线与交于另一点，则的面积为___________． 【答案】 【解题思路】首先根据题意得到直线，与椭圆联立得到，，再求面积即可. 【解答过程】由题知：，则， ，则，解得， 将代入得到， 所以的面积为. 故答案为：. 68．（25-26高二上·福建厦门·期中）如图，直线过椭圆的左焦点和一个顶点B．      (1)求该椭圆的离心率； (2)记直线l与椭圆的另一交点为A，求的面积S． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由题意，分别求出B点和点坐标，可得b和c的值，根据的关系，可得a值，代入离心率公式，即可得答案. （2）由（1）得椭圆的方程，与直线l联立，可得A点横坐标，代入面积公式，即可得答案. 【解答过程】（1）因为直线过椭圆的左焦点和一个顶点B， 令，解得，则上顶点，即， 令，解得，则左焦点，即， 所以，则离心率 （2）由（1）得，椭圆的方程为，与直线联立 ，消去y得， 解得或，则A点的横坐标， 所以的面积.    69．（25-26高二上·浙江杭州·期末）已知椭圆的离心率为，且经过点． (1)求椭圆C的方程； (2)过的直线l与椭圆C相交于E，F两点，点，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据椭圆离心率以及椭圆经过的点坐标解方程组可得结果； （2）对直线斜率是否存在进行分类讨论，设直线l斜率存在时，方程为，联立直线和椭圆方程，利用弦长公式和点到直线距离公式得出面积表达式，再由函数单调性计算可得结果. 【解答过程】（1）由离心率，可得，即， 又，可得 椭圆经过点，可得，解得， 所以椭圆方程为. （2）当直线l斜率不存在时，易知， 此时； 设直线l斜率存在时，方程为，点，如下图： 联立，整理得， 则， 所以， 又点R到直线l的距离为． 所以， 令， 则， 易知，所以； 综上，，的最大值. 70．（25-26高二上·浙江宁波·期中）已知椭圆，过C的右焦点F且垂直于长轴的弦AB的长为1，焦点F与短轴两端点构成等边三角形． (1)求椭圆的离心率； (2)设，为椭圆的左、右焦点，过，分别作直线，，且，若与椭圆交于，两点，与椭圆交于，两点（点，在轴上方），求四边形面积的最大值. 【答案】(1) (2)4 【解题思路】（1）根据已知得出，，计算后代入方程即可得出答案； （2）先求出两平行直线没有斜率时，此时，再求出当两平行直线有斜率时，最大值为1，再根据四边形的面积为即得解. 【解答过程】（1）设，由点A在椭圆C上，得，解得， 所以， 又焦点F与短轴两端点构成等边三角形， 所以，所以，， 所以，故. （2）由（1）知椭圆C的方程为， 当的倾斜角为0°时，与重合，不满足题意； 如图， 当的倾斜角不为0°时，由对称性得四边形为平行四边形 ，设直线的方程为 代入，得, 显然，设，， 则，， 所以 设，所以，， 所以 当且仅当即时，即时等号成立． 所以，而 所以. 题型15 椭圆中的参数范围及最值 71．（25-26高二上·重庆·期中）已知是椭圆上的动点，则点到直线的距离的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】令与直线平行且与椭圆相切的直线为，与椭圆方程联立，应用求参数值，再由平行线的距离公式求最小距离. 【解答过程】令与直线平行且与椭圆相切的直线为， 联立，则， 所以，可得，即， 所以，所求直线为， 对于，与直线的距离为， 对于，与直线的距离为， 所以最小距离为. 故选：B. 72．（25-26高二上·辽宁沈阳·期中）已知椭圆，过点且斜率为的直线与相交于两点，若恰好是的中点，则椭圆上一点到焦点的距离的最小值为（   ） A．6 B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由点差法结合已知可得，进而求出，根据椭圆上一点到焦点的距离的最小值为求得结果. 【解答过程】设，则， 两式作差得，即，即①， 因为点恰好是的中点，所以， 又因为直线的斜率为， 将它们代入①式得，解得， 又，则， 所以椭圆上一点到焦点的距离的最小值为． 故选：B． 73．（25-26高二上·河北石家庄·期中）已知椭圆，直线，则椭圆上的点到直线距离的最大值为_____________． 【答案】 【解题思路】取椭圆上任意一点，当过点的直线与直线平行且与椭圆相切时，点到直线的距离取得最值．求出切线方程，再利用两平行直线间的距离公式即可求解. 【解答过程】取椭圆上任意一点， 易知当过点的直线与直线平行且与椭圆相切时，点到直线的距离取得最值． 设直线的方程为， 与椭圆的方程联立，得， 消去得， 令，解得， 由图可知，当时，点到直线的距离最大，最大值为.    故答案为：. 74．（25-26高二上·重庆大足·期中）已知椭圆E：离心率为，且过点， (1)求椭圆E的标准方程； (2)若直线与椭圆E相交于A､B两点，求面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据椭圆的离心率公式求得，将代入椭圆方程，即可求得和的值，即可求得椭圆方程； （2）联立直线与椭圆方程，利用韦达定理以及弦长公式结合点到直线的距离公式表示三角形的面积，然后通过二次型函数求解最值即可． 【解答过程】（1）由题可知，又因为，故. 又点在椭圆上，故有，解得，则， 故椭圆的标准方程：. （2）联立直线与椭圆方程，有，整理得： . 根据韦达定理，有： ，解得. 弦长 点到弦的距离 ，当且仅当时，即时，等号成立. 故面积的最大值为. 75．（25-26高二上·四川成都·期中）已知椭圆的离心率为分别为椭圆的左右焦点，过的直线交于两点，点在第一象限，为中点，交于点，的周长为．    (1)求的方程； (2)求证：直线与的斜率乘积为； (3)若分别记的斜率为，求的最大值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【解题思路】（1）根据椭圆的定义，结合题意列出方程组，而解得参数求得椭圆方程. （2）设，进而求得中点的坐标，结合斜率公式和点差法计算证明结论. （3）设，有，计算直线的直线方程与椭圆方程联立，结合韦达定理得到的坐标，结合斜率公式和基本不等式计算得到的最大值. 【解答过程】（1）根据椭圆的定义可知， 根据题意可得，解得， 所以椭圆的方程为； （2）证明：设，因为为中点，所以， 根据题意直线与的斜率都存在， 所以直线与的斜率乘积为， 因为在椭圆上，所以，两式相减可得， 化简得，可得 因此直线与的斜率乘积为. （3）设，由（1）可知, 因为点在椭圆上，所以， 由题意， 故将直线与椭圆联立，可得， 整理可得：，所以， 即，即， 同理，将直线与椭圆联立，可得， 整理可得：，所以， 即，即， 所以的斜率为， 故， 因为点在第一象限内，故，， 的最大值为，当且仅当在处取到等号. 题型16 椭圆中的定点、定值、定直线问题 76．（25-26高二下·湖南郴州·期中）已知椭圆的离心率为，且过点． (1)求的标准方程； (2)设过点的直线(斜率不为)与相交于，两点，点关于轴的对称点为，证明直线恒过定点，并求出该定点的坐标. 【答案】(1) (2)证明见解析，恒过定点 【解题思路】（1）由离心率得，结合推出，设椭圆方程后代入已知点坐标，求出与，写出椭圆方程. （2）设直线联立椭圆方程，由限定斜率范围，利用韦达定理得根与系数关系，写出对称点，求出直线在处的横坐标，代入化简消去参数，证得直线恒过定点. 【解答过程】（1）因为离心率，所以. 因为，所以，所以的方程可写为. 因为过点，所以，解得，因此， 所以的标准方程为. （2）由题可知直线斜率存在,否则直线与椭圆没有交点. 设直线的方程为，与的方程联立， 消去得， 由，解得. 设，则. 直线的方程为，令，可得. 因为， 所以 故直线恒过定点. 77．（25-26高二上·山东日照·期中）已知椭圆的两个焦点，，过点且斜率不为0的直线与椭圆相交于，两点，的周长等于8. (1)求椭圆的标准方程； (2)设椭圆的左、右顶点分别为，，过点且斜率不为0的直线与椭圆交于，两点，设直线，的斜率为别为，，求证：为定值. 【答案】(1)； (2). 【解题思路】（1）根据椭圆的定义及焦点三角形的周长可得标准方程； （2）设的直线方程代入椭圆方程，再由根与系数关系及斜率公式可得定值. 【解答过程】（1）因椭圆的两个焦点，，所以， 由的周长等于8，得， 即，得. 所以椭圆的标准方程为. （2）证明：由（1）可知，设直线的方程为，. 将方程代入椭圆方程，得， 化简整理得，， . 所以 ，同理 . 所以 ， 若，则，代入根与系数关系得， 即，再消去得，得无解， 故. 所以. 故为定值. 78．（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知椭圆的右焦点为，且椭圆C过点. (1)求椭圆的标准方程. (2)若直线与椭圆交于，两点，且直线为的角平分线， （i）证明：直线过定点； （ii）求的最大值. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析 （ii） 【解题思路】（1）根据焦点坐标，结合代入法、，，三者之间的关系进行求解即可； （2）（i）根据三角形面积公式，结合一元二次方程根与系数关系、直线的斜率公式进行求解即可； （ii）根据三角形面积公式，结合二次函数的性质进行求解即可. 【解答过程】（1）因为椭圆右焦点坐标为，所以，因为椭圆过点，所以，因为， 所以解得，，所以椭圆方程为. （2）（i）证明：设直线与直线交于点，所以，所以，所以， 显然，直线的斜率存在且不为0，则直线的方程为，，，且，， 由可得，所以，， 所以，整理可得，， 所以，解得，所以直线的方程为，所以直线过定点. （ii）由（i）可得，由， 解得，且，，所以， 代入可得，令，所以， 所以当，即，所以的最大值为. 79．（25-26高二上·山东枣庄·期中）已知椭圆：（）的左右顶点为，，短轴长为，且上的动点满足直线、的斜率之积为． (1)求的方程； (2)已知，过点的直线与椭圆交于点（异于），求面积的最大值． (3)若过点且斜率不为0的直线与椭圆交于，两点，直线与相交于点．试判断点是否在定直线上？若是，求出该定直线方程，若不是，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)在定直线上 【解题思路】（1）根据斜率之积求出即可得出椭圆的方程； （2）根据面积最大时点所处的位置，利用求椭圆的切线后，得三角形的高求解； （3）设直线，联立椭圆方程，得出根与系数的关系，再联立直线方程求的横坐标，化简即可. 【解答过程】（1）由题意，， 设,，， 则， 解得， 所以椭圆的方程为. （2）如图，    由，可得, 直线的方程为：，即， 当面积的最大时，点在与直线平行且与椭圆相切的直线上， 设切线为， 则可得， 由，解得（舍去）， 此时三角形的高为， 所以. （3）设直线，，， ，可得， 所以． 直线AE的方程：① 直线BF的方程：② 联立①②可得． 因为， 所以 所以点G在直线上． 80．（25-26高二上·江苏南京·期中）已知为坐标原点，椭圆过点，离心率为．过点且与坐标轴不垂直的直线交于点． (1)求的方程； (2)当时，求的方程； (3)设直线与直线交于点，记直线，的斜率分别为，试探究是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)或. (3)为定值2，理由见解析 【解题思路】（1）根据题意得到，再解方程组即可. （2）设直线，，，与椭圆联立得到，，，再根据求解即可. （3），，从而得到，再结合韦达定理求即可. 【解答过程】（1）由题知：，即： （2）设直线，，， 则， 方程的判别式 ，， ， 因为，所以， 即 . 解得，即. 所以直线或. （3）如图所示： ，， 令，则，即. ， ， 因为， 所以. 即为定值2. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 椭圆16大重点题型（期中专项训练） 【人教A版】 题型归纳 题型1 椭圆的定义及辨析 1．（25-26高二上·湖南衡阳·期中）椭圆上的一点到两个焦点的距离之和为（    ） A．5 B．7 C． D． 2．（25-26高二上·山东临沂·期中）已知椭圆的左、右焦点分别是，且是椭圆上的一点．若，则（　　） A． B．1 C． D．5 3．（25-26高二上·河北邢台·期中）椭圆上一点到该椭圆的一个焦点的距离为3，则到另一个焦点的距离为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 4．（25-26高二上·天津西青·期中）如果椭圆上一点与焦点的距离等于2，那么点与另一个焦点的距离为__________. 5．（25-26高二上·江西景德镇·期中）已知椭圆的焦点分别是、，点、分别为椭圆的长轴端点，点为椭圆的短轴端点，且. (1)求椭圆的方程； (2)设点在这个椭圆上，且，求的长. 题型2 椭圆标准方程的求解 6．（25-26高二上·山西·期中）椭圆的短轴长为2，焦距为，则椭圆的标准方程为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·江苏无锡·期中）过点，且与椭圆有相同的焦点的椭圆标准方程为（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高二上·广东清远·期中）与椭圆有相同焦点，且满足短半轴长为的椭圆方程是__________． 9．（25-26高二上·江苏苏州·期中）求满足下列条件的椭圆的标准方程： (1)两个焦点坐标分别是，，并且经过点； (2)经过两点，. 10．（25-26高二上·广东深圳·期中）椭圆的中心为原点，左顶点为，左、右焦点分别为，，短轴长为6，且． (1)求椭圆的标准方程； (2)若点在椭圆上，，求的面积． 题型3 曲线方程与椭圆 11．（25-26高二上·安徽合肥·期中）已知方程表示的曲线是椭圆，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 12．（25-26高二上·贵州贵阳·期中）已知曲线：，则“”是“曲线是椭圆”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 13．（25-26高二上·陕西宝鸡·期中）若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（  ） A． B． C． D． 14．（25-26高二上·湖南永州·期中）若方程所表示的曲线为椭圆，且焦点在轴上，则的取值范围是___________． 15．（25-26高二上·江西·期中）已知曲线经过点． (1)若经过点，求的离心率； (2)若表示焦点在轴上的椭圆，求的取值范围． 题型4 轨迹问题——椭圆 16．（25-26高二上·吉林长春·期中）一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 17．（25-26高二上·甘肃兰州·期中）平面内动点满足方程，则动点P的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 18．（25-26高二上·福建·期中）在平面直角坐标系中，点在轴上运动，点在轴上运动，，且满足，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 19．（25-26高二上·福建福州·期中）已知的周长为24，且顶点，则顶点的轨迹方程是___________. 20．（25-26高二上·湖北襄阳·期中）动圆与圆外切，同时与圆内切，为圆的任意一条直径. (1)求动圆圆心的轨迹方程； (2)已知点为圆心的轨迹上任意一点，求的取值范围. 题型5 椭圆中的焦点三角形问题 21．（25-26高二上·江苏淮安·期中）已知椭圆的左、右焦点为、，为上任意一点（不含顶点），则的周长为（   ） A．4 B． C．5 D．6 22．（25-26高二上·河南新乡·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，P为椭圆C上一点，若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 23．（25-26高二上·安徽合肥·期中）经过椭圆的右焦点作斜率不为0的直线，交椭圆于、两点，是椭圆的左焦点，则的周长为（    ） A．10 B．16 C．20 D．26 24．（25-26高二上·吉林长春·期中）已知为椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，，则的面积等于__________. 25．（25-26高二上·陕西西安·期中）已知椭圆左右焦点分别为，，P为C上的动点，且. (1)求； (2)求的面积. 题型6 椭圆上点到焦点的距离及最值 26．（25-26高二上·广东深圳·期中）已知椭圆上的动点到右焦点距离的最小值为2，则（    ） A．8 B．4 C． D．2 27．（25-26高二上·四川眉山·期中）椭圆的焦点为，点P在此椭圆上，如果线段的中点在y轴上，那么的值为（    ） A． B． C．2 D．3 28．（25-26高二上·吉林·期中）已知动点在椭圆上，若点，点满足，且，则的最小值为（    ） A． B．3 C． D． 29．（25-26高二上·浙江嘉兴·期中）点在椭圆上，是椭圆的一个焦点，为的中点，若，则_________． 30．（25-26高二上·河北保定·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，且为上的动点. (1)若，求； (2)设点，求的最小值与最大值. 题型7 椭圆中距离的和、差最值问题 31．（25-26高二上·山东枣庄·期中）设是椭圆的右焦点，是椭圆上的动点，是直线上的动点，则的最小值为（   ） A． B．3 C． D． 32．（25-26高二上·广西柳州·期中）已知为椭圆的右焦点，为椭圆上的动点，设点，则的最小值为（   ） A．2 B． C．0 D． 33．（25-26高二上·广东深圳·期中）已知为椭圆的一个焦点，为椭圆上一点，为圆上一点，则的最大值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 34．（25-26高二上·山西·期中）椭圆：的左、右焦点分别为，，P为椭圆上的动点，Q为圆：上的动点，则的最大值为_________. 35．（25-26高二上·湖南·期中）已知椭圆：＋＝1内有一点，，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上的一点，求： (1)的最大值与最小值； (2)的最小值． 题型8 利用椭圆的几何性质求标准方程 36．（25-26高二上·江苏·期中）已知椭圆经过点，离心率为，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 37．（25-26高二上·广西南宁·阶段检测）中心为原点，焦点在x轴上，且长轴长与短轴长之比为2：1，焦距为4的椭圆方程为（　　） A． B． C． D． 38．（25-26高二上·内蒙古呼和浩特·期中）已知椭圆C：的两个焦点分别为，，P是椭圆上一点，，且离心率为，则椭圆C的标准方程为（   ） A． B． C． D． 39．（25-26高二上·广东·期中）中心为坐标原点的椭圆，焦点在x轴上，焦距为4，离心率为，则椭圆的标准方程为___________. 40．（25-26高二上·甘肃兰州·期中）分别求适合下列条件的椭圆的标准方程. (1)离心率是，长轴长是12； (2)过点和； (3)焦点在x轴上，焦距等于6，并且经过点. 题型9 求椭圆的焦点、焦距与长短轴 41．（25-26高二上·贵州遵义·期中）椭圆的焦距为（   ） A．8 B．6 C．5 D．10 42．（25-26高二上·河北邢台·期中）已知，椭圆：的长轴长是短轴长的倍，则（   ） A．2 B． C．4 D． 43．（25-26高二上·北京·期中）椭圆的焦点坐标是（    ） A． B． C． D． 44．（25-26高二上·江苏淮安·期中）已知、是椭圆的左、右焦点，点在上，若的最大值为9，则椭圆的长轴长为___________． 45．（25-26高二上·浙江金华·期中）如图所示，椭圆的左、右焦点分别为，一条直线经过与椭圆交于A，B两点. (1)求椭圆的焦距、短轴长和离心率； (2)若直线的倾斜角为，求的面积. 题型10 求椭圆的离心率或其取值范围 46．（25-26高二上·重庆·期中）设椭圆C：的左、右焦点分别为、，P是C上的点，轴，，则椭圆C的离心率为（    ） A． B． C． D． 47．（25-26高二上·重庆渝北·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，点是以为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长与椭圆交于点，若，则该椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 48．（25-26高二上·天津·期中）设椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆的外部，点是椭圆上的动点，满足恒成立，则椭圆离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 49．（25-26高二上·山东济南·期中）已知椭圆的两个焦点为，过作直线交椭圆于，若，且，则椭圆的离心率为___________． 50．（25-26高二上·内蒙古包头·期中）已知点在椭圆上，与椭圆的上，下顶点的连线的斜率之积为． (1)求椭圆的离心率； (2)若直线与椭圆相交于、两点，且的面积为（为坐标原点），求椭圆的标准方程． 题型11 椭圆的应用 51．（25-26高二上·江苏泰州·期中）如图，某颗人工智能卫星的运行轨道近似可看作以地心为一个焦点且离心率为的椭圆，地球可看作半径为的球体，近地点离地面的距离为，则远地点离地面的距离为（   ） A． B． C． D． 52．（25-26高二上·江苏苏州·期中）已知某太阳系行星运行的轨道是长轴长为，离心率为的椭圆，且太阳在这个椭圆的一个焦点上，则该行星到太阳的最大距离是（    ） A． B． C． D． 53．（25-26高二上·广西·期中）2024年10月22日，我国在太原卫星发射中心使用长征六号运载火箭，成功将天平三号卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功.该卫星主要用于地面雷达设备标校和测量，为地面光学设备成像试验和低轨空间环境探测监视试验提供支持，为大气空间环境测量和轨道预报模型修正提供服务.假设天平三号卫星运动的轨道是以地球的球心为一个焦点的椭圆，已知地球的直径约为1.3万千米，卫星运动至近地点距离地球表面高度约1.35万千米，运动至远地点距离地球表面高度约3.35万千米，求天平三号卫星运行的轨迹方程可为（  ） A． B． C． D． 54．（25-26高二上·山东·期中）嫁接是一种营养生殖方式，是植物的人工繁殖方法之一，即把一株植物的枝或芽接在另一株植物的茎或根上，使接在一起的两个部分长成一个完整的植株.已知某段圆柱形的树枝通过利用刀具进行斜辟，形成两个椭圆形截面，如图所示，其中，分别为两个微面椭圆的长轴，且A，C，B，D都位于圆柱的同一个轴微面上，是圆柱微面圆的一条直径，设上、下两个截面椭圆的离心率分别为，，若，，则的值是________. 55．（25-26高二下·上海·期中）如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽20米，要求通行车辆限高5米，隧道全长2500米．隧道的两侧是与地面垂直的墙，高度为3米，隧道上部拱线近似地看成半个椭圆． (1)若最大拱高为6米，则隧道设计的拱宽是多少?（结果精确到0.1米） (2)若要使隧道上方半椭圆部分的土方工程量最小，则应如何设计拱高和拱宽?（结果精确到0.1米） 以下结论可以直接使用：①椭圆的面积公式． ②柱体的体积为底面积乘以高，，． 题型12 直线与椭圆的位置关系 56．（25-26高二上·辽宁大连·期中）已知椭圆，直线，则与的位置关系为（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．以上选项都不对 57．（25-26高二上·河南郑州·期中）直线与椭圆的公共点个数为（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．无数个 58．（25-26高二上·河南·期中）已知，若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 59．（25-26高二上·江苏无锡·期中）已知直线与曲线有两个公共点，则的取值范围是___________． 60．（25-26高二上·江苏扬州·期中）在平面直角坐标系中，椭圆的两个焦点分别是，，并且经过点. (1)求椭圆的离心率； (2)直线：与椭圆交于不同的两点. （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）若，求的值. 题型13 椭圆的弦长与“中点弦”问题 61．（25-26高二上·江苏扬州·期中）已知椭圆，直线与椭圆交于两点，则线段长为（    ） A． B． C． D． 62．（25-26高二上·江苏盐城·期中）已知直线l与椭圆相交于A，B两点，若弦AB的中点坐标为，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 63．（25-26高二上·上海·期中）若椭圆的弦被点平分，则这条弦所在的直线方程是___________. 64．（25-26高二上·安徽·期中）已知椭圆的长轴长与焦距的比为，且点在椭圆上． (1)求的方程； (2)若直线与交于两点，且线段的中点坐标为，求直线的方程． 65．（25-26高二上·天津宁河·期中）已知椭圆的焦距为，且过点. (1)求椭圆的方程； (2)过定点的直线与椭圆交于，两点，若的面积为，求直线的方程及的长. 题型14 椭圆中的面积问题 66．（25-26高二上·江西抚州·期中）已知直线与椭圆相交于A，B两点，椭圆的两个焦点是，，线段AB的中点为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 67．（25-26高二上·江苏南京·期中）已知椭圆的左、右顶点分别为．若过点且斜率为的直线与交于另一点，则的面积为___________． 68．（25-26高二上·福建厦门·期中）如图，直线过椭圆的左焦点和一个顶点B．      (1)求该椭圆的离心率； (2)记直线l与椭圆的另一交点为A，求的面积S． 69．（25-26高二上·浙江杭州·期末）已知椭圆的离心率为，且经过点． (1)求椭圆C的方程； (2)过的直线l与椭圆C相交于E，F两点，点，求面积的最大值． 70．（25-26高二上·浙江宁波·期中）已知椭圆，过C的右焦点F且垂直于长轴的弦AB的长为1，焦点F与短轴两端点构成等边三角形． (1)求椭圆的离心率； (2)设，为椭圆的左、右焦点，过，分别作直线，，且，若与椭圆交于，两点，与椭圆交于，两点（点，在轴上方），求四边形面积的最大值. 题型15 椭圆中的参数范围及最值 71．（25-26高二上·重庆·期中）已知是椭圆上的动点，则点到直线的距离的最小值为（   ） A． B． C． D． 72．（25-26高二上·辽宁沈阳·期中）已知椭圆，过点且斜率为的直线与相交于两点，若恰好是的中点，则椭圆上一点到焦点的距离的最小值为（   ） A．6 B． C． D． 73．（25-26高二上·河北石家庄·期中）已知椭圆，直线，则椭圆上的点到直线距离的最大值为_____________． 74．（25-26高二上·重庆大足·期中）已知椭圆E：离心率为，且过点， (1)求椭圆E的标准方程； (2)若直线与椭圆E相交于A､B两点，求面积的最大值. 75．（25-26高二上·四川成都·期中）已知椭圆的离心率为分别为椭圆的左右焦点，过的直线交于两点，点在第一象限，为中点，交于点，的周长为．    (1)求的方程； (2)求证：直线与的斜率乘积为； (3)若分别记的斜率为，求的最大值． 题型16 椭圆中的定点、定值、定直线问题 76．（25-26高二下·湖南郴州·期中）已知椭圆的离心率为，且过点． (1)求的标准方程； (2)设过点的直线(斜率不为)与相交于，两点，点关于轴的对称点为，证明直线恒过定点，并求出该定点的坐标. 77．（25-26高二上·山东日照·期中）已知椭圆的两个焦点，，过点且斜率不为0的直线与椭圆相交于，两点，的周长等于8. (1)求椭圆的标准方程； (2)设椭圆的左、右顶点分别为，，过点且斜率不为0的直线与椭圆交于，两点，设直线，的斜率为别为，，求证：为定值. 78．（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知椭圆的右焦点为，且椭圆C过点. (1)求椭圆的标准方程. (2)若直线与椭圆交于，两点，且直线为的角平分线， （i）证明：直线过定点； （ii）求的最大值. 79．（25-26高二上·山东枣庄·期中）已知椭圆：（）的左右顶点为，，短轴长为，且上的动点满足直线、的斜率之积为． (1)求的方程； (2)已知，过点的直线与椭圆交于点（异于），求面积的最大值． (3)若过点且斜率不为0的直线与椭圆交于，两点，直线与相交于点．试判断点是否在定直线上？若是，求出该定直线方程，若不是，说明理由． 80．（25-26高二上·江苏南京·期中）已知为坐标原点，椭圆过点，离心率为．过点且与坐标轴不垂直的直线交于点． (1)求的方程； (2)当时，求的方程； (3)设直线与直线交于点，记直线，的斜率分别为，试探究是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $